Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Ïîâòîðÿÿ äîñëîâíî ðàññóæäåíèÿ ãëàâû 5 î çàòÿãèâàþùåìäåðåâå, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ëåììå.Ëåììà 6.3. Íåíóëåâûå ãîìîëîãèè Õîâàíîâà Kh(L) ìîãóò èìåòü áèãðàäó(C1 +β +w, C2 +β +2w±1), ãäå w ïðîáåãàåò íåêîòîðîåêîíå÷íîå ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, β ïðîáåãàåò íàáîð çíà÷åíèé β(s) äëÿâñåõ ñîñòîÿíèé s ∈ K1 (L), à C1 , C2 íåêîòîðûå êîíñòàíòû.èðîâêè òîëüêî âèäàÍàïîìíèì (ñì. ñòð. 170), ÷òî äëèíîé (span) ïîëèíîìà Ëîðàíà îò îäíîéïåðåìåííîé íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó ïîêàçàòåëÿìè ñòàðøåé è ìëàäøåéñòåïåíåé íåíóëåâûõ ìîíîìîâ, â íåãî âõîäÿùèõ.Ñêàæåì, ÷òî äèàãðàììà L ñ n êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè ÿâëÿåòñÿ1-ïîëíîé, åñëè spanhLi = 4n − 4g(L), ãäå g ðîä àòîìà, ñîîòâåòñòâóþùåãîä äèàãðàììå L.
Íàçîâåì îðèåíòèðîâàííóþ âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó1-ïîëíîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé íåîðèåíòèðîâàííàÿ äèàãðàììà ÿâëÿåòñÿ 1-ïîëíîé.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû, ïðèâåäåííîå â ðàáîòå [Weh2℄ äëÿ ñëó÷àÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ, äîñëîâíî ïðîäîëæàåòñÿ íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé ëåììû ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå î òîëùèíå ãîìîëîãèé Õîâàíîâà (ïîíÿòèå, ââåäåííîå Ì.Àñàýäîé è É.Ïðæèòèöêèì [AP℄).Óòî÷íèì ýòî ïîíÿòèå, ðàñïðîñòðàíèâ åãî íà âñå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ ñïðîèçâîëüíûìè êîýèöèåíòàìè.àññìîòðèì îðèåíòèðîâàííîå çàöåïëåíèå L è åãî ãîìîëîãèè Õîâàíîâàíàä íåêîòîðûì íå ãðàäóèðîâàííûì êîëüöîì R.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç tmax ètmin ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû 2x−y ïî âñåì ïàðàìx, y òàêèì, ÷òî ãðóïïà ãîìîëîãèé Õîâàíîâà çàöåïëåíèÿ L ñ áèãðàäóèðîâêîé (x, y) íåòðèâèàëüíà. Íàçîâåì òîëùèíîé (ñì. [Shu℄) êîìïëåêñà Õîâàminíîâà TR (L) âåëè÷èíó tmax −t+ 1. Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ öåëîé â ñëó÷àå26.5. Îáîáùåíèÿ305âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, èìîæåò áûòü ïîëóöåëîé â ñëó÷àå çàöåïëåíèé, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò íåîðèåíòèðóåìûå àòîìû.Íàçîâåì òîëùèíîé T (L) âèðòóàëüíîé äèàãðàììû L ìàêñèìóì çíà÷åíèÿòîëùèíû ïî âñåì êîëüöàì êîýèöèåíòîâ.Èç ëåììû 6.3 è îïðåäåëåíèÿ àòîìà âûòåêàåò ñëåäóþùàÿËåììà 6.4.Äëÿ êàæäîé ñâÿçíîé (â ñìûñëå àòîìà) äèàãðàììû âèðòó-àëüíîãî çàöåïëåíèÿLèìååì:T (L) 6 g(L) + 2.Ñêàæåì, ÷òî âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà L ÿâëÿåòñÿ 2-ïîëíîé, åñëè âåëè÷èíà g(L) + 2 ðàâíà T (L).Òåîðåìà 4.4 óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ êàæäîé ñâÿçíîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû L ñ n ïåðåêðåñòêàìè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî spanhLi 6 4n − 4g(L).Èç òåîðåìû 4.4 è ëåììû 6.4 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 6.6.Ïóñòü ñâÿçíàÿ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììàçàöåïëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ1-ïîëíîéè2-ïîëíîé.LâèðòóàëüíîãîÒîãäà îíà ìèíèìàëüíà ïî êî-ëè÷åñòâó êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ â êëàññå ñâÿçíûõ äèàãðàìì.6.5.1.
îìîëîãèè çàöåïëåíèé è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ ãëàâå 5 áûëè îïèñàíû íåêîòîðûå åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ, íà÷àëà êîòîðûõ áûëè ïîëîæåíû Õîâàíîâûì. Îêàçûâàåòñÿ, íåêîòîðûå èç íèõ ïåðåíîñÿòñÿ è íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåãî ðàçäåëà, îòíîñÿùèåñÿ ê ñëó÷àþ îðèåíòèðóåìûõ àòîìîâ, ïðèâåäåíû âïðåäûäóùåé ãëàâå.Ïóñòü R, A êîììóòàòèâíûå êîëüöà, è ïóñòü ι : R → A ðîáåíèóñîâî ðàñøèðåíèå (ñì.
ñòð. 242). Íàïîìíèì, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ (R, A)êîíñòðóêöèÿ (ñì. ñòð. 244) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.1. R = Z[h, t].2. A = R[X]/(X 2 − hX − t),3. deg X = 2, deg h = 2, deg t = 4;4. ∆(1) = 1 ⊗ X + X ⊗ 1 − h1 ⊗ 16.5. Îáîáùåíèÿ3065. ∆(X) = X ⊗ X + t1 ⊗ 1.Òåîðåìà 6.7. Îãðàíè÷åíèå÷àéh=0óíèâåðñàëüíîé êîíñòðóêöèè Õîâàíîâà íà ñëó-(áåç îãðàíè÷åíèé íàt)îáîáùàåòñÿ íà âèðòóàëüíûå óçëû ìå-òîäîì, ïðåäëîæåííûì â íàñòîÿùåé ãëàâå.Îñíîâíàÿ èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.7 ñîñòîèò â òîì, ÷òî ∆ è mõîðîøî âåäóò ñåáÿ ïðè èíâîëþöèè I : 1 → 1, X → −X , ïðîèñõîäÿùåéïðè çàìåíå îðèåíòàöèè îêðóæíîñòè: îòîáðàæåíèå m íå ìåíÿåòñÿ, à ∆ ìåíÿåò çíàê. Îòìåòèì, ÷òî ýòî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè h = 0 áåç îãðàíè÷åíèéíà t. Íàïîìíèì, ÷òî â ïðåäûäóùåé ãëàâå äëÿ êîýèöèåíòîâ èç ïîëÿ Z2àíàëîãè÷íàÿ òåîðèÿ áûëà ïîñòðîåíà áåç îãðàíè÷åíèé íà h è t.Ýòà òåîðèÿ îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé, êîãäà h = 0 (ïðè ýòîì âñå äèåðåíöèàëû òèïà 1 → 1 ïðåäïîëàãàþòñÿ íóëåâûìè).
Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, ýòîïðèâîäèò ê àíàëîãó òåîðèè Ëå, ñì. [Lee1℄.ëàâà 7Âèðòóàëüíûå êîñûÍàñòîÿùàÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà âèðòóàëüíûì êîñàì â ñâÿçèñ òåîðèåé âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò åå ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòà âèðòóàëüíûõ êîñ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõêîñ. Ýòîò èíâàðèàíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåíèå íåêîòîðîãî èíâàðèàíòàêëàññè÷åñêèõ êîñ íà âèðòóàëüíûé ñëó÷àé. (Äîêàçàòåëüñòâó èíâàðèàíòíîñòè ïîñâÿùåíà òåîðåìà 7.7). Óòâåðæäåíèå î ïîëíîòå ýòîãî èíâàðèàíòà âêëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ñëåäóåò èç òî÷íîñòè äåéñòâèÿ óðâèöà, [Hur℄ íà ñâîáîäíîé ãðóïïå; èíâàðèàíòíîñòü áûëà âïåðâûå äîêàçàíà Àðòèíîì [Art1℄.Îòìåòèì, ÷òî ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ ðåøåíà.
åîìåòðè÷åñêîå ðàñïîçíàâàíèå ïðîõîäèò àíàëîãè÷íîãåîìåòðè÷åñêîìó ðàñïîçíàâàíèþ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, îïèñàííîìó â ãëàâå2. Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñïîçíàâàíèå âèðòóàëüíûõ êîñ âïåðâûå áûëî ïîëó÷åíîÂ..Áàðäàêîâûì [Bar℄.Ïðèâîäèìûå â íàñòîÿùåé ãëàâå ðåçóëüòàòû àâòîðà âïåðâûå îïóáëèêîâàíû â ñòàòüå [Ìà3℄, ñì. òàêæå [Ìà1℄.Âîïðîñ î ïîëíîòå ïðåäëàãàåìîãî â íàñòîÿùåé ãëàâå èíâàðèàíòà â íàñòîÿùåå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì.Èç ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòà âèðòóàëüíûõ êîñ, îáîáùàþùåãî ïîëíûéèíâàðèàíò êëàññè÷åñêèõ êîñ, ñëåäóåò òî, ÷òî åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèåãðóïïû êëàññè÷åñêèõ êîñ â ãðóïïó âèðòóàëüíûõ êîñ ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì.
Ýòîò ðåçóëüòàò íå ÿâëÿåòñÿ íîâûì. Äðóãèìè ìåòîäàìè îí áûë äîêàçàíðàíåå .Ôåííîì, .èìàíüè è Ê.óðêîì â ðàáîòå [FRR℄.Íàñòîÿùàÿ ãëàâà ïîñòðîåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà ìû ïðèâîäèìâñå îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ òåîðèè êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ êîñ è îðìóëèðóåì èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû î âèðòóàëüíûõ êîñàõ, â òîì ÷èñëå è ðå-7.1. Îïðåäåëåíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ308çóëüòàò Â..Áàðäàêîâà î íîðìàëüíîé îðìå âèðòóàëüíûõ êîñ. Äàëüíåéøàÿ÷àñòü íàñòîÿùåé ãëàâû ïîñâÿùåíà ïðåäëîæåííîìó àâòîðîì èíâàðèàíòó èîáñóæäåíèþ åãî ñâîéñòâ.Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíûâ âèäå çàìûêàíèÿ êëàññè÷åñêèõ êîñ, âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ ïðåäñòàâèìû â âèäå çàìûêàíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ. Âèðòóàëüíûå êîñû áûëè âïåðâûå óïîìÿíóòû Êàóìàíîì â åãî ïåðâîì äîêëàäå î âèðòóàëüíûõ óçëàõ,[Kau1℄.
Ïåðâûå ðàáîòû î âèðòóàëüíûõ êîñàõ ïðèíàäëåæàò Ñ.Êàìàäå [Kam℄è Â.Â.Âåðøèíèíó, [Ver℄.7.1. Îïðåäåëåíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñÊëàññè÷åñêèå êîñû èìåþò ìíîãî ðàçíûõ îïðåäåëåíèé, ãåîìåòðè÷åñêîå(äèàãðàììû íà ïëîñêîñòè, ðàññìîòðåííûå ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà), àëãåáðàè÷åñêîå (ÿâíîå êîïðåäñòàâëåíèå), àëãåáðîãåîìåòðè÷åñêîå(óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà ïðîñòðàíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ áåç êðàòíûõ êîðíåé)è òîïîëîãè÷åñêîå (óíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà íàáîðà ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê íà ïëîñêîñòè).Âèðòóàëüíûå êîñû îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêèõ êîñ äîïóñêàþò îáîáùåíèå êîìáèíàòîðíûì ñïîñîáîì (ãåîìåòðè÷åñêèì èëè àëãåáðàè÷åñêèì).
Îíèîïðåäåëÿþòñÿ êàê êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè äèàãðàìì âèðòóàëüíûõ êîñ ïîâèðòóàëüíûì äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà (äîïóñêàþòñÿ âñå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, êðîìå ïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî è ïåðâîãî âèðòóàëüíîãî) èëè ïîñðåäñòâîì ÿâíîãî êîïðåäñòàâëåíÿ. Òîò àêò, ÷òî ìû çàïðåùàåì ïåðâîåâèðòóàëüíîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà, âåäåò ê çàìå÷àòåëüíîé (è ïðîñòîé)êîíñòðóêöèè îáîáùåíèÿ âñåõ êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ1 êëàññè÷åñêèõ óçëîâ íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñ íåêîòîðîé îãîâîðêîé. Çäåñü íóæíîðàññìàòðèâàòü òåîðèþ, â êîòîðîé âèðòóàëüíûå äèàãðàììû àêòîðèçóþòñÿ ïî âñåì îáîáùåííûì äâèæåíèÿì, êðîìå ïåðâîãî âèðòóàëüíîãî.
 ýòîìñëó÷àå ãîâîðÿò î òåîðèè æåñòêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, Ïðè ðàññìîòðåíèèâèðòóàëüíûõ êîñ ñóùåñòâóåò êàíîíè÷åñêèé ñïîñîá îáîáùåíèÿ âñåõ êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ (ãäå ê çàäàííîìó îïåðàòîðó R ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ1 Ïîäðîáíîèçëîæåíèå êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ è óðàâíåíèé ßíãà-Áàêñòåðà ñì. â [Tur1, Oht℄7.1.
Îïðåäåëåíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ309ßíãà-Áàêñòåðà äîáàâëÿåòñÿ îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè òåíçîðíûõ ñîìíîæèòåëåé, îòâå÷àþùèé âèðòóàëüíîìó ïåðåêðåñòêó). Îäíàêî òàêîå îáîáùåíèåíå ïðîäîëæàåòñÿ êàíîíè÷åñêè íà âèðòóàëüíûå óçëû: â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àåñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ íîðìàëèçàöèÿ, êîòîðàÿ ïðåâðàùàåò èíâàðèàíò êîñ âèíâàðèàíò óçëîâ çàìûêàíèé êîñ è ïîëó÷àåòñÿ ïîñðåäñòâîì äîáàâëåíèÿ íåêîòîðîãî òåíçîðà, êîòîðûé ðåãóëèðóåò èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíîïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.
 âèðòóàëüíîì ñëó÷àå ýòàêîíñòðóêöèÿ íå ïðîõîäèò, ïîòîìó ÷òî íóæíî ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ ïîòðåáîâàòü åùå è èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî âèðòóàëüíîãî äâèæåíèÿåéäåìåéñòåðà. Îäíàêî â ñëó÷àå æåñòêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ òåîðèÿ êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ ðàáîòàåò. Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîé òåîðèè ñì. â ðàáîòå[Kau7℄.Îïðåäåëåíèå 7.1. Äèàãðàììàèç n íèòåé ýòî íàáîð èç n ãëàäêèõ êðèâûõ îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè, ñîåäèíÿþùèõòî÷êè (i, 1) ñ òî÷êàìè (ai , 0), ìîíîòîííûõ îòíîñèòåëüíî îðäèíàòû (çäåñü(a1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
