Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 46
Текст из файла (страница 46)
îìîëîãèè äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî (îáîáùåííûõ)äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.6.3. Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ2732.  ñëó÷àå óçëîâ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, ãîìîëîãèè èçîìîðíû ãîìîëîãèÿì Õîâàíîâà, ïîñòðîåííûì â ïðåäûäóùåéãëàâå.3. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå íàøåãî êîìïëåêñà íà Z2 äàåò êîìïëåêñ, ïîñòðîåííûé â ðàçäåëå 5.3.4. ðàäóèðîâàííàÿ ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà êîìïëåêñà, êîòîðûé ìû ïîñòðîèì, ñîâïàäàåò ñ ïîëèíîìîì Äæîíñà.Çàìå÷àíèå 6.1. íàñòîÿùåé ðàáîòå â ðîëè êîëüöà êîýèöèåíòîâ ìî-æåò ñëóæèòü ëþáîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, íàïðèìåð,Z.Ïðè ýòîì äëÿ ïðîñòîòû ìû áóäåì èíîãäà íàçûâàòü ìîäóëè íàä êîëüöàìè âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè, âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿêîëüöî ïîëåì èëè íåò. ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëà ïîñòðîåíà òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà (ñ ïðîèçâîëüíûìè êîýèöèåíòàìè) äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû.
Îñíîâíûì ïðåïÿòñòâèåì â ñëó÷àå íåîðèåíòèðóåìûõ àòîìîâ ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïåðåñòðîéêè òèïà 1 → 1 âäîëüðåáðà êóáà. Ïðè ýòîì ìû èñïîëüçîâàëè äâóìåðíûé ãðàäóèðîâàííûé ìîäóëüV ãðàäóèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè (q + q −1 ) íàä îñíîâíûì êîëüöîì êîýèöèåíòîâ.Åñëè ïåðåñòðîåê òèïà 1 → 1 íå âîçíèêàåò, ìîæíî ïîñòðîèòü êóá ïåðåñòðîåê ñ èñïîëüçîâàíèåì îáû÷íûõ ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ óìíîæåíèþ m (äëÿ ïåðåñòðîåê òèïà 2 → 1) è êîóìíîæåíèþ ∆(äëÿ ïåðåñòðîåê òèïà 1 → 2).Íàëè÷èå ïåðåñòðîåê òèïà 1 → 1 (ñóùåñòâåííûé åíîìåí òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ, âîçíèêàþùèé èìåííî â ñâÿçè ñ íåîðèåíòèðóåìîñòüþ àòîìà)ñåðüåçíî óñëîæíÿåò ïðîáëåìó. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïîñòðîåíèÿ áèãðàäóèðîâàííîé òåîðèè (áåç ïðèâíåñåíèÿ íîâîé ãðàäóèðîâêè â îñíîâíîå êîëüöî),íàì íóæíî ïîñòðîèòü îòîáðàæåíèå èç V â V , ïîíèæàþùåå ãðàäóèðîâêóíà åäèíèöó (çàòåì ìû êîìïåíñèðóåì ýòî èçìåíåíèå ãðàäóèðîâêè, ïîâûøàÿåå íà åäèíèöó).
 ïðîñòðàíñòâå V áàçèñ ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòîâ ãðàäóèðîâîê +1 è −1. Ïîýòîìó åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùååîïèñàííûì âûøå óñëîâèÿì, ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì.6.3. Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ274 íàñòîÿùåé ãëàâå äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû ìû ïðèâëå÷åì äâå äîïîëíèòåëüíûå êîíñòðóêöèè: çàìåíà áàçèñà â ïðîñòðàíñòâå V , ñîîòâåòñòâóþùåì îêðóæíîñòè è ïîðîæäåííîì {1, X}, ãðóïïå ãîìîëîãèé òðèâèàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî ïåðåêðåñòêà ê äðóãîìó, à òàêæåèñïîëüçîâàíèå âíåøíåé ñòåïåíè îêðóæíîñòåé âìåñòî èõ ñèììåòðè÷åñêîéñòåïåíè.Ñîãëàøåíèå îá îáîçíà÷åíèÿõ. Ïóñòü äàí íåóïîðÿäî÷åííûé íàáîðâåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Óïîðÿäî÷èì èõ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì: V1 , .
. . , Vn .Îïðåäåëèì íîâîå ïðîñòðàíñòâî, íå çàâèñÿùåå îò ïîðÿäêà, êîòîðîå áóäåìîáîçíà÷àòü2 ÷åðåç V1 ∧V2 ∧· · ·∧Vn , ñëåäóþùèì îáðàçîì. àññìîòðèì òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ïðîñòðàíñòâ âî âñåõ óïîðÿäî÷åíèÿõ è îòîæäåñòâèìèõ ýëåìåíòû ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Ïóñòü xi ∈ Vi , i = 1, . . . , n.Ïîëîæèì xσ1 ⊗ · · · ⊗ xσn = sign(σ)x1 ⊗ · · · ⊗ xn .Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü òàêîå òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå x1 ⊗ · · · ⊗ xn ýëåìåíòîâ xi ∈ Xi ÷åðåç x1 ∧ x2 ∧ · · · ∧ xn . Íàçîâåì òàêîå òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèåóïîðÿäî÷åííûì.Çàìå÷àíèå 6.2.×òîáû èçáåæàòü ïóòàíèöû, çàìåòèì, ÷òî êîãäà ìûX ∧ X , ìû âñåãäà èìååì â âèäó, ÷òî ïåðâûé ýëåìåíò X è âòîðîéýëåìåíò X ïðèíàäëåæàò ðàçíûì (ïóñòü äàæå èçîìîðíûì) ïðîñòðàíñòâàì.
Òàêèì îáðàçîì X ∧ X íå ðàâíî íóëþ (â îòëè÷èå îò âíåøíèõïðîèçâåäåíèé 1-îðì íà ñåáÿ).ïèøåìàññìîòðèì òåïåðü âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó K .Äëÿ òîãî, ÷òîáû êóá ïåðåñòðîåê áûë àíòèêîììóòàòèâíûì, íàì íóæíîäîáàâèòü äâå íîâûå ñîñòàâëÿþùèå:1. Êàæäîé îêðóæíîñòè C ñîïîñòàâëÿåòñÿ âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ãðàäóèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè q + q −1 ñ áàçèñîì, çàâèñÿùèì îò îðèåíòàöèè.À èìåííî, ïóñòü äàíà îðèåíòàöèÿ o íåêîòîðîé îêðóæíîñòè C â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè; ñîïîñòàâèì ýòîé îêðóæíîñòè ãðàäóèðîâàííîå âåêòîðíîåïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå ýëåìåíòàìè 1 è XC,o . Ïðè çàìåíå îðèåíòàöèè o îêðóæíîñòè íà ïðîòèâîïîëîæíóþ, −o, ìû èìååì XC,−o = −XC,o .2Âñëó÷àå ñîâïàäåíèÿ ïðîñòðàíñòâV = V1 = · · · = Vnìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêæå îáîçíà÷åíèåV ∧n .6.3.
Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ2752. Ïóñòü äàíî ñîñòîÿíèå s äèàãðàììû âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ñ k îêðóæíîñòÿìè C1 , . . . , Ck â íåì. Ýòîìó ñîñòîÿíèþ ìû ñîïîñòàâèì óïîðÿäî÷åííîå òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå V ∧k ; â êà÷åñòâå áàçèñà ýòîãî ïðîèçâåäåíèÿâûáåðåì óïîðÿäî÷åííûå òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ (p1 )Ca1 ∧(p2 )Ca2 ∧· · ·∧(pk )Cak , ãäå (pi )Cai îçíà÷àåò ýëåìåíò áàçèñà ïðîñòðàíñòâà VCai .Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè ïðîñòðàíñòâî öåïåé êîìïëåêñà, ñîîòâåòñòâóþùåãî âèðòóàëüíîé äèàãðàììå K , êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç [[K]].Âñå áàçèñíûå ýëåìåíòû ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâóþò ñîñòîÿíèÿì äèàãðàììû K ñ äîïîëíèòåëüíûì âûáîðîì ýëåìåíòîâ âèäà ±1 èëè ±X íà êàæäîé èç îêðóæíîñòåé ñîñòîÿíèÿ.
Ïóñòü s ñîñòîÿíèå äèàãðàììû K ñ íàáîðîì îêðóæíîñòåé C1 , . . . , Cl , ïðè ýòîì íà äàííûõ îêðóæíîñòÿõ âûáðàíûýëåìåíòû γ1 , . . . , γl . Ýòè ýëåìåíòû îáðàçóþò öåïü êîìïëåêñà [[K]], êîòîðîéìû ñîïîñòàâëÿåì âûñîòó h, ãäå h êîëè÷åñòâî ðàçâåäåíèé òèïà B â ñîñòîÿíèè s, è ãðàäóèðîâêó, ðàâíóþ h + (#1) − (#X), ãäå #1 ýòî êîëè÷åñòâîýëåìåíòîâ âèäà ±1 ñðåäè γ1 , . . .
, γl , à #X ýòî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ±Xñðåäè γ1 , . . . , γl .Íàøåé ñëåäóþùåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå äåéñòâèÿ äèåðåíöèàëà ∂íà äàííîì êîìïëåêñå, êîòîðûé ïîâûøàë áû âûñîòó íà åäèíèöó è íå ìåíÿëãðàäóèðîâêè.Ïîëîæèì n+ = ÷èñëî ïåðåêðåñòêîâ òèïà, n− = ÷èñëî ïåðåêðåñòêîâòèïà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(K) êîìïëåêñ, ïîëó÷åííûé èç [[K]] ñäâèãîì âûñîòûè ãðàäóèðîâêè: C(K) = [[K]]{n+ − 2n− }[−n− ], ò.å.
âûñîòà êàæäîé öåïèóìåíüøàåòñÿ íà n− , à ãðàäóèðîâêà óâåëè÷èâàåòñÿ íà (n+ − 2n− ); âñå äèåðåíöèàëû ñäâèãàþòñÿ ñîãëàñîâàííî. Çäåñü ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî [[K]]ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñîì, ÷òî áóäåò äîêàçàíî íèæå.Êàêîâ áû íè áûë äèåðåíöèàë ∂ , èç ïîñòðîåíèÿ öåïåé êîìïëåêñà C(K)âûòåêàåòUXÒåîðåìà 6.2. Äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ K èìååò ìåñòî χ(C(K)) =ˆJ(K).6.3.1.
Îïðåäåëåíèå ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâÏðèìåì, ÷òî âåòâè êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ îðèåíòèðîâàíû ñíèçó ââåðõ.6.3. Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ276àññìîòðèì íåêîòîðîå ñîñòîÿíèå s äèàãðàììû îðèåíòèðîâàííîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ. Âûáåðåì êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê è ðàññìîòðèì âñåîêðóæíîñòè ñîñòîÿíèÿ s, èíöèäåíòíûå ýòîìó ïåðåêðåñòêó. Ýòèõ îêðóæíîñòåé ìîæåò áûòü ëèáî îäíà, ëèáî äâå. Ôèêñèðóåì îðèåíòàöèè ýòèõ îêðóæíîñòåé ñîãëàñíî îðèåíòàöèè ðåáðà, èñõîäÿùåãî â íàïðàâëåíèè íàïðàâî ââåðõè ïðîòèâ îðèåíòàöèè ðåáðà, âõîäÿùåãî â ïåðåêðåñòîê ñëåâà ñíèçó, ñì. âåðõíþþ ÷àñòü ðèñ.
6.3. Êàê ìû óâèäèì äàëåå, â ñëó÷àå îäíîé îêðóæíîñòèýòè äâå çàäàííûå ëîêàëüíî îðèåíòàöèè ìîãóò íå áûòü ñîãëàñîâàííûìè, íîèìåííî òàêîé (íåñîãëàñîâàííûé) ñëó÷àé ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì.Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííàÿ îðèåíòàöèÿ îêðóæíîñòåé ñîñòîÿíèÿ s ñîãëàñóåòñÿ ëîêàëüíî ñ îðèåíòàöèåé ðåáðà, èñõîäÿùåãî ëîêàëüíî â íàïðàâëåíèèíàïðàâî ââåðõ (à òàêæå ðåáðà, âõîäÿùåãî ñïðàâà ñíèçó) è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ ðåáåð ñ ëåâîé ñòîðîíû ïåðåêðåñòêà: Ìû îðèåíòèðóåìïîëóðåáðà, èíöèäåíòíûå ïåðåêðåñòêó, òàê, êàê óêàçàíî â ëåâîéíèæíåé ÷àñòè ðèñ. 6.3. Òåì ñàìûì ìû èêñèðîâàëè âûáîð îáðàçóþùåéX íà êàæäîé îêðóæíîñòè, èíöèäåíòíîé âûáðàííîìó ïåðåêðåñòêó. Îòìåòèì, ÷òî â äðóãîì ïåðåêðåñòêå äëÿ òîé æå îêðóæíîñòè â òîì æå ñîñòîÿíèèâûáîð îáðàçóþùåé X ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò èñõîäíîãî çíàêîì.×àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî îðèåíòàöèÿì îêðóæíîñòåé â ïåðåêðåñòêàõ è ëîêàëüíîìó óïîðÿäî÷åíèþ êîìïîíåíò ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó.Îïèñàííàÿ âûøå îðèåíòàöèÿ îêðóæíîñòåé ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííîé çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ, êîãäà ðåáðî êóáà, ñîîòâåòñòâóþùåå ïåðåêðåñòêó, ïåðåâîäèò îäíó îêðóæíîñòü â îäíó îêðóæíîñòü.
 òàêèõñèòóàöèÿõ ìû ïîëàãàåì ÷àñòè÷íûé äèåðåíöèàë, ñîîòâåòñòâóþùèé ðåáðó, ðàâíûì íóëþ.Ïóñòü òåïåðü ìû èìååì ïåðåñòðîéêó òèïà 1 → 2 èëè 2 → 1 â íåêîòîðîìïåðåêðåñòêå.Åñëè ìû èìååì äåëî ñ äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè, èíöèäåíòíûìè ïåðåêðåñòêó ñ ïðîòèâîëîæíûõ ñòîðîí, ìû óïîðÿäî÷èâàåì èõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåðõíÿÿ (ñîîòâ., ëåâàÿ) îêðóæíîñòü ñ÷èòàëàñü ïåðâîé; íèæíÿÿ (ñîîòâ.,ïðàâàÿ) îêðóæíîñòü áóäåò ñ÷èòàòüñÿ âòîðîé.  äàëüíåéøåì ïðè îïðåäåëåíèè ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âñå îêðóæíîñòè6.3. Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâX277XXX-X-X-X-Xèñ. 6.3. Çàäàíèå áàçèñà â ïåðåêðåñòêåóïîðÿäî÷åíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî òå îêðóæíîñòè, êîòîðûå ó÷àñòâóþò â ïåðåñòðîéêå, íàõîäÿòñÿ íà ñàìûõ íà÷àëüíûõ ìåñòàõ â íàøåì óïîðÿäî÷åííîìòåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè; ýòîãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ ïîñðåäñòâîì ïðåäâàðèòåëüíîé ïåðåñòàíîâêè, êîòîðàÿ ïðèâåäåò, áûòü ìîæåò, ê çàìåíå çíàêà.Íà îñòàëüíûõ îêðóæíîñòÿõ îòîáðàæåíèå äåéñòâóåò òîæäåñòâåííî.Ïóñòü äàíî ðåáðî êóáà ïåðåñòðîåê, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèåêîëè÷åñòâà îêðóæíîñòåé â ñîñòîÿíèÿõ íà åäèíèöó.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
