Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Äàëåå, ñîïîñòàâèì ìåòêó a3 + k2 ïåðâîéäóãå, âûõîäÿùåé èç V3 , è ò.ä, ñì. ðèñ. 3.15. äàëüíåéøåì ïîä ìåòêîé ìû áóäåì ïîíèìàòü êîýèöèåíò ïðè ε.Äîêàçàòåëüñòâî.3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ0103V3011V210V1èñ. 3.15. êîíöå ìû ïðèäåì ê ïåðåêðåñòêó V1 . Ïîêàæåì, ÷òî ïðîöåññ ñîéäåòñÿ,ò.å. ìåòêà, êîòîðóþ íàì ñëåäóåò ïðèïèñàòü äóãå, ïåðâîé âûõîäÿùåé èç V1 ,äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ.Äåéñòâèòåëüíî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü εñòîëáåö èç ìåòîê ïðè ïðîõîæäåíèè îò ïåðåêðåñòêà V1 ê íåìó æå âäîëü îðèåíòàöèè óçëà.
 ñàìîì íà÷àëåìû èìåëè ìåòêó 0 ïî îïðåäåëåíèþ. Çàòåì, ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êàæäûéñëåäóþùèé âèðòóàëüíûé ïåðåêðåñòîê, îíà óâåëè÷èâàåòñÿ (óìåíüøàåòñÿ) íàåäèíèöó. Íî òàê êàê êàæäûé âèðòóàëüíûé ïåðåêðåñòîê ïðîõîäèòñÿ íàìèäâà ðàçà, òî êàæäîå âõîæäåíèå +ε êîìïåíñèðóåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì −ε èíàîáîðîò. Òàêèì îáðàçîì, ïðèäÿ â êîíöå â V1 , ìû ïîëó÷èì ìåòêó 0 · ε.Çàìåòèì, ÷òî ïðîöåññ ñîéäåòñÿ, åñëè ìû áóäåì äåëàòü òî æå ñàìîå, ñòàðòóÿ ñ ëþáîé äóãè ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé ìåòêîé. ýòîì ñëó÷àå êàæäîå ñîîòíîøåíèå â âèðòóàëüíîì ìîäóëå Àëåêñàíäåðàèìååò ïðàâóþ ÷àñòü, äåëÿùóþñÿ íà ε(t − 1), òàê êàê ñîîòíîøåíèå(ai + pε)t + (aj + qε)(1 − t) = (ak + pε)ýêâèâàëåíòíî ñîîòíîøåíèþai t + aj (1 − t) − ak = (t − 1)(q − p)ε.(3.8)3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ104Ýòèì ìû äîêàçàëè, ÷òî V A(K) äåëèòñÿ íà (t − 1).Îáîçíà÷èì ýëåìåíòû q è p â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.8), ñîîòâåòñòâóþùåãî iìó ïåðåêðåñòêó, ÷åðåç qi è pi ñîîòâåòñòâåííî.Áóäåì èñêàòü ñîîòíîøåíèÿ íà ñòðîêè âèðòóàëüíîé ìàòðèöû Àëåêñàíäåðà. Êàæäîå ñîîòíîøåíèå äîëæíî èìåòü ìåñòî ïðè ëþáîì t, ñëåäîâàòåëüíî,è ïðè t = 1.Îáîçíà÷èì ñòðîêè ìàòðèöû M ÷åðåç Mi .
Åñëè äëÿ ìàòðèöû M èìååòPnPnìåñòî i=1 ci Mi = 0, òî i=1 ci |t=1 Mi |t=1 = 0.Ìàòðèöà M (K̄)|t=1 âûãëÿäèò î÷åíü ïðîñòî. Êàæäàÿ åå ñòðîêà (òàêæå,êàê è êàæäûé ñòîëáåö) ñîäåðæèò îäíó åäèíèöó, îäíó ìèíóñ åäèíèöó èîñòàëüíûå íóëè. Ñîîòíîøåíèå íà ñòðîêè ìàòðèöû î÷åâèäíî: ñóììà èõ âñåõðàâíà íóëþ, à äðóãèõ ñîîòíîøåíèé íåò. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáûõ i, j =1 . . . , n ìû èìååì ci |t=1 = cj |t=1 .Êàæäîå òàêîå ñîîòíîøåíèå èìååò âèäà n!Xci (qi − pi ) (t − 1)ε = 0(3.9)i=1àññìàòðèâàÿ âîïðîñ î äåëèìîñòè ëåâîé ÷àñòè íà (t − 1)2 , ìû ìîæåìâûíåñòè (t − 1) çà ñêîáêó, à â îñòàâøåéñÿ ñóììå çàìåíèòü âñå ci íà ci |t=1 .PnÄîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî i=1 (qi − pi ) = 0 äëÿ çàäàííîé äèàãðàììû K̄ .Áóäåì äîêàçûâàòü ýòîò àêò èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó n êëàññè÷åñêèõïåðåêðåñòêîâ. ñëó÷àå n = 0 äîêàçûâàòü íå÷åãî.Ïóñòü òåïåðü K̄ äèàãðàììà ñ n êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè, à K̄ ′ äèàãðàììà, ïîëó÷åííàÿ èç K̄ çàìåíîé îäíîãî êëàññè÷åñêîãî ïåðåêðåñòêàíà âèðòóàëüíûé.Ìû ðàññìîòðèì ëèøü ñëó÷àé, êîãäà çàìåíåííûé ïåðåêðåñòîê X ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì (îòðèöàòåëüíûé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëíîñòüþàíàëîãè÷íî), ñì.
ðèñ. 3.16.Îáîçíà÷èì íèæíþþ ëåâóþ äóãó íà îáåèõ äèàãðàììàõ ÷åðåç a, à âñåîñòàëüíûå ÷åðåç b, c è d (äëÿ äèàãðàììû K̄ ìû èìååì a = d), ñì. ðèñ.3.16. Ïðèïèøåì ìåòêó íóëü äóãå a íà îáåèõ äèàãðàììàõ. Ïîäñ÷èòàåì ñóìPìó (qi − pi ) äëÿ îáåèõ äèàãðàìì K̄ ′ è K̄ . Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè,3.1ca@I@¡. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ@¡µ¡¡@ ¡X¡@¡@¡@@bd ca@I@¡¡µ¡¡¡@e¡@¡@¡@@105@dbèñ. 3.16.
Ìåòêè íà äèàãðàììàõ K̄ è K̄ ′äëÿ K̄ ′ ýòà ñóììà ðàâíà íóëþ.Îáîçíà÷èì ìåòêó íà äóãå b íà ïåðâîé äèàãðàììå ÷åðåç lb1 , à ñîîòâåòñòâóþùóþ ìåòêó íà âòîðîé äèàãðàììå ÷åðåç lb2 .Äëÿ ïåðåêðåñòêà X äèàãðàììû K̄ ìû èìååì q = lb1 , p = 0. Òàêèì îáðàçîì, åãî âêëàä â îáùóþ ñóììó ðàâåí lb1 .Îñòàëüíûå ïåðåêðåñòêè äèàãðàììû K̄ íàõîäÿòñÿ â åñòåñòâåííîì îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðåêðåñòêàìè äèàãðàììû K̄ ′ . Ïîñ÷èòàåì ñóììóâñåõ ñëàãàåìûõ âèäà pi − qi äëÿ ýòèõ äâóõ äèàãðàìì. àçíîñòü ýòèõ äâóõñóìì ñêëàäûâàåòñÿ èç êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàìì K̄ è K̄ ′ . Èõìåòêè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî íà ÷àñòè äèàãðàììû, ðàñïîëîæåííîé ìåæäó dè b (âäîëü îðèåíòàöèè óçëà). Äâèãàÿñü îò d ê b, ìû âñòðå÷àåì êëàññè÷åñêèå è âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè. Îáùåå àëãåáðàè÷åñêîå (ñ ó÷åòîì çíàêîâ;çíàê ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ïåðåêðåñòîê êëàññè÷åñêèé èëè âèðòóàëüíûé çàâèñèò îò òîãî, ïåðåõîäèì ìû ñ ïðàâîé ñòîðîíû íà ëåâóþ èëè ñ ëåâîé íàïðàâóþ ïî îòíîøåíèþ ê îðèåíòàöèè ïåðåñåêàåìîé âåòâè) ÷èñëî ýòèõ ïåðåêðåñòêîâ, î÷åâèäíî, ðàâíî íóëþ.
Ïðè ýòîì àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ ðàâíî (−q ). Çíà÷èò, àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî êëàññè÷åñêèõïåðåêðåñòêîâ ðàâíî q . Êàæäûé èç íèõ äàåò âêëàä −1 â ðàçíîñòü ìåæäóK̄ è K̄ ′ . Ïîýòîìó ìû èìååì q − q = 0, ÷òî çàâåðøàåò øàã èíäóêöèè è,ñëåäîâàòåëüíî, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.Ìóëüòèïëèêàòèâíûé ïîäõîäÎïèñûâàåìûå íèæå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â ñòàòüå [Ma13℄ è â êíèãå[Ìà1℄.Ïóñòü R êîëüöî ïîëèíîìîâ Ëîðàíà îò êîììóòèðóþùèõ ïåðåìåííûõ3.1.
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ106t, s (ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòî êîëüöî íàä R èëè íàä Q â çàâèñèìîñòè îòîáñòîÿòåëüñòâ). Ïóñòü L âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà. Ñîïîñòàâèì ýòîé äèàãðàììå ìîäóëü M íàä êîëüöîì R ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü a1 , . . . , an äóãè äèàãðàììû L (ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òå æå áóêâû a1 , . . .
, an , äëÿîáîçíà÷åíèÿ îáðàçóþùèõ ìîäóëÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äóãàì). àññìîòðèìòåïåðü âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä íàä êîëüöîì R, ïîðîæäåííûé a1 , . . . , an èñîîòíîøåíèÿìè (3.1,3.2,3.3) â êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõñîãëàñíî ñëåäóþùèì îðìóëàì:½a ◦ b = ta + (1 − t)b(3.10)f (a) =sa.Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé ìîäóëü ÷åðåç M(L).Òåîðåìà 3.10.Ïîëó÷åííûé ìîäóëüòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.M(L)ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì âèð-Ýòà òåîðåìà ñëåäóåò èç áîëåå ñèëüíîé òåîðåìû 3.11, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ìû ïðèâåäåì ïîçäíåå. ñëó÷àå âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ k ïåðåíóìåðîâàííûìè êîìïîíåíòàìè (êðàøåíîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ) àíàëîãè÷íî ñòðîèòñÿ ìîäóëü±1 ±1±1íàä êîëüöîì R[t±11 , .
. . , tk , s1 , . . . , sk ]. Îïèøåì ýòó êîíñòðóêöèþ áîëååïîäðîáíî. Ïóñòü äàíà âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà L çàöåïëåíèÿ ñ n äóãàìè,êîìïîíåíòû êîòîðîãî çàíóìåðîâàíû íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè îò åäèíèöû äîk . Ñîïîñòàâèì âñåì äóãàì äèàãðàììû ýëåìåíòû a1 , . . . an . Ìîäèèöèðóåìòåïåðü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äóãàìè, ñîñåäñòâóþùèìè â êëàññè÷åñêèõ/âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ, çàìåíÿÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (3.10) êàæäîå âõîæäåíèå îáðàçóþùåé t íà íåêîòîðóþ èç îáðàçóþùèõ ti , à îáðàçóþùóþ s íàíåêîòîðóþ èç si . Áîëåå òî÷íî, áóäåì äåéñòâîâàòü ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: äâóì äóãàì ak , al , ðàçäåëÿåìûì â âèðòóàëüíîì ïåðåêðåñòêå äëèííîéäóãîé A, îòíîñÿùåéñÿ ê êîìïîíåíòå i, ìû ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñîîòíîøåíèå ak = si al â ñëó÷àå, åñëè äóãà ak ðàñïîëîæåíà ñïðàâà ïî îòíîøåíèþ êîðèåíòàöèè äëèííîé äóãè A è ak = s−1i al , åñëè äóãà ak ðàñïîëîæåíà ñëåâà. êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ (3.1) ââèäå a ◦ b = tj a + (1 − ti )b, ãäå i íîìåð êîìïîíåíòû, ñîîòâåòñòâóþùåé3.1.
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ107äóãå ïåðåõîäà, ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ ñîîòíîøåíèå, j íîìåð êîìïîíåíòû,ñîîòâåòñòâóþùåé äâóì äóãàì ïðîõîäà.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ìîäóëü Mk (L).Òåîðåìà 3.11. Ìîäóëü Mk (L)ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì êðàøåíûõ âèðòó-àëüíûõ çàöåïëåíèé. ñëó÷àå çàöåïëåíèé, êîìïîíåíòû êîòîðûõ íå óïîðÿäî÷åíû, ìû ìîæåìðàññìîòðåòü íàáîð ìîäóëåé Mk (L) ïðè âñåõ âîçìîæíûõ óïîðÿäî÷åíèÿõêîìïîíåíò. Ýòîò íàáîð ìîäóëåé, î÷åâèäíî, áóäåò èíâàðèàíòîì.Î÷åâèäíî, ÷òî èç òåîðåìû 3.11 ñëåäóåò òåîðåìà 3.10. Òàê êàê â òåîðåìå3.11 ïðèñóòñòâóåò íåñêîëüêî èíàÿ, íåæåëè âèðòóàëüíûå ãðóïïîèäû, ñòðóêòóðà, à èìåííî, ñòðóêòóðà, íà êîòîðîé çàäàíî ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ çàâèñÿùèõ îò êîìïîíåíòû çàöåïëåíèÿ îïåðàöèé, èíâàðèàíòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ìîäóëÿ Mk òðåáóåò îòäåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ òåì æå ñïîñîáîì, ÷òî è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.3.
Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò âòîì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå â äâèæåíèÿõ åéäåìåéñòåðà ìîãóò ó÷àñòâîâàòüðàçíûå êîìïîíåíòû çàöåïëåíèé, ÷òî âûðàæàåòñÿ â íàëè÷èè ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ si , ti . Åñëè ïîëîæèòü âñå si ðàâíûìè îäíîé ïåðåìåííîé s, à âñåïåðåìåííûå ti ðàâíûìè îäíîé è òîé æå ïåðåìåííîé t, òî äîêàçûâàåìàÿòåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî òåîðåìå 3.3.Òàêèì îáðàçîì, âñÿ ñóòü äîêàçàòåëüñòâà ñâîäèòñÿ ê òåì ñëó÷àÿì, êîãäà â òîì èëè èíîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà ïðèíèìàþò ó÷àñòèå ðàçíûåêîìïîíåíòû çàöåïëåíèÿ. Ìû èìååì êëàññè÷åñêèå, âèðòóàëüíûå è ïîëóâèðòóàëüíîå äâèæåíèÿ.àññìîòðèì ñàìûé ñëîæíûé ñëó÷àé òðåòüå êëàññè÷åñêîå äâèæåíèååéäåìåéñòåðà è ïðîâåäåì ïîäðîáíî äîêàçàòåëüñòâî.Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò èçâåñòíîå â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòîñòè àíàëîãè÷íîãî ìîäóëÿ äëÿ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé (áåç ó÷àñòèÿ îáðàçóþùèõ si ). íàøåì ñëó÷àå ìû èìååì ìåòêè ìîíîìû îò ïåðåìåííûõ si íà âñåõêîìïîíåíòàõ; áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñåîíè ðàâíû åäèíèöå.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.11.3.1.
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ108àññìîòðèì äâå äèàãðàììû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 3.17.Íîìåðà ïåðåêðåñòêîâ íà ýòîì ðèñóíêå ïîìå÷åíû ðèìñêèìè öèðàìè,íîìåðà äóã àðàáñêèìè öèðàìè, íîìåðà êîìïîíåíò îáâåäåíû â êðóæî÷åê, à ìîíîìû, ñîîòâåòñòâóþùèå âõîäÿùèì äóãàì, îáîçíà÷åíû áóêâàìèP, Q, R, ñì. ðèñ. 3.17.èñ. 3.17. àçìåòêà äóã äëÿ Ω3àññìîòðèì ìàòðèöû ñîîòíîøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììå äî ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà è äèàãðàììå ïîñëå ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ.
Ïåðâîé äèàãðàììå ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà1 0 00(tk − 1)Q −tj R 0 . . . 0 0 1 0 (t − 1)P−ti Q00...0 j −t 0 1 (t − 1)P000...0 k i(3.11) 0. .. .W0Ìàòðèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âòîðîé äèàãðàììå, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ100 (tk − 1)P0−ti R 0 . . . 0010 (tj − 1)P −ti Q00...0−tj (tk − 1) 10000...00...W0109.(3.12)Áóêâîé W îáîçíà÷àåòñÿ ÷àñòü ìàòðèöû èç n − 1 ñòîëáöîâ è n − 3 ñòðîê.Ìû áóäåì ïðîèçâîäèòü ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàä ìàòðèöàìè;î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íå áóäåò ìåíÿòü ñàìîãî ìîäóëÿ.Âòîðûå ñòðîêè ýòèõ ìàòðèö ñîâïàäàþò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
