Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 45
Текст из файла (страница 45)
îïð. íà ñòð. 151). Ýòîñëåäóåò èç ëåììû 6.1.2. Ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå èç ìíîæåñòâà ñêðó÷åííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ âî ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïî ìîäóëþ âèðòóàëèçàöèè.Ïîýòîìó ïðèâåäåííûé âûøå ïîäõîä ïðèâîäèò ê èíâàðèàíòàì ñêðó÷åííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.×àñòíûì ñëó÷àåì ñêðó÷åííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (óçëîâ â îðèåíòèðîâàííûõ óòîëùåíèÿõ íåîðèåíòèðóåìûõ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé ñ òî÷íîñòüþ äî ñòàáèëèçàöèè) ÿâëÿþòñÿ óçëû â ïðîêîëîòîì òðåõìåðíîìïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå.Òàêèì îáðàçîì, ïðèâîäèìàÿ â íàñòîÿùåé ãëàâå òåîðèÿ ïðèâîäèò ê ïîñòðîåíèþ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà è äëÿ óçëîâ â RP 3 .3.  ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ íàä ïîëåì Z2 êîìïëåêñ â òî÷íîñòè ñîâïàäàåòñ êîìïëåêñîì, ïîñòðîåííûì â ïðåäûäóùåé ãëàâå.4. Äëÿ óçëîâ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû (â ÷àñòíîñòè, êëàññè÷åñêèõ óçëîâ) ýòîò êîìïëåêñ èìååò òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî èêîìïëåêñ, ïîñòðîåííûé â ïðåäûäóùåé ãëàâå.5.
Äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì; îíî ïîâòîðÿåòäîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå, ñì., íàïð., [BN1℄;ãëàâíàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â êîððåêòíîì îïðåäåëåíèè äèåðåíöèàëà6.2. Àòîìû è ñêðó÷åííûå âèðòóàëüíûå óçëû268 òàêîì ïîäáîðå çíàêîâ, ïðè êîòîðîì êóá ñòàíîâèòñÿ àíòèêîììóòàòèâíûì.Äàëüíåéøèå ñâîéñòâà ãîìîëîãèé Õîâàíîâà.Ìîæíî ñ÷èòàòü (ïîäðîáíåå ñì.
[BN3℄), ÷òî ñàì êîìïëåêñ Õîâàíîâà ñòðîèòñÿ èç êîìïëåêñîâ ýëåìåíòàðíûõ êîáîðäèçìîâ, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäüñîñòîÿò èç ýëåìåíòàðíûõ êîìïëåêñîâ, ïîðîæäåííûõ îêðóæíîñòÿìè. Ýòàòåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì àíàëîãîì àëãåáðàè÷åñêîé òåîðèè, îïèñàííîé âûøå: îáúåêòàìè êàòåãîðèè ÿâëÿþòñÿ íàáîðû îêðóæíîñòåé ñ ìåòêàìè,à ìîðèçìàìè êîáîðäèçìû.Çàìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ íàìè ÿâíî òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà îáëàäàåò ðÿäîì âàæíûõ ñâîéñòâ.
 ÷àñòíîñòè, ãîìîëîãèè Õîâàíîâà èíâàðèàíòíûïðè âèðòóàëèçàöèÿõ, èç ÷åãî ñëåäóåò òî, ÷òî ãîìîëîãèè Õîâàíîâà âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî àòîìó, ñîîòâåòñòâóþùåìó äèàãðàììå âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Ýòî ïðèâîäèò ê òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ ñêðó÷åííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ â ñìûñëå Áóðãóàíà è Âèðî [Bou, Viro2℄, ÷àñòíûì ñëó÷àåì êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ óçëû â òðåõìåðíîì ïðîåêòèâíîì ïðîñòðàíñòâå RP 3 .Îòìåòèì, ÷òî ñêîáêà Êàóìàíà äëÿ óçëîâ â RP 3 áûëà ïîñòðîåíà Þ.Â.Äðîáîòóõèíîé â [Äðî℄.Êðîìå òîãî, ýòà òåîðèÿ äîïóñêàåò ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ, ïîñòðîåííûåðàíåå äëÿ îáû÷íûõ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà: òåîðèÿ Ëå, çàòÿãèâàþùåå äåðåâîÂåðëè-Êîìàíà-×àìïàíåðêàðà, [Weh2, ChK℄ (êîìïëåêñ Âåðëè) è äð.6.2.
Àòîìû è ñêðó÷åííûå âèðòóàëüíûå óçëûÏåðåñòðîéêè òèïà 2 → 1 è 1 → 2 â êîìïëåêñå Õîâàíîâà áóäóò (ñì.ñòð. 273) ñîîòâåòñòâîâàòü ÷àñòè÷íûì äèåðåíöèàëàì ∂ ′ , èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåòñÿ äèåðåíöèàë ∂ (ñì. äàëåå); ïåðåñòðîéêà 2 → 1 ñîîòâåòñòâóåòóìíîæåíèþ m, à ïåðåñòðîéêà 1 → 2 êîóìíîæåíèþ ∆.Íàïîìíèì, ÷òî íåíîðìèðîâàííàÿ âåðñèÿ ïîëèíîìà Äæîíñà, âûðàæàåìàÿP α(s)−β(s)ïî îðìóëå(−a2 − a−2 )γ(s)−1 , íàçûâàåòñÿ ñêîáêîé Êàóìàíà;sañêîáêà Êàóìàíà, êàê è ïîëèíîì Äæîíñà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëèíîìËîðàíà îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ïîëèíîì Äæîíñà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûìïðè (îáîáùåííûõ) äâèæåíèÿõ åéäåìåéñòåðà, [Kau7℄.6.2.
Àòîìû è ñêðó÷åííûå âèðòóàëüíûå óçëû269p ïðåäûäóùåé ãëàâå â ðåçóëüòàòå çàìåíû ïåðåìåííîé a = −q −1 ìûïîëó÷èëè âìåñòî ïîëèíîìà Äæîíñà X åãî ìîäèèöèðîâàííóþ âåðñèþ J , àòàêæå ïîëèíîì Jˆ = J · (q + q −1 ) (ñì. ñòð. 204).Äàëåå â íàñòîÿùåé ãëàâå (êàê è â ãëàâå 5) ìû áóäåì èìåòü äåëî ñ ïîëèíîìîì Jˆ è íàçûâàòü åãî ïîëèíîìîì Äæîíñà.Êàê ïîêàçàíî â ãëàâå 4, âñÿ íåîáõîäèìàÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëèíîìàÄæîíñà èíîðìàöèÿ ñîäåðæèòñÿ â àòîìå, ñîîòâåòñòâóþùåì âèðòóàëüíîéäèàãðàììå.Íàïîìíèì, ÷òî àòîìîì (ñì.
îïð. íà ñòð. 154) íàçûâàåòñÿ ïàðà (M, Γ):çàìêíóòîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå M è ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà (íàçûâàåìûé îñòîâîì) Γ ⊂ M , ðàçáèâàþùèé M íà ÷åðíûå è áåëûå êëåòêè ñ çàäàíèåì øàõìàòíîé ðàñêðàñêè äâóìåðíûõ êëåòîê. Àòîìû ðàññìàòðèâàþòñÿ ñòî÷íîñòüþ äî åñòåñòâåííîé êîìáèíàòîðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè äèåîìîðèçìîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ äâóìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé, ïåðåâîäÿùèõ îñòîâ âîñòîâ è ñîõðàíÿþùèõ ðàñêðàñêó êëåòîê.Âñÿ èíîðìàöèÿ î êîëè÷åñòâå îêðóæíîñòåé â ñîñòîÿíèÿõ äèàãðàììûìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç àòîìà.
Èíûìè ñëîâàìè, êóá ñîñòîÿíèé âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî àòîìó.Àêòóàëüíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ðîäà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ðîäà àòîìîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äèàãðàììàìäàííîãî çàöåïëåíèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äèàãðàììû êëàññè÷åñêèõçàöåïëåíèé, èìåþùèå ðîä íóëü, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñâÿçíûå ñóììû àëüòåðíèðîâàííûõ äèàãðàìì.Òàêæå ýòîò ðîä íàçûâàåòñÿ ðîäîì Òóðàåâà, âñëåäñòâèå ðàáîòû [Tur2℄. Êàêîêàçàëîñü [Low℄, ýòîò ðîä èìååò âàæíîå çíà÷åíèå â èçó÷åíèè ãîìîëîãèéÕåãîðà-Ôëîåðà êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.Ìû áóäåì ñòðîèòü êîìïëåêñ Õîâàíîâà èñõîäÿ èç âèðòóàëüíîé äèàãðàììû. Ïðè ýòîì ìû ïîêàæåì, ÷òî ãîìîëîãèè òàêîãî êîìïëåêñà íà ñàìîì äåëåèíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî âèðòóàëèçàöèè (è, ñëåäîâàòåëüíî, âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî àòîìó).
Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ ãèïîòåçîé î âèðòóàëèçàöèè (ñòð. 152),ñîñòîÿùåé â ñëåäóþùåì: åñëè êëàññè÷åñêàÿ äèàãðàììà L ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç êëàññè÷åñêîé äèàãðàììû L′ ïðèìåíåíèåì öåïî÷êè îáîáùåííûõäâèæåíèé åéäåìåéñòåðà è âèðòóàëèçàöèé, òî êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿ L6.2. Àòîìû è ñêðó÷åííûå âèðòóàëüíûå óçëû270è L′ èçîòîïíû1 . Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå çàöåïëåíèÿ èìåþò èçîìîðíûå ãîìîëîãèè Õîâàíîâà.Ñêðó÷åííûå âèðòóàëüíûå óçëû [Bou, Viro2℄ ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèåìâèðòóàëüíûõ óçëîâ. Îíè çàäàþòñÿ óçëàìè â îðèåíòèðîâàííûõ óòîëùåíèÿõäâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé (íå îáÿçàòåëüíî îðèåíòèðóåìûõ) è ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ñòàáèëèçàöèè.×àñòíûì ñëó÷àåì òåîðèè ñêðó÷åííûõ óçëîâ ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ óçëîâ âRP 3 .
Îðèåíòèðîâàííûì óòîëùåíèåì äâóìåðõíîñòè M íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííîå òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî M3 ðàññëîåíèÿ íàä M ñî ñëîåì îòðåçîê. àññìîòðèì íåîðèåíòèðóåìóþ ïîâåðõíîñòü S è ïîñòðîèì ðàññëîåíèåíàä íåé ñî ñëîåì îòðåçîê, òîòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî êîòîðîãî îðèåíòèðóåìî.˜ ñ êðàåì.Îíî áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå S ×I˜ ,Õîðîøèì ïðèìåðîì òàêîé óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ RP 2 ×I3÷òî ãîìåîìîðíî RP \{∗}. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàññìàòðèâàåìîãî ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ óçëîâ â RP 3 .˜ . Òîãäà çàöåïëåíèÿÏóñòü äàíà ïîâåðõíîñòü M è åå óòîëùåíèå M = M ×Iâ M ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïîñðåäñòâîì èõ äèàãðàìì ïðîåêöèé íà M .Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ñòàáèëèçàöèè/äåñòàáèëèçàöèè óçëîâ â òàêèõ óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ: âäîëü îðèåíòèðóåìûõ öèêëîâ è âäîëü íåîðèåíòèðóåìûõ öèêëîâ. Âî âòîðîì ñëó÷àå ê ïîâåðõíîñòè äîáàâëÿåòñÿ/óäàëÿåòñÿïóñòàÿ óòîëùåííàÿ ïëåíêà Ìåáèóñà. îáùåì ïîëîæåíèè ïðîåêöèÿ íà M çàäàåò íåêîòîðûé ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà.
Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ çàöåïëåíèÿ íóæíî óêàçàòü ïîâåäåíèå äâóõâåòâåé óçëà â îêðåñòíîñòè êàæäîãî ïåðåêðåñòêà. Ïðè ýòîì ìû íå èìååìêîððåêòíî îïðåäåëåííîãî âåçäå íàïðàâëåíèÿ ââåðõ: ïðè ïðîõîæäåíèè âäîëüäåçîðèåíòèðóþùåãî ïóòè íàïðàâëåíèå ââåðõ ñìåíÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì âíèç.Ïîýòîìó ïîíÿòèÿ ïðîõîä è ïåðåõîä íóæíî ñ÷èòàòü óñëîâíûìè. Îäíàêî, ìîæíî ïðèäàòü èì è áåçóñëîâíûé ñìûñë, âçÿâ íåêîòîðóþ àèííóþêàðòó, ïîêðûâàþùóþ âñþ äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü, êðîìå íåêîòîðîé îäíîìåðíîé åå ÷àñòè. Íà àèííîé êàðòå çàäàäèì íàïðàâëåíèå íàâåðõ. Ïðèýòîì ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó íàïðàâëåíèå ìîæåò ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ïóòü äåçîðèåíòèðóþùèì.
Òàê, íàïðèìåð, óçëû1 Îòìåòèì,÷òî åñëè äâå êëàññè÷åñêèå äèàãðàììû ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè êàê âèðòóàëüíûå, òî îíè ýêâèâàëåíòíûâ îáû÷íîì ñìûñëå; ýòî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç òåîðåìû Êóïåðáåðãà [Kup℄.6.2. Àòîìû è ñêðó÷åííûå âèðòóàëüíûå óçëû271˜ ìîãóò áûòü çàäàíû äèàãðàììàìè íà RP 2 , ó êîòîðûõâ RP 3 \∗ = RP 2 ×Iâñå ïåðåêðåñòêè íàõîäÿòñÿ âíóòðè êðóãà D2 ⊂ RP 2 ; ïðè ïåðåõîäå ÷åðåçãðàíèöó êðóãà íàïðàâëåíèå ìåíÿåòñÿ, ñì.
ðèñ. 6.1.ABABèñ. 6.1. Âåòâü AB îáðàçóåò ïåðåõîä íà ëåâîé êàðòèíêå è ïðîõîä íà ïðàâîéÇàìåòèì, ÷òî óçëû â òàêèõ ïîâåðõíîñòÿõ õîðîøî îïèñûâàþòñÿàòîìàìè. Äåéñòâèòåëüíî, èêñèðóåì îðèåíòàöèþ óòîëùåííîé ïîâåðõíî-˜ . Äàëåå, äëÿ äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ íà M ìû èìååì îñòîâ àòîìàñòè M ×I ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà ñî ñòðóêòóðîé ïðîòèâîïîëîæíûõ ïîëóðåáåð âêàæäîì ïåðåêðåñòêå.Ñïîñîá ïðèêëåéêè ÷åðíûõ êëåòîê òàêîâ.
Äëÿ êàæäîé âåðøèíû X àòîìàðàññìîòðèì äâà èñõîäÿùèõ èç íåå íå ïðîòèâîïîëîæíûõ ïîëóðåáðà a è b.Ñîîòâåòñòâóþùåå âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå ñîäåðæèò äâå òî÷êè, ïðîåêòèðóþùèåñÿ â âåðøèíó X , îäíà èç êîòîðûõ èíöèäåíòíà ðåáðó, ñîîòâåòñòâóþùåìó a, à äðóãàÿ ðåáðó, ñîîòâåòñòâóþùåìó b. Âûáåðåì â óòîëùåííîéïîâåðõíîñòè ìàëåíüêèé âåêòîð c, èäóùèé îò òî÷êè íà ðåáðå a ê òî÷êå íàðåáðå b. Åñëè òåïåðü áàçèñ èç òðåõ âåêòîðîâ [a, b, c] çàäàåò ëîêàëüíî âûáðàííóþ íàìè îðèåíòàöèþ òðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ, òî ìû ñêàæåì, ÷òîóãîë, ïîðîæäåííûé ïîëóðåáðàìè a è b, äîëæåí áûòü áåëûì, êàê è ïðîòèâîïîëîæíûé åìó óãîë.
Îñòàâøèåñÿ äâà óãëà îáúÿâëÿþòñÿ ÷åðíûìè. Âïðîòèâíîì ñëó÷àå óãîë ìåæäó a è b îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷åðíûé (äëÿ ïðèêëåéêè ÷åðíîé êëåòêè).Îòìåòèì, ÷òî ýòîò âûáîð íå çàâèñèò íè îò ïàðû (a, b), íè îò ïîðÿäêà, âêîòîðîì áåðóòñÿ ðåáðà a, b. ñëó÷àå îáû÷íûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñêðó÷åííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, îïèñàííûé âûøå ñïîñîá ïðèêëåéêè÷åðíûõ êëåòîê ñîãëàñóåòñÿ ñî ñïîñîáîì, îïèñàííûì â ãëàâå 4.Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé òåîðåìå.6.3. Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ272bcaèñ. 6.2. Ïîñòðîåíèå àòîìà ïî äèàãðàììåÒåîðåìà 6.1.
Ñóùåñòâóåò êîððåêòíî îïðåäåëåííîå îòîáðàæåíèå èç ìíîæåñòâà ñêðó÷åííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ âî ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ðàññìîòðåííûõ ñ òî÷íîñòüþ äî âèðòóàëèçàöèè.Óçëû â òàêèõ ïîâåðõíîñòñÿõ ðàññìàòðèâàëèñü êðîìå Ì.Áóðãóàíà òàêæå Ì.Àñàýäîé, É.Ïðæèòèöêèì è À. Ñèêîðîé â [APS℄ è Î.ß. Âèðî [Viro2℄. ðàáîòå [APS℄ áûëà ïîñòðîåíà òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ óçëîâ âòàêèõ ïîâåðõíîñòÿõ, êîòîðàÿ ñóùåñòâåííî îïèðàëàñü íà äîïîëíèòåëüíóþòîïîëîãè÷åñêóþ èíîðìàöèþ, ïðîèñõîäÿùóþ èç ïîâåðõíîñòè.Èç òåîðåìû 6.1 è èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà îòíîñèòåëüíî âèðòóàëèçàöèè (ëåììà 6.1, ñì. äàëåå) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ê ïîñòðîåíèþ êîòîðîé ìû ïðèñòóïàåì, îáîáùàåòñÿ íà ñêðó÷åííûå âèðòóàëüíûå óçëû.6.3. Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâÍàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå òåîðèè ãîìîëîãèé (ñ ïðîèçâîëüíûìèêîýèöèåíòàìè) äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, òàêîé, ÷òî:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
