Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ247ìîæåì ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùèé êóá ïåðåñòðîåê ñ äèåðåíöèàëàìè,ñîîòâåòñòâóþùèìè îïåðàöèÿì óìíîæåíèÿ è êîóìíîæåíèÿ (ñî çíàêàìè) èâû÷èñëèòü ãîìîëîãèè. Äàëåå, åñëè äâå îðèåíòèðóåìûå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû L, L′ ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïðèìåíåíèåì íåêîòîðîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà Ωi , òî, â ñèëó îïèñàííîãî âûøå ïðèíöèïà,èìååò ìåñòî èçîìîðèçì ãðàäóèðîâàííûõ ãîìîëîãèé KhU (L) ∼= KhU (L′ ).Òàê êàê óíèâåðñàëüíàÿ (R, A)-êîíñòðóêöèÿ òàâòîëîãè÷åñêè èíâàðèàíòíàïðè äâèæåíèÿõ îáúåçäà (êóá ïåðåñòðîåê îñòàåòñÿ íåèçìåííûì), âåðåí ñëåäóþùèé àíàëîã ëåììû 5.3:Ëåììà 5.7.L, L′ äâå äèàãðàììû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò′îðèåíòèðóåìûå àòîìû, ïðè ýòîì L îòëè÷àåòñÿ îò L ïðèìåíåíèåì îáúÏóñòüåçäà èëè îäíîãî èç òðåõ êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.
ÒîãäàKhU (L) èçîìîðíî KhU (L′ ).Èç ýòîãî ðàññóæäåíèÿ, à òàêæå ëåìì 5.4, 5.5 âûòåêàåò, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ(R, A)-êîíñòðóêöèÿ ðàáîòàåò äëÿ1. ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà KhU äëÿ îñíàùåííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ïîñðåäñòâîì âçÿòèÿ 2k ïàðàëëåëüíûõ êîïèé;2. ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà KhU äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâïîñðåäñòâîì âçÿòèÿ äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä ñîîòâåòñòâóþùèìè àòîìàìè.Áîëåå òî÷íî, èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû.Òåîðåìà 5.9.Ïóñòün íàòóðàëüíîå ÷èñëî. ÒîãäàKhU (D2n (L))ÿâëÿ-åòñÿ èíâàðèàíòîì îñíàùåííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.à òàêæåÒåîðåìà 5.10.ÎòîáðàæåíèåL → KhU (K(Ṽ (L)))ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíîîïðåäåëåííûì èíâàðèàíòîì âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.5.7.4.
Àëãåáðàè÷åñêèå îáîáùåíèÿÊàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå, äëÿ íåîðèåíòèðóåìûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ÿâíî ïðèìåíèìà Z2 -òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, â5.7. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ248êîòîðîé âñå ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåñòðîéêàìòèïà 1 → 1, ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ.àññìîòðèì òåïåðü óíèâåðñàëüíóþ (R, A)-êîíñòðóêöèþ è ïîñòàðàåìñÿîáîáùèòü åå íà ñëó÷àé íåîðèåíòèðóåìûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Îòìåòèì, ÷òî åñëè ìû êàæäîìó óçëó ñîïîñòàâèì êîððåêòíî îïðåäåëåííûé êîìïëåêñ, òî ãîìîëîãèè ýòîãî êîìïëåêñà áóäóò àâòîìàòè÷åñêè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà (ñîãëàñíî ëîêàëüíîñòè äîêàçàòåëüñòâà èíâàðèàíòíîñòè) è äâèæåíèÿ îáúåçäà(òàê êàê ïðè ïðèìåíåíèè äâèæåíèÿ îáúåçäà íå èçìåíÿåòñÿ ñàì êîìïëåêñ).Òàêèì îáðàçîì, ìû ñâåëè çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ðàñøèðåíèÿ êîëüöà Aäëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ê ñëåäóþùåé çàäà÷å.
Íàéòè òàêîé îïåðàòîð (ãîìîìîðèçìR-ìîäóëåé) I : A → A, ñîîòâåòñòâóþùèé îòîáðàæåíèþ âèäà 1 → 1,÷òîáû äëÿ êàæäîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû L êóá ïåðåñòðîåê, ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè, ïîëó÷àåìûìè èç îòîáðàæåíèé m, ∆, I áûë (àíòè)êîììóòàòèâíûì.Òî åñòü ìû òðåáóåì êîììóòàòèâíîñòè êóáà äî òîãî, êàê íà ðåáðàõ ïðîñòàâëåíû çíàêè òî÷íî òàêèå æå, êàê è â îáû÷íîì ñëó÷àå.Ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêîé. Äëÿ åå ðåøåíèÿ íóæíî ðàññìîòðåòü âñåâîçìîæíûå ãðàíè êóáà ïåðåñòðîåê äèàãðàììû L; òèïîâ òàêèõãðàíåé êîíå÷íîå ÷èñëî (êàæäîé òàêîé ãðàíè ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûé àòîìñ äâóìÿ âåðøèíàìè).
Äëÿ êàæäîé èç íèõ íóæíî ïðîâåðèòü íåêîòîðîå êîíêðåòíîå àëãåáðàè÷åñêîå óñëîâèå íà îòîáðàæåíèÿ I, ∆ è m.Çàäàäèì íà ïðîñòðàíñòâå A áàçèñ {1, X}, à íà ïðîñòðàíñòâå A ⊗ A áàçèñ{1 ⊗ 1, 1 ⊗ X, X ⊗ 1, X ⊗ X}.Òîãäà â ýòèõ áàçèñàõ îòîáðàæåíèÿ ∆ è m áóäóò èìåòü âèä ñëåäóþùèõìàòðèö:−h 1∆= 10tµ¶0100t,m =.00 1 1 h1(5.14)Ïîñëå ýòîãî ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü çíà÷îê óìíîæåíèÿ ìàòðèö âìåñòî5.7. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ249êîìïîçèöèè îïåðàòîðîâ.
Òàê, íàïðèìåð, ìû áóäåì ïèñàòü µ·∆ âìåñòî µ◦∆.Ìû èùåì ìàòðèöóµ¶p qI=,(5.15)r sêîòîðàÿ ñîîòâåòñòâîâàëà áû ïåðåñòðîéêàì òèïà 1 → 1, îáåñïå÷èâàÿ ïðèýòîì (àíòè)êîììóòàòèâíîñòü êóáà ïåðåñòðîåê.Ïóñòü äàíî êîëüöî êîýèöèåíòîâ R, ñîäåðæàùåå ýëåìåíòû h è t ãðàäóèðîâîê 2 è 4 ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé êóá ïåðåñòðîåê ÷åðåç[[K]]F . Îïðåäåëèì â íåì äèåðåíöèàë êàê ñóììó ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåáðàì (òèïîâ m, ∆, I) ñî çíàêàìè, ðàññòàâëåííûìè òàê æå, êàê íà ñòð. 221.Ëåììà 5.8 ([Ma11℄). ×òîáû êóá ïåðåñòðîåê (ïðîñòðàíñòâî öåïåé ñ äèåðåíöèàëîì)[[K]]Ráûë àíòèêîììóòàòèâíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷-íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:m · ∆ = (I)2 ;(5.16)∆ · I = (I ⊗ 1) · ∆ = (1 ⊗ I) · ∆;(5.17)I · m = m · (I ⊗ 1) = m · (1 ⊗ I).(5.18)Äëÿ ïðîâåðêè (àíòè)êîììóòàòèâíîñòè êóáàñîñòîÿíèé íàì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü âñåâîçìîæíûå âèäû äâóìåðíûõãðàíåé êóáà.
Äàëåå ìû ïðåíåáðåãàåì äîïîëíèòåëüíûìè çíàêàìè íà ðåáðàõè äîêàçûâàåì êîììóòàòèâíîñòü. ïðîñòîì ñëó÷àå ñ ïîëåì Z2 è íóëåâûìè äèåðåíöèàëàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïåðåñòðîéêàì òèïà 1 → 1, âñå ñâîäèëîñü ê êëàññè÷åñêèì ñëó÷àÿì, à òàêæå ê ñëó÷àþ, èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 5.1.Äëÿ (R, A)-òåîðèè íàì íóæíî ïðîâåðÿòü áîëüøå ñëó÷àåâ, òàê êàê îòîáðàæåíèå òèïà 1 → 1 áîëåå íå ïðåäïîëàãàåòñÿ íóëåâûì, à îòîáðàæåíèÿ mÄîêàçàòåëüñòâî ëåììû 5.8.5.7. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ250(óìíîæåíèå) è ∆ (êîóìíîæåíèå) óñòðîåíû áîëåå ñëîæíî, ÷åì â ñëó÷àå ãîìîëîãèé Kh.Êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð èç ÷åòûðåõñîñòîÿíèé, ñì.
ñòð. 223.  ïåðåõîäå èç îäíîãî òàêîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîåíåêîòîðûå îêðóæíîñòè ïåðåñòðàèâàþòñÿ, à äðóãèå îêðóæíîñòè îñòàþòñÿ.Îáîçíà÷èì ýòè ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ ÷åðåç s00 , s01 , s10 è s11 â çàâèñèìîñòè çíà÷åíèé äâóõ èçìåíÿþùèõñÿ êîîðäèíàò. Óäàëèì îáùèå êîìïîíåíòû ðàçâåäåíèé sij , ò.å. òå êîìïîíåíòû ðàçâåäåíèÿ s00 , êîòîðûå íå ïðèìûêàþò êïåðåêðåñòêàì, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò çàìåíà ðàçâåäåíèÿ. Òîãäà äàííàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà áóäåò çàäàâàòü íåêîòîðûé âèðòóàëüíûé óçåë, à ñ íèì àòîì. Ýòîò àòîì áóäåò èìåòü ðîâíî äâå âåðøèíû.
Åñëè àòîì âûñîòíûé, òîñîîòâåòñòâóþùàÿ äèàãðàììà ðåàëèçóåòñÿ ïåðåñòðîéêîé âëîæåííûõ îêðóæíîñòåé íà ïëîñêîñòè, òàêèì îáðàçîì, (àíòè)êîììóòàòèâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàíè ïðèíàäëåæèò ê ÷èñëó êëàññè÷åñêèõ ñëó÷àåâ, ïðîâåðåííûõ Õîâàíîâûì.Äëÿ àòîìîâ ñ íåñâÿçíûì îñòîâîì ïðîâåðêà î÷åâèäíàþ Äàëåå, êàæäûéîðèåíòèðóåìûé àòîì ñî ñâÿçíûì îñòîâîì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ÿâëÿåòñÿ âûñîòíûì.
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ ïðîâåðêà ñâîäèòñÿ ê ïåðåáîðó íåîðèåíòèðóåìûõ àòîìîâ ñ äâóìÿ âåðøèíàìè (âñå îíè, ïî îïðåäåëåíèþ, íåâûñîòíû).Ïåðåáèðàÿ òàêèå àòîìû, èíîãäà ìû áóäåì ïðèõîäèòü ê ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî, êàê, íàïðèìåð, I ◦ µ = I ◦ µ, ñì. ðèñ.5.17.
Òðè àòîìà, äàþùèå íåòðèâèàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå óêàçàíû âîðìóëèðîâêå äîêàçûâàåìîé ëåììû, ïðèâåäåíû íà ðèñ. 5.18, 5.19 è (ïðèìåð, ðàññìîòðåííûé ðàíåå) ðèñ. 5.1.Ïåðâîå óðàâíåíèå íàì óæå âñòðå÷àëîñü â ñëó÷àå îáû÷íûõ ãîìîëîãèéÕîâàíîâà C (òàì êîìïîçèöèÿ m · ∆ èìååò áîëåå ïðîñòîé âèä).  ñëó÷àåóíèâåðñàëüíîé (R, A)-òåîðèè ìû èìååì:µ¶−h 2tm·∆=(5.19)2 h.Åñëè ìû õîòèì ïîñòðîèòü Z-ãðàäóèðîâàííóþ òåîðèþ, òî íàì íóæíî, ÷òîáû ìàòðèöà I ïîâûøàëà ãðàäóèðîâêó ýëåìåíòîâ êîëüöà R íà åäèíèöó5.7.
Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿImImèñ. 5.17. Ïåðåñòðîéêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òàâòîëîãè÷åñêîìó ñîîòíîøåíèþIIèñ. 5.18. Ñîîòíîøåíèå ∆ · I = (I ⊗ 1) · ∆ = (1 ⊗ I) · ∆ImmIèñ. 5.19. Ñîîòíîøåíèå I · m = m · (I ⊗ 1) = m · (1 ⊗ I)2515.7. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ252(çàòåì ýòîò ñäâèã ãðàäóèðîâêè êîìïåíñèðóåòñÿ ïîíèæåíèåì íà åäèíèöó).Ýòî çíà÷èò, ÷òî âñå ýëåìåíòû p, q, r, s ∈ R äîëæíû áûòü îäíîðîäíûìè. Âýòîì ñëó÷àå deg p = 1, deg q = 2, deg r = 0, deg s = 1, ïðè ýòîì âîçìîæíî,÷òî êàêèå-ëèáî èç ýëåìåíòîâ p, q, r, s ðàâíû íóëþ (â ýòîì ñëó÷àå ãðàäóèðîâêà áûëà áû íå îïðåäåëåíà).
Òîãäà èç ðàâåíñòâà (I)2 = m · ∆ ñëåäóåòdeg(2t) = deg t = 3, ÷òî ïðèâîäèò íàñ ê ïðîòèâîðå÷èþ, åñëè 2 6= 0.Òàêèì îáðàçîì, (êàê è â ñëó÷àå îáû÷íûõ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà) Z ⊕ Záèãðàäóèðîâàííàÿ òåîðèÿ ãîìîëîãèé ïðè òàêîì ïîäõîäå âîçìîæíà ëèøü âñëó÷àå ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêè äâà.àññìîòðèì ñëó÷àé ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêè äâà.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ýòîìñëó÷àå èìååò ìåñòî ïðîñòîå íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå. À èìåííî, â ñëó÷àå2 = 0 ìàòðèöà m · ∆ ïðåâðàùàåòñÿ â äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó âèä൶h 0m·∆=(5.20)0 h√Äîáàâèì ê êîëüöó R íîâûé ýëåìåíò u = h, deg u = 1. Ïîëîæèì òåïåðüR′ = Z2 [u, t], ïðè ýòîì àëãåáðà A ïðèîáðåòàåò âèä A′ = R′ [X]/(X 2 −u2 X −t), ãäå degX = 2, degt = 4, degu = 1.Ïîëîæè쵶u 0I=.(5.21)0 u ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà I ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé, è óðàâíåíèÿ (5.17,5.18)âûïîëíÿþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó çàêëþ÷åíèþ.Òåîðåìà 5.11.(R′ , A′ ) âìåñòå ñ óìíîæåíèåìm, êîóìíîæåíèåì ∆, çàäàííûì ïî ïðàâèëó ∆(1) = 1 ⊗ X + X ⊗ 1 − u2 ·1 ⊗ 1; ∆(X) = X ⊗ X + t · 1 ⊗ 1 è ñêàëÿðíûì îòîáðàæåíèåì I, èìåþùèìâèä (5.21), çàäàþò èíâàðèàíòíóþ òåîðèþ ãîìîëîãèé äëÿ âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé.Íàä ïîëåìZ2ïàðà àëãåáð5.8.
Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé2535.8. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèéÏðè êëàññèèêàöèè è ñîñòàâëåíèè òàáëèö (âèðòóàëüíûõ) óçëîâ âàæíûìøàãîì ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå äèàãðàìì, èìåþùèõ ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ (êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ). Âàæíîé âåõîé â ðàçâèòèèòåîðèè óçëîâ ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà Êàóìàíà-Ìóðàñóãè (òåîðåìà 4.5) è ïîñëåäîâàâøàÿ çà íåé êëàññèèêàöèÿ àëüòåðíèðîâàííûõ çàöåïëíèé Ìåíàñêîè Òèñòëòóýéòîì [MT℄.  ãëàâå 4 ìû äîêàçàëè òàêæå îáîáùåíèÿ òåîðåìûÌóðàñóãè (òåîðåìû 4.6,4.7, 4.4).Äàëåå â íàñòîÿùåé ãëàâå ìû äîêàæåì òåîðåìû, óñòàíàâëèâàþùèå ìèíèìàëüíîñòü âèðòóàëüíûõ è êëàññè÷åñêèõ äèàãðàìì, è ïðèâåäåì ïðèìåðû. íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû óñèëèì ðåçóëüòàòû î ìèíèìàëüíîñòè äèàãðàììâèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, îïèñàííûå â ðàçäåëå 4.2, ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïëåêñà Õîâàíîâà.
Îñíîâíàÿ èäåÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Òåîðåìà 4.4 (íåðàâåíñòâî spanhLi 6 4n + 2(χ − 2)) äëÿ âèðòóàëüíîé äèàãðàììû L ñ n ïåðåêðåñòêàìè è àòîìîì ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè χ ïîçâîëÿëà äîêàçûâàòüìèíèìàëüíîñòü â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó íåâîçìîæíîóâåëè÷èòü: åñëè íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ñòðîãîå ðàâåíñòâî, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû óìåíüøèòü ÷èñëî ïåðåêðåñòêîâ n, íàì íóæíî óâåëè÷èòü ýéëåðîâóõàðàêòåðèñòèêó àòîìà èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, óìåíüøèòü åãî ðîä.
Îêàçûâàåòñÿ, ñ ïîìîùüþ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà ìîæíî äåëàòü îöåíêè íà ðîä àòîìà,ïðè ýòîì â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæíî ÿâíî íàáëþäàòü, ÷òî ýòîò ðîä íå óìåíüøàåì.  ýòîì ñëó÷àå ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ âìåñòå ñ íåóìåíüøàåìîñòüþðîäà ïðèâîäÿò ê ìèíèìàëüíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû.Îòìåòèì î÷åâèäíóþ îáùåèçâåñòíóþ òåîðåìó ìèíèìàëüíîñòè. Èç ïîñòðîåíèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà âûòåêàåòÒåîðåìà 5.12.
Ïóñòü KÒîãäà ðàçíèöà i1 äèàãðàììà ñn êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè.− i2ìåæäó âûñîòàìè (ãîìîëîãè÷åñêèìè ãðàäóèðîâêàìè)i ,ii ,jíåòðèâèàëüíûõ ãðóïï ãîìîëîãèé Õîâàíîâà Kh 1 (K) è Kh 2 (K) íå ïðåâîñõîäèòn.Äèàãðàììû ñnïåðåêðåñòêàìè, ó êîòîðûõ ðàçíèöà ìåæäó âûñîòàìèíåòðèâèàëüíûõ ãðóïï ãîìîëîãèé ðàâíàn,èìåþò ñëîæíîñòün.5.8. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé254Ïðèâîäèìûå äàëåå ïðèìåðû ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì íå óäîâëåòâîðÿþòóñëîâèÿì òåîðåìû 5.12.Ïðèâîäèìûå íèæå îöåíêè îïóáëèêîâàíû â [Ma14℄.Íà ïðîòÿæåíèè íàñòîÿùåãî ðàçäåëà âñå çàöåïëåíèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåäñòàâèìûìè â âèäå íåòðèâèàëüíîé ñâÿçíîé ñóììû.àññìîòðèì âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó L, ñîîòâåòñòâóþùóþ îðèåíòèðóåìîìó àòîìó, è ãîìîëîãèè Õîâàíîâà Kh(L) íàä íåêîòîðûì êîëüöîì R.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç tmax è tmin ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû2x − y ïî âñåì ïàðàì x, y òàêèì, ÷òî ãðóïïà ãîìîëîãèé Õîâàíîâà çàöåïëåíèÿ L ñ áèãðàäóèðîâêîé (x, y) íåòðèâèàëüíà. Íàçîâåì òîëùèíîé (ñì. [AP℄)minêîìïëåêñà Õîâàíîâà TR (L) âåëè÷èíó tmax −t+ 1. Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ2öåëîé â ñëó÷àå âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, è ìîæåò áûòü ïîëóöåëîé â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé (â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñìûñë ãîâîðèòü î Z2 -òîëùèíå).Äàëåå äèàãîíàëüþ áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî ïàð öåëûõ ÷èñåë (x, y),äëÿ êîòîðûõ 2x − y ïîñòîÿííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
