Пучки без кручения на многообразиях и интегрируемые системы (1097861), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Заметим, что все элементы изdeg()пространства /2являются просто многочленами от 1 , 2 , 2−1 с постоянными коэффициентами, и порядок этих многочленов относительно 2−1 меньше или равен deg().Тогда из доказательтва теоремы 20 немедленно следует, что оператор — (некоммутативный) многочлен от 2−1 степени (относительно 2−1 ) не выше, чем deg(). В силузамечания 20 кольцо −1 — кольцо ДО. Тогда ∈ [[1 , 2 ]][1 ]((2−1 )) (это немедленноdeg()следует из лемм 15, 17 пункты 2,3). Значит, можно положить = 2.Лемма 47. Предположим, что разложение в ряд Лорана элемента/ ∈ (1 , 2 ) ⊂ ((1−1 ))((2−1 )),где , ∈ [1 , 2 ] взаимно просты, лежит в [1 ]((2−1 )). Предположим, что этот рядудовлетворяет условию 1 .Тогда ordΓ () = (0, ord()).Доказательство Доказательство этой леммы основано на нескольких технических ру-тинных элементарных вычислениях, и мы будем интенсивно использовать в процессе доказательства некоторые технические леммы из главы 3.176Предположим обратное.
Тогда может быть записан как многочлен от 2 степениотносительно 2 меньше, чем ord(), скажем = 2 −−1∑︁ 2 , < ord(),=0где ∈ [1 ]. Пусть =∑︁ 2 .=0Теперь разобьем доказательство нашей леммы на несколько шагов.Шаг 1. Во-первых, мы утверждаем, что deg( ) + = ord().Очевидно, всегда выполняется неравенство deg( ) + ≤ ord(). Предположим, чтоdeg( ) + < ord().
Покажем, что это противоречит условию 1 для элемента /. Таккак мы работаем с рядами в поле ((1−1 ))((2−1 )) псевдо-дифференциальных операторов спостоянными коэффициентами, мы можем дословно повторить доказательства леммы 14и следствия 6 чтобы показать, что утверждения оттуда остаются справедливыми такжедля операторов из ((1−1 ))((2−1 )).В частности, −1 не удовлетворяет условию 1 . Действительно, предположим, что−1 удовлетворяет условию 1 . Тогда −1 = −1 2−1 ′ , где ′ — оператор такого же вида как в следствии 6, удовлетворющий условию 1 (по лемме 14). Тогда = (−1 )−1 = 2 (′ )−1 должен удовлетворять условию 1 в силу леммы 14, следствия 6. Но неудовлетворяет условию 1 по нашему предположению (а именно, член с первым коэффициентом оператора , таким что deg( ) + = ord() будет противоречить условию 1 ),противоречие.Пусть = 1 + 2 — произвольное разложение в сумму двух ДО с постояннымикоэффициентами, такое что 1 удовлетворяет условию 1 и степень 2 относительно 2меньше, чем (2 может быть нулевым).
Пусть −1 = 1 + 2 — произвольное разложение −1 в сумму двух псевдо-дифференциальных операторов из ((1−1 ))((2−1 )), такоечто 1 удовлетворяет условию 1 и степень 2 относительно 2 меньше, чем − (таккак −1 не удовлетворяет условию 1 , 2 не равен нулю).
Обозначим через первыйкоэффициент оператора 2 , и через первый коэффициент оператора 2 если 2 ̸= 0.Есть два случая: если 2 = 0, то произведение −1 не будет удовлетворять условию 1 ,потому что коэффициент оператора −1 , содержащий не будет удовлетворять ему;если 2 ̸= 0, то произведение −1 не будет удовлетворять условию 1 , потому что коэффициент оператора −1 , содержащий , не будет удовлетворять ему. Значит, −1 неудовлетворяет условию 1 , противоречие.Шаг 2. Теперь идея доказательства состоит в том, чтобы прийти к противоречию спредположением, что ̸= .Очевидно, мы можем умножить элемент / на подходящую степень 2−1 так, чтобысделать степень лорановского разложения произведения равной нулю. Таким образом, безограничения общности можно предполагать, что , — многочлены от 2−1 с ненулевымисвободными членами , соответственно.Теперь можно записать∞ −1∑︁∑︁∑︁ − ∑︁ ∑︁ − −− −1 )( ( ) )./ = ( 2 )( 2 ) = ( 2 2=0 =0 =0=0=0(5.19)Заметим, что не все делятся на .
Действительно, в противном случае (−1 ) ∈ [1 , 2 ]и следовательно−1 = ( −1 )(−1 ) ∈ [1 ]((2−1 )) ∩ ((1−1 ))[2 ] = [1 , 2 ]177т.e. и делятся на ̸= , противоречие.Заметим, что мы можем свести доказательство к случаю deg( ) ≤ − 1 (степеньтеперь означает степень относительно 2−1 ). Действительно, легко видеть, что долженделиться на . Так как / ∈ [1 ]((2−1 )), все выражения вида (/ − )2 будут опятьпринадлежать [1 ]((2−1 )) для любого многочлена ∈ [1 ]. Значит, если взять = / ,то (/ − )2 = ′ /, где deg( ′ ) < deg( ) если ≥ .
Заметим, что ′ ̸= 0, так как, взаимно просты.Аналогичным образом мы можем свести доказательство к случаю deg( ) = 0. Действительно, используя алгоритм Евклида, мы всегда можем найти многочлены ∈ [1 ]и ∈ [1 , 2−1 ], такие что deg( − ) < deg( ) если deg( ) ̸= 0. Опять ( − ) ̸= 0,так как , взаимно просты и deg( ) ̸= 0. Значит, (/) − = ′ / с deg( ′ ) < deg( ), ′ ̸= 0.Наконец, в случае deg( ) = 0 доказательство следует немедленно из (5.19): долженделиться на бесконечную степень некоторого простого делителя многочлена , т.e. = 0,противоречие.178Глава 6ПримерыЭта глава посвящена разбору уже известных примеров коммутирующих ДО и коммутирующих разностных операторов с точки зрения новой теории, построению новыхпримеров коммутирующих операторов в пополненном кольце, а также исследованию ихдеформаций, описываемых модификациями двумерных аналогов иерархии КП.
Результаты этой главы содержатся в работах [11], [12], [17].6.1«Тривиальные» алгебры коммутирующих операторовВ этом разделе обсуждается достаточно очевидный, но естественный и широкийкласс примеров. Эти примеры получаются, например, из примеров коммутативных колецобыкновенных дифференциальных операторов (скажем, от переменной 2 ) добавлениемдифференцирования по другой переменной (скажем, 1 ), которая, очевидно, коммутирует со всеми операторами в исходном кольце.
Обобщая это наблюдение, мы называем^ , содержащие 1 , тривиальными. Тем не менее, геометриякоммутативные алгебры в соответствующих поверхностей и даже наивное пространство модулей пучков из соответствующих геометрических данных нетривиальны.Заметим, что если имеется коммутативное 1-квазиэллиптическое вполне допустимоекольцо ⊂ , удовлетворяющее свойствам из теоремы 18, (3.18) и содержащее оператор2 , то после линейной замены 1 ↔ 2 кольцо останется 1-квазиэллиптическим вполнедопустимым и будет содержать оператор 1 .Геометрические данные «тривиальных» алгебр описываются следующим критерием.^ — конечно порожденное 1-квазиэллиптическое вполне допуТеорема 39. Пусть ⊂ стимое кольцо Коэно-Маколея коммутирующих операторов (заметим, что в силу теоремы 33 всякое конечно порожденное 1-квазиэллиптическое вполне допустимое кольцо лежит в конечно порожденном1-квазиэллиптическом вполне допустимом кольце Коэно-Маколея).Тогда содержит 1 если и только если дивизор соответствующих геометрических данных — дивизор Картье, пучок ℱ когерентен ранга один, () ≃ ( ), иотображение 1 (, ) → 1 (, ())инъективно.Более того, если основное поле несчетно и алгебраически замкнуто, то пучок ℱКоэно-Маколеев на .179Доказательство Напомним, что поверхность , соответствующая , Коэно-Маколеевав силу теоремы 32.Допустим сначала, что содержит 1 .
Так как 1-квазиэллиптично и вполне допустимо, это означает, что rk() = 1. Также это означает, что для любого ≫ 0 существуют операторы ∈ порядков ordΓ ( ) = (0, ). Следовательно, мы можем оценитьразмерность пространства ⊂ (где, как обычно, означает пространство пар Шура,соответствующее кольцу ): dim ( ) ∼ 2 /2 для всех ≫ 0. Тогда из асимптотическойформулы Римана-Роха (2.2) следует, что 2 = 1 (так как ≃ 0 (, ()) для всех ≫ 0, см.
параграф 3.5.2). Так как rk() = 1, ранг соответствующих геометрическихданных также равен 1 по теореме 24. Значит, в силу предложения 28 соответствующийпучок ℱ когерентен и ранга один.Теперь докажем, что — дивизор Картье. Наши рассуждения будут очень похожина рассуждения из доказательств леммы 23 или теоремы 18. Напомним, что ≃ Proj ˜,и дивизор определен однородным идеалом = (). Он не содержится в сингулярномлокусе, так как он содержит регулярную точку .
Так как ˜ — конечно порожденная алгебра с ˜0 = , в силу [2, Ch.III, § 1.3, prop. 3] существует целое ≥ 1, такое что -алгебра∞⨁︀()()˜() =˜ конечно порождена элементами из ˜ как -алгебра (здесь ˜ = ˜ ).11=0Покажем, что дивизор — эффективный дивизор Картье. Рассмотрим подсхему ′ в , определенную однородным идеалом = ( ) кольца ˜. Топологическое пространство подсхемы ′ совпадает с топологическим пространством подсхемы (как можноувидеть, рассматривая аффинное покрытие ).
Локальное кольцо , совпадает с кольцом нормирования дискретного нормирования на Quot(), индуцированного дискретнымнормированием в поле (())(()):, = ˜() = { / | ≥ 0, ∈ , ∈ ∖ −1 }.Идеал задает максимальный идеал в кольце , , и идеал задает -ю степень максимального идеала. Следовательно, если мы докажем, что идеал определяет эффективный дивизор Картье на , то отображение циклов на этом дивизоре дает (см.
раздел2.1.2). В силу [63, prop. 2.4.7] имеем = Proj ˜ ≃ Proj ˜() . При этом изоморфизме подсхема ′ определяется однородным идеалом ∩ ˜() в кольце ˜() . Этот идеал порожден()()элементом ∈ ˜1 . Открытые аффинные подмножества + ( ) = Spec ˜( ) с элемента()()ми ∈ ˜ определяют покрытие Proj ˜() . В каждом кольце ˜идеал ( ∩ ˜() )( )1( )порожден элементом / . Следовательно, однородный идеал ∩ ˜() определяет эффективный дивизор Картье.()Теперь покажем, что -алгебра ˜() конечно порождается элементами из ˜1 для˜ () конечно порождаетсявсех ≫ 0. По теореме 21 это эквивалентно тому, что -алгебра ()˜1 для всех ≫ 0.элементами из Пусть — такое число, что все порождающие кольца лежат в и для всех ≥ существуют элементы ∈ порядков ordΓ ( ) = (0, ) (то же будет справедливо длякольца ).
Пусть Σ обозначает множество всех чисел ∈ Z+ таких, что существуютоператоры в порядков ordΓ () = (*, ). Так как 1 ∈ , то для любого > илюбого ∈ Σ существуют операторы в порядков ordΓ () = (, ).˜ () конечно порождено элементамиПусть теперь > 2 — любое число, такое что ˜1() . Достаточно показать, что ˜ (+1) также конечно порождено элементами из ˜1(+1) .из ˜ (+1) можно предстаЧтобы показать это, достаточно доказать, что всякий элемент из ˜ (+1) и из ˜1(+1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
