Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 28
Текст из файла (страница 28)
, k}.Íà êàæäîì øàãå êàæäîé òàêîé äèàãðàììå ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûé ïîäêóá, ïðè ýòîì îáúåäèíåíèå ïîäêóáîâ íà êàæäîì óðîâíå ñîñòàâëÿåò âåñüèñõîäíûé êóá ñîñòîÿíèé.Îòìåòèì, ÷òî äàëüíåéøèå îðìóëû è àëãîðèòì äåéñòâèé çàâèñÿò îòíóìåðàöèè ïåðåêðåñòêîâ, íî â êîíöå ìû âñåãäà ïîëó÷èì îðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîáêè Êàóìàíà èñõîäíîãî çàöåïëåíèÿ, ò.å. êîíå÷íûé ðåçóëüòàòâñåãäà áóäåò îäíèì è òåì æå.Îïðåäåëåíèå 4.5.
Íàçîâåì òî÷êîé ðàñïàäåíèÿ ñâÿçíîé (ñì. îïð. íà ñòð.50) âèðòóàëüíîé äèàãðàììû òàêîé åå ïåðåêðåñòîê X , ÷òî ïðè óäàëåíèèñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíû X ′ èç îñòîâà Γ ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà V (L)ýòîò îñòîâ ðàñïàäåòñÿ íà áîëåå ÷åì îäíó ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó.Ïðàâèëî äëÿ ðàçâåäåíèÿ èëè íå ðàçâåäåíèÿ ïåðåêðåòñêîâ òàêîâî. Ïðèýòîì ìû áóäåì ðàçâîäèòü òå ïåðåêðåñòêè, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìèðàñïàäåíèÿ äèàãðàììû, ò.å.
òàêèå, íè îäíî èç ðàçâåäåíèé êîòîðûõ íå ïðèâîäèò ê ðàñïàäåíèþ îñòîâà ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà íà äâå ñâÿçíûå êîìïîíåíòû.Òàêèì îáðàçîì, â êîíöå ìû ïîëó÷èì íåêîòîðûé íàáîð ïðîìåæóòî÷íûõðàçâåäåíèé (äèàãðàìì), êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç DL . Êàæäîå èç òàêèõ ðàçâåäåíèé çàäàåò íåêîòîðóþ âèðòóàëüíóþ äèàãðàìììó, ïðè ýòîì ñî-4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ168îòâåòñòâóþùèå ýòèì âèðòóàëüíûì äèàãðàììàì ïîäêóáû èñ÷åðïûâàþò âåñüêóá. Êàæäîìó ïðîìåæóòî÷íîìó ðàçâåäåíèþ S ∈ DL ñîîòâåòñòâóåò äèàãðàììà DS , êîòîðàÿ çàäàåò çàöåïëåíèå LS .
Ñëåäóÿ [Th1℄, ìû óòâåðæäàåì,÷òî:1. Êàæäîå çàöåïëåíèå LS ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèâèàëüíûé óçåë.2. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà DL íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà K1 .Äåéñòâèòåëüíî, êàæäàÿ èç äèàãðàìì ìíîæåñòâà LS îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî â êàæäîì êëàññè÷åñêîì ïåðåêðåñòêå îäíî èç ðàçâåäåíèé ýòîéäèàãðàììû ïðèâîäèò ê ðàñïàäåíèþ. Èç ýòîãî ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ äèàãðàììà òðèâèàëèçóåòñÿ ïîñðåäñòâîì òîëüêî ïåðâûõ êëàññè÷åñêèõóìåíüøàþùèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà (à òàêæå äâèæåíèé îáúåçäà â âèðòóàëüíîì ñëó÷àå).Åñëè ìû áóäåì ðàçâîäèòü äèàãðàììó LS äàëåå, òî ðàçáèâàþùåå ðàçâåäåíèå â êàêîì-ëèáî èç ïåðåêðåñòêîâ ïðèâåäåò ê ðàñïàäåíèþ äèàãðàììû.Ñëåäîâàòåëüíî, èç âñåõ ñîñòîÿíèé äèàãðàììû LS òîëüêî îäíî áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ðîâíî îäíîé îêðóæíîñòè.
À èìåííî, ýòî áóäåò ñîñòîÿíèå, ïîëó÷àþùååñÿ ðàçâåäåíèåì âñåõ ïåðåêðåñòêîâ íåðàñïàäàþùèìñÿ ñïîñîáîì.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èì ðîâíî îäíóîêðóæíîñòü.Îòìåòèì, ÷òî êîíñòðóêöèÿ Òèñòëòóýéòà ðàáîòàåò íå òîëüêî â ñëó÷àå,êîãäà ìû ðàçáèâàåì êóá ñîñòîÿíèé íà ïîäêóáû, ñîîòâåòñòâóþùèå òðèâèàëüíûì äèàãðàììàì. Êàêîå áû ðàçáèåíèå êóáà íà ïîäêóáû ìû íè âçÿëè,ìû ïîëó÷èì àíàëîãè÷íîå ðàçëîæåíèå äëÿ ñêîáêè Êàóìàíà.Òàê êàê âñå ñîñòîÿíèÿ äèàãðàììû L ïîëó÷àþòñÿ äàëüíåéøèì ðàçâåäåíèåì äèàãðàìì LS , ìû ïîëó÷àåì èñêîìîå ñîîòâåòñòâèå.Äëÿ ñîñòîÿíèÿ s èç K1 îáîçíà÷èì ÷åðåç Ds äèàãðàììó èç ìíîæåñòâà DL ,äàëüíåéøåå ðàçâåäåíèå êîòîðîé ïðèâîäèò ê ñîñòîÿíèþ s.Òàêèì îáðàçîì, ïðè âû÷èñëåíèè ñêîáêè Êàóìàíà èñõîäíîãî çàöåïëåíèÿ L ìû ìîæåì ïðîâåñòè ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì èç K1 , ïîäðàçóìåâàÿ ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû èç ìíîæåñòâà DL .
Êàêäèàãðàììû â ñîñòîÿíèÿõ K1 , òàê è äèàãðàììû èç DS çàäàþò òðèâèàëü-4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ169íûå óçëû (èìåííî óçëû, ò.å. çàöåïëåíèÿ èç îäíîé êîìïîíåíòû). Ïðè ýòîìó äèàãðàììû Ds , ñîîòâåòñòâóþùåé ñîñòîÿíèþ s ∈ K1 , åñòü íåêîòîðîå (íåîáÿçàòåëüíî ðàâíîå íóëþ) ÷èñëî çàêðó÷åííîñòè w(Ds ), ÷òî ïðèâîäèò íàñ êäîïîëíèòåëüíîìó ìíîæèòåëþ (−a)3w(Ds ) . Êðîìå òîãî, ïðè ïåðåõîäå îò äèàãðàììû L ê äèàãðàììå Ds ìû ðàçâîäèì íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâïîëîæèòåëüíî, à íåêîòîðîå îòðèöàòåëüíî. Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþðàçíèöó ÷åðåç r(s). èòîãå ìû ïîëó÷àåì îðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîáêè Êàóìàíà:hLi =X(−a)3w(Ds ) ar(s) .(4.3)s∈K1Ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ ñêîáêè Êàóìàíà ìåòîäîì Òèñòëòóýéòà äëÿ òðèëèñòíèêà èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.10.12=32a+a+a+a32-10a=3322-133èñ.
4.10. Âû÷èñëåíèå ñêîáêè Êàóìàíà ìåòîäîì ÒèñòëòóýéòàÈç ýòîãî ðèñóíêà ìû ïîëó÷àåì:4.2. Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè170hLi = (−a)3 a2 + (−a)−3 + (−a)−6 a−1 = −a5 − a−3 + a−7 çíà÷åíèå ñêîáêèÊàóìàíà íà ïðàâîì òðèëèñòíèêå.4.2. Ïîëèíîì Ξ.Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè äèàãðàììêëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèéÎïðåäåëåíèå 4.6.íàçûâàåòñÿ ïðîñòàÿ ñâÿçíàÿ äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ, íå èìåþùàÿ òî÷åê ðàñïàäåíèÿ. íàñòîÿùåì ðàçäåëå âñå äèàãðàììû çàöåïëåíèé ïðåäïîëàãàþòñÿ ñâÿçíûìè è ðåäóöèðîâàííûìè, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå.Íàçîâåì äëèíîé ïîëèíîìà Ëîðàíà P îäíîé ïåðåìåííîé ðàçíèöó ìåæäóïîêàçàòåëÿìè ñòàðøåé è ìëàäøåé ñòåïåíåé ìîíîìîâ, âõîäÿùèõ â íåãî ñíåíóëåâûìè êîýèöèåíòàìè.
Îáîçíà÷åíèå: spanP .åäóöèðîâàííîéÒåîðåìà 4.4. Ïóñòü L ðåäóöèðîâàííàÿ äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ñãäåχnêëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè. ÒîãäàspanhLi 6 4n + 2(χ − 2), ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà.Íàì íóæíî îöåíèòü ðàçíîñòü ñòàðøåé è ìëàäøåé ñòåïåíåé ìîíîìîâ, âõîäÿùèõ â ðàçëîæåíèå ñêîáêè Êàóìàíà.àññìîòðèì A- è B -ñîñòîÿíèÿ äèàãðàììû L: â ïåðâîì èç íèõ âñå ïåðåêðåñòêè ðàçâåäåíû ïîëîæèòåëüíûì ñïîñîáîì, à âî âòîðîì îòðèöàòåëüíûì. Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâà îêðóæíîñòåé â ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ ÷åðåç γmax èγmin ñîîòâåòñòâåííî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íèêàêîå ñîñòîÿíèå íå ìîæåò ñîäåðæàòü ìîíîìà, èìåþùåãî ñòåïåíü âûøå, ÷åì ñòàðøàÿ ñòåïåíü ìîíîìà â Añîñòîÿíèè (α = n, β = 0), è íèêàêîå ñîñòîÿíèå íå ìîæåò ñîäåðæàòü ìîíîìàñòåïåíè ìåíüøåé, ÷åì ìëàäøàÿ ñòåïåíü ìîíîìà â B -ñîñòîÿíèè (ïðîòèâîïîëîæíîì ñîñòîÿíèþ A âî âñåõ ïåðåêðåñòêàõ). ìàêñèìàëüíîì ñîñòîÿíèè ðàññìîòðèì ñòàðøèé ìîíîì ñòåïåíè n +(γmax − 1), à â ìèíèìàëüíîì ìëàäøèé ìîíîì ñòåïåíè −n − (γmin − 1).Î÷åâèäíî, ÷òî äëèíà ñêîáêè Êàóìàíà hL̄i íå ïðåâîñõîäèò 2n + 2(γmax +γmin − 2).Ó÷èòûâàÿ, ÷òî χ = n − 2n + (γmax + γmin ), ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Äîêàçàòåëüñòâî.4.2.
Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè171Íàçîâåì âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó L ñ n ïåðåêðåñòêàìè 1-ïîëíîé, åñëèspanhLi = 4n + 2(χ − 2).Îïðåäåëåíèå 4.7. Íàçîâåì ìèíèìàëüíîé äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî çà-öåïëåíèÿ ñ n ïåðåêðåñòêàìè òàêóþ, ÷òî ëþáàÿ äèàãðàììà äàííîãî çàöåïëåíèÿ èìååò íå ìåíüøå ïåðåêðåñòêîâ, ÷åì n.Ìèíèìàëüíîñòè äèàãðàìì âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ïîñâÿùåí êîíåö ãëàâû 5. Îòìåòèì, ÷òî ÿâíûå ïðèìåðû ìèíèìàëüíîñòè äèàãðàìì äëèííûõâèðòóàëüíûõ óçëîâ, ïðèâåäåííûå â ãëàâå 5, îïèðàþòñÿ òîëüêî íà ðåçóëüòàòû ãëàâû 4.Çàìå÷àíèå 4.5. Îòìåòèì, ÷òî íà ìíîæåñòâå êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèéåñòü äâà îðìàëüíî ðàçëè÷íûõ îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì.
Îäíî èç íèõ îçíà÷àåò ìèíèìàëüíîñòü â êëàññè÷åñêîé êàòåãîðèè, âòîðîå ìèíèìàëüíîñòü â âèðòóàëüíîé êàòåãîðèè. Åñëè êëàññè÷åñêàÿ äèàãðàììàÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé â âèðòóàëüíîé êàòåãîðèè, òî îíà ïî îïðåäåëåíèþÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé è â êëàññè÷åñêîé êàòåãîðèè. Âåðíî ëè îáðàòíîå,äî ñèõ ïîð íå èçâåñòíî. Ýòîò âîïðîñ ñîñòàâëÿåò îäíó èç ïðîáëåì èçñïèñêà [FKM℄. äàëüíåéøåì, ãîâîðÿ î ìèíèìàëüíîñòè äèàãðàììû êëàññè÷åñêîãî óçëàìû áóäåì òî÷íî óêàçûâàòü â êàêîé êàòåãîðèè ðàññìàòðèâàåòñÿ ìèíèìàëüíîñòü.Èç òåîðåìû 4.4 ìîæíî âûâåñòè ðÿä ñëåäñòâèé, îòíîñÿùèõñÿ ê îöåíêå÷èñëà êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ òîãî èëè èíîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ.Ïóñòü âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà K èìååò äèàãðàììó n êëàññè÷åñêèìèïåðåêðåñòêàìè, è ïóñòü òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèé àòîì èìååò ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó χ, à spanhKi = 4n + 2(χ − 2).Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò äèàãðàììà K ′ ñ ìåíüøèì êîëè÷åñòâîì êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ n′ < n, òî ñîîòâåòñòâóþùèé äèàãðàììå K ′ àòîì äîëæåí èìåòü áîëüøóþ ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó, ÷åì àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèéäèàãðàììå K .
Èç ýòîãî ñëåäóåò ìèíèìàëüíîñòü ìíîãèõ äèàãðàìì, èìåþùèõ íåîòðèöàòåëüíóþ ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó (íàïðèìåð, ëåæàùèõ íàñåðå, òîðå, áóòûëêå Êëåéíà, ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè). ×àñòíûì ñëó÷àåìýòîãî ÿâëÿåòñÿ çíàìåíèòàÿ òåîðåìà Êàóìàíà-Ìóðàñóãè î ìèíèìàëüíîñòè4.2. Ïîëèíîì Ξ.
Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè172àëüòåðíèðîâàííûõ äèàãðàìì êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.Ýòà òåîðåìà áûëà äîêàçàíà íåçàâèñèìî Êàóìàíîì, Ìóðàñóãè [Mur1℄ èÒèñòëòóýéòîì [Th1℄ â 1987 ãîäó.Òåîðåìà 4.5 (Òåîðåìà ÊàóìàíàÌóðàñóãè). Äëèíà ïîëèíîìà ÄæîíñàÊàóìàíà äëÿ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé ñî ñâÿçíîé òåíüþ èêàìè ìåíüøå èëè ðàâíà4n.nïåðåêðåñò-àâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî äëÿ àëüòåð-íèðîâàííûõ äèàãðàìì áåç òî÷åê ðàñïàäåíèÿ èëè äëÿ ñâÿçíûõ ñóìì òàêèõäèàãðàìì.Òåîðåìà Êàóìàíà-Ìóðàñóãè áûëà äîêàçàíà äëÿ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.  íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ìû ïðèâåäåì ïðèíàäëåæàùåå àâòîðó äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû äëÿ ñëó÷àÿ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé (â ýòîì ñëó÷àå ïîìèìî àëüòåðíèðîâàííûõ çàöåïëåíèé ðàññìàòðèâàåòñÿ òàêæå êëàññêâàçèàëüòåðíèðîâàííûõ çàöåïëåíèé).Îäíàêî èíîãäà äëèíà ñêîáêè Êàóìàíà ïî òåì èëè èíûì ïðè÷èíàì îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå, ÷åì 4n + 2(χ − 2) (îáðàùàåòñÿ â íóëü ñòàðøèé èëè ìëàäøèé êîýèöèåíò).
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèáåãíóòü ê áîëåå ñèëüíûìèíâàðèàíòàì: ïîëèíîìó Ξ èëè ãîìîëîãèÿì Õîâàíîâà, êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíû äàëåå.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñòàðøèé êîýèöèåíò ñêîáêè Êàóìàíà èìååò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ: îá ýòîì ïîéäåò ðå÷ü â ãëàâå 8, ïîñâÿùåííîé ãðààìè èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà óçëîâ è ïëîñêèõ êðèâûõ.Ïðèâåäåì ïðèìåð ïðîñòîé òåîðåìû ìèíèìàëüíîñòè.Òåîðåìà 4.6 ([Ìà1℄).ÏóñòüL âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà ñnêëàññè-÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè, çàäàþùàÿ âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå, íå èìåþùååíåñâÿçíûõ äèàãðàìì. Ïóñòü âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ óñëîâèé:spanhLi = 4n − 2;á) spanhLi > 4n−4, ïðè ýòîì â hLi âõîäÿò ìîíîìû, èìåþùèå ñòåïåíè,íå ñðàâíèìûå ïî ìîäóëþ ÷åòûðå. Òîãäà äèàãðàììà L ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüà)íîé (â êëàññå ñâÿçíûõ äèàãðàìì).Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà ñóùåñòâóåò äèàãðàììàL , êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ êîòîðîé ðàâíî m 6 (n − 1).Äîêàçàòåëüñòâî.′4.2.
Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè173 ñëó÷àå à) ðàññìîòðèì àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé äèàãðàììå L′ . Òàê êàêäèàãðàììà L′ ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé, ñîîòâåòñòâóþùèé åé àòîì ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì è èìååò ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó íå ïðåâûøàþùóþ äâóõ. Èç òåîðåìû4.4 ïîëó÷àåì, ÷òî spanhLi = spanhL′ i 6 4(n − 1). Ïðîòèâîðå÷èå.Âî ñëó÷àå á) àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé äèàãðàììå L′ , ÿâëÿåòñÿ íåîðèåíòèðóåìûì, òàê êàê hL′ i = hLi èìååò ìîíîìû, ñòåïåíè êîòîðûõ íå ñðàâíèìûïî ìîäóëþ ÷åòûðå. Ñëåäîâàòåëüíî, ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà χ ýòîãî àòîìà íå ïðåâûøàåò åäèíèöû (â ñèëó ñâÿçíîñòè äèàãðàììû).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
