Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Äëÿ óäîáñòâà ìû áóäåì îáîçíà÷àòü îðèåíòèðîâàííóþ èñîîòâåòñòâóþùóþ íåîðèåíòèðîâàííóþ äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ îäíîé è òîé æå áóêâîé. Òàê, ìû áóäåì ïèñàòüLâìåñòî|L|.Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 8.4. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì 2n âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ðîâíî â n âûáðàííûõ ïåðåêðåñòêàõ: ýòè äèàãðàììû ïîëó÷àþòñÿ ðàññòàíîâêîé ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ âñåìè âîçìîæíûìè 2n ñïîñîáàìè. Îáîçíà÷èì ýòènäèàãðàììû ÷åðåç Lη ãäå η ∈ {0, 1} ; ïóñòü L îäíà èç ýòèõ äèàãðàìì.Ïóñòü m(η) êîëè÷åñòâî åäèíèö â η (îíè ñîîòâåòñòâóþò îòðèöàòåëüíûìïåðåêðåñòêàì, â òî âðåìÿ êàê íóëè ñîîòâåòñòâóþò ïîëîæèòåëüíûì ïåðåêðåñòêàì).Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òîUXXη(−1)m(η) Ξn−1 (Lη ) = 0(8.3)8.4.
Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà, ïîðîæäåííûå èíâàðèàíòîì Ξ353Ïåðâîå íàáëþäåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìíîãîîáðàçèå M , ñîîòâåòñòâóþùåå âñåì ýòèì äèàãðàììàì Lη ïî ïðàâèëó ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòà Ξ (ñì.ñòð. 184), îäíî è òî æå. Áîëåå òîãî, ïî ïîñòðîåíèþ, íàáîð êðèâûõ δ(Lη )íå çàâèñèò îò η . Êðîìå òîãî, ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ δ ′ (s) âçÿòûõ ïðèâñåõ ðàçëè÷íûõ s (è, ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâî âñåõ p(s)) îäíî è òî æåäëÿ âñåõ äèàãðàìì Lη . Åäèíñòâåííàÿ ðàçíîñòü â îðìóëå (4.10) äëÿ âû÷èñëåíèÿ Ξ(Lη ) ïðè ðàçíûõ η ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîýèöèåíòû ïðèèêñèðîâàííûõ p(s) ∈ S ðàçëè÷íû.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ýòà ðàçíèöà êîýèöèåíòîâ îáðàùàåòñÿ â íóëü âîðìóëå (8.3). Äëÿ ýòîãî íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå êîýèöèåíòû (ïðè èêñèðîâàííîì p(s)) â îðìóëåX(−1)m(η) Ξ(Lη ) = 0.(8.4)ηäåëÿòñÿ íà (a − 1)n (èç ÷åãî ñëåäóåò äåëèìîñòü íà xn ).Ïóñòü L+ òà èç äèàãðàìì Lη , ó êîòîðîé âñå n ïåðåêðåñòêîâ ïîëîæèòåëüíû.
Ôèêñèðóåì íåêîòîðîå ñîñòîÿíèå s äèàãðàììû L+ . àññìîòðèìýëåìåíò p(s). Äëÿ êàæäîãî η ñóùåñòâóåò ñîñòîÿíèå s(η) äëÿ äèàãðàììû Lηñ òåì æå ñàìûì p(s). Âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü è áîëåå îäíîãî òàêîãî ñîñòîÿíèÿ, ñêàæåì, ìîæåò ñóùåñòâîâàòü s̃ òàêîå, ÷òî p(s̃) ýêâèâàëåíòíî p(s)â S . Íî ìû áóäåì ðàáîòàòü ëèøü ñ åñòåñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè, ïîëó÷åííûìè ïîñðåäñòâîì òîãî æå ñàìîãî ñãëàæèâàíèÿ, ÷òî è ñãëàæèâàíèå s äëÿäèàãðàììû L+ .Íàì íóæíî ñîñ÷èòàòü êîýèöèåíò ïðè p(s) (àëüòåðíèðîâàííóþ ñóììó 2n êîýèöèåíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äèàãðàììàì Lη ). Ïðåäïîëîæèì,÷òî äëÿ ñîñòîÿíèÿ s äèàãðàììû L+ ìû èìååì m ïåðåêðåñòêîâ, ðàçâåäåí→ , åùå n − m ïåðåêðåñòêîâ ðàçâåäåíû ñïîñîáîìíûõ ñïîñîáîì A :B:→ .
Îñòàëüíûå êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè (íå èç ÷èñëà âûáðàííûõ n) èìåþò îäíî è òî æå ðàçâåäåíèå äëÿ êàæäîé äèàãðàììû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóììà çíàêîâ îñòàâøèõñÿ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ (îäíà èòà æå äëÿ âñåõ η ) ðàâíà w, êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ â ñîñòîÿíèè A (íåèç ÷èñëà âûáðàííûõ) ðàâíî α, à êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ â ñîñòîÿíèè Bðàâíî β . Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé (óíèêóðñàëüíûõ êîìïîíåíò)I LI O8.5. ðàû, õîðäîâûå äèàãðàììû è ïîëèíîì Êàóìàíà354â ñîñòîÿíèè s äèàãðàììû L+ ÷åðåç Γ.Òîãäà èñêîìûé êîýèöèåíò ðàâåí(−a)−3w a(α−β) (−a2 − a−2 )(Γ−1) ××(−a−2 + a2 )m (−a−4 + a4 )n−m .Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå äåëèòñÿ íà (a − 1)n . Òàêîâû è âñå äðóãèå êîýèöèåíòû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì p(s).
Ýòèì çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8.4.8.5. ðàû, õîðäîâûå äèàãðàììû è ïîëèíîì Êàóìàíà íàñòîÿùåì ðàçäåëå âñå ãðàû ïðåäïîëàãàþòñÿ íå èìåþùèìè ïåòåëü èêðàòíûõ ðåáåð.Ïóñòü äàíà õîðäîâàÿ äèàãðàììà D ñ n õîðäàìè. Îïðåäåëèì åå ãðà ïåðåñå÷åíèé (ñì. [CDL℄) Γ(D) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ó ãðàà Γ(D) èìååòñÿn âåðøèí; îíè íàõîäÿòñÿ â îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ õîðäàìè äèàãðàììû D. Äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëèñîîòâåòñòâóþùèå èì õîðäû íå çàöåïëåíû.Íàçîâåì ãðà Γ ðåàëèçóåìûì, åñëè ñóùåñòâóåò õîðäîâàÿ äèàãðàììà D,òàêàÿ ÷òî Γ = Γ(D). Îòìåòèì, ÷òî äàëåêî íå âñÿêèé ãðà ÿâëÿåòñÿ ðåàëèçóåìûì.
Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì òàêîãî ãðàà ÿâëÿåòñÿ ïîëíûé ãðà íàïÿòè âåðøèíàõ. Êðèòåðèé ðåàëèçóåìîñòè ãðàîâ â òåðìèíàõ îòñóòñòâèÿçàïðåùåííûõ ïîäãðàîâ ïðèâåäåí â ðàáîòå [Bou℄.Ïóñòü äàíà õîðäîâàÿ äèàãðàììà D. Ïîñòðîèì ïî íåé (òî÷íåå, ïî àòîìóñ åäèíñòâåííîé ÷åðíîé êëåòêîé, äëÿ êîòîðîãî D ñëóæèò f -ãðàîì) âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå, êàê îïèñàíî â ãëàâå 4, ñòð.157.
 ñëó÷àå, åñëè D ÿâëÿåòñÿ däèàãðàììîé, ýòî ìîæíî ñäåëàòü êîððåêòíî: ìû ïîëó÷èì êëàññè÷åñêèéóçåë.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü îðèåíòèðóåìûé (â ñìûñëåàòîìà) âèðòóàëüíûé óçåë ñ òî÷íîñòüþ äî âèðòóàëèçàöèè.  ëþáîì ñëó÷àåìû ïîëó÷àåì îáúåêò, íà êîòîðîì êîððåêòíî îïðåäåëåíû ïîëèíîì Êàóìàíà (è ãîìîëîãèè Õîâàíîâà).8.5. ðàû, õîðäîâûå äèàãðàììû è ïîëèíîì Êàóìàíà355 ñëó÷àå, êîãäà äàíà îñíàùåííàÿ õîðäîâàÿ äèàãðàììà, ìû òàêæå ìîæåìïîñòðîèòü âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî âèðòóàëèçàöèè (îïð. ñì.ñòð.
151). Äëÿ íåãî îïðåäåëåíà ñêîáêà Êàóìàíà è (òàê êàê àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëó÷åííîìó óçëó, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì).Ñêîáêà Êàóìàíà ñòðîèòñÿ è ïî õîðäîâîé äèãðàììå íà íåñêîëüêèõ îêðóæíîñòÿõ (ïîñðåäñòâîì àòîìà).Ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååì ñêâîçíîå îòîáðàæåíèå f , ñîïîñòàâëÿþùåå õîðäîâîé äèàãðàììå íà îäíîé èëè íåñêîëüêèõ îêðóæíîñòÿõ ïîëèíîì.Òåîðåìà 8.5.
Îòîáðàæåíèå fóäîâëåòâîðÿåò ÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíî-øåíèþ, à òàêæå îáîáùåííîìó ÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèþ.Òàêèì îáðàçîì, ñêîáêà Êàóìàíà çàäàåò áåñêîíå÷íóþ òðåõïàðàìåòðè÷åñêóþ ñåðèþ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà çàöåïëåíèé. Îäèí ïàðàìåòð ýòîé ñåðèè ýòî ñòåïåíü ìîíîìà, âõîäÿùåãî â ñêîáêó Êàóìàíà.Äðóãîé ïàðàìåòð ýòî ïîðÿäîê õîðäîâîé äèàãðàììû, òðåòèé êîëè÷åñòâîêîìïîíåíò ðàññìàòðèâàåìîãî çàöåïëåíèÿ, ðàâíîå êîëè÷åñòâó îêðóæíîñòåéõîðäîâîé äèàãðàììû.Îòìåòèì, ÷òî ïåðâàÿ ÷àñòü ýòîé òåîðåìû (ñîðìóëèðîâàííàÿ â èíûõòåðìèíàõ, íå èñïîëüçóþùèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ) áûëà äîêàçàíà â ðàáîòåÁ.Ìåëëîðà [Mel℄ (è ïîçäíåå â òåðìèíàõ, èçëîæåííûõ âûøå, â [Ìà1℄).Áîëåå òîãî, îí ÿâíî óêàçàë, ÷òî çà èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ïîëó÷àþòñÿ èçýòîé ñèñòåìû âåñîâ ýòî èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà, ïðîèñõîäÿùèå èç ïîëèíîìà Êàóìàíà (äâóõ ïåðåìåííûõ).
Òàêèì îáðàçîì, èìååòñÿ íåêîòîðàÿ èíòåðåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó ñêîáêîé Êàóìàíà âèðòóàëüíûõ óçëîâ è ïîëèíîìîìÊàóìàíà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ.Íàçîâåì ïåðåñòðîéêîé îñíàùåííîé õîðäîâîé äèàãðàììû íà îäíîìåðíîììíîãîîáðàçèè M ïî õîðäå c ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå. Ïóñòü õîðäà c ñîåäèíÿåò òî÷êè A è B . Ïåðåñòðîéêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óäàëåíèå äâóõ ìàëûõ (íå ñîäåðæàùèõ êîíöîâ äðóãèõ õîðä) îêðåñòíîñòåé òî÷åê A è B èçàìåíó èõ äâóìÿ äðóãèìè îòðåçêàìè. À èìåííî, îáîçíà÷èì ýòè îêðåñòíîñòè ÷åðåç (A − ε, A + ε) è (B − ε, B + ε) ñîãëàñíî îðèåíòàöèÿì îêðóæíîñòåé,ñîäåðæàùèõ òî÷êè A è B . Òîãäà â ðåçóëüòàòå ïåðåñòðîéêè âìåñòî ýòèõ äâóõîêðåñòíîñòåé ïîÿâëÿþòñÿ îòðåçêè (A − ε, B + ε) è (A + ε, B − ε), åñëè õîðäàÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé èëè æå (A + ε, B + ε) è (A − ε, B − ε), åñëè õîð-8.5.
ðàû, õîðäîâûå äèàãðàììû è ïîëèíîì Êàóìàíà356äà ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíîé. Òàêèå ïåðåñòðîéêè âîçíèêàþò ïðè ïåðåõîäå èçîäíîãî ñîñòîÿíèÿ ñêîáêè Êàóìàíà â ñîñåäíåå.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8.5.øåíèÿ,Îòìåòèì ñëåäóþùèåñì. ðèñ. 8.10 è îáîáùåííûåäâó÷ëåííûå ñîîòíî-äâó÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿ,f() = f()f() = f()ñì. ðèñ. 8.11.èñ. 8.10. Äâó÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿf()= f(); f()= f()f()= f();f()= f()èñ. 8.11. Îáîáùåííûå äâó÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿÊàæäîå èç íèõ îçíà÷àåò ðàâåíñòâî çíà÷åíèé íåêîòîðîé óíêöèè íà ïàðàõ äèàãðàìì, îòëè÷àþùèõñÿ ëîêàëüíî êàê óêàçàíî íà ðèñóíêå.Îòìåòèì, ÷òî (îáîáùåííûå) äâó÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿ âëåêóò ÷åòûðåõ÷ëåííîå ñîîòíîøåíèå: ïîñëåäíåå ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó äâóõ ñîîòíîøåíèé.Îòìåòèì òåïåðü, ÷òî óíêöèÿ φ, ñîïîñòàâëÿþùàÿ (îñíàùåííîé) õîðäîâîé äèàãðàììå êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé, ïîëó÷àåìûõ ïåðåñòðîéêîé èçíà-8.6.
Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà357÷àëüíîé îêðóæíîñòè âäîëü ýòîé õîðäîâîé äèàãðàììû, óäîâëåòâîðÿåò äâó÷ëåííûì è îáîáùåííûì äâó÷ëåííîì ñîîòíîøåíèÿì. Ýòî áûëî çàìå÷åíîÑ.Ê.Ëàíäî [Ëàí℄. Òàêèì îáðàçîì, äâóõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèþ óäîâëåòâîðÿåò è óíêöèÿ (−a2 − a−2 )φ−1 .àññìîòðèì òåïåðü óíêöèþ f (D). Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ çíà÷åíèé óíêöèè (−a2 − a−2 )φ−1 íà âñåâîçìîæíûõ ïîääèàãðàììàõ õîðäîâîé äèàãðàììû D.Êàæäîå (îáîáùåííîå) ÷åòûðåõ÷ëåííîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî çàïèñàòü ââèäå A1 − B1 − A2 + B2 = 0, ãäå A1 − A2 = 0 è B1 − B2 = 0 ïðåäñòàâëÿþòñîáîé äâó÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿ, à õîðäîâàÿ äèàãðàììà Ai îòëè÷àåòñÿ îòõîðäîâîé äèàãðàììû Bi (i = 1, 2) ëèøü âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì äâóõõîðä, êîòîðûå ó÷àñòâóþò â ñîîòíîøåíèè.Ìåæäó õîðäàìè äèàãðàìì A1 , B1 , A2 , B2 èìååòñÿ åñòåñòâåííîå âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, ñîñòîÿùåå â ñëåäóþùåì: îäíà èç õîðä (íåïîäâèæíàÿ) ÿâëÿåòñÿ îáùåé äëÿ âñåõ ÷åòûðåõ äèàãðàìì åå ðàñïîëîæåíèåè òèï íå ìåíÿþòñÿ.
Âòîðàÿ èç õîðä, èçîáðàæàåìûõ íà ðèñóíêå ïîäâèæíàÿ; îáîçíà÷èì ïîäâèæíûå õîðäû ÷åðåç α (äëÿ äèàãðàìì A) è β (äëÿäèàãðàìì B ).àçëîæèì f (A1 + B1 − A2 − B2 ) â ñóììó ïî ïîääèàãðàììàì. Åñëè ïîääèàãðàììà äèàãðàììû A1 íå ñîäåðæèò íè îäíîé èç õîðä α èëè β , âñå ÷åòûðå ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû òîæäåñòâåííî ñîâïàäàþò.  ñëó÷àå, êîãäàïîääèàãðàììà ñîäåðæèò ðîâíî îäíó õîðäó α èëè β , ïîääèàãðàììà äèàãðàìì Ai ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ïîääèàãðàììîé äèàãðàììû Bi .Íàêîíåö, â ñëó÷àå, êîãäà â ïîääèàãðàììå ïðèñóòñòâóþò îáå õîðäû αè β , ìû ïîëó÷àåì ÷åòâåðêó äèàãðàìì, êîòîðàÿ ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ïàðû,îáðàçóþùèå äâó÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿ.Ñóììèðóÿ ñêàçàííîå âûøå, ïðèõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû.8.6.
Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà î ïëàíàðíîñòè ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèéÊàæäûé èíâàðèàíò Âàñèëüåâà ïîðÿäêà n êëàññè÷åñêèõ óçëîâ ÿâëÿåòñÿèíâàðèàíòîì ïåðâîãî ïîðÿäêà ñèíãóëÿðíûõ óçëîâ ñ (n − 1) òî÷êîé ñàìîïåðåñå÷åíèÿ (îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî). Êàê îêàçàëîñü [Âàñ℄, èñ-8.6.
Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà358ñëåäîâàíèå èíâàðèàíòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà (n − 1)-ñèíãóëÿðíûõ óçëîâ äàåòâàæíóþ èíîðìàöèþ î êîìáèíàòîðíûõ îðìóëàõ äëÿ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ.Çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Ì.Í. óñàðîâà ([GPV℄) óòâåðæäàåò, ÷òî êîìáèíàòîðíûå îðìóëû ñóùåñòâóþò äëÿ âñåõ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêàêëàññè÷åñêèõ óçëîâ; ïðè ýòîì êîìáèíàòîðíûå îðìóëû ìîãóò èìåòü äðîáíûå êîýèöèåíòû; ïîäðîáíåå ñì. [GPV, Âàñ℄.Íàïîìíèì, ÷òî A-ñòðóêòóðà ÷åòûðåõâàëåíòíîãî ãðàà (ñì.
ãë.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óêàçàíèå â êàæäîé âåðøèíå ðàçáèåíèÿ ÷åòûðåõ ïîëóðåáåðíà äâå ïàðû ïðîòèâîïîëîæíûõ.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòðóêòóðû êîãîìîëîãèé ïðîñòðàíñòâà ñèíãóëÿðíûõ óçëîâ è ðåøåíèÿ çàäà÷è î òîì, èìåþòñÿ ëè äëÿ äàííîãî èíâàðèàíòà Âàñèëüåâàêîìáèíàòîðíûå îðìóëû Ïîëÿêà-Âèðî ñ öåëî÷èñëåííûìè êîýèöèåíòàìè, Â.À.Âàñèëüåâ [Âàñ℄ ñîðìóëèðîâàë ñëåäóþùóþ ãèïîòåçó.èïîòåçà 8.1. 4-ðà ñ èêñèðîâàííîé A-ñòðóêòóðîé íå âëîæèì â ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåìA-ñòðóêòóðûòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ó íåãîíàéäóòñÿ äâà öèêëà, íå èìåþùèå îáùèõ ðåáåð, èìåþùèå ðîâíî îäíó òî÷êó ïåðåêðåñòüÿ.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì ðåçóëüòàòîì íàñòîÿùåé ãëàâû.Äàëåå ïîä îñíàùåííûì ãðàîì ìû èìååì â âèäó 4-âàëåíòíûé ãðà ñA-ñòðóêòóðîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
