Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ïðè ýòîì óêàçûâàåòñÿ, êàêàÿ èç îêðóæíîñòåé ÿâëÿåòñÿëîêàëüíî ïåðâîé (ëåâîé), à êàêàÿ âòîðîé (ïðàâîé) â ñîîòâåòñòâóþùåìïåðåêðåñòêå.V1V21 21 21 21 2èñ. 6.12. Îðèåíòèðóåìûé àòîì ñ äâóìÿ âåðøèíàìèÇäåñü íóæíî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå ãëîáàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå êîìïîíåíò.Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå òðåõ êîìïîíåíò óìíîæåíèå ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþäîëæíî ïðèìåíÿòüñÿ ê ïåðâûì äâóì, ò.å. èìåòü âèä m ∧ Id.Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ m◦(m∧Id) ê A1 ∧A2 ∧A3 , ìû ïîëó÷èì m(m(A1 , A2 ), A3 ) =6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû291−(A1 · A2 · A3 ); çäåñü · îçíà÷àåò îáû÷íîå óìíîæåíèå: X · X = 0; X · 1 =1 · X = X; 1 · 1 = 1.
Çíàê ìèíóñ ïîÿâëÿåòñÿ ïî ïðè÷èíå òîãî, ÷òî âî âòîðîì ïåðåêðåñòêå V2 ñàìàÿ ïðàâàÿ îêðóæíîñòü îêàçûâàåòñÿ ïåðâîé (ëåâîé)îòíîñèòåëüíî ïåðåêðåñòêà V2 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìû ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âòîðîé ïåðåêðåñòîê V2 ,ìû ïîëó÷èì A1 ∧ A2 ∧ A3 = (A2 ∧ A3 ) ∧ A1 = −(A3 ∧ A2 ) ∧ A1 → −(A2 · A3 ) ∧A1 = A1 ∧ (A2 · A3 ). Ïðèìåíÿÿ ê ïîëó÷åííîìó óìíîæåíèå m, ìû èìååìA1 · A2 · A3 .Àíòèêîììóòàòèâíîñòü â ñëó÷àå âñåõ îñòàëüíûõ àòîìîâ ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. Îòìåòèì, ÷òî íàøà êîíñòðóêöèÿ ïðèâîäèò íåïîñðåäñòâåííî ê àíòèêîììóòàòèâíîìó êóáó, â îòëè÷èå îò èñõîäíîé êîíñòðóêöèè Õîâàíîâà, ãäåìû ïîëó÷àëè àíòèêîììóòàòèâíûé êóá ïóòåì äîáàâëåíèÿ çíàêîâ íà ðåáðàõíåêîòîðîãî êîììóòàòèâíîãî êóáà.
Òåì ñàìûì òåîðåìà 6.3 äîêàçàíà.Òåì ñàìûì äîêàçàíà è òåîðåìà 6.2.Çàìå÷àíèå 6.3. Íà ïðîòÿæåíèè äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.4 ìû íå áóäåì çàáîòèòüñÿ î ñäâèãå âûñîòû è ãðàäóèðîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïëåêñîâ. Ñîâïàäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàäóèðîâîê äëÿ äèàãðàìì, îòëè÷àþùèõñÿ äâèæåíèåì åéäåìåéñòåðà, äîñëîâíî ïîâòîðÿåò êëàññè÷åñêèéñëó÷àé, ñì., íàïð., [BN1℄.Çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî êîìïëåêñ C(K) íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðèìåíåíèè äâèæåíèÿ îáúåçäà.
Ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíÿþòñÿ èãîìîëîãèè.Äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé êîìïëåêñà ïðè êëàññè÷åñêèõäâèæåíèÿõ åéäåìåéñòåðà ïðîõîäèò àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó â ïðåäûäóùåé ãëàâå.Èíâàðèàíòíîñòü ïðè ïåðâîì êëàññè÷åñêîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà äîñëîâíî ïîâòîðÿåò ðàññóæäåíèÿ èç ïðåäûäóùåé ãëàâû. Êîìïëåêñ, ñîîòâåòñòâóþùåé äèàãðàììå ñ äîáàâëåííûì çàâèòêîì èìååò âèä³´m[[ ]] = [[ ]] → [[ ]]{1} .(6.1)Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.4.EM PMÒàêèì îáðàçîì, âñïîìèíàÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå m ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâíûì,ïðè ýòîì ïîäêîìïëåêñ êîìïëåêñàñëåâà, â êîòîðîì íà ìàëîé îêðóæíîñòè ñòîèò ±1, ïåðåâîäèòñÿ îòîáðàæåíèåì m íà âåñü êîìïëåêññïðàâà.P6.4.
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû292Ïîýòîìó ìû ïðèõîäèì ê òîìó, ÷òî âåñü êîìïëåêñ èìååò òå æå ãîìîëîãèè,÷òî è åãî àêòîðêîìïëåêñ ïî îïèñàííîé âûøå àöèêëè÷íîé ÷àñòè. Ýòîòàêòîðêîìïëåêñ èìååò òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è [[ ]].Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàññìàòðèâàåòñÿ è äðóãîé çàâèòîê; â ýòîì ñëó÷àåèñïîëüçóåòñÿ èíúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ ∆.Êàê è â ñëó÷àå ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ïðè âòîðîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà ïîâòîðÿåò ñîîòâåòñòâóþùåå äîêàçàòåëüñòâî Áàð-Íàòàíà â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå.
Ìû ïðèâåäåì åãîçäåñü ïîòîìó, ÷òî îíî íàì ïîíàäîáèòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå èíâàðèàíòíîñòèîòíîñèòåëüíî òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà. îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåé ãëàâû, íàì íóæíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà îðèåíòàöèþ îêðóæíîñòåé ïðè äîêàçàòåëüñòâå èíâàðèàíòíîñòè ïðè âòîðîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà.Äëÿ âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà çàìåòèì, ÷òî ìîæíî âûáðàòü îðèåíòàöèþ äëÿ âñåõ îêðóæíîñòåé, èíöèäåíòíûõ äàííîìó ïåðåêðåñòêó, ëîêàëüíî ñîãëàñîâàííûì îáðàçîì (ëîêàëüíóþ ñòðóêòóðó èñòî÷íèê-ñòîê, ò. ÷.ïðè ïåðåõîäå ïî îäíîé îêðóæíîñòè îò îäíîãî èç äâóõ ïåðåêðåñòêîâ ê äðóãîìó ïåðåìåííàÿ X íå ìåíÿëà çíàê), ñì.
ðèñ. 6.13.Äàëåå ìû ïðîäîëæàåì ðàññóæäåíèÿ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî çíàê ïðè X íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî ïåðåêðåñòêà êî âòîðîìó ïåðåðêðåñòêó ïðèäâèæåíèè âäîëü îêðóæíîñòè ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ óäîáñòâà ÷òåíèÿ ìûïîâòîðÿåì ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ãë.5. Èçíà÷àëüíûé êîìïëåêñ C âûãëÿäèò òàê (6.2):P[[QNQmÝòîò êîìïëåêñ ñîäåðæèò ïîäêîìïëåêñ C ′ :[[′C =WTW]]{1} −→ [[∆↑[[ ]] −→ [[m]]{2}.↑]]{1}]]1 {1} −→ [[↑0−→]]{2}↑0(6.2)(6.3)6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû293èñ. 6.13. Ñîãëàñîâàííûå îðèåíòàöèè ðåáåð ïðè äâèæåíèèr Ω2Çäåñü è äàëåå íèæíèé èíäåêñ 1 â ëåâîì âåðõíåì óãëó îçíà÷àåò ìåòêó íàìàëîé îêðóæíîñòè.Àöèêëè÷íîñòü êîìïëåêñà C ′ î÷åâèäíà.Ôàêòîðèçóÿ C ïî C ′ , ìû ïîëó÷àåì[[Q]]{1}/1=0 −→∆↑−→ [[[[ ]]N0↑.]]{1}T(6.4) ëåâîì âåðõíåì óãëó 1 = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî {1, X}, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàëîé îêðóæíîñòè, ïðîàêòîðèçîâàíî ïî ñîîòíîøåíèþ 1 = 0,ò.å.
â ñîîòâåòñòâóþùåì (óïîðÿäî÷åííîì) òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè âìåñòîäâóìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñòîèò îäíîìåðíîå, ïîðîæäåííîå ýëåìåíòîì X . ïîñëåäíåì êîìïëåêñå ñòðåëêà ∆, íàïðàâëåííàÿ ââåðõ, ÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì. Ñëåäîâàòåëüíî ýòîò êîìïëåêñ èìååò òå æå ãðóïïû ãîìîëîãèé,÷òî è [[ ]]. Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíîT6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû294Ω2 (ñ òî÷íîñòüþ äî ñäâèãà âûñîòû è ãðàäóèðîâêè).Âîçâðàùàÿñü íàçàä ê èñõîäíîìó (6.2) êîìïëåêñó C , ìû âèäèì, ÷òî âñååãî ãðóïïû ãîìîëîãèé îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò ãðóïïàì ãîìîëîãèé êîìïëåêñà, ñòîÿùåãî â ïðàâîì íèæíåì óãëó äèàãðàììû (6.4). Îòìåòèì òàêæåñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî.  èçíà÷àëüíîì êîìïëåêñå âñå íåòðèâèàëüíûåöèêëû èìåþò ëîêàëüíóþ âûñîòó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðàâîìó íèæíåìó èëåâîìó âåðõíåìó óãëàì äèàãðàììû.
Òåì ñàìûì, â èçíà÷àëüíîì êîìïëåêñå êàæäûé ýëåìåíò α, ñòîÿùèé â ëåâîì âåðõíåì óãëó, ãîìîëîãè÷åí ðîâíîîäíîìó ýëåìåíòó −τ (α), ñòîÿùåìó â ïðàâîì íèæíåì óãëó. Îòîáðàæåíèå τïîëó÷àåòñÿ êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèÿ (∆−1 ) è ñòðåëêè íàïðàâî, ðàñïîëîæåííîé ñíèçó íà äèàãðàììå (6.2). Ïðè òðåòüåì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðàìû ïðîâåäåì óïðîùåíèå ïîäêîìïëåêñîâ, ñîîòâåòñòâóþùåå âòîðîìó äâèæåíèþ åéäåìåéñòåðà.
Òàêîå óïðîùåíèå áóäåò ïðîäåëàíî â äâóõ ìåñòàõ,è ïðèâåäåò ê äâóì îòîáðàæåíèÿì, àíàëîãè÷íûì τ , êîòîðûå ìû îáîçíà÷èì÷åðåç τ1 è τ2 .àññìîòðèì òåïåðü òðåòüå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà, èçîáðàæåííîå íàðèñ. 6.14.èñ. 6.14. Òðåòüå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû295Îáùåèçâåñòíî (ñì., íàïð., [Oht℄), ÷òî ëþáîé âàðèàíò òðåòüåãî äâèæåíèÿåéäåìåéñòåðà ïîëó÷àåòñÿ êîìïîçèöèåé äâèæåíèé Ω1 , Ω2 è êàêîãî-íèáóäüîäíîãî (çàðàíåå èêñèðîâàííîãî) âàðèàíòà òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, â êîòîðîì âûáðàíà ðàññòàíîâêà ïðîõîäîâ-ïåðåõîäîâ è îðèåíòàöèèðåáåð.
Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîëüêî îäèí ñëó÷àé, â êîòîðîì îðèåíòàöèèâûáðàíû êàê íà ðèñ. 6.16 ñâåðõó, à ïåðåêðåñòêè ðàçâåäåíû òàê êàê íà ðèñ.6.14.èñ. 6.15. Äèàãðàììû ïîñëå âèðòóàëèçàöèèÏðèìåíèì âèðòóàëèçàöèþ ê ïåðâîìó è âòîðîìó ïåðåêðåñòêàì ïåðâîéäèàãðàììû è êî âòîðîìó ïåðåêðåñòêó âòîðîé äèàãðàììû; ïîñëå ýòîãî âñåëîêàëüíûå îðèåíòàöèè íà äâóõ äèàãðàììàõ (â ñìûñëå îáðàçóþùåé X ) áóäóò ñîãëàñîâàíû, ñì. ðèñ. 6.15.Ïîëîæèòåëüíîå ñãëàæèâàíèå îáåèõ ïîëó÷åííûõ äèàãðàìì â ïåðâîì ïåðåêðåñòêå ïðèâîäèò ê ñîâïàäàþùèì (ñ òî÷íîñòüþ äî âèðòóàëèçàöèè) äèàãðàììàì.Îòðèöàòåëüíûå ñãëàæèâàíèÿ ïðèâîäÿò ê äèàãðàììàì, ïîëó÷àþùèìñÿîäíà èç äðóãîé ïðèìåíåíèåì (âèðòóàëèçàöèé è) âòîðûõ êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.6.4.
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû321132212296313èñ. 6.16. Âèðòóàëèçàöèÿ ïåðåêðåñòêîâ ïðè Ω3 äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ áàçèñîâÒàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïåðåñòðîèòü êîìïëåêñû, ñîîòâåòñòâóþùèåäâóì äèàãðàììàì, òàê ÷òîáû èõ íèæíèå ïîäêóáû ñîâïàäàëè, à âåðõíèåèìåëè îäèíàêîâûå ãîìîëîãèè (â îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû ïðèìåíèëè ïðåîáðàçîâàíèå Ω2 ). êàæäîì ïåðåêðåñòêå íà ðèñ. 6.16 åñòü ëîêàëüíîå ïðàâèëî çàäàíèÿ îðèåíòàöèè äëÿ âñåõ èíöèäåíòíûõ äàííîìó ïåðåêðåñòêó ðåáåð, ñîãëàñíî ïðàâèëó, îïèñàííîìó íà ðèñ. 6.3.
Åñëè äâà ïåðåêðåñòêà ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè,òî òàêèå îðèåíòàöèè ðåáðà, ñîåäèíÿþùåãî ýòè ïåðåêðåñòêè, ìîãóò áûòüèëè íå áûòü ñîãëàñîâàííûìè. Ìû âèäèì, ÷òî îðèåíòàöèÿ (îïðåäåëåííàÿñîãëàñíî ðèñ. 6.3) â òðåòüåì ïåðåêðåñòêå íà ëåâîé êàðòèíêå íå ñîãëàñóåòñÿñ îðèåíòàöèÿìè â ïåðâîì è âòîðîì ïåðåêðåñòêàõ; àíàëîãè÷íûì îáðàçîì,íà ïðàâîì ðèñóíêå âòîðîé ïåðåêðåñòîê íå ñîãëàñóåòñÿ ñ ïåðâûì è òðåòüèì.Îòìåòèì, ÷òî ïðàâèëî âûáîðà îðèåíòàöèè îêðóæíîñòåé íà ðèñ. 6.3 íå çàâèñèò îò òèïà ïåðåêðåñòêà, à ëèøü îò íàïðàâëåíèÿ îðèåíòàöèè âåòâåé. èòîãå ìû ïîëó÷èì êóá ïåðåñòðîåê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 6.15.Íàì îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû, èäóùèå ñíèçóââåðõ, ñîãëàñóþòñÿ, ò.å. îòîáðàæåíèÿ ñíèçó ââåðõ â îáîèõ ñëó÷àÿõ ëèáîñîâïàäàþò, ëèáî îòëè÷àþòñÿ çíàêîì. íàøåé ñèòóàöèè åäèíñòâåííîå îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìîãóò âîçíèêíóòü çíàêè ìèíóñ â ñâÿçè ñ óïîðÿäî÷åíèåì6.4.
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû297òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. îáû÷íîì (êëàññè÷åñêîì) ñëó÷àå îêîí÷àòåëüíûå êîìïëåêñû (ïîñëå àêòîðèçàöèè) âûãëÿäÿò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 6.15.Çàïèñü 1 = 0 â ëåâîì âåðõíåì óãëó ðèñóíêà 6.15 îçíà÷àåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî, ñîîòâåòñòâóþùåå äàííîìó ñîñòîÿíèþ, ïðîàêòîðèçîâàíî ïî ïîäïðîñòðàíñòâó, ó êîòîðîãî íà ìàëîé îêðóæíîñòè âûáðàí ýëåìåíò 1. Çäåñü τ1è τ2 íå ÿâëÿþòñÿ äèåðåíöèàëàìè, à ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòîáðàæåíèÿ,êîòîðûå ïåðåâîäÿò âñÿêèé ýëåìåíò x â ýëåìåíò, ãîìîëîãè÷íûé ýëåìåíòó−x.×òîáû óñòàíîâèòü èçîìîðèçì â ãîìîëîãèÿõ, íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,÷òî τ1 ◦ d1∗01 = d2∗01 è d1∗10 = τ2 ◦ d2∗10 .  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîêàæåì, ÷òîîòîáðàæåíèÿ ñíèçó ââåðõ íà îáîèõ êîìïëåêñàõ âñå îòëè÷àþòñÿ çíàêîì(èáî â îáîèõ ñëó÷àÿõ τi â ãîìîëîãèÿõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìèíóñ òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå).
Ïîñëå ýòîãî èçîìîðèçì ãîìîëîãèé äâóõ êîìïëåêñîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ òðåòüåìó äâèæåíèþ åéäåìåéñòåðà, äîêàçûâàåòñÿòàê æå, êàê è èçîìîðèçì êîìïëåêñîâ, îïèñûâàåìûõ â ëåììå 6.1: ïîñðåäñòâîì åñòåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ, îòîæäåñòâëÿþùåãî íèæíèå ïîäêóáû èìèíóñ òîæäåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî êîìïëåêñó, ê êîòîðîìó ðåäóöèðóåòñÿ âåðõíèé ïîäêóá.Ñëó÷àé óïîðÿäî÷åííîãî òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî ëèøü çíàêàìè íà ðåáðàõ.Ïîêàæåì, ÷òî τ1 ◦d1∗01 = d2∗01 (âòîðîé ñëó÷àé d1∗10 = τ2 ◦d2∗10 ïîëíîñòüþàíàëîãè÷åí).àññìîòðèì ðèñ. 6.15 è ó÷òåì âèðòóàëèçàöèè ïðàâîé è ëåâîé äèàãðàììâ ïåðåêðåñòêàõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
