Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3.24 (à, á, â, ã).Äîêàçàòåëüñòâî.èñ. 3.24. Ïðîâåðêà èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî Ω33.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû122 êàæäîì èç ÷åòûðåõ âûøåóïîìÿíóòûõ ñëó÷àåâ ìû èìååì òðè âõîäÿùèå äóãè è òðè èñõîäÿùèå äóãè. Îäíà èç äóã (òà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòìåòêà p) ïðîõîäèò ñâåðõó â îáîèõ ïåðåêðåñòêàõ; òàê ÷òî ìåòêà íà âõîäåñîâïàäàåò ñ ìåòêîé íà âûõîäå.
Äðóãàÿ äóãà (êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ìåòêà q ) ïîäâåðãàåòñÿ äåéñòâèþ äóãè ñ ìåòêîé p; ýòî äåéñòâèå îäèíàêîâî âîáîèõ ñëó÷àÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíêðåòíîé âåðñèè äâèæåíèÿ Ω3 . Òàêèìîáðàçîì, íàì îñòàåòñÿ èññëåäîâàòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ äóãîé, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ìåòêà r.Íà êàæäîé èç êàðòèíîê â êàæäîì ïåðåêðåñòêå ìû ñòàâèì íåêîòîðóþîïåðàöèþ α, β è γ èç ìíîæåñòâà îïåðàöèé {◦, ∗, /, //}. Ýòà îïåðàöèÿ áóäåòïðèìåíåíà ê äóãå ñíèçó, îáðàçóþùåé ïðîõîä, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé äóãè ñâåðõó.àññìîòðèì ñëó÷àé à. Êàæäàÿ èç îïåðàöèé α, β, γ ÿâëÿåòñÿ óìíîæåíèåì, ò.å. ◦ èëè ∗ (îïåðàöèè / è // áóäåì íàçûâàòü äåëåíèÿìè).Òàêèì îáðàçîì, â ëåâîì âåðõíåì óãëó ìû ïîëó÷èì: (rγq)αp íà ëåâîéêàðòèíêå è (rαp)γ(qβp) íà ïðàâîé êàðòèíêå. Íî ïî îïðåäåëåíèþ (rγq)αp =(rαp)γ(qαp).
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíî (rαp)γ(qβp) ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ äèñòðèáóòèâíîñòè èëè ñòðàííîìó ñîîòíîøåíèþ (òàê êàê îáå îïåðàöèèβ è α ÿâëÿþòñÿ óìíîæåíèÿìè).àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé á. Çäåñü γ ÿâëÿåòñÿ óìíîæåíèåì, à α, β äåëåíèÿìè. Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì òî æå ñàìîå ñîîòíîøåíèå: (rγq)αp =(rαp)γ(qαp) = (rαp)γ(qβp).Òî æå ñîîòíîøåíèå èìååò ìåñòî è äëÿ êàðòèíîê â è ã: åäèíñòâåííîå, ÷òîíóæíî çàìåòèòü, ýòî òî, ÷òî ëèáî îáå îïåðàöèè α è β ÿâëÿþòñÿ óìíîæåíèÿìè (ñëó÷àé â), ëèáî îáå ÿâëÿþòñÿ äåëåíèÿìè (ñëó÷àé ã). Îñòàâøàÿñÿ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà î÷åâèäíà.Êàê è â ñëó÷àå äèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ èëè âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ, äëèííûå ãðóïïîèäû ïîçâîëÿþò ñòðîèòü èíâàðèàíòû áîëåå ïðîñòûå.Äëÿ ýòîãî ìîæíî èêñèðîâàòü äëèííûé ãðóïïîèä (Ä′ , a, b) è èçó÷àòü ìíîæåñòâî ãîìîìîðèçìîâ èç äëèííûõ ãðóïïîèäîâ äëèííûõ óçëîâ â Ä, ñîãëàñîâàííûõ ñî âñåìè îïåðàöèÿìè è ïåðåâîäÿùèå íà÷àëüíûé ýëåìåíò äëèííîãî ãðóïïîèäà â a, à êîíå÷íûé åãî ýëåìåíò â b.Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ñòðàííûå ñîîòíîøåíèÿ íå âûïîëíèìû êðîìå êàê3.2.
Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû123â ñëó÷àå, åñëè îïåðàöèÿ ∗ ñîâïàäàåò ñ îïåðàöèåé ◦. Îäíàêî ýòî íå òàê. Âêà÷åñòâå ïðèìåðà ([Ìà9℄) äëèííîãî ãðóïïîèäà ìîæíî ðàññìîòðåòü êîëüöîZm è â íåì îïåðàöèè: x ◦ y = px + (1 − p)yx ∗ y = qx + (1 − q)y(3.14)f (a) =ka,ãäå k, p, q îáðàòèìûå ýëåìåíòû â êîëüöå, ïðè ýòîì (1 − p)(p − q) = (1 −q)(p−q) = 0; ýëåìåíòû a1 , a2 âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Àêñèîìûäëèííîãî ãðóïïîèäà ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.Íàçîâåì äëèííûìè ãðóïïîèäû òàêîãî âèäà ëèíåéíûìè äëèííûìè ãðóïïîèäàìè.
Êàê îêàçûâàåòñÿ, ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ äëèííûõ ãðóïïîèäîâ ìîæíî ðàñïîçíàâàòü íåòðèâèàëüíîñòü íåêîòîðûõ äëèííûõ óçëîâ, èìåþùèõ òðèâèàëüíîå çàìûêàíèå.Ïóñòü äàíî êîëüöî R ñ åäèíèöåé, â êîòîðîì èêñèðîâàíû îáðàòèìûåýëåìåíòû p è q , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (p−1)(p−q) = (q−1)(p−q) =0, à òàêæå îáðàòèìûé ýëåìåíò k . Äëÿ äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà îáîçíà÷èì ÷åðåç M̃ (K) ìîäóëü íàä R, ïîðîæäåííûé îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì(îáðàçóþùèå äóãè, ñîîòíîøåíèÿ â ïåðåêðåñòêàõ (3.14)) ñ âûäåëåííûìèäâóìÿ ýëåìåíòàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé äóãå.Ñðàâíåíèå äëèííûõ ãðóïïîèäîâ äâóõ óçëîâ ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé.Ïîýòîìó èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü áîëåå ïðîñòûå èíâàðèàíòíûå îáúåêòû, ñîîòâåòñòâóþùèå äëèííûì âèðòóàëüíûì óçëàì, êîòîðûå èíâàðèàíòíûïî òîé æå ïðè÷èíå, ÷òî è äëèííûå ãðóïïîèäû.Ïî ïîñòðîåíèþ äëÿ èêñèðîâàííîãî R òðîéêà (M̃ , a, b) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì äëèííîãî óçëà.Äåéñòâèòåëüíî, äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.14ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî îïåðàöèè 3.14 óäîâëåòâîðÿþò âñåì àêñèîìàì äëèííûõãðóïïîèäîâ.3.2.1.
Âîïðîñ î êîììóòèðóåìîñòè äëèííûõ óçëîâÊàê èçâåñòíî (ñì., íàïð., [ÊÔ℄), êëàññè÷åñêèå äëèííûå óçëû êîììóòèðóþò. Áîëåå òîãî, âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.3.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû124Òåîðåìà 3.15. Ïóñòü äëèííûé óçåë L íå èìååò âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà′′ìóòàòèâíîñòü: L#L ýêâèâàëåíòíî L #L.L′èìååò ìåñòî êîì-Äåéñòâèòåëüíî, ñäåëàåì ñíà÷àëà äèàãðàììó óçëà L î÷åíüìàëåíüêîé è íà÷íåì ïðîòÿãèâàòü åå ñêâîçü äèàãðàììó óçëà L′ .
Ïðè ïðîòàñêèâàíèè åå ÷åðåç âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ äâèæåíèåì îáúåçäà, ñì. ðèñ. 3.25, à ïðè ïðîòàñêèâàíèè ÷åðåç êëàññè÷åñêèåïåðåêðåñòêè êëàññè÷åñêèìè äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðà.Äîêàçàòåëüñòâî.èñ. 3.25. Êëàññè÷åñêèé äëèííûé óçåë êîììóòèðóåò ñ ëþáûì äëèííûì óçëîì èòîãå ìû ïîëó÷èì æåëàåìóþ ýêâèâàëåíòíîñòü.3.2Çàìå÷àíèå 3.7.. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû125Ýòî äîêàçàòåëüñòâî íå ïðîõîäèò â òîì ñëó÷àå, êîãäàLèìååò âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå′íåëüçÿ áóäåò ïðîòÿãèâàòü L ñêâîçü äóãè äèàãðàììû L , ñîñòîÿùèå èçäèàãðàììàêëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ.
 ýòîì ñëó÷àå íàì ïðèøëîñü áû âîñïîëüçîâàòüñÿ çàïðåùåííûì äâèæåíèåì, ñì. ðèñ. 1.17.Ïåðåéäåì ê óñòàíîâëåíèþ íåêîììóòèðóåìîñòè äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Ýòî ÿâëåíèå áûëî âïåðâûå îáíàðóæåíî â [Ìà9℄.àññìîòðèì äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû K1 è K2 , èçîáðàæåííûå íà ðèñ.3.26.àññìîòðèì êîëüöî Z112 ·192 â êà÷åñòâå R è ïîëîæèì p = 20 + 121 · 19, q =20, k = 70. Òàêèì îáðàçîì, â M̃ (K) îïåðàöèè èìåþò âèä a∗b = 20a−19b, a◦b = (20 + 121 · 19)a − (122 · 19)b è f (a) = 70a. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ìîäóëåM̃ äëÿ óçëà K1 #K2 íà÷àëüíàÿ äóãà îáÿçàòåëüíî äîëæíà äåëèòüñÿ íà 121,â òî âðåìÿ êàê äëÿ ìîäóëÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî óçëó K2 #K1 , ñóùåñòâóåòãîìîìîðèçì â êîëüöî Z112 ·192 , ïðè êîòîðîì íà÷àëüíàÿ äóãà ïåðåõîäèò â11 · 192 .À èìåííî, äëÿ óçëà K1 (ñì.
âåðõíþþ ÷àñòü ðèñ. 3.26) ìû èìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ â M̃ (K1 ): a ∗ (70c) = c = b ◦ 70c; ïåðâîå ñîîòíîøåíèåîçíà÷àåò, ÷òî 20a = (19 · 70 + 1)c = 1331c; òàê êàê ýëåìåíò 20 îáðàòèìâ êîëüöå Z112 ·192 , ýëåìåíò a äåëèòñÿ íà 121. Ýòî ñâîéñòâî ñ î÷åâèäíîñòüþèìååò ìåñòî è â M̃ (K1 #K2 ).Äëÿ óçëà K2 (ñì. íèæíþþ ÷àñòü ðèñ. 3.26) ìû èìååì: (70x) ∗ y = z =(70y) ◦ x. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ìîæåì ïîëîæèòü x = 11 · 192 , y = 0 (êîýèöèåíò ïðè x â âûðàæåíèè (70x) ∗ y − (70y) ◦ x äåëèòñÿ íà 11), ò.å.îòîáðàçèòü M(K2 ) â ëèíåéíûé ãðóïïîèä Z192 ·112 ñ òåìè æå îïåðàöèÿìè.Äàëåå â óçëå K2 #K1 ìû ìîæåì ïîëîæèòü îñòàëüíûå äóãè (ïðèíàäëåæàùèå äëèííîìó óçëó K1 ) ðàâíûìè íóëþ; ýòî ìîæíî ñäåëàòü òàê êàê y = 0(çíà÷åíèå z âû÷èñëÿåòñÿ).Èíà÷å ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü òàê: ìíîæåñòâî ãîìîìîðèçìîâ H èç Ä(K1 #K2 ) â ëèíåéíûé ãðóïïîèä êîëüöîZ112 ·192 ñ îïåðàöèÿìè (3.14) ïðè p = 20 + 121 · 19, q = 20, k = 70, òàêèõ÷òî H(a1 ) íå äåëèòñÿ íà 121, ïóñòî, à äëÿ Ä(K2 #K1 ) ìíîæåñòâî òàêèõãîìîìîðèçìîâ íåïóñòî.3.2.
Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû12670caccbK1zK2yx70y70xèñ. 3.26. àçìåòêà óçëîâ K1 è K2Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè óçëû íå êîììóòèðóþò, ÷òî åùå ðàç ïîäòâåðæäàåò èõðàçëè÷íîñòü, íåòðèâèàëüíîñòü, à òàêæå òî, ÷òî êàæäûé èç íèõ íå ýêâèâàëåíòåí êëàññè÷åñêîìó.Èìåþò ìåñòî äâà î÷åâèäíûõ ñëó÷àÿ êîììóòèðîâàíèÿ äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ: êîãäà îíè ñîâïàäàþò ëèáî êîãäà îäèí èç íèõ ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî, ïî ñóùåñòâó, äðóãèõ ïðè÷èí êîììóòèðîâàíèÿáûòü íå ìîæåò, ò.å.
ìû âûäâèãàåì ñëåäóþùóþ ãèïîòåçó.èïîòåçà. Åñëè äâà äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëà K, K ′ êîììóòèðóþò, òîñóùåñòâóåò òàêîé äëèííûé âèðòóàëüíûé óçåë L, òàêèå íåîòðèöàòåëüíûåöåëûå ÷èñëà m, n è êëàññè÷åñêèå äëèííûå óçëû M, M ′ , ÷òîK = Lm #M, K ′ = Ln #M ′ ,ãäå ñòåïåíü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ìíîãîêðàòíîãî âçÿòèÿ ñâÿçíîé ñóììû.Çàìå÷àíèå 3.8. Ïîäîáíî òîìó, êàê â ñëó÷àå êîìïàêòíûõ óçëîâ ïîíÿòèåâèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà îáîáùàåòñÿ äî ïîíÿòèÿ âèðòóàëüíîãî áèãðóïïîèäà, â ñëó÷àå äëèííûõ óçëîâ ïîíÿòèå äëèííîãî ãðóïïîèäà îáîáùàåòñÿäî ïîíÿòèÿ äëèííîãî áèãðóïïîèäà. Ìû íå áóäåì ðàçâèâàòü ýòó òåìó âíàñòîÿùåé äèññåðòàöèè. Ïîäðîáíåå ñì.
[Ìàí-4℄.3.3. Âèðòóàëüíûå óçëû è áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè127åçóëüòàò î íåêîììóòèðóåìîñòè äëèííûõ óçëîâ áûë ïîçäíåå ïåðåäîêàçàíÄ.Ñèëüâåðîì è Ñ.Óèëüÿìñ â ðàáîòå [SW2℄.3.3. Âèðòóàëüíûå óçëû è áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû ËèÏðèâîäèìûå â íàñòîÿùåì ðàçäåëå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â [Man7℄.Íà ëþáîé ãðóïïå G ìîæíî îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà îäíèì èç ñëåäóþùèõ ñïîñîáîâ:1. a ◦ b = bn ab−n , ãäå n íåêîòîðîå èêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.2. a ◦ b = ba−1 b,ãäå â ïåðâîì ñëó÷àå ñòðóêòóðó âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà ìîæíî îïðåäåëèòüïîñðåäñòâîì ïðîèçâîëüíîãî àâòîìîðèçìà f ãðóïïû G, à âî âòîðîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå f ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîëüíûé àâòîìîðèçì èëè àíòèàâòîìîðèçì ãðóïïû G. Äëÿ èêñèðîâàííîé ãðóïïû G ìû ìîæåì, íàïðèìåð,âûáðàòü ýëåìåíò q ∈ G è ïîëîæèòü f (a) = qaq −1 .Àíàëîãè÷íî íà ãðóïïàõ çàäàþòñÿ ñòðóêòóðû áèãðóïïîèäîâ, âèðòóàëüíûõ áèãðóïïîèäîâ, äëèííûõ ãðóïïîèäîâ è ò.ä. êà÷åñòâå ãðóïïû G ìîæåò ñëóæèòü è ãðóïïà Ëè.Ïîïûòêè ñîïîñòàâëÿòü êàæäîìó (âèðòóàëüíîìó) óçëó íåêîòîðóþ ãðóïïóËè, êîòîðàÿ áûëà áû èíâàðèàíòíîé ïî ïðè÷èíå èíâàðèàíòíîñòè âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ, âñòðå÷àþò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè.Îäíàêî àëãåáðû Ëè óæå ìîãóò áûòü çàäàíû àêñèîìàòè÷åñêè ñ ïîìîùüþ îáðàçóþùèõ è ñîîòíîøåíèé: ìû ìîæåì âçÿòü ñâîáîäíóþ àëãåáðó Ëè,ïîðîæäåííóþ îðìàëüíûìè îáðàçóþùèìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè äóãàì äèàãðàììû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
