Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Âèðòóàëüíûå Lv -ïðåîáðàçîâàíèÿ Lv : ïðàâîå è ëåâîåÎòìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìàðêîâà â îðìóëèðîâêå [KL2℄ïðîùå è óäîáíåå, ÷åì äîêàçàòåëüñòâî [Kam℄. Îíî îñíîâàíî íà òàê íàçûâàåìîì L-ïðåîáðàçîâàíèè, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ êàê ïðè ïîñòðîåíèè çàìûêàíèÿ âèðòóàëüíîé êîñû ïî âèðòóàëüíîìó çàöåïëåíèþ, òàê è ïðè îïèñàíèèïðîñòåéøèõ âèðòóàëüíûõ ýêâèâàëåíòíîñòåé äëÿ çàöåïëåíèé, ïåðåâîäèìûõíà ÿçûê êîñ.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â ñïèñêå äâèæåíèé Êàóìàíà-Ëàìáðîïóëó íåò ñîïðÿæåíèé âèðòóàëüíûìè êîñàìè; ñ ïîìîùüþ îñòðîóìíîãî ïðèåìà àâòîðû7.2. Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû316èñ. 7.8. Êëàññè÷åñêèå Lv -ïðåîáðàçîâàíèÿ Lv : ïðàâîå è ëåâîåèñ.
7.9. Ïðàâîå è ëåâîå ïðîøèâàíèÿïîêàçàëè, ÷òî ñîïðÿæåíèÿ ïîñðåäñòâîì âèðòóàëüíûõ êîñ âûðàçèìû ÷åðåçäâèæåíèÿ îáúåçäà è L-ïðåîáðàçîâàíèÿ.Êðîìå òîãî, â ðàáîòå [KL2℄ ïðèâåäåíà ñëåäóþùàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ïåðåîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ìàðêîâà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò çàìåíèòü äâèæåíèÿ èçñïèñêà ëîêàëüíûìè äâèæåíèÿìè. À èìåííî, ñïèñîê ýëåìåíòàðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ýêâèâàëåíòíîñòåé äëÿ âèðòóàëüíûõ êîñ òàêîâ (ïîìèìî èçîòîïèéêîñ):1. Âèðòóàëüíûå è êëàññè÷åñêèå ñîïðÿæåíèÿ: ζi αζi ∼ α ∼ σi−1 ασi .2. Ïðàâàÿ ñòàáèëèçàöèÿ (êëàññè÷åñêàÿ è âèðòóàëüíàÿ): αζn ∼ α ∼ ασn±13.
Àëãåáðàè÷åñêîå ïðîøèâàíèå ñïðàâà (âåðõíåå è íèæíåå):7.2. Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû317α ∼ ασn±1 ζn−1 σn∓1 .4. Àëãåáðàè÷åñêîå ïðîøèâàíèå ñëåâà (âåðõíåå è íèæíåå):∓1±1α ∼ αζn ζn−1 σn−1ζn σn−1ζn−1 ζn .Âî âòîðîì, òðåòüåì è ÷åòâåðòîì ñëó÷àå èñõîäíàÿ êîñà α èìååò n íèòåé;ïðåîáðàçîâàííàÿ êîñà èìååò n + 1 íèòü.7.2.1. Ïðåäñòàâëåíèå Áóðàó è åãî îáîáùåíèÿÊëàññè÷åñêèå ãðóïïû êîñ îáëàäàþò åñòåñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì, êîòîðîå íîñèò íàçâàíèå ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó, [Bur℄.
Îíî òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîëèíîìîì Àëåêñàíäåðà çàöåïëåíèé, ïîëó÷àþùèõñÿ çàìûêàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîñ.Íàèáîëåå åñòåñòâåííûì ïóòåì äëÿ ïîèñêà ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû êîñ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé. Ìîæíî ðàññìîòðåòü ãðóïïó êîñ Br(n) è ïîïûòàòüñÿïðåäñòàâèòü êîñû ìàòðèöàìè n × n. Áîëåå òî÷íî, ìîæíî ñâÿçàòü ñ ýëåìåíòîì σi áëî÷íîäèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ñ áëîêîì 2 × 2, ðàñïîëîæåííûì âäâóõ ñòðîêàõ (i, i + 1) è äâóõ ñòîëáöàõ (i, i + 1) è îñòàëüíûìè áëîêàìèðàçìåðà (1 × 1), ðàâíûìè 1 è ðàñïîëîæåííûìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè.
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ òàêîé ìàòðèöû âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ êîììóòèðîâàíèÿìåæäó îáðàçàìè σi , σj ãäå |i − j| > 2. Åñëè âçÿòü ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå σi ñ îäèíàêîâûìè äèàãîíàëüíûìè (2 × 2)áëîêàìè (íî íà ðàçíûõìåñòàõ), òî îñòàíåòñÿ òîëüêî ïðîâåðèòü ñîîòíîøåíèÿ σ1 σ2 σ1 = σ2 σ1 σ2 äëÿìàòðèö ðàçìåðà 3 × 3. Íà ýòîì ïóòè ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå, âêîòîðîì áëîê ìàòðèö ðàçìåðà 2 × 2 âûãëÿäèò òàê:µ¶1−t t(7.1).1 0Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì Áóðàó ãðóïïû êîñ. Îíî áûëî âïåðâûå ïðåäëîæåíî Â.Áóðàó, [Bur℄.Ïîëèíîì Àëåêñàíäåðà êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïîïðåäñòàâëåíèþ Áóðàó êîñû, çàìûêàíèå êîòîðîé çàäàåò äàííîå çàöåïëåíèå.Òî÷íîñòü (ò.å. ìîíîìîðíîñòü) ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áûëà îòêðûòûì âîïðîñîì íà ïðîòÿæåíèè äîëãîãî âðåìåíè.  ðàáîòå [Bir2℄ Äæîàí Áèðìàí7.2.
Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû318äîêàçàëà òî÷íîñòü ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ãðóïïû êîñ èç òðåõ íèòåé. ðàáîòå [Moo91℄ Äæ.Ìóäè ïîñòðîèë ïåðâûé ïðèìåð íåòðèâèàëüíîãîýëåìåíòà èç ÿäðà ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó (ãðóïïû êîñ ñ áîëüøèì, ÷åì òðè,êîëè÷åñòâîì íèòåé).Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïðîáëåìà òî÷íîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó ðåøåíàïîëîæèòåëüíî äëÿ n 6 3 è îòðèöàòåëüíî äëÿ n > 5; ñì., íàïðèìåð, [Big1℄.Ñëó÷àé n = 4 äî ñèõ ïîð îòêðûò.  [Big2℄ Ñòèâåí Áèãåëîâ óêàçàë íà ñâÿçüìåæäó ïðîáëåìîé ðàñïîçíàâàíèÿ òðèâèàëüíîãî óçëà ïîëèíîìîì Äæîíñàîäíîé ïåðåìåííîé è òî÷íîñòüþ ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó äëÿ êîñ èç ÷åòûðåõíèòåé.Êàê èçâåñòíî, ïðåäñòàâëåíèå Áóðàó ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìûì.
À èìåííî,îíî èìååò ñîáñòâåííûé âåêòîð âèäà (1, . . . , 1).Â.Â.Âåðøèíèí [Ver℄ ïðåäëîæèë ñëåäóþùåå îáîáùåíèå B ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó [Bur℄ äëÿ ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ. ðóïïà âèðòóàëüíûõ êîñV B(n) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìàòðèöàìè n × n; îáðàçóþùèå σi , ζi ïðåäñòàâëÿþòñÿ áëî÷íîäèàãîíàëüíûìè ìàòðèöàìè ñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè è åäèíñòâåííûì íåòðèâèàëüíûì áëîêîì ðàçìåðà äâà íà äâà â ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ(n, n + 1). Áëî÷íàÿ ìàòðèöà äëÿ îáðàçóþùåé σi èìååò âèä (7.1). Äëÿ ζi ìûèñïîëüçóåì ìàòðèöû òðàíñïîçèöèé, à èìåííî,µ¶0 1.1 0Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì.Òðèâèàëüíîå îáîáùåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó íà âèðòóàëüíûå êîñû, ïðèêîòîðîì âèðòóàëüíîé îáðàçóþùåé ñîîòâåòñòâóåò òðàíñïîçèöèÿ, ïðèâîäèòê îáîáùåíèþ íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ êîñ âñåõ êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ, ñì.[Kau7℄.
Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ,êîòîðîå îáîçíà÷èì ÷åðåç B.Ó ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ èìååòñÿ ÿäðî äàæå â ñëó÷àå äâóõ íèòåé. Ëåãêîïðîâåðèòü, ÷òî µäëÿ íåòðèâèàëüíîéêîñû b = (σ12 ζ1 σ1−1 ζ1 σ1−1 ζ1 )2 ìû èìååì¶1 0B(b) = B(e) =, ãäå e åäèíè÷íàÿ êîñà. Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöà0 17.2. Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû319B(σ1 ) èìååò ñëåäóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: 1 è 1 − t.
Áîëåå òî÷íî,µ¶10CB(σ1 )C −1 =0 1−tãä嵶0 1C=.1 −1 ýòîì ñëó÷àå ìû èìååìCB(ζ1 )C−1=µ1 10 −1¶.Áóäåì ïèñàòü ïðîñòî ζ âìåñòî CB(ζ1 )C −1 è σ âìåñòî CB(σ1 )C −1 .Ïîëîæèì H(k, l, m) = σ k ζσ l ζσ m ζ . Òîãäà H ÿâëÿåòñÿ âåðõíåòðåóãîëüíîéìàòðèöåé ñ 1 è −1 íà ãëàâíîé äèàãîíàëè åñëè k + l + m = 0. Ïîëîæèìk = 2, l = −1, m = −1. Òîãäà B(H(2, −1, −1)2 ) = e.Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî âèðòóàëüíàÿ êîñà b = (σ12 ζ1 σ1−1 ζ1 σ1−1 ζ1 )2 íåòðèâèàëüíà.Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå îáîáùåíèå ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó [Ìà3℄:ìû ðàññìàòðèâàåì ïîëèíîìèàëüíûå ìàòðèöû îò äâóõ ïåðåìåííûõ t è q (èèõ îáðàòíûõ), áåðåì òîò æå ñàìûé îáðàç ýëåìåíòîâ σi , ÷òî è ðàíüøå, èìàòðèöóµ¶0 qq −1 0â êà÷åñòâå áëîêà äëÿ âûðàæåíèÿ îáðàçîâ ýëåìåíòîâ ζi .
Ìû ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå, çàäàííîå íà îáðàçóþùèõ ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ. Îáîçíà÷èìåãî ÷åðåç R.Òåîðåìà 7.4.ÎòîáðàæåíèåRçàäàåò ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû âèðòóàëü-íûõ êîñ.Äëÿ ìàòðèöû R(ζi ) ìû èìååì (R(ζi ))2 = e.Äàëåå, ñîîòíîøåíèÿ ãðóïïû êîñ äëÿ îáðàçóþùèõ σ ïðîâåðÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó.Äîêàçàòåëüñòâî.7.3. Ñêîáêà Êàóìàíà äëÿ êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ êîñ320Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî ëèøü ïðîâåðèòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:R(ζi ζi+1 ζi ) = R(ζi+1 ζi ζi+1 ) è R(ζi ζi+1 σi ) = R(σi+1 ζi ζi+1 ).Îíè ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì äëÿ ìàòðèöðàçìåðà 3 × 3.Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 7.5.ðóïïàBr(3)ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííî âëîæåííîé â ãðóïïóV B(3).Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü β1 , β2 íåêîòîðûå ñëîâà-êîñû, çàïèñàííûå â àëàâèòå èç áóêâ σ1 , σ2 , σ1−1 , σ2−1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíè ïðåäñòàâëÿþò îäíó è òó æå êîñó â V B(n).
Òîãäà èõ ìàòðèöû Áóðàó ñîâïàäàþò.Òàê êàê ïðåäñòàâëåíèå Áóðàó äëÿ êëàññè÷åñêèõ êîñ ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì äëÿêîñ èç òðåõ íèòåé (ñì., íàïð., [Bir2, Big2℄), ìû âèäèì, ÷òî β1 è β2 çàäàþòîäíó è òó æå êîñó â Br(3).Äîêàçàòåëüñòâî.Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû âèðòóàëüíûõêîñ èç ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà íèòåé äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Íåäàâíî íåçàâèñèìî Ä.Êðàìåðîì è Ñ.Áèãåëîâîì áûëî ïîñòðîåíî òî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû êëàññè÷åñêèõ êîñ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà íèòåé [Kra, Big1℄.7.3.
Ñêîáêà Êàóìàíà äëÿ êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ êîñÀíàëîãè÷íî ñêîáêå Êàóìàíà äëÿ êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâîïðåäåëÿåòñÿ ñêîáêà Êàóìàíà äëÿ êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ êîñ.À èìåííî, ïóñòü D äèàãðàììà âèðòóàëüíîé êîñû èç n íèòåé. àññìîòðèì ìíîæåñòâî åå êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ.  êàæäîì èç íèõ ìû→èëèìîæåì ðàçâåñòè ýòó äèàãðàììó îäíèì èç ñïîñîáîâ A :B :→ òàê æå, êàê ìû ðàçâîäèëè äèàãðàììû çàöåïëåíèé.
Ïîñëå òàêîãî ðàçâåäåíèÿ äèàãðàììà ìîæåò ïåðåñòàòü áûòü äèàãðàììîé êîñû.àçâåäÿ òàêèì îáðàçîì âñå ïåðåêðåñòêè, ìû ïîëó÷èì íåêîòîðîå ñîñòîÿíèås äèàãðàììû.  ýòîì ñîñòîÿíèè ìû èìååì (áûòü ìîæåò ïóñòîå) ìíîæåñòâîçàìêíóòûõ îêðóæíîñòåé è íàáîð èç n îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ êîíöåâûåI LI O7.4. Íîðìàëüíàÿ îðìà âèðòóàëüíûõ êîñ ïî Â..Áàðäàêîâó321òî÷êè èçíà÷àëüíîé êîñû. Òàêèõ êîíöåâûõ òî÷åê 2n, ñëåäîâàòåëüíî, âîçìîæíîñòåé äëÿ èõ ïîïàðíîãî ñîåäèíåíèÿ (áûòü ìîæåò, ñ âèðòóàëüíûìèïåðåêðåñòêàìè) èìååòñÿ (2n − 1)!! Îáîçíà÷èì òàêèå äèàãðàììû ÷åðåç αi îòëè÷èå îò âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, ãäå äèàãðàììû ðàçâîäÿòñÿ äî íàáîðà îêðóæíîñòåé, è ñêîáêà Êàóìàíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëèíîì Ëîðàíà, â ñëó÷àå êîñ êîíå÷íûìè ðåçóëüòàòàìè ðàçâåäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ äèàãðàììû,ñîñòîÿùèå èç îäíîé èç äèàãðàìì αi è êîíå÷íîãî íàáîðà îòäåëüíî ñòîÿùèõîêðóæíîñòåé.Îïðåäåëèì òåïåðü ñêîáêó Êàóìàíà äëÿ äèàãðàììû b â ñîñòîÿíèè sêàê ñîîòâåòñòâóþùóþ äèàãðàììó αi , âçÿòóþ ñ êîýèöèåíòîì, ðàâíûì(−a2 − a−2 )γ(s) , ãäå γ(s) êîëè÷åñòâî îòäåëüíî ñòîÿùèõ îêðóæíîñòåé âñîñòîÿíèè s.Ïîñëå ýòîãî äëÿ äèàãðàììû êîñû b ïîëîæèìhbi =Xsa(α(s)−β(s)) hb|si,(7.2)ãäå h|si äèàãðàììà, ïîëó÷åííàÿ èç äèàãðàììû êîñû b ðàçâåäåíèåì ñî ñîñòîÿíèþ s, α(s) è β(s) êîëè÷åñòâà ïåðåêðåñòêîâ, ðàçâåäåííûõãëàñíîïîëîæèòåëüíûì è îòðèöàòåëüíûì ñïîñîáîì ñîîòâåòñòâåííî.Ïîëó÷åííàÿ ñêîáêà Êàóìàíà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì êîñ, òàê êàê â èçîòîïèÿõ êîñ íå ó÷àñòâóåò ïåðâîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà Ω1 ; èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî äâèæåíèé Ω2 , Ω3 ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.Ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü è ñêîáêó Êàóìàíà äëÿ çàìûêàíèé êîñ;â ýòîì ñëó÷àå åå íóæíî íîðìèðîâàòü ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì, óìíîæèâ íà(−a)−3w , ãäå w ÷èñëî çàêðó÷åííîñòè êîñû (êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ òèïàìèíóñ êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ òèïà).XU7.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
