Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 19
Текст из файла (страница 19)
àññìîòðèì èõ òðåòüè ñòðîêè. ïåðâîé ìàòðèöå ïðèáàâèì ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà ti , ê òðåòüåéñòðîêå. Âî âòîðîé ìàòðèöå ïðèáàâèì ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà tj , àòàêæå âòîðóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà (1 − tk ), ê òðåòüåé ñòðîêå. Ìû ïîëó÷èì äâå ìàòðèöû, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò òðåòüè ñòðîêè. Èõ îáùàÿ òðåòüÿñòðîêà èìååò âèä(0, 0, 1, (tk − 1)P, ti (tk − 1)Q, −ti tj R, 0, . . . , 0).Ïåðâûå ñòîëáöû íîâûõ äâóõ ìàòðèö ñîâïàäàþò è èìåþò ðîâíî îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò, à èìåííî, åäèíèöó íà ïåðâîì ìåñòå.
Òàêèì îáðàçîì, ïîñðåäñòâîì ïðèáàâëåíèÿ ýòîãî ñòîëáöà ìîæíî ñäåëàòü ïåðâûå ñòðîêè äâóõìàòðèö ðàâíûìè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå èñõîäíûå ìîäóëè èçîìîðíû.àññìîòðèì ñëåäóþùåå îïèñàíèå ìîäóëÿ Mk (L). Ïóñòü ó äèàãðàììû Lêîëè÷åñòâî êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ ðàâíî m. Òîãäà êîëè÷åñòâî äëèííûõ äóã ýòîé äèàãðàììû òàêæå ðàâíî m. Êàæäàÿ äëèííàÿ äóãà ðàçáèâàåòñÿ íà íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî äóã. Ìåòêè, ñîïîñòàâëåííûå ýòèì äóãàì,ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà óìíîæåíèåì íà íåêîòîðûå ìîíîìû îò ïåðåìåííûõ si . Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùåå: ñíà÷àëà ó÷åñòü âñåñîîòíîøåíèÿ â âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ, òåì ñàìûì îñòàâèâ âìåñòî âñåõîáðàçóþùèõ ïî îäíîé îáðàçóþùåéäóãå íà êàæäóþ äëèííóþ äóãó.
Çàòåììû âûïèøåì ñîîòíîøåíèÿ â êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ, â êîòîðûõ áóäóòó÷àñòâîâàòü ëèøü îñòàâøèåñÿ m îáðàçóþùèõ, ñîîòâåñòâóþùèå äëèííûì3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ110äóãàì.  èòîãå ìû ïîëó÷èì m îáðàçóþùèõ è m ñîîòíîøåíèé, êîòîðûåìîæíî çàïèñàòü â ìàòðèöó. Îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû (ñ òî÷íîñòüþ äîîáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ êîëüöà R) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé èíâàðèàíò óçëîâ.
Äåëî â òîì, ÷òî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà íå ìåíÿþò ìîäóëÿ Mk (L).Ýòî âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî êàæäîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà ïðèâîäèò ìàòðèöó ê ìàòðèöå, ïîëó÷àþùåéñÿ èç èñõîäíîé ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, íå ìåíÿþùèìè îïðåäåëèòåëÿ èëè óìíîæàþùèìè åãî íà íåêîòîðûéîáðàòèìûé ýëåìåíò èç êîëüöà R.Ïðè ýòîì ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî ïðè ïðàâèëüíîé íîðìèðîâêå ìû ïîëó÷èì èíâàðèàíò çàöåïëåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà ñòåïåíè ïåðåìåííûõ ti , íî íå si .Ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ ýòîé êîíñòðóêöèè áîëåå ïîäðîáíî.Ïóñòü L (ïðàâèëüíàÿ) äèàãðàììà îðèåíòèðîâàííîãî çàöåïëåíèÿ èçk êîìïîíåíò ñ m êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè X1 , .
. . , Xm . Ñîïîñòàâèìåå êîìïîíåíòàì ïåðåìåííûåíîìåðà i1 , . . . , ik . Ñîîòâåòñòâåííî ìû áóäåìèñïîëüçîâàòü ïåðåìåííûå si1 , . . . , sik , êîòîðûå ïîñëå ïîäñòàíîâêè èíäåêñîâäàþò ïåðåìåííûå s1 , . . . , sk â íåêîòîðîì ïîðÿäêå.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîäñòàâëÿòü â êà÷åñòâå (i1 , .
. . , im ) âñåâîçìîæíûå ïåðåñòàíîâêè èç kýëåìåíòîâ, ÷òî ïîçâîëèò íàì èìåòü íàáîð ìîäóëåé (è íàáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëèíîìîâ) â êà÷åñòâå èíâàðèàíòà çàöåïëåíèÿ L. Ïåðåíóìåðóåì äóãèäèàãðàììû L. Ïåðåíóìåðóåì åå ïåðåêðåñòêè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ÷èñëàìè îò 1 äî m. Ñîïîñòàâèì òåïåðü êàæäîìó êëàññè÷åñêîìó ïåðåêðåñòêóäëèííóþ äóãó, êîòîðàÿ èç íåãî èñõîäèò.Áóäåì ñîïîñòàâëÿòü äóãàì äèàãðàììû L ìåòêè (ìîíîìû îò ïåðåìåííûõ±1si1 , .
. . , s±1ik ) ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Âûáåðåì íåêîòîðóþ äëèííóþ äóãóai è èêñèðóåì åå íà÷àëüíóþ äóãó, ò.å. äóãó, èñõîäÿùóþ èç ïåðåêðåñòêàXi . Ñîïîñòàâèì ýòîé íà÷àëüíîé äóãå åäèíèöó. Äàëåå áóäåì ñîïîñòàâëÿòüïîñëåäóþùèì äóãàì äàííîé äëèííîé äóãè ìîíîìû, îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìåòêè äâóõ ïîäðÿä èäóùèõ äóã äëèííîé äóãè, ðàçäåëÿåìûåâ âèðòóàëüíîì ïåðåêðåñòêå il -é êîìïîíåíòîé çàöåïëåíèÿ Kil , îòëè÷àþòñÿäðóã îò äðóãà óìíîæåíèåì íà s±1il , áîëåå òî÷íî, ìåòêà, ëåæàùàÿ ñïðàâà îòêîìïîíåíòû Kil , ðàâíà ìåòêå, ëåæàùåé ñëåâà îò íåå, óìíîæåííîé íà sil , ñì.ðèñ.
3.18.3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿs -111s1s -111s111-211s1-1s -13 s211ss -12s1s113-13121s21èñ. 3.18. àçìåòêà äóã âèðòóàëüíîé äèàãðàììû±1Òåì ñàìûì ìû ñîïîñòàâèëè ìåòêè ìîíîìû îò s±1i1 , . . . , sik âñåì äóãàìäèàãðàììû L.Êàæäîìó êëàññè÷åñêîìó ïåðåêðåñòêó ñ íîìåðîì l èíöèäåíòíû ðîâíî òðèäóãè. Îäíà èç íèõ ïðèíàäëåæèò äëèííîé äóãå ñ íîìåðîì l è èìååò ìåòêó, ðàâíóþ åäèíèöå ïî ïîñòðîåíèþ, äðóãàÿ ïðèíàäëåæèò äëèííîé äóãå ñíîìåðîì j , èìåþùåé ìåòêó Γ(l), ïðîõîäÿùåé ñêâîçü ïåðåêðåñòîê è ëåæàùåé íà aij -é êîìïîíåíòå çàöåïëåíèÿ, òðåòüÿ äóãà ïðèíàäëåæèò äëèííîéäóãå k , âõîäÿùåé â ïåðåêðåñòîê è ëåæàùåé íà ail -é êîìïîíåíòå çàöåïëåíèÿ; ìåòêà äóãè ðàâíà P (l).
Îòìåòèì, ÷òî äóãè k, l ïðèíàäëåæàò îäíîéêîìïîíåíòå; îáîçíà÷èì åå ÷åðåç ail . Âîîáùå ãîâîðÿ, íåêîòîðûå èç ÷èñåëi, j, k ìîãóò ñîâïàäàòü. Âûïèøåì òåïåðü îáîáùåííóþ ìàòðèöó Àëåêñàíäåðà M (L), ñîîòâåòñòâóþùóþ äèàãðàììå L, ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êàæäîéñòðîêå l íåíóëåâûìè áóäóò íå áîëåå òðåõ ýëåìåíòîâ; à èìåííî, âñå ýëåìåíòûâ ýòîé ñòðîêå, êðîìå ýëåìåíòîâ ñ íîìåðàìè l, j, k , ðàâíû íóëþ. Ýòà ñòðîêàÿâëÿåòñÿ ñóììîé òðåõ ñòðîê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ðîâíî ïî îäíîìóíåíóëåâîìó ýëåìåíòó.
Îäíà èç íèõ èìååò ìåòêó 1 íà ìåñòå l. Âòîðàÿ ñòðîêà±1èìååò ýëåìåíò −t±1ai P (l) íà ìåñòå k , à òðåòüÿ ñòðîêà ýëåìåíò (tai − 1)Γ(l)jl3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ112íà ìåñòå j , ïðè ýòîì â êà÷åñòâå çíàêà ± âûáèðàåòñÿ +1, åñëè ðàññìàòðèâàåìûé ïåðåêðåñòîê ïîëîæèòåëåí è −1, åñëè ðàññìàòðèâàåìûé ïåðåêðåñòîêîòðèöàòåëåí.Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ìàòðèöà â òî÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñîîòíîøåíèé ìîäóëÿ Mk (L) äëÿ êðàøåíîãî çàöåïëåíèÿ (ò.å.
çàöåïëåíèÿ ñèêñèðîâàííûì óïîðÿäî÷åíèåì êîìïîíåíò).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè íàáîð ìàòðèö M (L), çàâèñÿùèõ îò ïåðåñòàíîâêè i1 , . . . , im êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ L. Îáîçíà÷èì íàáîð îïðåäåëèòåëåé ýòèõ ìàòðèö ÷åðåç ζ(L).Òåîðåìà 3.12. Íàáîð îïðåäåëèòåëåé ìàòðèöû ζ(L), ïîëó÷àåìûé ïðè âñåâîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâêàõ êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿLèíâàðèàíòåí îòíî-ñèòåëüíî äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà ìîíîìû îò ïåðåìåííûõti1 , .
. . , tim .Åñëè èêñèðîâàòü íóìåðàöèþ êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿíûé îïðåäåëèòåëüζ(L)L,òî ïîëó÷åí-ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíâàðèàíò êðàøåíîãî çàöåï-ëåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà ìîíîìû îò ïåðåìåííûõt1 , . . . , tm .àññìîòðèì ñëó÷àé êðàøåíûõ çàöåïëåíèé. Ïîíÿòíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íàáîð çíà÷åíèé èíâàðèàíòà ïðè âñåâîçìîæíûõ ðàñêðàñêàõ êîìïîíåíòïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíâàðèàíò çàöåïëåíèé. Èíâàðèàíòíîñòü îïðåäåëèòåëÿâ ñëó÷àå êðàøåíîãî çàöåïëåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà îáðàòèìûå±1ýëåìåíòû ðàññìàòðèâàåìîãî êîëüöà (ò.å.
ìîíîìû îò t±1j , sk ñî çíàêîì ±1)ñëåäóåò èç òåõ ñîîáðàæåíèé, ÷òî ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé ìîäóëÿ, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, èíâàðèàíòåí.Çàìå÷àíèå 3.6.Äàëåå ïîä åñòåñòâåííîé íîðìèðîâêîé ìû ïîíèìàåìíîðìèðîâêó, ïðè êîòîðîé íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè îïðåäåëÿþòñÿ êîìáèíàòîðèêîé äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ; áûâàåò òàêæå íîðìèðîâêà, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ óæå èñõîäÿ èç èìåþùåãîñÿ ïîëèíîìà; òàê íàïðèìåð, èìåÿïîëèíîì, èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà íåêîòîðûé ìîíîì,åãî ìîæíî íîðìèðîâàòü òàê, ÷òîáû ñòàðøèé ìîíîì(ñêàæåì,ïî âñåìïåðåìåííûì â ëåêñèêîãðàè÷åñêîì ïîðÿäêå) ñòàë ðàâåí êîíñòàíòå.Òåîðåìà 3.12 ñëåäóåò èç ëåììû 3.3.3.1Ëåììà 3.3..
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿÎïðåäåëèòåëüζ(L)113ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíîΩ1 . Ïðè ïðèìåíåíèè äâèæåíèÿ Ω1 îí óìíîæàåòñÿ íà ìîíîì îò ïåðåìåííûõ t1 , . . . , tm ,−1t−11 , . . . , tm ñî çíàêîì +1.âñåõ îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà, çà èñêëþ÷åíèåìÄîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.3, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò èç äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû 3.11.Ïîëèíîì ζ ìîæíî ëåãêî íîðìèðîâàòü îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ t1 , . . . , tk ,÷òîáû ïîëó÷èòü èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Òåîðåìà 3.13.ζ ìóëüòèïëèêàòèâåíζ(L ⊔ K) = ζ(L) · ζ(K).Ïîëèíîìñóììû çàöåïëåíèé:îòíîñèòåëüíî íåñâÿçíîéÄåéñòâèòåëüíî, ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî íåñâÿçíîé ñóììåçàöåïëåíèé ñîîòâåòñòâóåò áëî÷íàÿ ìàòðèöà, áëîêè êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþòñîáîé ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå èñõîäíûì çàöåïëåíèÿì.Äîêàçàòåëüñòâî.Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûå ñòðóêòóðû âîçíèêàëè â ðàáîòàõ Ë.Êàóìàíàè Ä.ýäîðäà [KR℄, Ä.Ñèëüâåðà è Ñ.Óèëüÿìñ [SW℄ è .Ñàâîëëåêà [Saw℄, îäíàêî, â îòëè÷èå îò íàñòîÿùåé ðàáîòû â íèõ èñïîëüçîâàëñÿ äðóãîé ïîäõîä:âìåñòî ðàññìîòðåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðû â âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ èñïîëüçîâàëàñü áîëåå ñëîæíàÿ ñòðóêòóðà â êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ. èòîãå îêàçàëîñü, ÷òî ζ -ïîëèíîì ýêâèâàëåíòåí (ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû ïåðåìåííûõ è íîðìèðîâêè) ïîëèíîìàì, ðàññìàòðèâàåìûì â [KR, SW, Saw℄,íî ýòà ýêâèâàëåíòíîñòü íå î÷åâèäíà.
Îíà áûëà äîêàçàíà .Ôåííîì â [BF℄. íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê îäíîìó è òîìó æå èíâàðèàíòó ïîçâîëÿþò âûÿâëÿòü ðàçíûå åãî ñâîéñòâà. Òàê, íàïðèìåð, â ñâîåé ðàáîòå [Saw2℄ .Ñàâîëëåê ïîêàçàë, ÷òî åãî èíâàðèàíò ðàñïîçíàåò îáðàòèìîñòüâèðòóàëüíûõ óçëîâ, ò.å. íåýêâèâàëåíòíîñòü íåêîòîðûõ îðèåíòèðîâàííûõóçëîâ ñâîèì îáðàçàì, ïîëó÷åííûì îáðàùåíèåì îðèåíòàöèè.À èìåííî, äëÿ óçëà K , èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.19 ìû èìååì ζ(K) =(s2 −1)(t−1)(1+s−2st+s2 t(t−1)).s2 tÈç îïðåäåëåíèÿ ïîëèíîìà ζ âûòåêàåòÓòâåðæäåíèå 3.2. Åñëè âèðòóàëüíûé óçåë K2 ïîëó÷àåòñÿ èç âèðòóàëüK1 çàìåíîé îðèåíòàöèè,ζ(K1 )(s, t) = sm tl ζ(K2 )(s−1 , t−1 ).íîãî óçëàòî äëÿ íåêîòîðûõm, lèìååò ìåñòî3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
