Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ââåäåíèå199×àñòíûìè ñëó÷àÿìè ðåàëèçàöèÿìè ýòîé òåîðèè ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûå àëãåáðàè÷åñêèå òåîðèè ãîìîëîãèé çàöåïëåíèé.Ïîñëå ýòîãî ïîÿâèëàñü ðàáîòà Õîâàíîâà [Kh2℄, â êîòîðîé ñ èñïîëüçîâàíèåì èäåé, ñõîæèõ ñ èäåÿìè Áàð-Íàòàíà, áûëà ïîñòðîåíà óíèâåðñàëüíàÿàëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ.  íåé ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà êîëüöà R è A, ïðè÷åìA èìååò ñòðóêòóðó àëãåáðû Õîïà íàä R. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ åñòåñòâåííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óñëîâèÿõ íà ñòðóêòóðó êîëüöà A ìîæíîïîñòðîèòü ýêñòðàîðäèíàðíóþ òåîðèþ ãîìîëîãèé çàöåïëåíèé, â êîòîðîé Rïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîëüöî êîýèöèåíòîâ, à A êîëüöî ãîìîëîãèé òðèâèàëüíîãî óçëà.
Ïðè ýòîì äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ â ýòîé òåîðèè â òî÷íîñòèïîâòîðÿþò íà÷àëüíóþ êîíñòðóêöèþ Õîâàíîâà. Ýòî êîëüöî ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì, è åãî ãðàäóèðîâêà (íàçûâàåìàÿ òàêæå êâàíòîâîé) îïðåäåëÿåòâòîðóþ ãðàäóèðîâêó âî âñåì êîìïëåêñå. ðàáîòå [Kh3℄ Õîâàíîâ íà îñíîâàíèè òåîðèè êîáîðäèçìîâ è êîìáèíàòîðèêè ïðåäñòàâëåíèé àëãåáðû Ëè sl2 ïîñòðîèë òåîðèþ ãîìîëîãèé äëÿêðàøåíûõ çàöåïëåíèé, ñâÿçàííóþ ñ ïîëèíîìîì Äæîíñà äëÿ êàáåëåé óçëîâ.Âàæíîé âåõîé â òåîðèè ýêñòðàîðäèíàðíûõ ãîìîëîãèé çàöåïëåíèé áûëîïîñòðîåíèå îçàíñêèì è Õîâàíîâûì [KhR1, KhR2℄ êàòåãîðèèêàöèè äëÿñåðèè ïîëèíîìîâ òèïà HOMFLY: â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî êîìïëåêñà Õîâàíîâà, êîòîðûé ñòðîèòñÿ ïîñðåäñòâîì ñêîáêè Êàóìàíà, èìåþùåé äîñòàòî÷íîïðîñòóþ àêñèîìàòèêó h i = ah i + a−1 h i, ïîëèíîìû òèïà HOMFLYèìåþò áîëåå ñëîæíûå ñîîòíîøåíèÿ; ïðîáëåìà êàòåãîðèèêàöèè äëÿ íèõáûëà èçÿùíî ðåøåíà ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà ìàòðè÷íûõ àêòîðèçàöèé èêîìïëåêñîâ Êîøóëÿ.Îòìåòèì òàêæå íåäàâíþþ ðàáîòó Õîâàíîâà è îçàíñêîãî [KhR3℄, ïîñâÿùåííóþ êàòåãîðèèêàöèè so(N )-âåðñèé ïîëèíîìà Êàóìàíà, â êîòîðîéïîìèìî ìàòðè÷íûõ àêòîðèçàöèé èñïîëüçóþòñÿ òàêæå âèðòóàëüíûå óçëû.îìîëîãèè Õîâàíîâà îáëàäàþò âàæíûìè ñâîéñòâàìè, ïðèñóùèì ãîìîëîãèÿì òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ (ïðîåêòèâíîé) óíêòîðèàëüíîñòüþ.
Âäàííîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå ìîðèçìîâ âûñòóïàþò êîáîðäèçìû óçëîâ. Òàêèìîáðàçîì, ãîìîëîãèè Õîâàíîâà ïðîäîëæàþòñÿ äî èíâàðèàíòîâ êîáîðäèçìîâóçëîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè ñ êðàåì â R3 × I .Ôóíêòîðèàëüíîñòü ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ïî êîìïëåêñó Õîâàíîâà èíâàðè-IOL5.1. Ââåäåíèå200àíòû êîáîðäèçìîâ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé â R4 ; ÷àñòíûì ñëó÷àåì êîáîðäèçìîâ ÿâëÿþòñÿ êîáîðäèçìû ìåæäó äâóìÿ çàöåïëåíèÿìè èç ïóñòîãîìíîæåñòâà êîìïîíåíò.  ñëó÷àå ïðîåêòèâíîé óíêòîðèàëüíîñòè èíâàðèàíò êîáîðäèçìà îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî îáðàòèìîãî ýëåìåíòà îñíîâíîãîêîëüöà.  ýòîì ñëó÷àå êîíñòðóêöèÿ Õîâàíîâà äàåò èíâàðèàíò äâóìåðíûõóçëîâ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé, âëîæåííûõ â R3 ×I ⊂ R4 .
Òî÷íàÿ óíêòîðèàëüíîñòü áûëà óñòàíîâëåíà Ñ.Ìîððèñîíîì è Ê.Óîêåðîì [MW℄. ðàáîòå [BN3℄ áûëà ïðåäëîæåíà èíòåðåñíàÿ êîíñòðóêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ òîïîëîãè÷åñêèé êîìïëåêñ Õîâàíîâà îðìàëüíûé öåïíîé êîìïëåêñ,â êîòîðîì â ðîëè öåïåé âûñòóïàþò ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ìå÷åíûõ íàáîðîâîêðóæíîñòåé íà ïëîñêîñòè, à â ðîëè äèåðåíöèàëîâ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè êîáîðäèçìîâ. Äëÿ èíâàðèàíòíîñòè íà òàêèå êîìïëåêñû êîáîðäèçìîâíàëàãàþòñÿ íåêîòîðûå ñîîòíîøåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå èç òîïîëîãèè äâóìåðíûõ êîáîðäèçìîâ. Îáû÷íûé (àëãåáðàè÷åñêèé) êîìïëåêñ Õîâàíîâà ïîëó÷àåòñÿ èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîäñòàíîâêîé êîíêðåòíûõ ãðàäóèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ âìåñòî íàáîðîâ îêðóæíîñòåé è êîíêðåòíûõ îòîáðàæåíèé âìåñòîýëåìåíòàðíûõ êîáîðäèçìîâ; ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå èç ñîîòíîøåíèé íà êîáîðäèçìû.Îòìåòèì òàêæå ðàáîòó [Kh2℄, â êîòîðîé Õîâàíîâ ïðåäëîæèë óíèâåðñàëüíóþ àëãåáðàè÷åñêóþ êîíñòðóêöèþ, îïèñûâàþùóþ îáîáùåíèÿ êîìïëåêñàÕîâàíîâà, ñâÿçàííûå ñ ïîëèíîìîì Äæîíñà-Êàóìàíà.Îäíîé èç ñàìûõ åñòåñòâåííûõ çàäà÷ â òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îáîáùåíèÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà íà âèðòóàëüíûé ñëó÷àé.Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïîïûòêà îáîáùèòü òåîðèþ íàòàëêèâàåòñÿ íà îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè àëãåáðàè÷åñêîãî õàðàêòåðà: ïðè âûïèñûâàíèè âñåõ íåîáõîäèìûõ óðàâíåíèé äëÿ òîãî, ÷òîáû êîìïëåêñ Õîâàíîâà áûë êîððåêòíîîïðåäåëåí, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îñíîâíûì êîëüöîì êîýèöèåíòîâäîëæíî áûòü êîëüöî õàðàêòåðèñòèêè 2.
Óêàçàííîå îáîáùåíèå áûëî ñäåëàíîâ ðàáîòå [Ìà6℄. Íåêîòîðûõ òðóäíîñòåé íåïîñðåäñòâåííîãî ïîäõîäà ìîæíîèçáåæàòü, èñïîëüçóÿ ãåîìåòðè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, ñâÿçàííûå ñ àòîìàìè.Òåîðèÿ Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñ íåêîòîðûìè îãðàíè÷åíèÿìè)áûëà âïåðâûå ïîñòðîåíà â [Ìà1℄. Ïðèâîäèìûå â íàñòîÿùåé ãëàâå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â [Ìà1, Ìà6, Ma11℄.5.1. Ââåäåíèå201Áåç îáðàùåíèÿ ê äîïîëíèòåëüíûì ãåîìåòðè÷åñêèì êîíñòðóêöèé òåîðèÿãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïîñòðîåíà â ãëàâå 6.Îòìåòèì, ÷òî ãîìîëîãèè Õîâàíîâà äëÿ óçëîâ â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ, à òàêæå â ðàññëîåíèÿõ íàä ïîâåðõíîñòÿìè Sg ñî ñëîåì îòðåçîê (ñ èñïîëüçîâàíèåì íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ãðàäóèðîâîê äëÿ êðèâûõ íà çàäàííîé ïîâåðõíîñòè) áûëè ïîñòðîåíû òàêæå Ì.Àñàýäîé, É.Ïðæèòèöêèìè À.Ñèêîðîé â [APS℄. Ýòè ãîìîëîãèè íå ïðèâîäÿò ê ãîìîëîãèÿì Õîâàíîâàäëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, èáî çàâèñÿò îò êîíêðåòíîé ïîâåðõíîñòè Sg è íåèíâàðèàíòíû ïðè äåñòàáèëèçàöèÿõ è ãîìîìîðèçìàõ ïîâåðõíîñòè íà ñåáÿ.Îòìåòèì òàêæå íåäàâíþþ ðàáîòó Â..Òóðàåâà è Ï.Òåðíåðà [TuTu℄, â êîòîðîé áûëà ïîñòðîåíà òîïîëîãè÷åñêàÿ òåîðèÿ êîáîðäèçìîâ äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñ ðàçëè÷íûìè îãðàíè÷åíèÿìè).
À èìåííî, â ðàáîòå [TuTu℄ áûëàïîñòðîåíà òåîðèÿ ãîìîëîãèé ñ êîýèöèåíòàìè â Z2 , à òàêæå ðàçëè÷íûåòåîðèè ñ êîýèöèåíòàìè â Z, â êîòîðûõ ïðîïàäàåò îäíà èç ãðàäóèðîâîê. íàñòîÿùåé ãëàâå ìû îïèøåì òðè ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.  ïåðâîì èç íèõ ìû ïîñòðîèì êîìïëåêñÕîâàíîâà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ñ êîýèöèåíòàìèâ ïîëå Z2 , âî âòîðîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, êàê ìîæíî ïîñòðîèòü êîìïëåêñÕîâàíîâà äëÿ îñíàùåííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé (ïîñðåäñòâîì óäâîåíèÿ äèàãðàìì âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé), à â òðåòüåì ðàçäåëå êîìïëåêñÕîâàíîâà äâóëèñòíûõ íàêðûòèé íàä âèðòóàëüíûìè óçëàìè (â ñìûñëå àòîìîâ).Âî âòîðîì ñëó÷àå êîýèöèåíòû ìîæíî áðàòü â ïðîèçâîëüíîì êîëüöå,à â òðåòüåì â ïðîèçâîëüíîì ïîëå. Áîëåå òî÷íî, â òðåòüåì ñëó÷àå ìîæíîïîñòðîèòü ãîìîëîãèè Õîâàíîâà ñ êîýèöèåíòàìè â ïðîèçâîëüíîì êîëüöå,íî èõ èíâàðèàíòíîñòü äîêàçàíà òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà êîýèöèåíòû áåðóòñÿ èç ïîëÿ.
Âîïðîñ îá èõ èíâàðèàíòíîñòè â ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ èçïðîèçâîëüíîãî êîëüöà âûòåêàåò èç ãèïîòåçû îðèåíòèðóåìîñòè, ñì. ñòð.165. Êðîìå òîãî, ýòîò âîïðîñ ÿâíî ñëåäóåò èç èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèéêîìïëåêñà, ïîñòðîåííîãî â ñëåäóþùåé ãëàâå. À èìåííî, â ñëåäóþùåé ãëàâåäëÿ êàæäîãî êîëüöà R êàæäîé äèàãðàììå âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ áóäåòñîïîñòàâëåí êîìïëåêñ, ãîìîëîãèè êîòîðîãî â ñëó÷àå äèàãðàìì ñ îðèåíòèðóåìûìè àòîìàìè èçîìîðíû ãîìîëîãèÿì, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ â íàñòîÿùåé5.2. Îñíîâíûå èñïîëüçóåìûå êîíñòðóêöèè202ãëàâå. Èç èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé, äîêàçûâàåìîé â ñëåäóþùåé ãëàâå èèõ ñîâïàäåíèè äëÿ äèàãðàìì, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, ñ ãîìîëîãèÿìè, ïîñòðîåííûìè â íàñòîÿùåé ãëàâå, ñëåäóåò èíâàðèàíòîñòü ãîìîëîãèé, ïîñòðîåííûõ â íàñòîÿùåé ãëàâå. êîíöå íàñòîÿùåé ãëàâû ìû ïîêàæåì [Ma11℄, ÷òî ïîäõîä, èñïîëüçóþùèé àòîìû, ïðèìåíèì äëÿ îáùåé òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà (ðîáåíèóñîâûõ ðàñøèðåíèé), à òàêæå îïèøåì àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è ñòðóêòóðû,êîòîðûå âîçíèêàþò ïðè ïîïûòêå îáîáùèòü óíèâåðñàëüíóþ òåîðèþ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà íåïîñðåäñòâåííî (êàê îêàçûâàåòñÿ, â îòëè÷èå îò ïðîñòåéøåãî(íà÷àëüíîãî) êîìïëåêñà Õîâàíîâà ýòà òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ áîëåå áîãàòîé).Âàæíûì âîïðîñîì â òåîðèè êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì çàöåïëåíèé äèàãðàìì ñìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì ïåðåêðåñòêîâ â äàííîì êëàññå. êîíöå íàñòîÿùåé ãëàâû ìû ïðèâåäåì êîíñòðóêöèþ çàòÿãèâàþùåãî äåðåâà äëÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà, âïåðâûå ïðåäëîæåííóþ Ø.Âåðëè [Weh2℄ äëÿêëàññè÷åñêèõ óçëîâ (áîëåå ñèëüíûé ðåçóëüòàò â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå áûëïîëó÷åí È.Êîìàíîì è À.×àìïàíåðêàðîì [ChK℄) è àâòîðîì [Ma14℄ (äëÿâèðòóàëüíûõ óçëîâ).
Ìû ïîêàæåì, êàê ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñà Õîâàíîâàìîæíî óñòàíàâëèâàòü ìèíèìàëüíîñòü òåõ èëè èíûõ çàöåïëåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì êîíñòðóêöèè àòîìîâ. Áóäóò ñîðìóëèðîâàíû ðàçëè÷íûå òåîðåìûìèíèìàëüíîñòè [Ma14, Ìà1℄, îïèðàþùèåñÿ êàê íà ïîëèíîì Äæîíñà, òàê èíà êîìïëåêñ Õîâàíîâà.Îòìåòèì, ÷òî êàæäàÿ èç ïðèâîäèìûõ çäåñü êîíñòðóêöèé ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ çàäàåò òàêæå è ãîìîëîãèè Õîâàíîâà äëÿóçëîâ â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ; òåì ñàìûì ìû ïîëó÷àåì èíâàðèàíòêëàññè÷åñêîãî îáúåêòà òðåõìåðíîé òîïîëîãèè.5.2. Îñíîâíûå èñïîëüçóåìûå êîíñòðóêöèè äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü áèãðàäóèðîâàííûå êîìïëåêñûC = ⊕i,j C i,j , ãäå i íàçûâàåòñÿ âûñîòîé, à j ãðàäóèðîâêîé.
Äèåðåíöèàëâ êîìïëåêñå ñîõðàíÿåò ãðàäóèðîâêó è ïîâûøàåò âûñîòó íà åäèíèöó.Ââèäó òîãî, ÷òî äèåðåíöèàë ïîâûøàåò ãðàäóèðîâêó, ïðàâèëüíåå áûëî5.2. Îñíîâíûå èñïîëüçóåìûå êîíñòðóêöèè203áû ãîâîðèòü î êîãîìîëîãèÿõ, íî â ëèòåðàòóðå óñòîÿëîñü íàçâàíèå ãîìîëîãèèÕîâàíîâà, ïîýòîìó ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ òåðìèíîëîãèè öåïè, öèêëû,ãðàíèöû âìåñòî êîöåïè, êîöèêëû, êîãðàíèöû.Ïóñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî (èëè ñâîáîäíûé ìîäóëü M íàä êîëüöîìR) èìååò âûäåëåííóþ ãðàäóèðîâêó q , íàçûâàåìóþ êâàíòîâîé. Òîãäà èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå M = ⊕i Mi , ãäå Mi îäíîðîäíàÿ êîìïîíåíòà ãðàäóèðîâêè q . Íàçîâåì ãðàäóèðîâàííîé ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà M ïîëèíîìPqdim(M ) = i q i dimMi .Íà òàêèõ êîìïëåêñàõ åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåíû îïåðàöèè ñäâèãà âûñîòû C 7→ C[k] è ñäâèãà ãðàäóèðîâêè C 7→ C{l} îïðåäåëåííûå ïîïðàâèëàì: (C[k])i,j = C i−k,j ; (C{l})i,j = C i,j−l .  ïåðâîì ñëó÷àå âìåñòå ñöåïÿìè ñîîòâåòñòâåííûì îáðàçîì ñäâèãàþòñÿ âñå äèåðåíöèàëû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
