Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Èñêîìîå ðàâåíñòâî áóäåò èìåòü âèä p = q ◦ ∆−1 ◦ ∆, ñì.ðèñ. 6.17.Çäåñü d1∗01 ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì òèïà 1 → 2 (ìû îáîçíà÷èëè åãî ÷åðåç ∆); τ1 = v ◦ ∆−1 , ãäå v ÷àñòè÷íûé äèåðåíöèàë, à ∆−1 îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ ê (äðóãîìó) êîóìíîæåíèþ ∆ (îòìåòèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâîïðîñòðàíñòâà öåïåé, ñîîòâåòñòâóþùåå âåðõíåìó óãëó êóáà, â êîòîðîì ñòîèò ýëåìåíò β1 , ïðîàêòîðèçîâàíî ïî ñîîòíîøåíèþ 1 = 0; ò.å.
ìàëåíüêîéîêðóæíîñòè C ìû ñîïîñòàâëÿåì îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ îáðàçóþùåéX ). Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå êîóìíîæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ èçî-6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû123q(2)132-11(3)3212298p(1)x32(1)11233èñ. 6.17.
Ïðîâåðêà èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî Ω3ìîðèçìîì.Îáðàòèìñÿ ê ðèñ. 6.17. Äëÿ êàæäîãî èç îòîáðàæåíèé â ñêîáêàõ óêàçàííîìåð ïåðåêðåñòêà, ê êîòîðîìó îíî ïðèìåíÿåòñÿ.Îòîáðàæåíèÿ p è q ýòî îáû÷íûå ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû; ïðè ýòîìëèáî îáà ÿâëÿþòñÿ óìíîæåíèÿìè, ëèáî îáà êîóìíîæåíèÿìè, ëèáî îáàíóëÿìè. ñëó÷àå p = q = 0 äîêàçûâàòü íå÷åãî.àññìîòðèì îñòàâøèåñÿ ñëó÷àè. Ìû èìååì òðè ðàãìåíòà îêðóæíîñòåéα, β, δ .  èñõîäíîì ñîñòîÿíèè (ê êîòîðîìó ïðèìåíÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿ p íàðèñóíêå ñïðàâà è ∆ íà ðèñóíêå ñëåâà) îíè ìîãóò ïðèíàäëåæàòü îäíîé, äâóìèëè òðåì ðàçëè÷íûì îêðóæíîñòÿì.
àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà âñåðàãìåíòû, ñîäåðæàùèå α, β , δ , ïðèíàäëåæàò òðåì ðàçíûì îêðóæíîñòÿì.Äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé áóäåì îáîçíà÷àòü äàëåå ýëåìåíòû àëãåáðû V(âèäà 1 èëè ±X ), ñòîÿùèå íà ýòèõ îêðóæíîñòÿõ, òåìè æå áóêâàìè, ÷òî èðàãìåíòû α, β, δ . ýòîì ñëó÷àå îáå îïåðàöèè p è q ÿâëÿþòñÿ óìíîæåíèÿìè.Íà÷èíàÿ ñ α ∧ β ∧ δ , ìû ïîëó÷àåì íà ïðàâîé êàðòèíêå îòîáðàæåíèå d2∗01 :p : α ∧ β ∧ δ → (α · β) ∧ δ ,6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû299ãäå (α · β) îçíà÷àåò óìíîæåíèå â àëãåáðå Ôðîáåíèóñà.Íà ëåâîé êàðòèíêå ìû èìååì:∆α ∧ β ∧ δ = δ ∧ α ∧ β → δ ∧ X ∧ α ∧ β.Çäåñü ìû ïðèìåíèëè êîóìíîæåíèå ê δ , ÷òîáû ïîëó÷èòü äâå îêðóæíîñòè â ïåðåêðåñòêå 1; ïîëó÷èâøèåñÿ îêðóæíîñòè, èìåþò ìåòêè, ðàâíûå δ(âåðõíÿÿ) è X (íèæíÿÿ).Äàëåå, δ∧X ∧α∧β = −β ∧X ∧α∧δ .
Ïðèìåíèì òåïåðü ∆−1 ê ïåðåêðåñòêó3: ýòî îòîáðàæåíèå îáúåäèíÿåò äâå îêðóæíîñòè, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò βè X. ýòîì ïåðåêðåñòêå îáðàçóþùàÿ X îòíîñèòñÿ ê ëåâîé îêðóæíîñòè, à β ê ïðàâîé. Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì∆−1−β ∧ X ∧ α ∧ δ = X ∧ β ∧ α ∧ δ → β ∧ α ∧ δ .Äàëåå, îïåðàöèÿ q ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîóìíîæåíèå â ïåðåêðåñòêå 2,â êîòîðîì îêðóæíîñòü, ïîìå÷åííàÿ êàê β , ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé (âåðõíåé), àîêðóæíîñòü, ïîìå÷åííàÿ α, âòîðîé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì:(α · β) ∧ δ .Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî α è β ïðèíàäëåæàò îäíîé îêðóæíîñòè (â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè), à δ îáðàçóåò äðóãóþ îêðóæíîñòü. Îáîçíà÷èì ìåòêó(ýëåìåíò èç V ), ñîîòâåòñòâóþùóþ ïåðâîé îêðóæíîñòè, ÷åðåç A, à ìåòêó,ñîîòâåòñòâóþùóþ âòîðîé îêðóæíîñòè, ÷åðåç δ .P∆ PÎòîáðàæåíèå p èìååò âèä A ∧ δ → i Ai,1 ∧ Ai,2 ∧ δ , ãäå i Ai,1 ⊗ Ai,2ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ êîóìíîæåíèÿ ê A â îáû÷íîì ñìûñëå(1 7→ 1 ⊗ X + X ⊗ 1, X 7→ X ⊗ X ), ñì.
ðèñ. 6.18. äàëüíåéøåì äîêàçàòåëüñòâå ìû äëÿ óäîáñòâà çàïèñè íå áóäåì èñïîëüPçîâàòü çíàê ñóììèðîâàíèÿ i .Íà ëåâîé êàðòèíêå ìû èìååìA∧δ = −δ∧A → −δ∧X ∧A (â ïåðâîì ïåðåêðåñòêå ìåòêà δ ñîîòâåòñòâóåòâåðõíåé îêðóæíîñòè, à äðóãàÿ ìåòêà âñåãäà ðàâíàÿ X ñîîòâåòñòâóåòíèæíåé îêðóæíîñòè).Òîãäà ïðè îòîáðàæåíèè ∆−1 â òðåòüåì ïåðåêðåñòêå ìû èìååì−δ ∧ X ∧ A = −X ∧ A ∧ δ → −A ∧ δ . (çäåñü ýëåìåíò X ñòîÿë íà ëåâîéñòîðîíå, à A íà ïðàâîé ñòîðîíå).Íàêîíåö, îòîáðàæåíèå q âî âòîðîì ïåðåêðåñòêå äàåò6.4.
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû12q(2)3-1(3)11tA i,2s232s1A i,1t32300p(1)x32(1)11233èñ. 6.18. Ïðîâåðêà èíâàðèàíòíîñòè ïðè äâèæåíèè Ω3−A ∧ δ → −Ai,1 ∧ Ai,2 ∧ δ ,Çäåñü Ai,1 ñîîòâåòñòâóåò êîìïîíåíòå s, êîòîðàÿ ëîêàëüíî ïðîõîäèò ñâåðõó (ñëåâà îòíîñèòåëüíî âòîðîãî ïåðåêðåñòêà) â ïåðåêðåñòêå 2, à Ai,2 ñîîòâåòñòâóåò ëîêàëüíî íèæíåé (ïðàâîé îòíîñèòåëüíî âòîðîãî ïåðåêðåñòêà)êîìïîíåíòå t. Íî íà ïðàâîé êàðòèíêå ñîîòâåòñòâóþùèå îêðóæíîñòè ïîäõîäÿò äðóã ê äðóãó ïðîòèâîïîëîæíûì îáðàçîì.
Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì−Ai,1,s ∧ Ai,2,t ∧ δ . ïåðâîì ñëó÷àå (îòîáðàæåíèå p) ìû èìåëèAi,1,t ∧ Ai,2,s ∧ δ = −Ai,2,s ∧ Ai,1,t ∧ δ .Ýòè äâà ðåçóëüòàòà ñîâïàäàþò ïî ïðè÷èíå êîêîììóòàòèâíîñòè îïåðàöèè∆ â îáû÷íîì ñëó÷àå.Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü âñå îñòàâøèåñÿ ñëó÷àè.Åñëè α è δ ïðèíàäëåæàò îäíîé îêðóæíîñòè (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç α), à β äðóãîé, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îòîáðàæåíèÿ. ïðîñòåéøåì ñëó÷àå (îòîáðàæåíèå p) ìû èìååì α ∧ β → (α · β).Íà ëåâîé êàðòèíêå ìû ïîëó÷àåì α ∧ β → α ∧ X ∧ β = X ∧ β ∧ α →β ∧ α → (β · α) = (α · β). ñëó÷àå óìíîæåíèÿ, êîãäà β è δ îáðàçóþò îäíó îêðóæíîñòü (îáîçíà÷èì6.4.
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû301åå ÷åðåç β ), ìû ïîëó÷àåì:Íà êàðòèíêå ñïðàâà (îòîáðàæåíèå p): α ∧ β → (α · β).Íà ëåâîé êàðòèíêå ìû èìååì:α ∧ β = −β ∧ α → −β ∧ X ∧ α = X ∧ β ∧ α → β ∧ α → (β · α).Íàêîíåö, â ñëó÷àå, êîãäà â íà÷àëå ìû èìåëè âñåãî îäíó îêðóæíîñòü (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç A), ìû ïîëó÷èì äâà êîóìíîæåíèÿ:A → Ai,1,t ∧ Ai,2,s â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå (îòîáðàæåíèå p)èA → A ∧ X = −X ∧ A → −A → −Ai,1,s ∧ Ai,2,t = Ai,2,t ∧ Ai,1,s .Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ðàâåíñòâî τ1 ◦ d1∗01 = d2∗01 . Äîêàçàòåëüñòâîðàâåíñòâà d1∗10 = τ2 ◦ d2∗10 ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî. Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 6.5. Ïóñòü K äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ, êîòîðîéKh(K)äèàãðàììû K , ïî-ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðóåìûé àòîì. Òîãäà ãðóïïû ãîìîëîãèéñîâïàäàþò ñ îáû÷íûìè ãðóïïàìè ãîìîëîãèé Õîâàíîâàñòðîåííûìè â ïðåäûäóùåé ãëàâå.Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîé òåîðåìû ìû áóäåì îáîçíà÷àòü íàø íîâûé êîìïëåêñ è åãî ãðóïïû ãîìîëîãèé ÷åðåç C(K) è Kh(K) ñîîòâåòñòâåííî, à êîìïëåêñ è ãîìîëîãèè, îïðåäåëåííûå â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ÷åðåç C ′ (K) èKh′ (K).Ñíà÷àëà îòìåòèì, ÷òî íîðìèðîâêè äëÿ C è C ′ ïðîèçâîäÿòñÿ îäèíàêîâûì ñïîñîáîì.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì çàáûòü î äîïîëíèòåëüíûõ íîðìèðîâêàõ âèäà [−n− ]{n+ − 2n− }.Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî äèàãðàììà çàöåïëåíèÿ K âûáðàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî âñå ýëåìåíòû X ñîãëàñîâàíû (ò.å. ïðè ïåðåõîäå ïî îêðóæíîñòèC ñîñòîÿíèÿ îò âåðøèíû P ê âåðøèíå Q âñåãäà èìååò ìåñòî XC,oP = XC,oQ ,à íå XC,oP = −XC,oQ ). Ýòî âîçìîæíî, òàê êàê àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèéäèàãðàììå K , ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì.
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îðèåíòèðóåìîãî àòîìà ìîæíî çàäàòü ãëîáàëüíî îðèåíòàöèþ âñåõ ðåáåð (ñòðóêòóðó èñòî÷íèê-ñòîê), ÷òîáû îíà ñîîòâåòñòâîâàëà îðèåíòàöèè îêðóæíîñòåé âêàæäîì ñîñòîÿíèè. Äëÿ çàäàííîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû K â êàæäîì ïåðåêðåñòêå ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ ðåáåð, çàäàâàåìàÿ ïðàâèëîì, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 6.3, ìîæåò ñîâïàäàòü ñ îðèåíòàöèåé, ïðîèñõîäÿùåé èç ñòðóêÄîêàçàòåëüñòâî.6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû302òóðû èñòî÷íèê-ñòîê àòîìà èëè îòëè÷àòüñÿ îò íåå. Ïðèìåíèì êî âñåì ïåðåêðåñòêàì äèàãðàììû K , ãäå îðèåíòàöèè îòëè÷àþòñÿ, âèðòóàëèçàöèþ. Ïîëåììå 6.1 ãîìîëîãèè êîìïëåêñà C(K) íå èçìåíÿòñÿ, à îðèåíòàöèè îêðóæíîñòåé, çàäàâàåìûå ëîêàëüíî â ïåðåêðåñòêàõ ïî ïðàâèëó 6.3, áóäóò ñîâïàäàòü.Ïîñëå ýòîãî íàì íóæíî ëèøü ïðîñëåäèòü çíàêè ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ è íóìåðàöèþ îêðóæíîñòåé âî âñåõ ïåðåêðåñòêàõ.Ìû ïîñòðîèì ñîõðàíÿþùåå ãîìîëîãèè îòîáðàæåíèå ìåæäó äâóìÿ êóáàìèêîìïëåêñàìè.
Ôèêñèðóåì íåêîòîðóþ íóìåðàöèþ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû K . Ñîïîñòàâèì åé ìàêñèìàëüíîå äåðåâî äëÿ êóáîâ C(K)è C ′ (K). Ýòî äåðåâî ñîñòîèò èç âñåõ ðåáåð òèïà (α1 , . . . , αk , ∗, 0, . . . , 0), ãäåαj ∈ {0, 1}, ò.å. ðåáðî â íàïðàâëåíèè xk+1 ïðèíàäëåæèò ýòîìó äåðåâó, åñëèâñå êîîðäèíàòû xk+2 , . .
. , xn ðàâíû íóëþ, ñì. ðèñ. 6.19.321èñ. 6.19. Âûáîð ìàêñèìàëüíîãî äåðåâàÄàëåå, êàæäîìó ñîñòîÿíèþ s êîìïëåêñà C(K) ñîïîñòàâèì óïîðÿäî÷åííóþ òåíçîðíóþ ñòåïåíü V ∧k (ñì. ñòð. 274), à ñîîòâåòñòâóþùåìó ñîñòîÿíèþäëÿ êîìïëåêñà C ′ (K) ñîïîñòàâèì V ⊗k , ãäå k îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé â ñîñòîÿíèè s. Ïåðåíóìåðóåì îêðóæíîñòè â A-ñîñòîÿíèè íåêîòîðûìîáðàçîì.
Òîãäà óïîðÿäî÷åíèå îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî A-ñîñòîÿíèþ s â C(K) â ïðîñòðàíñòâî, ñîîòâåòñòâóþùååíåêîòîðîìó ñîñòîÿíèþ g(s) êîìïëåêñà C ′ (K). Ïîñëå ýòîãî ìû ìîæåì óñòðî-6.5. Îáîáùåíèÿ303èòü ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåíóìåðàöèþ îêðóæíîñòåé âî âñåõ âåðøèíàõ äåðåâà, ÷òîáû îòîæäåñòâëåíèÿ öåïåé â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèÿõ êîìïëåêñîâ C(K) è C ′ (K) êîììóòèðîâàëè ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè, èäóùèìè âäîëü ðåáåð ìàêñèìàëüíîãî äåðåâà.
Òåì ñàìûì ìû ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå âñåãî ïðîñòðàíñòâà öåïåé êóáà C(K) â ïðîñòðàíñòâî öåïåé êóáàC ′ (K).Ýòî îòîáðàæåíèå g áóäåò ñîãëàñîâàíî ñî âñåìè ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè ïî ñëåäóþùèì ñîîáðàæåíèÿì. Äëÿ ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ∂ ′ , ∂ ′′ , ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìó è òîìó æå ðåáðó êîìïëåêñîâ-êóáîâ C è C ′ ,ìû èìååì g ◦ ∂ ′ = ±∂ ′′ ◦ g .Åñëè ñîãëàñîâàííîñòü èìååò ìåñòî äëÿ òðåõ èç ÷åòûðåõ ðåáåð íåêîòîðîé äâóìåðíîé ãðàíè êóáà, òî îíà èìååò ìåñòî è äëÿ ÷åòâåðòîãî ðåáðàýòîé ãðàíè, èáî îáà êîìïëåêñà ÿâëÿþòñÿ àíòèêîììóòàòèâíûìè è íè îäèíèç ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî íóëåâûì îòîáðàæåíèåì.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåòñÿ ðàññóæäåíèåì î òîì, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ çàòÿãèâàþùåãî äåðåâà è äîáàâëÿÿ íåäîñòàþùèå ðåáðà íà äâóìåðíûõ ãðàíÿõ(÷åòâåðòîå ïðè íàëè÷èè òðåõ), ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî èñ÷åðïàòü âñå ðåáðà êóáà. Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷èì ñîãëàñîâàííîñòü íà âñåõ ðåáðàõ.Êàê è íà ñòð.
214, íàçîâåì âûñîòîé ãîìîëîãèé Õîâàíîâà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ h(Kh(K)) ðàçíîñòü ìåæäó ñòàðøåé è ìëàäøåé íåíóëåâîéêâàíòîâûìè ãðàäóèðîâêàìè íåíóëåâûõ ãðóïï ãîìîëîãèé Õîâàíîâà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ K . Èç òåîðåìû 6.5 âûòåêàåò, ÷òî îïðåäåëåíèå, äàííîå âãë. 5. (èñïîëüçóþùåå ãîìîëîãèè Õîâàíîâà äëÿ îðèåíòèðóåìûõ àòîìîâ) ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ, îñíîâàííîì íà êîíñòðóêöèèíàñòîÿùåé ãëàâû.6.5. ÎáîáùåíèÿÍåêîòîðûå êîíñòðóêöèè è ðåçóëüòàòû, îòíîñÿùèåñÿ ê ãîìîëîãèÿì Õîâàíîâà, îáîáùàþòñÿ íà òåîðèþ ãîìîëîãèé äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ïîñòðîåííóþ â íàñòîÿùåé ãëàâå.6.5.
Îáîáùåíèÿ304Ê òàêèì ðåçóëüòàòàì îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, òåîðåìà î ìàêñèìàëüíîì äåðåâå äëÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà, ïðåäëîæåííàÿ íåçàâèñèìî Ø. Âåðëè, ñì.[Weh2℄ è È.Êîìàíîì è À.×àìïàíåðêàðîì [ChK℄, à òàêæå ðåçóëüòàòû îìèíèìàëüíîñòè äèàãðàìì, îïèñàííûå â [Ma14℄ (ñì. ïðåäûäóùóþ ãëàâó).Áîëåå òî÷íî, â ðàáîòå [Weh2℄ ïîêàçàíî, ÷òî ãîìîëîãèè Õîâàíîâà èçîìîðíû ãîìîëîãèÿì êîìïëåêñà Âåðëè. Íàïîìíèì, ÷òî K1 (L) (ñì. ñòð. 167) ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé äèàãðàììû L, â êîòîðûõ êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåéðàâíî åäèíèöå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
