Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîêîëè÷åñòâî òî÷åê òðàíñâåðñàëüíîãî ïðîõîæäåíèÿ íà ýòèõ ïóòÿõ îäèíàêî-Àòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà238èñ. 5.16. Ñëó÷àé òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðàâî (ðàâíî íóëþ). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ îäèíàêîâîñòü ïîäíÿòèÿ ëþáûõäâóõ ïóòåé íà ðèñ. 5.16 ñ îäèíàêîâûìè êîíöàìè.Ñîãëàñíî ëåììå 5.2, èìåþò ñìûñë ãîìîëîãèè Kh(Ṽ (L)).Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 5.3 ãîìîëîãèè Õîâàíîâà íàêðûòîãî óçëà íåìåíÿþòñÿ ïðè ïðèìåíåíèè äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà ê èñõîäíîìó. Îòñþäàïîëó÷àåì òåîðåìó.Òåîðåìà 5.5.ÎòîáðàæåíèåL → Kh(K(Ṽ (L)))çàäàåò êîððåêòíî îïðå-äåëåííûé èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Çàìå÷àíèå 5.11.íèå åéäåìåéñòåðàÎòìåòèì, ÷òî òîëüêî âòîðîå êëàññè÷åñêîå äâèæå-Ω2ìîæåò èçìåíèòü òèï ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà(ò.å.
ïðåâðàòèòü íåîðèåíòèðóåìûé àòîì â îðèåíòèðóåìûé è íàîáîðîò).Òàê íàïðèìåð, åñëè ìû èìåëè îðèåíòèðîâàííûé àòîì V (K) è äâå êîìïîíåíòû àòîìà Ṽ (K), òî ïðèìåíåíèå (íåäîïóñòèìîãî âàðèàíòà) âòîðîãîäâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ê K ìîæåò ñîåäèíèòü ýòè êîìïîíåíòû â îäíó (÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ïîñëå ïðèìåíåíèÿ âòîðîãî äâèæåíèÿåéäåìåéñòåðà àòîì ìîæåò ïåðåñòàòü áûòü îðèåíòèðóåìûì).Ïðè ýòîì äâèæåíèÿ Ω1 , Ω3 îñòàâëÿþò îðèåíòèðóåìûé àòîì îðèåíòèðóåìûì.Ïóñòü òåïåðü àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé äèàãðàììå L, îðèåíòèðóåì. ÒîãäàK(Ṽ (L)) ñîñòîèò èç äâóõ ýêçåìïëÿðîâ àòîìà L. Ïîñêîëüêó F ÿâëÿåòñÿ ïî⊗2ëåì, ìû èìååì KhF (K(Ṽ (L))) = KhF (L) .Ñëåäîâàòåëüíî, ãîìîëîãèè Kh(L) ïîëó÷àþòñÿ èç èíâàðèàíòíûõ ãîìîëîãèé Kh(K(Ṽ (L))) èçâëå÷åíèåì òåíçîðíîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ.  ñëó÷àå,êîãäà êîëüöî êîýèöèåíòîâ ÿâëÿåòñÿ ïîëåì, ìû èìååì ïîëèíîì ÏóàíêàðåÀòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà239P îò äâóõ ïåðåìåííûõ ñî âñåìè öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìè êîýèöèåíòàìè.
Èç íåãî íóæíî èçâëå÷ü êâàäðàòíûé êîðåíü, ò.å. íàéòè òàêîé ïîëèíîì (Ëîðàíà) Q îò òåõ æå äâóõ ïåðåìåííûõ ñ öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìèêîýèöèåíòàìè (êîýèöèåíòû íåîòðèöàòåëüíû, èáî ÿâëÿþòñÿ ðàíãàìèãðóïï ãîìîëîãèé Õîâàíîâà), ÷òîáû èìåëî ìåñòî ðàâåíñòâî Q2 = P. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ýòî è ìîæíî ñäåëàòü, òî ìîæíî ñäåëàòü åäèíñòâåííûìîáðàçîì. Òàê êàê ýòà îïåðàöèÿ îäíîçíà÷íà, åñëè îïðåäåëåíà, ìû ïîëó÷àåìóòâåðæäåíèå òåîðåìû 5.4.Êðîìå òîãî, èç ýòèõ ðàññóæäåíèé ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 5.6.
Ïóñòü F ïîëå, è ïóñòü çàöåïëåíèå L òàêîâî, ÷òî ãðàäóèðîâàííàÿ ãðóïïà ãîìîëîãèéçîðíîãî êâàäðàòà. ÒîãäàLKhF (K(Ṽ (L)))íå ïðåäñòàâèìà â âèäå òåí-íå èìååò äèàãðàììû, êîòîðîé ñîîòâåòñòâî-âàë áû îðèåíòèðóåìûé àòîì.  ÷àñòíîñòè, çàöåïëåíèåLíå ÿâëÿåòñÿêëàññè÷åñêèì.Åñòåñòâåííî, ÷òî êîìïëåêñ Õîâàíîâà, ïîñòðîåííûé â íàñòîÿùåì ðàçäåëå,íå ìîæåò îïðåäåëèòü íåòðèâèàëüíîñòü âèðòóàëüíîãî óçëà, èçîáðàæåííîãîíà ðèñ. 5.5, ïîñêîëüêó ýòîò óçåë ïîëó÷àåòñÿ èç òðèâèàëüíîãî óçëà îáîáùåííûìè äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðà è âèðòóàëèçàöèåé.Âàæíîé è èíòåðåñíîé ãèïîòåçîé ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î òîì, ìîãóò ëè äâàíåèçîòîïíûõ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèÿ L, L′ áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãàïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà è âèðòóàëèçàöèé.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà äàåò ÷àñòè÷íûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ.Èç òåîðåìû 5.4 è èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà îòíîñèòåëüíî âèðòóàëèçàöèé âûòåêàåò ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 5.7.Åñëè êëàññè÷åñêîå çàöåïëåíèåñêîãî çàöåïëåíèÿL′ïîëó÷àåòñÿ èç êëàññè÷å-Lïðèìåíåíèåì îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà′è âèðòóàëèçàöèé, òî L è L èìåþò îäèíàêîâûå ãîìîëîãèè Õîâàíîâà ñêîýèöèåíòàìè â ëþáîì íàïåðåä çàäàííîì ïîëå. ñëåäóþùåé ãëàâå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ýòà òåîðåìà âåðíà è äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîýèöèåíòîâ (íàïðèìåð, â êîëüöå Z), ñì. òåîðåìû 6.4 è 6.5.5.6.
Çàòÿãèâàþùåå äåðåâî äëÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà2405.6. Çàòÿãèâàþùåå äåðåâî äëÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, êàê ìîäåëü çàòÿãèâàþùåãî äåðåâàäëÿ ñêîáêè Êàóìàíà, ïðèâåäåííàÿ â ðàçäåëå 4.1.2 ãëàâû 4, êàòåãîðèèöèðóåòñÿ. Ìû îïèøåì íåñêîëüêî èíîé ïîäõîä ê âû÷èñëåíèþ (ïðàâèëüíååñêàçàòü, ê îöåíêå) ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó ñòàíîâÿòñÿ ÿñíûìè íåêîòîðûå ñâîéñòâàãîìîëîãèé Õîâàíîâà.Ñîðìóëèðóåì ëåììó èç òåîðèè àëãåáðàè÷åñêèõ êîìïëåêñîâ â òîì âèäå,â êîòîðîì îíà áûëà ñîðìóëèðîâàíà Øòåàíîì Âåðëè [Weh2℄.Ëåììà 5.6. Ïóñòü C0C1 ãðàäóèðîâàííûå êîìïëåêñû âèäà Ci = Ai ⊕Bi , ïðè÷åì êîìïëåêñû Bi èìåþò òðèâèàëüíûå ãîìîëîãèè. Ïóñòü w :C0 → C1 îòîáðàæåíèå öåïåé, ñîõðàíÿþùåå ãðàäóèðîâêó, è ïóñòü wAA :A0 → A1 ÷àñòü îòîáðàæåíèÿ w, ò.å.
êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèÿ wñ î÷åâèäíûìè ïðîåêöèåé è âëîæåíèåì. Ïóñòü A êîíóñ îòîáðàæåíèÿwAA , C êîíóñ îòîáðàæåíèÿ w, à B (ñòÿãèâàåìûé) êîìïëåêñ âèäàB0 ⊕ B1 [1]. Òîãäà êîìïëåêñû C è A ⊕ B èìåþò îäèíàêîâûå ãîìîëîãèè.èÄîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêîå, îíî íå çàòðàãèâàåòâíóòðåííåé ñòðóêòóðû äèåðåíöèàëîâ â êîìïëåêñàõ Ai è Bi . Ëåììà ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì ïóíêòîì â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 5.8 î çàòÿãèâàþùåìäåðåâå äëÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.Îñíîâíàÿ èäåÿ ïîñòðîåíèÿ çàòÿãèâàþùåãî äåðåâà, ïðèâîäÿùàÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû, òàêàÿ æå, êàê èäåÿ Òèñòëòóýéòà, èñïîëüçóåìàÿ ïðèïîñòðîåíèè çàòÿãèâàþùåãî äåðåâà äëÿ ñêîáêè Êàóìàíà: íóæíî âçÿòü êóáïåðåñòðîåê è ðàçáèòü åãî íà ìàëûå ïîäêóáû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñòîÿíèÿìèç K1 (ñì.
ñòð. 167), ïîñëå ÷åãî ðàññìîòðåòü ãîìîëîãèè Õîâàíîâà êàæäîãîèç ýòèõ ïîäêóáîâ ò.å. ýêçåìïëÿðû ãðóïï ãîìîëîãèé òðèâèàëüíîãî óçëà, èïðèìåíèòü ê íèì ëåììó 5.6 ìíîãîêðàòíî: ïðè êàæäîì ðàçáèåíèè êóáà íàäâå ÷àñòè íàì ïðèäåòñÿ ïðèìåíÿòü ýòó ëåììó.Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî òàêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðîõîäèò òàêæå è äëÿ âñåõìîäåëåé êîìïëåêñà Õîâàíîâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòîòêîìïëåêñ ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûì.Îïèøåì ýòó êîíñòðóêöèþ áîëåå ïîäðîáíî. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåíîð-5.6. Çàòÿãèâàþùåå äåðåâî äëÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà241ìèðîâàííûé êîìïëåêñ Õîâàíîâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ.  äàëüíåéøåì íóæíîáóäåò âûíåñòè îáùèé íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü, ò.å. ñäâèíóòü âûñîòó èãðàäóèðîâêó.Ïóñòü L ñâÿçíàÿ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà.
àññìîòðèì åå íåíîðìèðîâàííûé êóá ïåðåñòðîåê [[L]] ñ äèåðåíöèàëîì ∂ . Çàíóìåðóåì ïåðåêðåñòêèäèàãðàììû L è áóäåì ðàçáèâàòü êóá [[L]] ïîñëåäîâàòåëüíî íà êóáû ñîãëàñíî ñõåìå Òèñòëòóýéòà (ñì. ãë. 4, ñòð. 165). À èìåííî, íà ïåðâîì øàãå ìûñìîòðèì, ÿâëÿåòñÿ ëè ïåðâûé ïåðåêðåñòîê ïåðåêðåñòêîì ðàñïàäåíèÿ (ìûíàçûâàåì ïåðåêðåñòîê ïåðåêðåñòêîì ðàñïàäåíèÿ, åñëè ïðè óäàëåíèè ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû èç îñòîâà àòîìà îñòîâ ïåðåñòàåò áûòü ñâÿçíûì) è,åñëè îí íå ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì, ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ äâóõ êóáîâ, ïîëó÷àþùèõñÿ èç [[L]] èêñàöèåé ïåðâîé êîîðäèíàòû. Ýòè äâà êóáà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåíîðìèðîâàííûå êîìïëåêñû Õîâàíîâà äëÿ äèàãðàìì L0 è L1 ,ïîëó÷àþùèõñÿ èç äèàãðàììû L ðàçâåäåíèÿìè òèïîâ A è B .
Ó êîìïëåêñàÕîâàíîâà äëÿ Li (íåíîðìèðîâàííîãî) åñòü íåêîòîðûé íàáîð ãîìîëîãèé; åñëè ìû ðàññìîòðèì L0 è L1 íå êàê îòäåëüíûå êîìïëåêñû, à êàê ñîñòàâíûå÷àñòè êîìïëåêñà Õîâàíîâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî çàöåïëåíèþ L, ìû ïîëó÷èìíåêîòîðûå íîâûå äèåðåíöèàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåõîäó îò L0 ê L1 .Ëåììà 5.6 óòâåðæäàåò, ÷òî èñõîäíûé (íåíîðìèðîâàííûé) êîìïëåêñ Õîâàíîâà äëÿ äèàãðàììû L èìååò òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è êîìïëåêñ, ñîñòàâëåííûéòîëüêî èç ãîìîëîãèé êîìïëåêñîâ L0 è L1 (à òàêæå íåêîòîðîé àöèêëè÷íîé÷àñòè).Äàëåå ìû ïðèìåíÿåì âòîðîé øàã: ðàññìàòðèâàåì êîìïëåêñû L0 è L1(óæå êàê ñîñòàâíûå ÷àñòè íîâîãî êîìïëåêñà, ãîìîëîãèè êîòîðîãî ñîâïàäàþò ñ ãîìîëîãèÿìè Õîâàíîâà çàöåïëåíèÿ L) è ñìîòðèì, ðàñïàäàþòñÿ ëèñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû âî âòîðîì ïåðåêðåñòêå. Åñëè êàêàÿ-òî èç íèõ(íàïðèìåð, L0 ) íå ðàñïàäàåòñÿ, òî ìû ïåðåñòðàèâàåì êîìïëåêñ L0 è ïîëó÷àåì êîìïëåêñ âèäà (L00 → L01 ) ⊕ hàöèêëè÷íàÿ ÷àñòüi.Ìû ïðîäîëæàåì äî òåõ ïîð, ïîêà íå äîéäåì äî äèàãðàìì èç ìíîæåñòâàDL (ñì.
ñòð. 167). Êàæäàÿ òàêàÿ äèàãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèâèàëüíûé óçåë, ïîýòîìó ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ãîìîëîãèè Õîâàíîâà ìîæíîâû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñà, ñîñòîÿùåãî èç ãîìîëîãèé Õîâàíîâà òðèâèàëüíîãî óçëà. Ôîðìóëüíî ýòî âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:5.7Òåîðåìà 5.8.. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ242Íåíîðìèðîâàííûé êîìïëåêñ Õîâàíîâà äèàãðàììû âèðòó-àëüíîãî çàöåïëåíèÿDèçîìîðåí íåêîòîðîìó êîìïëåêñó, ãðóïïà öåïåéêîòîðîãî èìåþò âèä⊕s∈K1 A[β(s) + w(Ds )]{β(s) + 2w(Ds )}ãäåA(5.13) ãðóïïà ãîìîëîãèé Õîâàíîâà òðèâèàëüíîãî óçëà.Îòìåòèì, ÷òî çäåñü ìû íèãäå íå èñïîëüçîâàëè, ÷òî çàöåïëåíèå ÿâëÿåòñÿêëàññè÷åñêèì, òàê ÷òî âñå äîñëîâíî ïðîõîäèò äëÿ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé â ñëó÷àå ïîëÿ, íàä êîòîðûì èñõîäíûé êîìïëåêñ Õîâàíîâà êîððåêòíîîïðåäåëåí. äàëüíåéøåì ìû áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü ñëîâîñî÷åòàíèå êîìïëåêñÂåðëè, èìåÿ â âèäó êîìïëåêñ, èìåþùèé òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è êîìïëåêñÕîâàíîâà, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî óòâåðæäàåòñÿ ëåììîé 5.8.5.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
