Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Íîðìàëüíàÿ îðìà âèðòóàëüíûõ êîñ ïî Â..ÁàðäàêîâóÑðåäè âèðòóàëüíûõ êîñ âûäåëÿþòñÿ êðàøåíûå êîñû. À èìåííî, çàäàäèì ãðóïïó ïåðåñòàíîâîê Sn îáðàçóþùèìèòðàíñïîçèöèÿìè pi , ãäå pi ïåðåñòàâëÿåò ýëåìåíòû i è i + 1. Òîãäà èìååòñÿ åñòåñòâåííûé ãîìîìîðèçìV B(n) → Sn , çàäàâàåìûé ïî ïðàâèëó σi 7→ pi ; ζi 7→ pi . ßäðî ýòîãî ãîìî-7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ322ìîðèçìà íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé êðàøåíûõ âèðòóàëüíûõ êîñ èç n íèòåé èîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç P V B(n).Êðàøåíûå âèðòóàëüíûå êîñû P V B(n) îáðàçóþò íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó â ãðóïïå âèðòóàëüíûõ êîñ V B(n).
Ôàêòîðãðóïïà P V B(n)/V B(n) èçîìîðíà ãðóïïå Sn ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ.Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè äëÿ äâóõ âèðòóàëüíûõ êîñ α, β , èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî α = β , òî αβ −1 = 1. Åäèíè÷íàÿ êîñà ëåæèò â P V B(n), ïîýòîìó çàäà÷àðàñïîçíàâàíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ðàñïîçíàâàíèÿ êðàøåíûõ âèðòóàëüíûõ êîñ.Â..Áàðäàêîâ â [Bar℄ äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 7.6.n > 1. Òîãäà ãðóïïà P V B(n) èçîìîðíà∗ãðóïïû V Pn−1 è ãðóïïû Vn−1 , ïðè÷åì ãðóïïà([Bar℄) Ïóñòüïîëóïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ∗Vn−1ñâîáîäíà è ïðè i > 1 áåñêîíå÷íî ïîðîæäåíà. ðàáîòå Áàðäàêîâà ÿâíî âûïèñûâàåòñÿ ñïîñîá ðàçáèåíèÿ ãðóïïû êðàøåíûõ êîñ â ïîëóïðÿìóþ ñóììó, îïèñàííûé â òåîðåìå 7.6, ÷òî ïðèâîäèòê àëãîðèòìó ðàñïîçíàâàíèÿ êðàøåíûõ âèðòóàëüíûõ êîñ, à çíà÷èò, è âñåõâèðòóàëüíûõ êîñ.Äàëåå, èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé èçîìîðèçì ãðóïï:∗∗∗⋋ (Vn−2⋋ (· · · ⋋ (V2∗ ⋋ V1∗ )) .
. . ), (7.3)⋋ V Pn−1 ∼V Pn ∼= ··· ∼= Vn−1= Vn−1ïðè ýòîì âñå ãðóïïû Vj∗ ïðè j = 1, . . . , n − 1 ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûìè.Ñëåäîâàòåëüíî, â êàæäîé èç ýòèõ ãðóïï Vj∗ ïðîáëåìà òîæäåñòâà ñëîâðàçðåøèìà, ÷òî ïî èíäóêöèè ïðèâîäèò ê ðàçðåøèìîñòè òîæäåñòâà ñëîâ âãðóïïàõ P V B(2), P V B(3), P V B(4), . . .
, P V B(n).7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì èíâàðèàíò F âèðòóàëüíûõ êîñ. Åãîîãðàíè÷åíèå íà êëàññè÷åñêèå êîñû ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíâàðèàíòîì; ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî òàêîå îãðàíè÷åíèå ñîîòâåòñòâóåò òî÷íîìó äåéñòâèþ ãðóïïû êëàññè÷åñêèõ êîñ íà ñâîáîäíîé áåñêîíå÷íîïîðîæäåííîé ãðóïïå. Èç ïîëíîòû îãðàíè÷åíèÿ èíâàðèàíòà F íà ñëó÷àé êëàññè÷åñêèõ êîñ âûòåêàåò, ÷òî7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ323êëàññè÷åñêàÿ ãðóïïà êîñ ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé âèðòóàëüíîé ãðóïïû êîñ èçòîãî æå ÷èñëà íèòåé. Áîëåå òî÷íî, òàê êàê ìû èìååì èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ, ÿâëÿþùèéñÿ ïîëíûì èíâàðèàíòîì äëÿ êëàññè÷åñêèõ êîñ, òî äëÿëþáûõ äâóõ êëàññè÷åñêèõ êîñ, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû êàê ýëåìåíòû ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ, çíà÷åíèÿ ýòîãî èíâàðèàíòà ðàâíû; â ñèëó ïîëíîòû ìûçàêëþ÷àåì, ÷òî ýòè êëàññè÷åñêèå êîñû ïðåäñòàâëÿþò îäèí è òîò æå ýëåìåíò â ñîîòâåòñòâóþùåé ãðóïïå êëàññè÷åñêèõ êîñ.
Äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíî,ÿâëÿåòñÿ ëè ýòîò èíâàðèàíò ïîëíûì èëè íåò.Íàçîâåì äèàãðàììó âèðòóàëüíîé êîñû ðåãóëÿðíîé, åñëè ëþáûå äâà ååïåðåêðåñòêà èìåþò ðàçëè÷íûå îðäèíàòû.Çàìå÷àíèå 7.2. äàëüíåéøåì â íàñòîÿùåì ðàçäåëå êîëè÷åñòâî íèòåéêîñû áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåçn (ñ÷èòàòüñÿðàâíûìn ),åñëè íå îãîâî-ðåíî ïðîòèâíîå.Çàìå÷àíèå 7.3. åãóëÿðíûå äèàãðàììû âèðòóàëüíûõ êîñ è ñîîòâåòñòâóþùèå ñëîâàêîñû áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ãðå÷åñêèìè áóêâàìè(âîçìîæíîñèíäåêñàìè).
Âèðòóàëüíûå êîñû áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ëàòèíñêèìè áóêâàìè(âîçìîæíîñ èíäåêñàìè).Çàìå÷àíèå 7.4.Ìû òàêæå áóäåì óïîòðåáëÿòü ñëîâî íèòü îòíîñè-òåëüíî ñëîâàêîñû (çàïèñè êîñû ïî îáðàçóþùèì), ïîäðàçóìåâàÿ ïîä ýòèìíèòü ñîîòâåòñòâóþùåé êîñû.Îïèøåì ïîñòðîåíèå ñëîâà ïî çàäàííîé ðåãóëÿðíîé äèàãðàììå âèðòóàëüíîé êîñû. Áóäåì äâèãàòüñÿ âäîëü îñè Oy îò óðîâíÿ {y = 1} âíèç äî óðîâíÿ{y = 0} è ñëåäèòü çà òåìè óðîâíÿìè {y = t ∈ [0, 1]}, íà êîòîðûõ èìåþòñÿïåðåêðåñòêè. Êàæäûé òàêîé ïåðåêðåñòîê ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòàíîâêå äâóõíèòåé ñ (ëîêàëüíûìè) íîìåðàìè i è (i + 1) äëÿ íåêîòîðîãî i = 1, . .
. , n − 1.Åñëè ïåðåêðåñòîê ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíûì, ìû áóäåì ïèñàòü ζi ; åñëè îí ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì, ìû âûïèñûâàåì σi â ñëó÷àå, åñëè ïåðåõîä ñîîòâåòñòâóåòíàïðàâëåíèþ ñåâåðî-çàïàä þãî-âîñòîê è σi−1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì ñëîâî ïî çàäàííîé ðåãóëÿðíîé äèàãðàììåâèðòóàëüíîé êîñû, ñì. ðèñ. 7.10.Îñíîâíûì âîïðîñîì òåîðèè âèðòóàëüíûõ êîñ ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ ðàñïîçíàâàíèÿ:7.5.
Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ324¢¢A c¢¢A¢ A¢AAA¢¢¢¢A¢¢ ζ2 σ1 σ2 σ1A¢¢¢ A ¢A¢¢AAA ¢¢ AAA¢AA¢A¢ AAA¢AAèñ. 7.10. Âèðòóàëüíàÿ êîñà è ñîîòâåòñòâóþùåå åé ñëîâîÊàê ðàñïîçíàòü, çàäàþò ëè äâå (ñîáñòâåííûå) äèàãðàììû β1 è β2 âèðòóàëüíûõ êîñ îäíó è òó æå êîñó b èëè íåò. Êàê áûëî ñêàçàíî ðàíåå â íàñòîÿùåé ãëàâå, îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ðàáîòà Áàðäàêîâà.Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ïîëíîãî èíâàðèàíòà âèðòóàëüíûõ êîñ. ×àñòè÷íûì îòâåòîì íà ýòó çàäà÷ó ÿâëÿåòñÿ ïðåäëàãàåìàÿ íèæå êîíñòðóêöèÿ èíâàðèàíòà F .7.5.1. Ïîñòðîåíèå îñíîâíîãî èíâàðèàíòàÏóñòü G ñâîáîäíàÿ ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ îáðàçóþùèìè a1 .
. . , an , t.Ïóñòü Ei àêòîðìíîæåñòâî ïðàâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ {ai }\G ïðè i =1, . . . , n.Îïðåäåëåíèå 7.3.nñèñòåìîé íàçîâåì ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ {e1 ∈ E1 , e2 ∈ E2 , . . . , en ∈ En }.Íàøåé ïåðâîî÷åðåäíîé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòíîãî îòîáðàæåíèÿ F (íå ãîìîìîðíîãî) èç ìíîæåñòâà âñåõ âèðòóàëüíûõ êîñ èç níèòåé âî ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ nñèñòåì.Ïóñòü β ñëîâî-êîñà. Áóäåì ñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ âèðòóàëüíóþnñèñòåìó F(β) øàã çà øàãîì.
À èìåííî, ìû áóäåì âûïèñûâàòü çíà÷åíèåF(βφ) ïî çíà÷åíèþ F(β), ãäå φ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç áóêâ: σi , σi−1 èëè ζi .àññìîòðèì ñíà÷àëà n êëàññîâ ñìåæíîñòè åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà G: (e, e, . . . , e).Âèðòóàëüíîé7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ325Ïîëîæèì äëÿ åäèíè÷íîé êîñû eF(e) = (e, e, . . . , e).Áóäåì òåïåðü ÷èòàòü ñëîâî β . Åñëè åãî ïåðâîé áóêâîé ÿâëÿåòñÿ ζi , òîíà ïåðâîì øàãå âñå ñëîâà â âèðòóàëüíîé nñèñòåìå, êðîìå ñëîâ ei , ei+1 , ïîîïðåäåëåíèþ îñòàþòñÿ òåìè æå, ei ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì t, à ei+1 ñòàíîâèòñÿðàâíûì t−1 (çäåñü è äàëåå ìû, åñòåñòâåííî, èìååì â âèäó êëàññû ñìåæíîñòè, ò.å. [t] è [t−1 ], íî ïèøåì äëÿ ïðîñòîòû t è t−1 ).Åñëè ïåðâîé áóêâîé â ñëîâå ÿâëÿåòñÿ σi , òî âñå êëàññû ñìåæíîñòè, êðîìåei+1 , íå èçìåíÿþòñÿ, ïðè ýòîì ei+1 ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì a−1i . Åñëè æå ïåðâîé−1áóêâîé áûëà σi , òî åäèíñòâåííîå èçìåíåíèå îòíîñèòñÿ ê ei : ýòîò ýëåìåíòñòàíîâèòñÿ ðàâíûì ai+1 .Ïðîöåäóðà äëÿ êàæäîãî ñëåäóþùåãî øàãà (ïðî÷òåíèÿ ñëåäóþùåé áóêâû) òàêîâà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëåâàÿ íèòü, ïîäõîäÿùàÿ ê ïåðåêðåñòêó, âûõîäèò èç òî÷êè (p, 1), à ïðàâàÿ íèòü âûõîäèò èç òî÷êè (q, 1). Ïóñòü äî ïðîõîæäåíèÿ ïåðåêðåñòêà ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû èìåþò âèä ep = P, eq = Q,ãäå P, Q íåêîòîðûå ýëåìåíòû èç Ep , Eq . Ïîñëå ýòîãî âñå êëàññû ñìåæíîñòè, êðîìå ep , eq , íå èçìåíÿþòñÿ.Åñëè ðàññìàòðèâàåìîé áóêâîé ÿâëÿåòñÿ ζi , òî ñëîâî ep ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì P · t, à ñëîâî eq ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì Q · t−1 . Åñëè ìû èìååì σi , òî ep−1íå èçìåíÿåòñÿ, à eq ïåðåõîäèò â QP −1 a−1p P .
Íàêîíåö, â ñëó÷àå áóêâû σiêëàññ ñìåæíîñòè eq îñòàåòñÿ òåì æå, â òî âðåìÿ êàê ep ñòàíîâèòñÿ ðàâíûìP Q−1 aq Q. Ýòè îïåðàöèè êîððåêòíî îïðåäåëåíû, ò.å. íå çàâèñÿò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ ñìåæíîñòè, ÷òî ïðîâåðÿåòñÿíåïîñðåäñòâåííî.Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè îòîáðàæåíèå F èç ìíîæåñòâà âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì êîñ èç n íèòåé â ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ nñèñòåì.Òåîðåìà 7.7.Îòîáðàæåíèåβ1 è β2F(β1 ) = F(β2 ).èìåííî, åñëèòîFçàäàåò èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ. Àïðåäñòàâëÿþò îäíó è òó æå âèðòóàëüíóþ êîñóβ,Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ F èíâàðèàíòíà ïðèïðèìåíåíèè ñîîòíîøåíèé ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿÄîêàçàòåëüñòâî.7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ326ñëîâ β1 = βγ1 è β2 = βγ2 , ãäå γ1 = γ2 îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå, ìûèìååì F(β1 ) = F(β2 ).
Áóäåì íàçûâàòü ýòî óòâåðæäåíèå óòâåðæäåíèåì A.Äîêàçàâ óòâåðæäåíèå A, ìû èìååì òàêæå F(β1 δ) = F(β2 δ) â ñëó÷àåF(β1 ) = F(β2 ) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñëîâà δ , òàê êàê íàø àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ ïîøàãîâûì, ò.å. F(β1 δ) (êàê è F(β2 δ)) îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåñòðàèâàíèåìâèðòóàëüíîé n-ñèñòåìû F(β1 ) = F(β2 ) ñ ïîìîùüþ êîñû δ . Òàêèì îáðàçîì,äëÿ ñëîâ β, δ è äëÿ ëþáîãî ñîîòíîøåíèÿ ãðóïïû êîñ γ1 = γ2 ìû èìååìF(βγ1 δ) = F(βγ2 δ), ÷òî çàâåðøèò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.Âåðíåìñÿ òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ A.àññìîòðèì ñîîòíîøåíèÿ ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ.
Ñëó÷àé ñîîòíîøåíèéσi σj = σj σi , σi ζj = ζj σi , à òàêæå ζi ζj = ζj ζi äëÿ |i−j| > 2 î÷åâèäåí: ïîðÿäîêïåðåñòðîéêè n-ñèñòåìû ïî äàëåêî îòñòîÿùèì äðóã îò äðóãà îáðàçóþùèìíå îòðàæàåòñÿ íà êîíå÷íîì ðåçóëüòàòå. Òî æå ñàìîå èìååò ìåñòî è â ñëó÷àåêîììóòèðîâàíèÿ îäíîé îáðàçóþùåé σ è îäíîé îáðàçóþùåé âèäà ζ èëè âñëó÷àå êîììóòèðîâàíèÿ äâóõ îáðàçóþùèõ âèäà ζ .àññìîòðèì òåïåðü ñîîòíîøåíèå ζi2 = e.Ïóñòü äàíà ñëîâî-êîñà β , è ïóñòü ñëîâî β1 èìååò âèä βζi2 äëÿ íåêîòîðîãîi. Ïóñòü F(β) = (P1 , .
. . , Pn ), F(β1 ) = (P1′ , . . . , Pn′ ). Ïóñòü p è q íîìåðàíèòåé (òî÷íåå, àáñöèññû âåðõíèõ êîíöîâ íèòåé), ïîäõîäÿùèõ ê ðàññìàòðèâàåìîìó ïåðåêðåñòêó ñëåâà è ñïðàâà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè j 6= p, q ìû èìååìPj = Pj′ . Êðîìå òîãî, Pp′ = (Pp · t) · t−1 = Pp , Pq′ = (Pq · t−1 ) · t = Pq .àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé β1 = β · σi · σi−1 (î÷åâèäíî, ÷òî ñëó÷àé b1 =βσi−1 σi ïîëíîñòüþ åìó àíàëîãè÷åí).Îáîçíà÷èì F(β) ÷åðåç (. . . Pi . . . ), à íàáîð F(β1 ) ÷åðåç (. . . Pi′ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
