Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû283èñ. 6.6. Âèðòóàëèçàöèÿàçäåëèì òåïåðü êóáû [[K]] è [[K ′ ]] íà äâå ÷àñòè êàæäûé ñîîòâåòñòâåííîñãëàæèâàíèþ â U : áóäåì ñ÷èòàòü îäíó ÷àñòü êóáîâ âåðõíåé, à âòîðóþ íèæíåé. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f : [[K]] → [[K ′ ]] êàê g íà âñåõ ýëåìåíòàõèç íèæíåãî ïîäêóáà è êàê −g íà âñåõ ýëåìåíòàõ èç âåðõíåãî ïîäêóáà.Ïî ïîñòðîåíèþ òàêîå îòîáðàæåíèå êîììóòèðóåò ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè. Äåéñòâèòåëüíî, êîììóòèðîâàíèå îòîáðàæåíèÿ f ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè âíóòðè îäíîãî èç ïîäêóáîâ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîîòîáðàæåíèå g êîììóòèðóåò ñ òàêèìè ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè. Ñ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè, èäóùèìè èç íèæíåãî ïîäêóáà â âåðõíèéïîäêóá, îòîáðàæåíèå g àíòèêîììóòèðóåò, ïîýòîìó îòîáðàæåíèå f êîììóòèðóåò.Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè èñõîäíûé êóá áûë àíòèêîììóòàòèâíûì, òî ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå áóäåò èçîìîðèçìîì â ãîìîëîãèÿõ.Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî âèðòóàëèçàöèÿ îòðèöàòåëüíîãî ïåðåêðåñòêà íå ìåíÿåò êóáà âîîáùå: çíàê ìèíóñ, êîòîðûé ïîÿâëÿåòñÿíà ðåáðàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äèåðåíöèàëó ∆, çàòåì ñîêðàùàåòñÿ ñî çíàêîì ìèíóñ, ïðîèñõîäÿùèì îò ïåðåñòàíîâêè îêðóæíîñòåé (ïðàâîé è ëåâîé).Òåì ñàìûì ëåììà äîêàçàíà.6.4.
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû284Ëåììà 6.1 îçíà÷àåò, ÷òî ãîìîëîãèè êîìïëåêñîâ äëÿ äâóõ äèàãðàìì, îòëè÷àþùèõñÿ âèðòóàëèçàöèåé, èçîìîðíû.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà àíòèêîììóòàòèâíîñòè ïîñòðîåííîãîâûøå êóáà [[K]] äëÿ äèàãðàììû K ìû ìîæåì ïðèìåíèòü âèðòóàëèçàöèè âíåêîòîðûõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ è ðàññìîòðåòü àíàëîãè÷íûé âîïðîñäëÿ ïîëó÷àþùåéñÿ äèàãðàììû K ′ .Äëÿ ïðîâåðêè àíòèêîììóòàòèâíîñòè êóáà [[K]] íàì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü âñå åãî äâóìåðíûå ãðàíè. Êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà îòâå÷àåò÷åòûðåì ñãëàæèâàíèÿì â äâóõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ ïðè èêñèðîâàííûõ ñãëàæèâàíèÿõ â îñòàëüíûõ (n − 2) êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ äèàãðàììû K , ñì.
ðèñ. 6.7. Îñòàâøèåñÿ äâà ïåðåêðåñòêà ìîãóò áûòü ñãëàæåíûïðîèçâîëüíûì îáðàçîì; ÷åòûðå âîçìîæíîñòè òàêîãî ñãëàæèâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþò âåðøèíàì äâóìåðíîé ãðàíè.èñ. 6.7. Äâóìåðíàÿ ãðàíü ïîðîæäàåò àòîìÍà ðèñ. 6.7 êóá ïåðåñòðîåê èçîáðàæåí ñëåâà, à åãî äâóìåðíàÿ ãðàíü èñîîòâåòñòâóþùàÿ äèàãðàììà, ïîðîæäàþùàÿ àòîì, ñïðàâà. Àòîì âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî äèàãðàììå óçëà, èçîáðàæåííîé ñïðàâà, ïî ïðàâèëó, îïèñàííîìó íà ñòð. 157.Äëÿ ýòèõ ÷åòûðåõ ñîñòîÿíèé èìååòñÿ íåêîòîðîå (âîçìîæíî, ïóñòîå) ìíîæåñòâî îáùèõ îêðóæíîñòåé, íå èíöèäåíòíûõ íèêàêîìó èç äâóõ ðàññìàòðèâàåìûõ ïåðåêðåñòêîâ (â ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 6.7, òàêèõ îêðóæíîñòåé íåò).
Ïîñëå óäàëåíèÿ ýòèõ îêðóæíîñòåé ìû ïîëó÷àåì àòîì ñ äâóìÿ6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû285âåðøèíàìè.Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü, êîòîðàÿ ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü íåêîòîðîìó àòîìó ñ äâóìÿ âåðøèíàìè, çàäàåòàíòèêîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó. äâóõ âåðøèíàõ âñÿêîãî òàêîãî àòîìà ìû èìååì íåêîòîðûå ëîêàëüíûå îðèåíòàöèè çàöåïëåíèÿ (îðèåíòàöèè åãî âåòâåé). Îïðåäåëÿÿ áàçèñû,ñîîòâåòñòâóþùèå îêðóæíîñòÿì ñîñòîÿíèé (ñì. ðèñ.
6.3), ìîæíî âû÷èñëèòü÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû.Îòìåòèì, ÷òî íà ïîëó÷åííîì àòîìå ïðè ïåðåõîäå îò âåðøèíû ê âåðøèíåîðèåíòàöèè ìîãóò íå áûòü ñîãëàñîâàííûìè; à èìåííî, ðåáðî àòîìà ñ äâóìÿâåðøèíàìè ïðîèñõîäèò èç ñãëàæèâàíèÿ íåñêîëüêèõ ïîäðÿä èäóùèõ ðåáåð,êàæäîå èç êîòîðûõ èìåëî ñâîþ îðèåíòàöèþ, ïðîèñõîäÿùóþ èç îðèåíòàöèèçàöåïëåíèÿ, ñì. ðèñ. 6.8.11221212èñ. 6.8. Îðèåíòàöèÿ â ïåðåêðåñòêàõ àòîìàÎêàçûâàåòñÿ, ÷òî òèï ëîêàëüíûõ îðèåíòàöèé íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòèïðè ïðîâåðêå àíòèêîììóòàòèâíîñòè.6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû286À èìåííî, èêñèðóåì àòîì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè.
Âñåâîçìîæíûå âõîæäåíèÿ ýòîãî àòîìà â êóá çàäàþòñÿ ëîêàëüíûìè îðèåíòàöèÿìè ðåáåð â äâóõïåðåêðåñòêàõ. Ôèêñèðóåì îðèåíòàöèþ îäíîãî ïåðåêðåñòêà V1 è âûáåðåì äâåðàçëè÷íûå îðèåíòàöèè âòîðîãî ïåðåêðåñòêà V2 , îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïîâîðîòîì ñòðåëîê íà π2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ñì. ðèñ. 6.9. Ìû ïîëó÷èì äâàêâàäðàòà (äâóìåðíûõ êóáà), Q1 è Q2 .
Êàê íàáîðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâýòè êâàäðàòû ñîâïàäàþò. Ïóñòü Cs è Cs′ ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà âQ1 , Q2 , ñîîòâåòñòâóþùèå íåêîòîðîìó èêñèðîâàííîìó ñîñòîÿíèþ s è ñîîòâåòñòâóþùåìó åìó ñîñòîÿíèþ s′ .V1V2V1V2èñ. 6.9. Q1 è Q2Ëåììà 6.2.ÅñëèQ1ÿâëÿåòñÿ àíòèêîììóòàòèâíûì, òî àíòèêîììó-Q2 . Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò ñîõðàíÿþùåå ãðàäóèðîâêó îòîáïðîñòðàíñòâ öåïåé f : Q2 → Q2 , ïåðåâîäÿùåå CV èçîìîðíî âòàòèâåí è êóáðàæåíèåCV ′è êîììóòèðóþùåå ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 6.2 âî ìíîãîì ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû6.1.Ïîñëå ïîâîðîòà íàïðàâëÿþùèõ ñòðåëîê ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå â ïåðåêðåñòêåV2 ìû ïîëó÷èì ñìåíó çíàêà îáðàçóþùåé X äëÿ âñåõ îêðóæíîñòåé, èíöèäåíòíûõ ýòîìó ïåðåêðåñòêó.
Äëÿ ýòîãî, êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 6.16.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû287ìû ðàññìàòðèâàåì äâà êîìïëåêñà è îòîæäåñòâëÿåì èõ ïðîñòðàíñòâà öåïåé ïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèÿ g (àíàëîãè÷íîãî îòîáðàæåíèþ g èç ëåììû6.1), òàê, ÷òîáû äèåðåíöèàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå äðóãîìó ïåðåêðåñòêó,ñîâïàäàëè.Ïîñëå ýòîãî ìû, êàê è â ëåììå 6.1, ïîäïðàâèì îòîáðàæåíèå g äî îòîáðàæåíèÿ f , ñîãëàñóþùåãîñÿ ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè, èç ÷åãî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Åñëè áû ìû èìåëè äåëî ñ îáû÷íûì òåíçîðíûìïðîèçâåäåíèåì, òî çàìåíà X → −X ïðèâåëà áû ê ñìåíå çíàêà äëÿ âñåõ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ òèïà ∆, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåêðåñòêó V2 .Äàëåå, â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî ïåðåêðåñòêà V2 âñå äèåðåíöèàëû òèïà m, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó ïåðåêðåñòêó, òàêæå ìåíÿþò çíàê. ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî ïåðåêðåñòêà ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû âèäà2 → 1 íå ìåíÿþòñÿ, à îòîáðàæåíèÿ âèäà 1 → 2 ïîâòîðíî ìåíÿþò çíàê.Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî òà æå ñèòóàöèÿ, ÷òî è â ëåììå 6.1.
Ëåììà 6.2äîêàçàíà.Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.3.Ëåììà 6.2 îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ïðîâåðêè àíòèêîììóòàòèâíîñòè âñåõ âîçìîæíûõ äâóìåðíûõ ãðàíåé êóáà äîñòàòî÷íî ïåðå÷èñëèòü âñå àòîìû ñ äâóìÿâåðøèíàìè è ïðîâåðèòü àíòèêîììóòàòèâíîñòü äëÿ êàæäîãî èç íèõ: ñíà÷àëà ìû èêñèðóåì ðåàëèçàöèþ âûáðàííîãî àòîìà ïîñðåäñòâîì ïîãðóæåíèÿîñòîâà â ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû; òàêèå ïîãðóæåíèÿ îòëè÷àþòñÿ âîçìîæíîé âèðòóàëèçàöèåé (êîòîðàÿ íå âëèÿåò íà àíòèêîììóòàòèâíîñòü è íå ìåíÿåò ãîìîëîãèé ïî ëåììå 6.1); â ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåìâûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ ëîêàëüíóþ îðèåíòàöèþ ðåáåð è ïðîâåðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ñëó÷àé.Îòìåòèì, ÷òî ñðåäè àòîìîâ ñ äâóìÿ âåðøèíàìè åñòü íåñâÿçíûå, ò.å. òàêèå, ó êîòîðûõ êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò íåêîòîðóþ âåðøèíó ñ ñàìîé ñîáîé.Äëÿ òàêèõ àòîìîâ â ñëó÷àå îáû÷íîãî òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìû ïîî÷åâèäíûì ïðè÷èíàì ïîëó÷àåì êîììóòàòèâíûå äâóìåðíûå ãðàíè.
 ñëó÷àå óïîðÿäî÷åííûõ òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè áóäóòî÷åâèäíûì îáðàçîì àíòèêîììóòèðîâàòü.Íåêîòîðûå (ñâÿçíûå) àòîìû ÿâëÿþòñÿ íåñóùåñòâåííûìè â ñëåäóþùåìñìûñëå. Ìû ïîëàãàåì ÷àñòè÷íûé äèåðåíöèàë òèïà 1 → 1 ðàâíûì íó-6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû288ëþ. Ïî ïðè÷èíàì ÷åòíîñòè äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà (àòîì) ìîæåò èìåòü 0, 2èëè 4 òàêèõ ðåáðà.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè òàêèõ ðåáåð íåò, òî àòîìîðèåíòèðóåì. Åñëè âñå ÷åòûðå ðåáðà çàäàþò äèåðåíöèàëû òèïà 1 → 1,òî äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà 0 = 0. Òî æå ñàìîå èìååò ìåñòîâ ñëó÷àå, êîãäà â äèàãðàììå, àíòèêîììóòàòèâíîñòü êîòîðîé ïðîâåðÿåòñÿ,ìû èìååì äâå êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé, â êàæäîé èç êîòîðûõ îäíî èç äâóõîòîáðàæåíèé íóëåâîå.Îñòàþòñÿ øåñòü ñóùåñòâåííûõ ñâÿçíûõ àòîìîâ ñ äâóìÿ âåðøèíàìè; ñîîòâåòñòâóþùèå èì äèàãðàììû âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ïî îäíîé íà êàæäóþ)âñå èçîáðàæåíû íà ðèñ. 6.10.
Âñå ýòè àòîìû, çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîãî, ÿâëÿþòñÿ îðèåíòèðóåìûìè.V1V2V1V1V2V2V1V1V1V2V2V2èñ. 6.10. Ñóùåñòâåííûå àòîìû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû289 ïåðâîì ñëó÷àå àêêóðàòíûé ïîäñ÷åò, ñîîòâåòñòâóþùèé ðèñ. 6.11, ïîêàçûâàåò, ÷òî îáå êîìïîçèöèè äàþò íóëåâîå îòîáðàæåíèå.1212V1V2èñ. 6.11. Íåîðèåíòèðóåìûé àòîìÄåéñòâèòåëüíî, â íèæíåé êîìïîçèöèè ìû èìååì òîæäåñòâåííî íóëåâîåîòîáðàæåíèå. Ïîäñòàâëÿÿ â âåðõíþþ êîìïîçèöèþ îòîáðàæåíèé ýëåìåíòX , ìû ïîëó÷èì ±X ∧ X íà ïåðâîì øàãå è íóëü íà âòîðîì øàãå. Ïðèïîäñòàíîâêå åäèíèöû ìû ïîëó÷àåì 11,oV1 ∧ X2,oV1 + X1,oV1 ∧ 12,oV1 íà ïåðâîìøàãå; çäåñü ïåðâûé èíäåêñ îòíîñèòñÿ ê íîìåðó îêðóæíîñòè (ïåðâàÿ îêðóæíîñòü áîëüøàÿ, âòîðàÿ ìàëàÿ), à âòîðîé èíäåêñ îòíîñèòñÿ ê íîìåðóïåðåêðåñòêà.
Ïðè ïåðåõîäå êî âòîðîìó ïåðåêðåñòêó V2 ïåðâàÿ è âòîðàÿîêðóæíîñòè ìåíÿþòñÿ ðîëÿìè: îêðóæíîñòü íîìåð 1 ñòàíîâèòñÿ íèæíåé, àîêðóæíîñòü íîìåð 2 ñòàíîâèòñÿ âåðõíåé. Êðîìå òîãî, äëÿ ïåðâîé îêðóæíîñòè ïðîèñõîäèò çàìåíà áàçèñà: X ïåðåõîäèò â −X . Òàêèì îáðàçîì, ìûèìååì −X ∧ 1 + 1 ∧ X , ÷òî ïîä äåéñòâèåì óìíîæåíèÿ m ïåðåõîäèò â 0.Ïåðåéäåì ê ïðîâåðêå îðèåíòèðóåìûõ àòîìîâ. Äëÿ êàæäîãî èç íèõ èêñèðóåì îðèåíòàöèþ ðåáåð òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.
6.10. Òàêàÿ îðèåíòàöèÿçàäàåò ñîãëàñîâàííóþ îðèåíòàöèþ îêðóæíîñòåé ñîñòîÿíèé â äâóõ ðàññìàòðèâàåìûõ ïåðåêðåñòêàõ â ñìûñëå ðèñ. 6.3. Ïîñëå ýòîãî ìû ìîæåì èêñè-6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû290ðîâàòü áàçèñû {1, X} äëÿ âñåõ îêðóæíîñòåé â âåðøèíàõ ñîãëàñíî ïðàâèëó,óêàçàííîìó íà ðèñ. 6.3.Äàëåå àíòèêîììóòàòèâíîñòü ïðîâåðÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ñëó÷àåîáû÷íîãî (íåóïîðÿäî÷åííîãî) òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìû ïîëó÷èëè áûêîììóòàòèâíûå äèàãðàììû.
Ïåðåíóìåðàöèÿ îêðóæíîñòåé ìîæåò ïðèâåñòèê ïîÿâëåíèþ çíàêà ìèíóñ íà íåêîòîðûõ ðåáðàõ. Íàì íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òîäëÿ êàæäîãî àòîìà âñå ïîÿâëÿþùèåñÿ çíàêè â öåëîì ïðèâåäóò ê àíòèêîììóòàòèâíîñòè.Òàê, íàïðèìåð, íà ðèñ. 6.12 ìû èìååì äèàãðàììó óçëà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðîâàííûé àòîì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè. Ïðîâåðêà ñëó÷àÿíåóïîðÿäî÷åííîãî òåçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó ñâîéñòâóàññîöèàòèâíîñòè m◦(m⊗1) = m◦(1⊗m), ãäå îêðóæíîñòè ïåðåíóìåðîâàíûñëåâà íàïðàâî.  ëåâîé ÷àñòè ðèñóíêà îäíà ïàðà íîìåðîâ îêðóæíîñòåé 1 2èçîáðàæåíà â ïåðåâåðíóòîì âèäå, ÷òîáû îòìåòèòü, ÷òî ðåáðà îðèåíòèðîâàíû ñíèçó ââåðõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
