Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3.31. Ïåðâîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðàÌû âèäèì, ÷òî ðåáðî íà âõîäå a ñâÿçàíî ñ ïðîìåæóòî÷íûì ðåáðîì x èñ ðåáðîì íà âûõîäå ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:a + P x = x, x − P a = b.Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèÿì: (1 − P )x = a, îòêóäà âûòåêàåò x = (1 + P )a. Îòñþäà ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî b = (1 + P )a − P x = a, ïðèýòîì x âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòèîòíîñèòåëüíî ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.àññìîòðèì òåïåðü âòîðîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà. Ñîãëàñíî îïðåäå-3.4. Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâc=a141d=biyxiabèñ. 3.32.
Âòîðîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðàëåíèþ, îáà ïåðåêðåñòêà, ó÷àñòâóþùèå â äâèæåíèè, èìåþò îäíó è òó æåìåòêó; êðîìå òîãî, ìû èìååì ïàðó äóã íîìåðàìè k, l â ïåðâîì ïåðåêðåñòêå è ýòè æå äóãè âî âòîðîì ïåðåêðåñòêå. Òàêèì îáðàçîì, ìû îïÿòü ìîæåìîáîéòèñü áåç âåðõíèõ èíäåêñîâ è ïèñàòü ïðîñòî P i âìåñòî Pkli .Âòîðîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.32.Ìû èìååì äâà âõîäÿùèõ ðåáðà a, b. Îñòàëüíûå ðåáðà âûðàæàþòñÿ ÷åðåçíèõ ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: x = a + P i b, y = b − P i a, c =x − P i y = a + P i b − P i b + P i P i a = a, d = y + P i x = b.Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåðåñóþùèé íàñ ìîäóëü ïîðîæäåí äóãàìè a è b, à òàêæå âíåøíèìè äóãàìè (íå èçîáðàæåííûìè íà ðèñóíêå è îäèíàêîâûìè äî èïîñëå ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà). Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.Ïåðåéäåì ê òðåòüåìó äâèæåíèþ åéäåìåéñòåðà, èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 3.33.Çäåñü ìû èìååì òðè âõîäÿùèõ ðåáðà a, b, c (êîòîðûå íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû íàêëîííûìè áóêâàìè), ìåòêè â âåðøèíàõ (ïðè ýòîì èìååò ìåñòîñîîòíîøåíèå r > s), à òàêæå íîìåðà êîìïîíåíò (â íàøåì ñëó÷àå i, j, k ),êîòîðûå ìû èçîáðàæàåì æèðíûì øðèòîì.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñå ïðîìåæóòî÷íûå ðåáðà êàê íà ëåâîé êàðòèíêå, òàêè íà ïðàâîé, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âõîäÿùèå ðåáðà.Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî ïðîâåðèòü ñîâïàäåíèå âûðàæåíèÿ èñõîäÿùèõðåáåð ÷åðåç âõîäÿùèå äëÿ ëåâîé è ïðàâîé êàðòèíîê (êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿîäíà èç äðóãîé ïðèìåíåíèåì òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà).Íà ëåâîé êàðòèíêå èñõîäÿùèå ðåáðà çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè3.4.
Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ142èñ. 3.33. Òðåòüå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðàsa + Pjkb − Pijr c,sb − Pjka − Pikr c èssc + Pikr (b − Pjka) + Pijr (a + Pjkb).Íà ïðàâîé êàðòèíêå îðìóëû äëÿ èñõîäÿùèõ ðåáåð âûãëÿäÿò òàê:sa − Pijr c + Pjkb,srr(a − Pijr c),b − Pik (c + Pij a) − Pjkc + Pijr a + Pikr bËåãêî âèäåòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò ââèäó àêñèîì(3.23,3.24) êîëüöà M , à òàêæå ñîîòíîøåíèé (3.25). Òåì ñàìûì ìû çàâåðøèëè ïðîâåðêó èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà è, âìåñòå ñ íåé, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.3.4.3. ÏðèìåðûÏðîñòåéøèìè ïðèìåðàìè èåðàðõè÷åñêèõ çàöåïëåíèé ÿâëÿþòñÿ òðèâèàëüíûå çàöåïëåíèÿ èç ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà êîìïîíåíò.
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿòðèâèàëüíîãî k -êîìïîíåíòíîãî èåðàðõè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ ìû ïîëó÷èì ñâîáîäíûé k -ìåðíûé ìîäóëü íàä A.Ñòàíäàðòíàÿ òåíü òðèëèñòíèêà, ó êîòîðîé äâà èç òðåõ ïåðåêðåñòêîâ èìåþò îäèíàêîâûå ìåòêè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èåðàðõè÷åñêèé óçåë, ñâîäèìûéê òðèâèàëüíîìó, ñì. ðèñ. 3.34. Äåéñòâèòåëüíî, ñíà÷àëà ìû ïðèìåíèì âòî-3.4. Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ143ðîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà ê äâóì âåðøèíàì ñ îäèíàêîâûìè ìåòêàìè, àçàòåì óáåðåì îñòàâøóþñÿ ïåòëþ ïîñðåäñòâîì ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.èñ. 3.34.
Òðèâèàëüíûé èåðàðõè÷åñêèé óçåëÎäíàêî, åñëè ìû ïîñòàâèì òðè ðàçëè÷íûå ìåòêè, ñì. ðèñ. 3.35, ýòî áóäåòóæå íå òðèâèàëüíûé èåðàðõè÷åñêèé óçåë.x231yèñ. 3.35. Íåòðèâèàëüíûé èåðàðõè÷åñêèé óçåëÀ èìåííî, îáîçíà÷èì äâå äóãè ñëåâà ÷åðåç x è y , êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.3.35.Ïîêàæåì, ÷òî ìîäóëü, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó óçëó, íå ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ó íàñ èìååòñÿ ðîâíî îäíà êîìïîíåíòà, ìûjìîæåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ P j , ãäå j = 1, 2, 3, âìåñòî P11 .Ïðîàêòîðèçóåì íàø ìîäóëü ïî ñîîòíîøåíèÿì âèäà P i P j P k = 0.Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïåðåêðåñòêà ïàðà äóã (x, y) ïåðåõîäèò â ïàðó3.4.
Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ144äóã (y − P 1 x, x + P 1 y) (çäåñü è äàëåå ñíà÷àëà óêàçûâàåòñÿ äóãà, ðàñïîëîæåííàÿ ñâåðõó, à çàòåì äóãà, ðàñïîëîæåííàÿ ñíèçó).Ïîñëå âòîðîãî ïåðåêðåñòêà ìû ïîëó÷èì ïàðó äóã (x + (P 1 − P 2 )y +P 2 P 1 ∗, y + (P 2 − P 1 )x + P 2 P 1 ∗).Íàêîíåö, ïîñëå òðåòüåãî ïåðåêðåñòêà ìû ïîëó÷èì ïàðó(y + (P 2 − P 1 − P 3 )x + (P 2 P 1 + P 3 P 2 − P 3 P 1 )y, x + (P 1 − P 2 + P 3 )y +(P 2 P 1 + P 3 P 2 − P 3 P 1 )x),Ýòè äâà ýëåìåíòà ñîîòâåòñòâóþò äâóì äóãàì, ðàñïîëîæåííûì ñïðàâà ò.å.
ðàâíû x è y ñîîòâåòñòâåííî.Îáîçíà÷èì P 1 − P 2 + P 3 ÷åðåç P è îáîçíà÷èì P 2 P 1 + P 3 P 2 − P 3 P 1 ÷åðåçQ. Çàìåòèì, ÷òî P 2 = −Q, P 3 = 0. Òîãäà ìû ïîëó÷èì.y − Px + Q∗ = x; x + Py + Q∗ = y(3.26)Çàïèñûâàÿ x â âèäå y − Py − Q∗, ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî y − Py + P 2 y =y − Py + Q∗. Ýòî ñîîòíîøåíèå äåëàåò íàø ìîäóëü íåòðèâèàëüíûì. Áîëååòîãî, ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå íå âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèÿ, ïî êîòîðîìóìû àêòîðèçîâàëè.Ñëåäîâàòåëüíî, èåðàðõè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ äèàãðàììà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ.3.35, íåòðèâèàëüíà.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èåðàðõè÷åñêèå êîëüöà Áîððîìåî, ðàçìå÷åííûå òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ.
3.36 íå ýêâèâàëåíòíû òðèâèàëüíîìó òðåõêîìïîíåíòíîìó çàöåïëåíèþ.Èçîáðàçèì êîëüöà Áîððîìåî ñëåäóþùèì îáðàçîì (â âèäå çàìûêàíèÿêîñû), ñì. ðèñ. 3.37.Ñëåâà ìû èìååì òðè ìåòêè (a, b, c). Ïîñëå ïåðâîãî ïåðåêðåñòêà (ïîìå÷åííîãî êàê 1) îíè ïåðåõîäÿò â ñëåäóþùèå òðè ïåðåêðåñòêà (âûïèñûâàåìñâåðõó âíèç): (b − P 1 a, a + P 1 b, c).Äàëåå ìû èìååì (b − P 1 a, c − P 3 a − P 3 P 1 ∗, a + P 1 b + P 3 c), çàòåì (c −P 3 a−P 3 P 1 ∗−P 2 b +P 2 P 1 ∗, b −P 1 a+P 2 c, a+P 1 b +P 3 c), ïîñëå ýòîãî (ïîñëåïåðåêðåñòêà, ïîìå÷åííîãî êàê 1, ìû ïîëó÷àåì:(c − P 3 a − P 3 P 1 ∗ −P 2 b + P 2 P 1 ∗, a + P 3 c, b + P 2 c), äàëåå (a + P 3 P 2 ∗, c −P 3 P 1 ∗ −P 2 b + P 2 P 1 ∗, b + P 2 c) è, íàêîíåö,3.4.
Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ231214513èñ. 3.36. Èåðàðõè÷åñêèå êîëüöà Áîððîìåî íå ýêâèâàëåíòíû òðèâèàëüíîìó çàöåïëåíèþabc312312èñ. 3.37. Ìåòêè íà êîëüöàõ Áîððîìåî(a + P 3 P 2 ∗, b, c − P 3 P 1 ∗ +P 2 P 1 ∗).Èç ýòîãî âûòåêàþò íåòðèâèàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ: P 3 P 2 ∗ = 0, à òàêæåP 3 P 1 ∗ −P 2 P 1 ∗ = 0.ëàâà 4Ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà è åãî îáîáùåíèÿ.ÀòîìûÏîëèíîì Äæîíñà (â îðìå íîðìèðîâàííîé ñêîáêè Êàóìàíà) ÿâëÿåòñÿïðîñòîé è âìåñòå ñ òåì óíäàìåíòàëüíîé êîíñòðóêöèåé èíâàðèàíòà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ. Íà åå îñíîâå â ïîñëåäíåå âðåìÿ áûëè ïîñòðîåíû íåñêîëüêîçàìå÷àòåëüíûõ òåîðèé èíâàðèàíòîâ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ êâàíòîâûå èíâàðèàíòû, ãîìîëîãèè Õîâàíîâà è äð, à òàêæå ìíîãî÷èñëåííûå îáîáùåíèÿïîëèíîìà Äæîíñà íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ.
Îðèãèíàëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ Äæîíñà áûëà ïðåäëîæåíà â [Jon1℄, âåðñèÿ â âèäå ñêîáêè Êàóìàíàâïåðâûå ïîÿâèëàñü â [Kau3℄.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü ýòîò èíâàðèàíò òàêæå ïîëèíîìîì Äæîíñà-Êàóìàíà.Çà ïîñëåäíèå íåñêîëüêî ëåò áûëà ïðåäëîæåíà [Kh℄ è ðàçâèòà ìîùíàÿêîíñòðóêöèÿ, îáîáùàþùàÿ ïîëèíîì Äæîíñà êîìïëåêñ Õîâàíîâà.Ýòà êîíñòðóêöèÿ îòíîñèòñÿ ê ïîëèíîìó Äæîíñà â òîé æå ñòåïåíè, âêîòîðîé êîëüöî êîãîìîëîãèé íåêîòîðîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòñÿ ê åãî ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêå. Áîëåå òî÷íî, êîìïëåêñ Õîâàíîâàçàöåïëåíèÿ ýòî íåêîòîðûé îðìàëüíûé àëãåáðàè÷åñêèé êîìïëåêñ, âñåãîìîëîãèè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè ðàññìàòðèâàåìîãî çàöåïëåíèÿ, à (ãðàäóèðîâàííàÿ) ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ñîâïàäàåò ñ ïîëèíîìîìÄæîíñà-Êàóìàíà1 . îìîëîãèÿì Õîâàíîâà áóäåò ïîñâÿùåíû ñëåäóþùèåäâå ãëàâû äèññåðòàöèè. ëàâà 4 ÿâëÿåòñÿ â èçâåñòíîé ñòåïåíè ïîäãîòîâèòåëüíîé ê ãëàâàì 5 è 6. ñëåäóþùåé ãëàâå ìû îïèøåì ðàçëè÷íûå ñïîñîáû îáîáùåíèÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ïðèíàäëåæàùèå àâòîðó, ñì.1Âíåñêîëüêî èíîé íîðìèðîâêå, ïðåäëîæåííîé Õîâàíîâûì.
Ýòîò ïîëèíîì ïîëó÷àåòñÿ èç ïîëèíîìà Äæîíñà çàìåíîéïåðåìåííîé è óìíîæåíèåì íà ïîñòîÿííûé ïîëèíîìèàëüíûé ìíîæèòåëü.4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ147[Ìà6, Ìà1, Ma11℄. Íà îñíîâå ñâîéñòâ ïîëèíîìà Äæîíñà è ãîìîëîãèé Õîâàíîâà â ãëàâå 5 áóäóò äîêàçàíû òåîðåìû, óñòàíàâëèâàþùèå ìèíèìàëüíîñòüèëè íåêëàññè÷íîñòü íåêîòîðûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé (ò.å. îòñóòñòâèå óäàííîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ êëàññè÷åñêîé äèàãðàììû), îöåíèâàþùèåèõ õàðàêòåðèñòèêè (ðîä àòîìà è äð.). Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå âèðòóàëüíûõóçëîâ ñ íåîðèåíòèðóåìûìè àòîìàìè (ñì. îïð.
íèæå) êîíñòðóêöèÿ Õîâàíîâàòðåáóåò âåñüìà íåòðèâèàëüíûõ ìîäèèêàöèé, è ïîñòðîåííûå â ïÿòîé ãëàâå ãåîìåòðè÷åñêèå îáîáùåíèÿ ñâÿçàíû ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ìîäèèêàöèÿìèèñõîäíîãî óçëà. øåñòîé ãëàâå (öåíòðàëüíîé â íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè) êàæäîé äèàãðàììå ïðîèçâîëüíîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ áóäåò ñîïîñòàâëåí öåïíîéêîìïëåêñ, ãîìîëîãèè êîòîðîãî áóäóò èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äâèæåíèéåéäåìåéñòåðà.
 ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé ýòîò êîìïëåêñ áóäåòèìåòü òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è îðèãèíàëüíûé êîìïëåêñ Õîâàíîâà.åçóëüòàòû ãëàâ 5 è 6 öåíòðàëüíûå â íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè.Ïðè ýòîì áîëüøàÿ ÷àñòü ðåçóëüòàòîâ ïÿòîé ãëàâû, îòíîñÿùàÿñÿ ê ìîäèèêàöèÿì êîíñòðóêöèè Õîâàíîâà, áóäåò âåðíà è äëÿ íîâîãî êîìïëåêñà.Íàñòîÿùàÿ ãëàâà ÿâëÿåòñÿ ïîäãîòîâèòåëüíîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãîìîëîãèéÕîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.  êà÷åñòâå ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåçóëüòàòà îñíîâíîãî â íàñòîÿùåé ãëàâå ïðåäëàãàåòñÿ íîâûé èíâàðèàíò, óòî÷íÿþùèé ïîëèíîì Äæîíñà, îáîçíà÷àåìûé ÷åðåç Ξ. ïîñëåäíåå âðåìÿ ïîÿâèëèñü íîâûå èíâàðèàíòû, óñèëèâàþùèå ïîëèíîìÄæîíñà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (è äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ), íî èñïîëüçóþùèõ êîìáèíàòîðíûå èäåè (Ìèÿäçàâà [Miy℄, Êàìàäà, Èøèè, [IKK℄).4.1.
Ïîëèíîì ÄæîíñàÊàóìàíàêëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâÏóñòü äàíà îðèåíòèðîâàííàÿ äèàãðàììà L âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ñ nêëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè. àññìîòðèì íåîðèåíòèðîâàííóþ äèàãðàììó |L|, ïîëó÷àåìóþ èç L çàáûâàíèåì îðèåíòàöèè. Êàæäûé èç ïåðåêðåñòêîâäèàãðàììû |L| ìîæíî ðàçâåñòè îäíèì èç äâóõ ñïîñîáîâ: ïîëîæèòåëüíûìA:→èëè îòðèöàòåëüíûì B :→ . Âûáîð ðàçâåäåíèÿ âñåõ ïåðåêðåñòêîâ íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿíèåì äèàãðàììû. Òàêèì îáðàçîì, äèàãðàììàI OI L4.1.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ148|L| èìååò 2n ñîñòîÿíèé. Ïîñëå ðàçâåäåíèÿ äèàãðàììû ñîãëàñíî íåêîòîðîìóñîñòîÿíèþ, ìû ïîëó÷èì äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ áåç êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåìîå âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå áóäåò òðèâèàëüíûì. Ñîïîñòàâèì êàæäîìó ñîñòîÿíèþ s òðè ÷èñëà: α(s) ÷èñëî êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ, ðàçâåäåííûõ ñïîñîáîì A, β(s) = (n − α(s)) ÷èñëî êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ, ðàçâåäåííûõ ñïîñîáîì B è γ(s) ÷èñëî êîìïîíåíò (òðèâèàëüíîãî) çàöåïëåíèÿ â ñîñòîÿíèè s.Îïðåäåëèì ñêîáêó Êàóìàíà h·i íåîðèåíòèðîâàííîé äèàãðàììû |L| ïîîðìóëå:h|L|i =Xsaα(s)−β(s) (−a2 − a−2 )(γ(s)−1) ,(4.1)ãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì s äèàãðàììû |L|.Ñêîáêà Êàóìàíà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âñåõ îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà, çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà Ω1 .Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñêîáêà Êàóìàíà óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ h i = ah i + a−1 h iÑêîáêà Êàóìàíà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè èíâàðèàíòîì íåîðèåíòèðîâàííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, ïðèâîäèò ê ïîñòðîåíèþ èíâàðèàíòàîðèåíòèðîâàííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Äëÿ ýòîãî åå íóæíî íîðìèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü L îðèåíòèðîâàííàÿ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà.
ÏîëîæèìIOLX(L) = (−a)−3w(L) h|L|i,(4.2)ãäå w(L) ÷èñëî çàêðó÷åííîñòè äèàãðàììû L.Èçâåñòíî [Kau7℄, ÷òî òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì èíâàðèàíòíûé ïîëèíîì (Ëîðàíà) îðèåíòèðîâàííûõ çàöåïëåíèé. Ïî ïîëèíîìó Êàóìàíà çàöåïëåíèé ìîæíî ñóäèòü î ñëåäóþùåì:1. ßâëÿåòñÿ ëè çàöåïëåíèå êëàññè÷åñêèì?2. Êàêèì ìîæåò áûòü ðîä çàöåïëåíèÿ (â ñìûñëå àòîìà, ñì. îïð. íà ñòð.154)?4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ1493. Êàêèì ìîæåò áûòü êîëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû äàííîãî çàöåïëåíèÿ (îöåíêà ñíèçó)?Îïèøåì íåêîòîðûå âàæíûå îáùåèçâåñòíûå ñâîéñòâà ïîëèíîìà ÄæîíñàÊàóìàíà.Ïðèìåð 4.1.Èç îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî íà òðèâè-àëüíîì óçëå ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà ðàâåí åäèíèöå, íà òðèâèàëüíîì2−2 nçàöåïëåíèè èç n + 1 êîìïîíåíòû îí ðàâåí (−a − a ) .Äàëåå, ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà ìóëüòèïëèêàòèâåí îòíîñèòåëüíîîïåðàöèè âçÿòèÿ ñâÿçíîé ñóììû:X(L1 #L2 ) = X(L1 ) · X(L2 ).Çäåñü èìååòñÿ â âèäó, ÷òî äëÿçàöåïëåíèéL1 #L2ëþáîéñâÿçíîé ñóììû âèðòóàëüíûõåãî çíà÷åíèå ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ çíà÷åíèé ïîëèíîìàÄæîíñà-Êàóìàíà íà âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèÿõ, âõîäÿùèõ â ñâÿçíóþ ñóììó â âèäå ñëàãàåìûõ.Äàëåå, äëÿ íåñâÿçíîé ñóììû (êîòîðàÿ îïðåäåëåíà êîððåêòíî) ìû èìååìX(L1 ⊔ L2 ) = X(L1 ) · X(L2 ) · (−a2 − a−2 ).Ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà, îäíàêî, ÿâëÿåòñÿ íå î÷åíü ñèëüíûì èíâàðèàíòîì äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ: ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü, íàïðèìåð, íåòðèâèàëüíûå (è íå êëàññè÷åñêèå) óçëû, íà êîòîðûõ ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíàðàâåí åäèíèöå.Ïðèìåð 4.2.àññìîòðèì óçåë Êèøèíî, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
