Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Äåéñòâèòåëüíî, ó äàííîé äèàãðàììûîáà êîìïëåêñà Kho è Khe (ñ êîýèöèåíòàìè â Z2 ) èìåþò íåòðèâèàëüíûå ãðóïïû ãîìîëîãèé. Äåéñòâèòåëüíî, A-ñîñòîÿíèå äèàãðàììû ñ îäíîéîêðóæíîñòüþ ñ ìåòêîé 1 çàäàåò íåòðèâèàëüíûé öèêë (èáî âñå äèåðåíöèàëû, èñõîäÿùèå èç A-ñîñòîÿíèÿ â ñîñåäíèå ñîñòîÿíèÿ, íåíóëåâûå). Äàëåå,â ñîñòîÿíèÿõ, ãäå îäèí ïåðåêðåñòîê ðàçâåäåí ñïîñîáîì B , à îñòàëüíûå òðè ñïîñîáîì A, èìååòñÿ ðîâíî îäíà îêðóæíîñòü.
àññìîòðèì öåïü, ðàâíóþñóììå öåïåé, èìåþùèõ ìåòêó 1 â êàæäîì èç ýòèõ ÷åòûðåõ ñîñòîÿíèé. Ëåãêîïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòà öåïü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öèêë. Äàëåå, îíà íå ìîæåòÊîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2216áûòü ãðàíèöåé, èáî âñå öåïè â ñîñòîÿíèè A ÿâëÿþòñÿ öèêëàìè.Êâàíòîâàÿ ãðàäóèðîâêà ïðèâåäåííûõ âûøå öåïåé îòëè÷àåòñÿ íà åäèíèöó, ñëåäîâàòåëüíî, çàöåïëåíèå L íå èìååò äèàãðàìì, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû. ÷àñòíîñòè, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðîä àòîìà (ðîä Òóðàåâà) ïðèâåäåííîãîâûøå çàöåïëåíèÿ ðàâåí åäèíèöå.Îòìåòèì, ÷òî ýòîò àêò íå ìîæåò áûòü îáíàðóæåí ïîñðåäñòâîì ñêîáêèÊàóìàíà. Äåéñòâèòåëüíî, â A-ñîñòîÿíèè (êàê è â B -ñîñòîÿíèè) èìååòñÿðîâíî îäíà îêðóæíîñòü, â ñîñòîÿíèÿõ ñ îäíèì (èëè òðåìÿ) ïåðåêðåñòêîì,ðàçâåäåííûì ñïîñîáîì A, ìû èìååì ïî îäíîé îêðóæíîñòè, íàêîíåö, èç øåñòè ñîñòîÿíèé, â êîòîðûõ äâà ïåðåêðåñòêà ðàçâåäåíû ñïîñîáîì A, à äâà ñïîñîáîì B , â äâóõ ñëó÷àÿõ ìû èìååì ïî îäíîé îêðóæíîñòè, à â îñòàâøèõñÿ ÷åòûðåõ ïî äâå îêðóæíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîáêà Êàóìàíàäèàãðàììû L èìååò âèähL =ia4 + 4a2 + 2 + 4(−a2 − a−2 ) + 4a−2 + a−4 = a4 + 2 + a−4 .(5.11)Âñå ÷ëåíû ýòîé ñêîáêè Êàóìàíà èìåþò ñòåïåíè, ñðàâíèìûå ïî ìîäóëþ4.
Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå ãîìîëîãèè Õîâàíîâà ÷óâñòâèòåëüíåå ê íåîðèåíòèðóåìîñòè âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ÷åì ñêîáêà Êàóìàíà.Îòìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííûé íàìè êîìïëåêñ Õîâàíîâà ñ êîýèöèåíòàìèâ ïîëå Z2 ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé êóáà ïåðåñòðîåê è ÷èñëàìèn+ , n− . Ñëåäîâàòåëüíî, Z2 -ãîìîëîãèè Õîâàíîâà íå ìåíÿþòñÿ ïðè âèðòóàëèçàöèÿõ èñõîäíîé äèàãðàììû. ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì äðóãîé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ êîìïëåêñà Õîâàíîâà (äëÿ îñíàùåííûõ çàöåïëåíèé), êîòîðûé ÷óâñòâèòåëåí êâèðòóàëèçàöèÿì.
Ïîñòðîåííûé âûøå êîìïëåêñ Õîâàíîâà â êëàññè÷åñêîìñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì êîìïëåêñîì Õîâàíîâà ñ êîýèöèåíòàìè âZ2 ; â ýòîì ñëó÷àå ëåãêî ïðåîäîëåâàåòñÿ òðóäíîñòü ñ ïåðåñòðîéêàìè âèäà1 → 1.  äâóõ ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ ìû áóäåì ñòðîèòü êîìïëåêñ Õîâàíîâàíå äëÿ âñåõ âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì, à ëèøü äëÿ õîðîøèõ âèðòóàëüíûõäèàãðàìì òåõ, ó êîòîðûõ íà êóáå íå âîçíèêàåò ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ òèïà 1 → 1. Êàê áóäåò âèäíî äàëåå, õîðîøèå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû â òî÷íîñòè òå, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû.Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2217Äàëåå ìû áóäåì ïî êàæäîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììå ñòðîèòü íåêîòîðûì èíâàðèàíòíûì ñïîñîáîì õîðîøóþ äèàãðàììó è ñìîòðåòü, êàê ïðåîáðàçóþòñÿãîìîëîãèè Õîâàíîâà ñîîòâåòñòâóþùåé õîðîøåé äèàãðàììû ïðè ïðèìåíåíèè îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà ê èçíà÷àëüíîé äèàãðàììå.
Òàê,â ñëåäóþùåì ðàçäåëå áóäåò ïîñòðîåí êîìïëåêñ Õîâàíîâà äëÿ îñíàùåííûõçàöåïëåíèé, ãäå â êà÷åñòâå õîðîøåé äèàãðàììû áóäåò âûñòóïàòü äèàãðàììà óäâîåíèÿ.Ïðèìåð.(Êàóìàí) àññìîòðèì âèðòóàëüíûé óçåë K1 , èçîáðàæåííûéíà ðè. 5.5.èñ. 5.5. Âèðòóàëüíûé óçåë, ñâîäèìûé ê òðèâèàëüíîìó âèðòóàëèçàöèÿìèè îáîáùåííûìè äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðàÝòîò óçåë ìîæíî ñâåñòè ê òðèâèàëüíîìó óçëó âèðòóàëèçàöèÿìè è îáîáùåííûìè äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðà, ñì. ðèñ. 5.6.Íà ðèñóíêå 5.6 ïðåîáðàçîâàíèåì B ′ ìû íàçûâàåì äâèæåíèå, ïðèìåíÿåìîå ê îäíîìó êëàññè÷åñêîìó è îäíîìó âèðòóàëüíîìó ïåðåêðåñòêó; îíîïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìïîçèöèþ âèðòóàëèçàöèè è âòîðîãî âèðòóàëüíîãîäâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, ñì.
ðèñ. 5.7. Äëÿ êàæäîãî èç ïðåîáðàçîâàíèé,óêàçàííûõ íà ðèñ. 5.6, ìû âûäåëÿåì íà ðèñóíêå îáëàñòü, ê êîòîðîìó îíîïðèìåíÿåòñÿ.Òàêèì îáðàçîì, Z2 -ãîìîëîãèè Õîâàíîâà óçëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 5.5ñîâïàäàþò ñ Z2 -ãîìîëîãèÿìè Õîâàíîâà òðèâèàëüíîãî óçëà. Ìîæíî ïîêàçàòü (íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ òåõíèêó âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ), ÷òî ýòîò5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ218èñ. 5.6. Ñâåäåíèå ê òðèâèàëüíîìó óçëó âèðòóàëèçàöèÿìèè îáîáùåííûìè äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðàâèðòóàëüíûé óçåë íåòðèâèàëåí.5.4. Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè íàñòîÿùåé ãëàâû ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü êîíñòðóêöèþ, ñâÿçûâàþùóþ àòîìû ñ âèðòóàëüíûìè óçëàìè. Íàïîìíèì êîíñòðóêöèþ, ñîïîñòàâëÿþùóþ âûñîòíîìó àòîìó êëàññè÷åñêîå çàöåïëåíèå, ïðèâå-5.4. Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ219èñ.
5.7. Ïðåîáðàçîâàíèå Â' âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âèðòóàëèçàöèþäåííóþ â ãëàâå 4. Îíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îñòîâ àòîìà V âêëàäûâàåòñÿ âïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåì åãî A-ñòðóêòóðû, à äàëåå êàæäûé ïåðåêðåñòîêñíàáæàåòñÿ ñòðóêòóðîé ïðîõîä-ïåðåõîä ñîãëàñíî B -ñòðóêòóðå àòîìà.Ïóñòü äàí ïðîèçâîëüíûé àòîì V . Ïîãðóçèâ åãî îñòîâ â ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû, ïîñòðîèì ïî àòîìó V äèàãðàììó L âèðòóàëüíîãîçàöåïëåíèÿ òàê, êàê óêàçàíî â ãëàâå 4 íà ñòð. 157.Êàê ïîêàçàíî â òåîðåìå 4.2, êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ L îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî âèðòóàëèçàöèè.Íàçîâåì äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ îðèåíòèðóåìîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé åé àòîì ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì è íåîðèåíòèðóåìîé âïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Íàçîâåì âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå îðèåíòèðóåìûì, åñëè îíî ìîæåò áûòü çàäàíî îðèåíòèðóåìîé äèàãðàììîé.Ïîíÿòèå îðèåíòèðóåìîé äèàãðàììû ïîä äðóãèì íàçâàíèåì âñòðå÷àëîñüòàêæå ó Íàîêî Êàìàäû [Kam.N1, Kam.N2, KNS℄; òàì ãîâîðèëîñü î âîçìîæíîñòè èçìåíèòü íåêîòîðûå êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè (ïðîõîä íà ïåðåõîä è íàîáîðîò), ÷òîáû ïîëó÷èòü àëüòåðíèðîâàííóþ äèàãðàììó. Íåòðóäíîïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî êëàññ òàêèõ äèàãðàìì â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ êëàññîìîðèåíòèðóåìûõ äèàãðàìì.Çàìå÷àíèå 5.5.îðèåíòèðóåìîñòè äèàãðàììû (â ñìûñëå îðèåíòèðóåìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà) è îðèåíòèðîâàííîñòè (â ñìûñëå íàëè÷èÿ îðèåíòàöèè ó êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ).Íå ñòîèò ñìåøèâàòü ïîíÿòèÿÏóñòü L âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðóå-5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ220ìûé àòîì.Îïðåäåëèì êîìïëåêñ C(L) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ôèêñèðóåì êîëüöî Rêîýèöèåíòîâ è äâóìåðíûé ñâîáîäíûé ìîäóëü V íàä íèì, qdimV = q +q −1 .Ïðîñòðàíñòâî öåïåé íàøåãî êîìïëåêñà îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ Z2 . Ïîñëå ýòîãî äèåðåíöèàë îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ ñî çíàêàìè, à ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëûîïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèé m è ∆.Êóá ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè ∂ ′ (îïðåäåëÿåìûìè ñîãëàñíî îðìóëàì (5.2,5.3), èäóùèìè âäîëü ðåáåð â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ êîîðäèíàòû, íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíûì, åñëè êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü ýòîãîêóáà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó, è àíòèêîììóòàòèâíûì, åñëè êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àíòèêîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó. ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ èç ïîëÿ Z2 êîììóòàòèâíîñòü êàæäîé ãðàíèêóáà ðàâíîñèëüíà åãî àíòèêîììóòàòèâíîñòè.
 ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ èçZ èç êîììóòàòèâíîãî êóáà ìîæíî ñäåëàòü àíòèêîììóòàòèâíûé ñëåäóþùèìîáðàçîì.nÑîïîñòàâèì ðåáðàì êóáà {0, 1} ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùèå èç {0, 1, ∗},äëèíû n ðîâíî ñ îäíèì ýëåìåíòîì ∗. Êàæäîå òàêîå ðåáðî ñîåäèíÿåò äâåâåðøèíû, ïîëó÷àþùèåñÿ ïîäñòàíîâêîé åäèíèöû èëè íóëÿ âìåñòî ∗.Îïðåäåëåíèå 5.0. Âûñîòîé |ξ| ðåáðà ξ íàçîâåì ìåíüøóþ èç äâóõ âûñîòåãî êîíöîâ.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìû îáîçíà÷èì îòîáðàæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáPðó ξ , ÷åðåç ∂ξ′ , òî äèåðåíöèàë áóäåò èìåòü âèä ∂ r = {|ξ|=r} (−1)ξ ∂ξ′ .Íàì òåïåðü íóæíî îáúÿñíèòü, ÷òî îçíà÷àåò çíàê (−1)ξ è îïðåäåëèòüîòîáðàæåíèÿ ∂ξ .
Òî åñòü, äëÿ òîãî, ÷òîáû êîððåêòíî îïðåäåëèòü îïåðàòîð∂ , ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå ∂ ◦ ∂ = 0, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû ∂ξ′ íà äâóìåðíûõ ãðàíÿõ êóáà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéàíòèêîììóòàòèâíûå äèàãðàììû.Êîììóòàòèâíûé êóá ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàí â àíòèêîììóòàòèâíûéñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà íóæíî ïîñòðîèòü îòîáðàæåíèÿ íà ðåáðàõòàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé êîì-5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ221ìóòàòèâíóþ äèàãðàììó, à çàòåì ñíàáäèòü ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû ∂ξ′çíàêàìè. Çíàê îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Êàæäîé âåðøèíå êóáà ñîïîñòàâèì íîìåðà âñåõ åå åäèíè÷íûõ êîîðäèíàò â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå: i1 , i2 , . . .
, ik è îðìàëüíîå âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå xi1 ∧ xi2 ∧ · · · ∧ xik . Òàê,íàïðèìåð, ïðè n = 3 ìû ñîïîñòàâëÿåì âåðøèíå {1, 0, 1} âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå x1 ∧x3 . Êàæäîå ðåáðî êóáà, óâåëè÷èâàþùåå íåêîòîðóþ j -þ êîîðäèíàòó, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âíåøíåå óìíîæåíèå íà xj . Åñëè â ðåçóëüòàòåïðèìåíåíèÿ òàêîãî âíåøíåãî óìíîæåíèÿ ê íèæíåé âåðøèíå ìû ïîëó÷àåì âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå, ñîïîñòàâëåííîå âåðõíåé âåðøèíå, ìû ñòàâèì íàðåáðå çíàê ïëþñ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìèíóñ.
Òàê, íàïðèìåð, íà ðåáðå{1, ∗, 1} ìû èìååì çíàê ìèíóñ, ïîñêîëüêó (x1 ∧ x3 ) ∧ x2 = −x1 ∧ x2 ∧ x3 .Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè íàáîð ãðóïï öåïåé [[L]] ñ äèåðåíöèàëîì∂.Ïóñòü äàí íåêîòîðûé àòîì V . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ A-ñòðóêòóðû àòîìà ñóùåñòâóåò îðèåíòàöèÿ âñåõ ðåáåð àòîìà V òàêàÿ, ÷òî â êàæäîé âåðøèíåïî äâà ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáðà ÿâëÿþòñÿ èñõîäÿùèì, à äâà äðóãèõ âõîäÿùèìè.Îïðåäåëåíèå 5.1. Íàçîâåì òàêóþ ñòðóêòóðó ñòðóêòóðîéèñòî÷íèê-ñòîê.Çàìå÷àíèå 5.6.
Òà æå ñàìàÿ ñòðóêòóðà èññëåäîâàëàñü â òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ Í.Êàìàäîé, ñì., íàïð, [Kam.N2℄. Òàì ýòà ñòðóêòóðà íàçûâàëàñüàëüòåðíèðîâàííîé îðèåíòàöèåéäëÿ ãðàà, êîòîðûé â íàñòîÿùåéðàáîòå íàçûâàåòñÿ îñòîâîì àòîìà.Ïðåäëîæåíèå 5.1. Îñòîâ àòîìà äîïóñêàåò ñòðóêòóðó èñòî÷íèê-ñòîê,òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà àòîì ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A-ñòðóêòóðà àòîìà îáëàäàåò ñòðóêòóðîé èñòî÷íèê-ñòîê. àññìîòðèì ÷åðíûå (ïîñëåêðèòè÷åñêèå) êëåòêè ýòîãîàòîìà. Ìû çàäàäèì îðèåíòàöèþ âñåõ ÷åðíûõ êëåòîê òàêèì îáðàçîì, ÷òîáûâ êàæäîé âåðøèíå àòîìà äâå ëîêàëüíûå îðèåíòàöèè, çàäàííûå ÷åðíûìèêëåòêàìè, ïðèìûêàþùèìè ê ýòîé âåðøèíå, áûëè ñîãëàñîâàíû (ò.å. â âåðøèíå ñîïðèêîñíîâåíèÿ äâóõ ÷åðíûõ êëåòîê äâå îðèåíòàöèè, çàäàâàåìûåïîäðÿä èäóùèìè ðåáðàìè, áûëè ëèáî îáå íàïðàâëåíû ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå,Äîêàçàòåëüñòâî.5.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
