Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 15
Текст из файла (страница 15)
òàêæå[Ìà4℄.Òåîðåìà 3.3.Γ(L)ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì âèð′òóàëüíûõ çàöåïëåíèé. Áîëåå òî÷íî, ïóñòü L, L äâå ýêâèâàëåíòíûåÂèðòóàëüíûé ãðóïïîèä3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ86âèðòóàëüíûå äèàãðàììû. Òîãäà ñóùåñòâóåò èçîìîðèçì âèðòóàëüíûõ′ãðóïïîèäîâ ι : Γ(L) → Γ(L ), ñîãëàñîâàííûé ñ îïåðàöèåé f .Äîêàçàòåëüñòâî.Áóäåì ñ÷èòàòü âñå äèàãðàììû ïðàâèëüíûìè (óòâåðæäå-íèå 3.1).Íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà êâèðòóàëüíîé äèàãðàììå åå âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä ïðåîáðàçóåòñÿ â íåêîòîðûé èçîìîðíûé åìó âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä.àññìîòðèì íåêîòîðîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà êëàññè÷åñêîå, âèðòóàëüíîå èëè ïîëóâèðòóàëüíîå.
Ïóñòü L è L′ äâå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû,ïîëó÷àþùèåñÿ îäíà èç äðóãîé ïðèìåíåíèåì ýòîãî äâèæåíèÿ. Äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì, ò.å. ïðîèñõîäèò âíóòðè íåêîòîðîãî ìàëåíüêîãî êðóãà C .àçîáüåì âñå äóãè äèàãðàìì L è L′ íà òðè ñåìåéñòâà: îáùåå ìíîæåñòâîE âíåøíèõ äóã, ïðèíàäëåæàùèõ êàê äèàãðàììå L, òàê è äèàãðàììå L′ ,îáùåå ìíîæåñòâî S äóã, ïåðåñåêàþùèõ îêðóæíîñòü êðóãà C è ìíîæåñòâàI, I ′ âíóòðåííèõ (ëåæàùèõ âíóòðè C ) äóã, ïðèíàäëåæàùèõ ñîîòâåòñòâåííîê L è ê L′ . Òàêèì îáðàçîì, âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä Γ(L) èìååò ñëåäóþùèåîáðàçóþùèå è ñîîòíîøåíèÿ.Âî-ïåðâûõ, ìû èìååì îáùèå (äëÿ âñåõ âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ) ñîîòíîøåíèÿ äèñòðèáóòèâíîñòü è èäåìïîòåíòíîñòü. Îáîçíà÷èì ýòî ìíîæåñòâîñîîòíîøåíèé ÷åðåç ε.Ñîîòíîøåíèÿ âèäîâ (3.1,3.2,3.3) òå, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò èç ïåðåêðåñòêîâ äëÿ äèàãðàìì L, L′ òàêæå ïîäðàçáèâàþòñÿ íà ìíîæåñòâà: âíåøíèåñîîòíîøåíèÿ RE ÿâëÿþòñÿ îáùèìè äëÿ L è L′ , à âíóòðåííèå ñîîòíîøåíèÿRI , RI′ îòíîñÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê L è ê L′ .
Êðîìå íèõ, êàæäûé èç äâóõâèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ èìååò îáùèå äëÿ âñåõ âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâñîîòíîøåíèÿ ε (èäåìïîòåíòíîñòü è ïðàâàÿ ñàìîäèñòðèáóòèâíîñòü). Äàëååâ äîêàçàòåëüñòâå ñîîòíîøåíèåì ìû áóäåì íàçûâàòü òîëüêî ñîîòíîøåíèå âíåêîòîðîì ïåðåêðåñòêå (à íå èäåìïîòåíòíîñòü è íå ñàìîäèñòðèáóòèâíîñòü).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðàïîñðåäñòâîì ñîîòíîøåíèé RI ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò îáðàçóþùèõ I , âûðàçèâ èõ ÷åðåç S . Ýòî ïðèâåäåò ê äîáàâëåíèþ íåêîòîðûõ âíóòðåííèõ ñîîòíîøåíèé RS äëÿ S .
Òî æå ñàìîå ìîæåò áûòü ñäåëàíî è äëÿ I ′ . Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ ÷åðåç RS′ . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðåîáðàçóåì3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ87îáà âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäà Γ(L) è Γ(L′ ) ê èçîìîðíûì èì âèðòóàëüíûìãðóïïîèäàì Γ̃(L) è Γ̃(L′ ). Ïîñëåäíèå ïîðîæäåíû îáðàçóþùèìè E, S . Ó íèõåñòü îáùåå ìíîæåñòâî âíåøíèõ ñîîòíîøåíèé RE (à òàêæå ε).Åäèíñòâåííîå, ÷òî íàì íóæíî äîêàçàòü, ýòî òî, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ RSè RS′ (âìåñòå ñ ñîîòíîøåíèÿìè ε) îïðåäåëÿþò îäíî è òî æå îòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè íà S .Âûïîëíèì ýòî äëÿ êîíêðåòíûõ òèïîâ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà; äðóãèåñëó÷àè ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû òåì, êîòîðûå áóäóò îïèñàíû.Èíâàðèàíòíîñòü ãðóïïîèäà Γ îòíîñèòåëüíî âñåõ êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà ìîæåò áûòü ïðîâåðåíà òåì æå ñïîñîáîì, ÷òî è â ñëó÷àå îáû÷íîãî äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà, ñì. [Ìàò, Joy℄.  ñëó÷àå ïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà âìåñòî îäíîé äóãè a (è ñîîòíîøåíèÿ a = a) ìû ïîëó÷àåì äâå äóãè; îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç a′ è a′′ .
Èçñîîòíîøíèÿ â ïåðåêðåñòêå ÿñíî, ÷òî a′′ = a′ (ýòî ñëåäóåò èç èäåìïîòåíòíîñòè îïåðàöèè ◦). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äîáàâëåíèè ïåòëè òàê, êàê ïîêàçàíîíà ðèñ. 3.5, ìû ïîëó÷àåì âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä, èçîìîðíûé èñõîäíîìó.Îïðåäåëåíèå 3.1. Çäåñü è äàëåå ïîä èçîìîðèçìîì âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ (äëèííûõ ãðóïïîèäîâ) ìû ïîíèìàåì èçîìîðèçì, ñîõðàíÿþùèéîïåðàöèþ f .Îñòàëüíûå ñëó÷àè ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ðàññìàòðèâàþòñÿàíàëîãè÷íî.èñ. 3.5. Èíâàðèàíòíîñòü ãðóïïîèäà îòíîñèòåëüíî Ω1 ñëó÷àå âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ìû èìååì ÷åòûðå âíåøíèå3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ88äóãè èç ìíîæåñòâà äóã E , ñì. ðèñ.
3.6 à èìåííî, a, b, c, d. Íà ðèñóíêå ñâåðõó ñëåâà ñîîòíîøåíèÿ èìåþò âèä a = c, b = d. Íà ðèñóíêå ñïðàâà ñíèçóñîîòíîøåíèÿ âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìû èìååì, a = c = e, ò.å. eâûðàæàåòñÿ ÷åðåç âíåøíèå îáðàçóþùèå. Äàëåå b ◦ a = g, d ◦ e = g , îòêóäàñëåäóåò b = d (çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ñâîéñòâî ëåâîé îáðàòèìîñòè îïåðàöèè◦).èñ. 3.6. Èíâàðèàíòíîñòü ãðóïïîèäà îòíîñèòåëüíî Ω2Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì â ñëó÷àå òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, ñì.ðèñ. 3.7, ìû èìååì òðè âõîäÿùèå äóãè a, b, c è òðè èñõîäÿùèå äóãè d, e, g .Ìû íå áóäåì âûïèñûâàòü ïðîìåæóòî÷íûå äóãè; â ñëó÷àå ëåâîé êàðòèíêèìû èìååì a = d, b ◦ a = g, (c ◦ a) ◦ (b ◦ a) = e, â òî âðåìÿ êàê ñïðàâà ìûïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ a = d, b ◦ a = g, (c ◦ b) ◦ a = e.Èíâàðèàíòíîñòü ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ äèñòðèáóòèâíîñòè (c ◦ b) ◦ a =(c ◦ a) ◦ (b ◦ a).Ïðîâåðèì òåïåðü èíâàðèàíòíîñòü âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà Γ ïðè ïðèìåíåíèè ÷èñòî âèðòóàëüíûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Ïåðâîå âèðòóàëüíîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà èçîáðàæåíî íà ðèñ.
3.8.Íà ëåâîì ðèñóíêå ìû èìååì îäíó îáðàçóþùóþ a. Ìû äîáàâëÿåì åùå îäíóîáðàçóþùóþ b è äâà ñîâïàäàþùèõ ñîîòíîøåíèÿ a = f (b) è b = f −1 (a).Íîâàÿ îáðàçóþùàÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç èìåþùèåñÿ ðàíåå (à èìåííî, ÷åðåçîáðàçóþùóþ a); íà ñòàðûå îáðàçóþùèå íå íàêëàäûâàåòñÿ íèêàêèõ íîâûõñîîòíîøåíèé; òåì ñàìûì âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä ïðåîáðàçóåòñÿ â èçîìîðíûé åìó âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä.3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ89èñ. 3.7. Èíâàðèàíòíîñòü ãðóïïîèäà îòíîñèòåëüíî Ω3¶ ³¶ ³ab@ ¡¡−→ @d¡R@? ¡ @aaèñ. 3.8. Èíâàðèàíòíîñòü Γ îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî äâèæåíèÿ ñëó÷àå, åñëè äóãà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ.
3.8, îðèåíòèðîâàíà ñïðàâàíàëåâî, àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ b = f (a), ÷òî íåìåíÿåò ñèòóàöèè.Äëÿ êàæäîãî èç ïîñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé ìû áóäåì ïðîâåðÿòü òîëüêîîäèí ñëó÷àé (äðóãèå ñëó÷àè îòëè÷àþòñÿ îò âûáðàííîãî çàìåíîé îðèåíòàöèè íåêîòîðûõ êîìïîíåíò). Ïðîâåðêà ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà.Âòîðîå âèðòóàëüíîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà (ñì. ðèñ. 3.9) äîáàâëÿåòäâå îáðàçóþùèå c è d è ÷åòûðå ñîîòíîøåíèÿ, òî÷íåå, äâå ïàðû ñîâïàäàþùèõ ñîîòíîøåíèé: c = f (a), d = f −1 (b).
Òàêèì îáðàçîì, âèðòóàëüíûéãðóïïîèä Γ ïåðåõîäèò â âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä, åìó èçîìîðíûé.a6aboS¶7Sc¶−→ ¶SdScb ¶¶SSc¶¶S¶Sab6èñ. 3.9. Èíâàðèàíòíîñòü Γ îòíîñèòåëüíî âòîðîãî âèðòóàëüíîãî äâèæåíèÿ3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ90 ñëó÷àå òðåòüåãî âèðòóàëüíîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ìû èìååì øåñòüâíåøíèõ äóã: òðè âõîäÿùèå äóãè (a, b, c) è òðè èñõîäÿùèå äóãè (p, q, r),ñì. ðèñ. 3.10.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ýëåìåíòû ãðóïïîèäà, ñîîòâåòñòâóþùèå òðåìâíóòðåííèì äóãàì, âûðàæåíû ÷åðåç a, b, c, ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âíåøíèìèäóãàìè èìåþò âèä p = f 2 (a), q = b, r = f −2 (c).qr6cab©©c¡©©¡¢̧¢¢ −→¢c - p acb¢¢¢qr*©6 ©©c ©¡-p¡cc¢cèñ. 3.10.
Èíâàðèàíòíîñòü Γ îòíîñèòåëüíî òðåòüåãî âèðòóàëüíîãî äâèæåíèÿàññìîòðèì äâèæåíèå Ω′3 . Ìû ïðîâåðèì òîëüêî îäíó âåðñèþ ýòîãî äâèæåíèÿ, ñì. ðèñ. 3.11.qr6ab©©©©c¡c¡¢̧¢¢ −→¢c - p ab¢¢¢qr*©6 ©©c ©¡c-p¡¢cèñ. 3.11. Èíâàðèàíòíîñòü Γ îòíîñèòåëüíî ñìåøàííîãî äâèæåíèÿÍà îáåèõ êàðòèíêàõ ìû èìååì òðè âõîäÿùèõ ðåáðà a, b, c è òðè èñõîäÿùèõ ðåáðà p, q, r.  ïåðâîì ñëó÷àå èìååì ñîîòíîøåíèå: p = f (a), q = b, r =f −1 (c) ◦ a. Âî âòîðîì ñëó÷àå ìû èìååì: p = f (a), q = b, r = f −1 (c ◦ f (a)).Èç ñîîòíîøåíèé äèñòðèáóòèâíîñòè f (x ◦ y) = f (x) ◦ f (y) âûòåêàåò ñîîòíîøåíèå f −1 (c) ◦ a = f −1 (c ◦ f (a)). Ñëåäîâàòåëüíî, äâà âèðòóàëüíûõãðóïïîèäà, ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììàì äî ïðèìåíåíèÿ ñìåøàííîãî äâèæåíèÿ è ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ñìåøàííîãî äâèæåíèÿ, ñîâïàäàþò.Äðóãèå ñëó÷àè ñìåøàííîãî äâèæåíèÿ âåäóò ê äðóãèì ñîîòíîøåíèÿì, ïðèýòîì âñå îíè ýêâèâàëåíòíû f (x ◦ y) = f (x) ◦ f (y).Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.3.1.
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ91Êàê è äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû, âèðòóàëüíûå ãðóïïîèäû ÿâëÿþòñÿîáúåêòàìè, ñ êîòîðûìè òðóäíî ðàáîòàòü. À èìåííî, åñëè èìåþòñÿ äâå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû L è L′ , è ìû çíàåì íåêîòîðûå êîïðåäñòàâëåíèÿ èõäèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ (âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ), òî ìû íå ìîæåìñðàçó ñêàçàòü, ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå äèñòðèáóòèâíûå ãðóïïîèäû (âèðòóàëüíûå ãðóïïîèäû) èçîìîðíûìè èëè íåò. Ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ èçîìîðíîñòè äèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ, çàäàííûõ êîïðåäñòàâëåíèÿìè, ïîâèäèìîìó, íå ïðîùå ïðîáëåìû ðàñïîçíàâàíèÿ èçîìîðíîñòè ãðóïï, êîòîðàÿ, êàê èçâåñòíî, â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðåøèìîé.Ïîýòîìó èìååò ñìûñë èñêàòü íåêîòîðûå áîëåå ïðîñòûå èíâàðèàíòû, êîòîðûå ðåàëèçóþòñÿ ñ ïîìîùüþ ìîðèçìîâ â êàòåãîðèþ äèñòðèáóòèâíûõãðóïïîèäîâ èç íåêîòîðîé áîëåå ïðîñòîé êàòåãîðèè.Ïðîùå ãîâîðÿ, ìû ðàññìàòðèâàåì êàêóþ-íèáóäü êàòåãîðèþ (ñêàæåì, ãðóïïèëè ìîäóëåé) è ïûòàåìñÿ íàéòè â íåé îïåðàöèè, êîòîðûå îáëàäàþò àêñèîìàìè äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà (âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà).
Íàéäÿ èõ, ìûìîæåì ïîñòðîèòü áîëåå ïðîñòûå èíâàðèàíòíûå îáúåêòû, èíâàðèàíòíîñòüêîòîðûõ áóäåò ñëåäîâàòü èç îáùåêàòåãîðíûõ ñîîáðàæåíèé.Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ.1. ðóïïà âûäåëåííûì ýëåìåíòîì x, ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîìîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ◦ âèäà a ◦ b = bn ab−n äëÿ íåêîòîðîãî èêñèðîâàííîãî íàòóðàëüíîãî n, ãäå f (a) = xax−1 .2. ðóïïà ñ âûäåëåííûì ýëåìåíòîì x, ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîìïðè a◦b = ba−1 b, f (a) = xax−1 , à òàêæå ïðè f (a) = xa−1 x (a◦b = ba−1 b).3. Ìîäóëü íàä êîììóòàòèâíûì êîëüöîì Q[t, t−1 , s, s−1 ], â êîòîðîé a ◦ b =ta + (1 − t)b, f (a) = sa. ýòèõ ñëó÷àÿõ àêñèîìû âèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ (à, ñëåäîâàòåëüíî, èäèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ) ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.Ýòî ïîçâîëÿåò ñòðîèòü èíâàðèàíòû êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâ(çàöåïëåíèé) äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïåðâûé èç íèõ èêñèðîâàòü çàäàííûéäèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä (âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä) Γ è èçó÷àòü ñâîéñòâàñåìåéñòâà ìîðèçìîâ èç äèñòðèáóòèâíîãî (âèðòóàëüíîãî) ãðóïïîèäà çà-3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
