Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ïîñëå ýòîãî íóæíî îïèñàòü ïîäõîäÿùèå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûåäåëàëè áû èç àëãåáðû Ëè äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä (âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä). Ýòî âîçìîæíî ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî ñóùåñòâóåò ýêñïîíåíöèàëüíîåîòîáðàæåíèå èç àëãåáðû Ëè â ãðóïïó Ëè, è óìíîæåíèå â ãðóïïå Ëè ìîæåòáûòü ïåðåíåñåíî íà àëãåáðó Ëè è òàì âûðàæåíî â òåðìèíàõ ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé.  ýòîì ñîñòîèò çíàìåíèòàÿ îðìóëà Áåéêåðà-ÊýìïáåëëàÕàóñäîðà. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòó îðìóëó â îðìå, ïðåäëîæåííîéÅ.Á.Äûíêèíûì [Äûí℄.3.3. Âèðòóàëüíûå óçëû è áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè128Ýòà îðìóëà âûðàæàåò ëîãàðèì ïðîèçâåäåíèÿ ýêñïîíåíò ýëåìåíòîâx, y ∈ g èç àëãåáðû Ëè g ÷åðåç êîììóòàòîðû. Îíà èìååò âèä:x ylog(e e ) =∞X Xk1(−1)k−1(xp1 y q1 .
. . xpk y qk )o . (3.15)pi +qi >0kp1 !q1 ! . . . pk !qk !p ,q =0iiÑóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî k îò 1 äî ∞ è âñåâîçìîæíûì íàáîðàì öåëûõíåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë (p1 , q1 , . . . , pk , qk ), ñâÿçàííûì ñîîòíîøåíèåì pi +qi > 0.◦Çäåñü îïåðàöèÿ (x) → (x) ïåðåâîäèò îðìàëüíîå ïðîèçâåäåíèå íåêîììóòèðóþùèõ ïåðåìåííûõ xj â êîììóòàòîð ñîãëàñíî ïðàâèëó1(xi1 xi2 . . . xik )◦ = [. . . [[xi1 , xi2 ], xi3 ], . . . , xik ](3.16)kè äàëåå ïðîäîëæàåòñÿ ïî ëèíåéíîñòè íà ïðîèçâîëüíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàííîé îïåðàöèè íàì åñòåñòâåííî ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáûîñíîâíîå êîëüöî ñîäåðæàëî êîëüöî Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû ïðåäëîæèì àëãîðèòì, êîòîðûé ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå óçëó (âèðòóàëüíîìó óçëó) àëãåáðó Ëè èëè àêòîð-ïðîñòðàíñòâîàëãåáðû Ëè ïî ïîäàëãåáðå (àêòîð-àëãåáðó ïî èäåàëó). Ýòè îáúåêòû áóäóò èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî (îáîáùåííûõ) äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Ïîëó÷àþùèåñÿ äàëåå àëãåáðû Ëè áóäóò, âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íîìåðíûìè ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî èçíà÷àëüíàÿ àëãåáðà (êîòîðóþ ìû àêòîðèçóåì)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâîáîäíóþ àëãåáðó Ëè, àääèòèâíî ïîðîæäåííóþ âñåìèêîììóòàòîðàìè ïðîèçâîëüíûõ ïîðÿäêîâ îò çàäàííûõ îáðàçóþùèõ.Ïîëó÷àåìûå ñ ïîìîùüþ îðìóëû Äûíêèíà è êîíöåïöèè âèðòóàëüíûõãðóïïîèäîâ îðìóëû ïðèâîäÿò ê âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ïîõîæèõ äèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ, êîòîðûå ÿâíî íå ñâÿçàíû ñ ãðóïïàìè Ëè.Íàø ïîäõîä ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Åñëè ìû èìååì àëãåáðó Ëè g è ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ãðóïïó Ëè G, òî ýêñïîíåíòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå îêðåñòíîñòè íóëÿ àëãåáðû Ëè íà îêðåñòíîñòüåäèíèöû ãðóïïû Ëè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè îðìóëà a◦b = bab−1 çàäàåò âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä â ãðóïïå, òî îðìóëà a ◦ b = log(exp(b) exp(a) exp(−b))3.3. Âèðòóàëüíûå óçëû è áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè129çàäàåò âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä íà àëãåáðå Ëè (ïî êðàéíåé ìåðå, â îêðåñòíîñòè íóëÿ). Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïîäñòàâèòü îðìóëó Äûíêèíà (3.15), òåìñàìûì ïîëó÷èâ âûðàæåíèå äëÿ îïåðàöèè ãðóïïîèäà íà àëãåáðå Ëè â òåðìèíàõ âíóòðåííèõ îïåðàöèé àëãåáðû Ëè (êîììóòàòîðîâ).Òî, ÷òî ýòà îðìóëà óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì ãðóïïîèäà, ïðîâåðÿåòñÿíåïîñðåäñòâåííî: ìû ïîëó÷àåì íåêîòîðîå òîæäåñòâî, êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿäëÿ ëþáîé àëãåáðû Ëè, çàäàííîé îðìàëüíî îáðàçóþùèìè è ñîîòíîøåíèÿìè.
Äàëåå ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ïîëó÷èâøóþñÿ îðìóëó äëÿ àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòíîãî äèñòðèáóòèâíîãî (âèðòóàëüíîãî)ãðóïïîèäà àëãåáðû Ëè, ñîîòâåòñòâóþùåé êëàññè÷åñêîìó èëè âèðòóàëüíîìó çàöåïëåíèþ.Áîëåå òîãî, ïîìèìî èñõîäíîé îðìóëûðÿäà, ïîëó÷àåìîé ïåðåíîñîì ñòàíäàðòíûõ ãðóïïîèäîâ íà àëãåáðû Ëè ïîñðåäñòâîì ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ è ëîãàðèìà, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü âàðüèðîâàòü ýòó îðìóëó è ïîëó÷àòü íîâûå ñòðóêòóðû äèñòðèáóòèâíûõ (âèðòóàëüíûõ) ãðóïïîèäîâ, êîòîðûå óæå íå ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûì îáîáùåíèåì ñòðóêòóð äèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ, ïîëó÷àåìûõ èç ãðóïï.Îïèøåì ýòè êîíñòðóêöèè áîëåå ïîäðîáíî.Ïóñòü L äèàãðàììà îðèåíòèðîâàííîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ñ nêëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè.
Ïåðåíóìåðóåì åå äëèííûå äóãè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè îò åäèíèöû äî n. Âûáåðåì íà äëèííîé äóãå ñ íîìåðîì i ïåðâóþ (ñîãëàñíî îðèåíòàöèè çàöåïëåíèÿ) äóãó è ñîïîñòàâèì äóãå ýëåìåíò ai .àññìîòðèì îðìàëüíóþ ñâîáîäíóþ áåñêîíå÷íîìåðíóþ àëãåáðó Ëè G(n, q)íàä íåêîòîðûì ïîëåì R, ïîðîæäåííóþ ýëåìåíòàìè a1 , . . . , an , ñîîòâåòñòâóþùèìè äóãàì äèàãðàììû, è îòäåëüíûì ýëåìåíòîì q .Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé â âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ âèäîâ Rj1 , Rj2 (ïîîðìóëàì (3.2,3.3), ïðîèíòåðïðåòèðîâàííûì ñîãëàñíî îðìóëå ÊýìïáåëëàÕàóñäîðà â îðìå Äûíêèíà (3.15)) ìîæíî îïðåäåëèòü ýëåìåíòû àëãåáðûG(n, q), ñîîòâåòñòâóþùèå âñåì äóãàì äàííîé äèàãðàììû.Áóäåì òåïåðü àêòîðèçîâàòü àëãåáðó G(n, q) ïî îðìàëüíûì ñîîòíîøåíèÿì ãðóïïîèäà âèäà Ri â êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ (3.1).Ïðè ýòîì êàê ñîîòíîøåíèÿ (3.2,3.3), òàê è ñîîòíîøåíèÿ (3.1), ìû áóäåìïîíèìàòü â ñìûñëå îïåðàöèé ãðóïïîèäà, îïðåäåëåííûõ ïîñðåäñòâîì îð-3.3.
Âèðòóàëüíûå óçëû è áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè130ìóëû Äûíêèíà (3.15).À èìåííî, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ.1.∀a, b ∈ g : a ◦ b = log(exp(n · b) exp(a) exp(−n · b)),f (a) = log(exp(q) exp(a) exp(−q)),ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.2.∀a, b ∈ g : a ◦ b = log(exp(b) exp(−a) exp(b)),f (a) = log(exp(q) exp(a) exp(−q)).3.∀a, b ∈ g : a ◦ b = log(exp(b) exp(−a) exp(b)),f (a) = log(exp(q) exp(−a) exp(q)). êàæäîì èç íèõ ñîîòíîøåíèÿ â êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ ïîðîæäàþò èäåàë â ñâîáîäíîé áåñêîíå÷íîìåðíîé àëãåáðå Ëè, îáðàçîâàííîé êîììóòàòîðàìè.Îáîçíà÷èì ïîëó÷èâøèåñÿ àêòîðàëãåáðû Ëè ïî ñîîòâåòñòâóþùèì èäåàëàì ÷åðåç Lien (L), Lie+ (L) è Lie− (L) ñîîòâåòñòâåííî.Òåîðåìà 3.16.Àëãåáðû ËèLien (L), Lie+ (L), Lie− (L)ÿâëÿþòñÿ èíâàðè-àíòàìè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.1 îáèíâàðèàíòíîñòè (âèðòóàëüíûõ) ãðóïïîèäîâ.Ïîëó÷åííûå àëãåáðû ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè âèðòóàëüíûõ óçëîâ, íîîíè áåñêîíå÷íîìåðíû, è ñ íèìè òðóäíî ðàáîòàòü.
àññìîòðèì îðìóëû äëÿâèðòóàëüíûõ ãðóïïîèäîâ, èñïîëüçóåìûå â ýòèõ àëãåáðàõ, áîëåå äåòàëüíî èïîïðîáóåì ïîñòðîèòü áîëåå ïðîñòûå è óäîáíûå èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé.3.3Îáîáùåíèÿ. Âèðòóàëüíûå óçëû è áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè131Ôàêòîðèçàöèÿ ïîëó÷åííîé àëãåáðû Ëè ïî èäåàëó, çàâèñÿùåìó òîëüêî îòàëãåáðû Ëè, íî íå îò êîïðåäñòàâëåíèÿ (íàïðèìåð, ïîðîæäåííîìó âñåìèêîììóòàòîðàìè ïîðÿäêà k ) çàäàåò èíâàðèàíò çàöåïëåíèé. Ýòà îïåðàöèÿïðèâîäèò ê êîíå÷íîìåðíûì àëãåáðàì Ëè èíâàðèàíòàì óçëîâ.Îäíàêî ìû ìîæåì çàáûòü î ïðîèñõîæäåíèè îïåðàöèè ◦ è èñïîëüçîâàòüòîëüêî åå îðìàëüíûé âèä, ïîëó÷àåìûé èç îðìóëû Äûíêèíà, è ìîäèèöèðîâàòü åãî.
Êàê îêàçûâàåòñÿ, ýòî ïðèâîäèò ê èíâàðèàíòàì âèðòóàëüíûõóçëîâ ñî çíà÷åíèÿìè â àëãåáðàõ Ëè êîíå÷íîìåðíûõ èëè áåñêîíå÷íîìåðíûõ êîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïðîèñõîäÿò èç ãðóïïîèäà, ñâÿçàííîãî ñãðóïïàìè.àññìîòðèì ñàìûé ïåðâûé ÷ëåí îðìóëû Áåéêåðà-Êýìïáåëëà-Õàóñäîðàlog(exp(a) exp(b)). Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå äàåò íàì a + b + 21 [a, b].
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå ïðèáëèæåíèå äëÿ a ◦ b (â îðìå log(exp(b) exp(a) exp(−b)))èìååò âèä a − [a, b]. Ïðèâåäåííàÿ âûøå îðìóëà çàäàåò îïåðàöèþ äèñòðèáóòèâíîãî ãðóïïîèäà, åñëè ìû ïðîàêòîðèçóåì ïîëó÷èâøóþñÿ àëãåáðó Ëèïî èäåàëó, ïîðîæäåííîìó âñåìè êîììóòàòîðàìè âèäà [[x, y], z]. Ýòî ñëåäóåòèç îáùèõ ñîîáðàæåíèé: èíâàðèàíòíûé ãðóïïîèäàëãåáðà Ëè àêòîðèçóåòñÿ ïî èäåàëó, êîòîðûé íå çàâèñèò îò èñõîäíîãî çàöåïëåíèÿ.Ìîæíî ïîñòðîèòü è áîëåå èñêóñíûé ïðèìåð. À èìåííî, ðàññìîòðèì êîëüöî R âñåõ îðìàëüíûõ ðÿäîâ îò ñòåïåíåé ïåðåìåííîé ε íàä Q.ÏîëîæèìÒåîðåìà 3.17. Äëÿa ◦ b = a + ε[a, b].(3.17)g íàä R è åå äâóõñòîðîííåãî èäåàëà h, ïîðîæäåííîãî âûðàæåíèÿìè âèäà [[x, z], [y, z]], îïåðàöèÿ (3.17) çàäàåòëþáîé àëãåáðû Ëèíà ñîîòâåòñòâóþùåé àêòîðàëãåáðå êîððåêòíî îïðåäåëåííûé äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä; îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëóa/b = a +∞Xk=1−k(ε)k (a · bk )o ,(3.18)3.3.
Âèðòóàëüíûå óçëû è áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè132Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü îáðàòíîé îïåðàöèè ñëåäóåò èç îðìóëû (3.18). Äåéñòâèòåëüíî, ðåøàÿ óðàâíåíèå c ◦ b = a øàã çàøàãîì (ïî ñòåïåíÿì ε), ìû áóäåì ïîëó÷àòü:c ≡ a(mod ε),c ≡ a − [a, b](mod ε2 ),c ≡ a − [a, b] + [[a, b], b](mod ε3 ) è ò.ä., ïðè÷åì êàæäîå ïîñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé ïðåäûäóùåãî â îðìóëó[a, b] = c(mod )ε2 .Èäåìïîòåíòíîñòü î÷åâèäíà, òàê êàê âñå êîììóòàòîðû ïåðåìåííîé ñ ñàìîé ñîáîé ðàâíû íóëþ.Ïðîâåðèì ñîîòíîøåíèå äèñòðèáóòèâíîñòè.Ìû èìååìÄîêàçàòåëüñòâî.(a ◦ b) ◦ c = (a + 2ε(ab + ac) + 3ε2 abc)o .(3.19)(a ◦ c) ◦ (b ◦ c) = (a + 2ε(ab + ac) + 3ε2 (acb − bca))o(3.20)Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû èñïîëüçîâàëè òîò àêò, ÷òî [[a, c], [b, c]] = 0âñëåäñòâèå àêòîðèçàöèè.Óòâåðæäåíèå òåîðåìû òåïåðü ñëåäóåò èç òîæäåñòâà ßêîáè.Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííóþ àëãåáðó Ëè ÷åðåç Li(K). Òåì ñàìûì ïîëó÷èìîòîáðàæåíèå èç ìíîæåñòâà (êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ) óçëîâ âî ìíîæåñòâî (áåñêîíå÷íîìåðíûõ) àëãåáð Ëè.Ïðèìåðû.àññìîòðèì èíâàðèàíò Li(K) óçëîâ (ïðè ïîñòðîåíèè êîòîðîãî ìû èãíîðèðóåì âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè), ïðîàêòîðèçîâàííûé ïî ε = 1.
Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ àëãåáðà Ëè Li(K) îïðåäåëåíà êîððåêòíî: âñå ñîîòíîøåíèÿ â ýòîé àëãåáðå çàïèñûâàþòñÿ â âèäå ñîîòíîøåíèé íà äóãè äèàãðàììñ îïåðàöèåé ◦, ïðè ýòîì îïåðàöèÿ a ◦ b ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé êîììóòàíòîâ (à íå áåñêîíå÷íûì ðÿäîì).Äëÿ áîëüøèíñòâà óçëîâ îí äàåò áåñêîíå÷íîìåðíóþ àëãåáðó Ëè.3.4. Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ133Ïîêàæåì, ÷òî ýòîò èíâàðèàíò çàäàåò êîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè äëÿâîñüìåðêè è òðèëèñòíèêà.Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå òðèëèñòíèêà ìû èìååì òðè äóãè a, b, c è òðèïåðåêðåñòêà; â ïîñëåäíèõ ìû âûïèñûâàåì êîììóòàòîðû. Ìû ïîëó÷àåì òðèñîîòíîøåíèÿ: a + [a, b] = c, b + [b, c] = a, c + [c, a] = b. Òàêèì îáðàçîì, âñåïåðâûå êîììóòàòîðû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îáðàçóþùèå, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîàëãåáðà ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíîé. ñëó÷àå âîñüìåðêè ìû èìååì ÷åòûðå îáðàçóþùèå; â ïåðåêðåñòêàõ âûïèñûâàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ ñîãëàñíî ðèñ. 3.27.èñ.
3.27. àçìå÷åííàÿ âîñüìåðêà ïåðâîì ïåðåêðåñòêå ìû ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå d ◦ c = a; âòîðîé ïåðåêðåñòîê íàì äàåò b ◦ d = a; â òðåòüåì ïåðåêðåñòêå ìû èìååì b ◦ a = c, à â÷åòâåðòîì ïîëó÷àåì d◦b = c. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿòðåõ èç øåñòè ïåðâûõ êîììóòàòîðîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, [b, d] = a − b, [d, b] =c − d, èç ÷åãî ëåãêî ñëåäóåò êîíå÷íîìåðíîñòü ðàññìàòðèâàåìîé àëãåáðû.3.4.
Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâÀëãåáðàè÷åñêàÿ è êîìáèíàòîðíàÿ òåõíèêà, àíàëîãè÷íàÿ ðàçâèòîé â íàñòîÿùåé ãëàâå, óñïåøíî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ äðóãèõ îáîáùåíèé óçëîâ è ïëîñêèõ êðèâûõ.Íàñòîÿùèé ðàçäåë ïîñâÿùåí èåðàðõè÷åñêèì ïëîñêèì âèðòóàëüíûì óç-3.4. Èåðàðõèÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ134ëàì. Ïîíÿòèå èåðàðõè÷åñêèõ óçëîâ áûëî âïåðâûå ââåäåíî Ë.Êàóìàíîì â[FKM℄; èì æå áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷à êëàññèèêàöèè ýòèõ îáúåêòîâ.  íàñòîÿùåì ðàçäåëå ïðèâîäÿòñÿ ïðèíàäëåæàùèå àâòîðó ðåçóëüòàòû, âïåðâûåîïóáëèêîâàííûå â ðàáîòå [Man8℄.Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì íàñòîÿùåãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà 3.18.3.4.1. Ïëîñêèå âèðòóàëüíûå óçëûÂîçíèêàþùèå íà ìíîæåñòâå âèðòóàëüíûõ óçëîâ (èëè, ñîãëàñíî òåðìèíîëîãèè [Tur4℄, âèðòóàëüíûõ ñòðóí) àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû (ñêîáêà Ëèîëäìàíà è êîñêîáêà Ëè Òóðàåâà, ñì.
îïèñàíèå â [Tur4, Gold℄) ïðèâîäÿòê èäåå åñòåñòâåííûõ îáîáùåíèé ïëîñêèõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Ýòî ñëóæèòìîòèâàöèåé íàñòîÿùåãî ðàçäåëà.Òàê, ïëîñêèå âèðòóàëüíûå óçëû (ñì. îïðåäåëåíèå â ãë. 1), çàäàâàåìûåïëîñêèìè ÷åòûðåõâàëåíòûìè ãðààìè, òàêæå èìåþò èíòåðïðåòàöèþ â âèäå êðèâûõ íà ïîâåðõíîñòÿõ, ðàññìîòðåííûõ ñ òî÷íîñòüþ ãîìîòîïèè è ñòàáèëèçàöèè.Êëàññû ãîìîòîïèé êðèâûõ íà ïîâåðõíîñòÿõ èìåþò ñòðóêòóðû àëãåáð Ëè(îëäìàíà) è êîàëãåáð Ëè (Òóðàåâà), êâàíòîâàíèå êîòîðûõ ïðèâîäèò ê îïèñàíèþ ñòðóêòóð ñêåéí-ìîäóëåé óçëîâ â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ [Tur4℄.Ïëîñêèå âèðòóàëüíûå óçëû ìîæíî ïîíèìàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìûðàññìàòðèâàåì ÷åòûðåõâàëåíòíûå ãðàû íà ïëîñêîñòè è îáúÿâëÿåì äâàãðàà ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îäèí èç íèõ ìîæåò áûòü ïåðåñòðîåí â äðóãîéïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì îñîáûõ äâèæåíèé, êîòîðûå ìû äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàåìûõ äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
