Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 26
Текст из файла (страница 26)
4.4.èñ. 4.4. Òîðè÷åñêèé àòîìÅñëè àòîì îðèåíòèðóåì, òî ìîæíî ñíàáäèòü åãî îðèåíòàöèåé. Òàêèì îáðàçîì, èìååò ñìûñë ãîâîðèòü îá îðèåíòèðîâàííûõ è íåîðèåíòèðîâàííûõàòîìàõ.Àòîìû ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å. ãîìåîìîðèçìà, ïåðåâîäÿùåãî îñòîâ â îñòîâ, ÷åðíûå êëåòêè â ÷åðíûå, à áåëûå â áåëûå.Êàæäûé àòîì (áîëåå òî÷íî, åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè) ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ âîññòàíîâëåí ïî ñëåäóþùèì êîìáèíàòîðíûì äàííûì:1. Îñòîâ (÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà);4.1.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ1562. Añòðóêòóðà (äåëÿùàÿ ÷åòûðå ïîëóðåáðà, èñõîäÿùèå èç êàæäîé âåðøèíû, íà äâå ïàðû, íàçûâàåìûå ïðîòèâîïîëîæíûìè; îòíîøåíèå ïðîòèâîïîëîæíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïîëîæåíèåì ïîëóðåáåð íà ïîâåðõíîñòè) è3. B ñòðóêòóðà (â êàæäîé âåðøèíå âûäåëåíû äâå ïàðû ñîñåäíèõ ïîëóðåáåð (èëè äâóõ óãëîâ), êîòîðûå îáðàçóþò ãðàíèöû ÷åðíûõ êëåòîê).Çàìå÷àíèå 4.2. Îáû÷íî àòîìû ïðåäïîëàãàþòñÿ ñâÿçíûìè, íî ìû äîïóñêàåì, ÷òî àòîì èìååò áîëåå îäíîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû.Åñëè àòîì (V, Γ) íå ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì, òî ìîæíî ðàññìîòðåòü åãîîðèåíòèðóþùåå íàêðûòèå, ò.å. àòîì, (Ṽ , Γ̃), ÿâëÿþùèéñÿ ïðîîáðàçîì ïàðû(V, Γ) ïðè äâóëèñòíîì îðèåíòèðóùåì íàêðûòèè; â ñëó÷àå, êîãäà àòîì (V, Γ)îðèåíòèðóåì, îïðåäåëèì àòîì (Ṽ , Γ̃) êàê äâà îòäåëüíî ñòîÿùèõ ýêçåìïëÿðààòîìà (V, Γ) (ñ èêñèðîâàííûì èçîìîðèçìîì îäíîãî àòîìà íà äðóãîé).Àòîìû óäîáíû äëÿ îïèñàíèÿ çàöåïëåíèé è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Ñðåäè àòîìîâ âûäåëÿåòñÿ êëàññ âûñîòíûõ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò äèàãðàììàì êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.
Ñîãëàñíî [Ìàí-1℄, íàçîâåì âûñîòíûìòàêîé àòîì, îñòîâ êîòîðîãî ìîæåò áûòü âëîæèì â ïëîñêîñòü òàêèì îáðàçîì,÷òî Añòðóêòóðà àòîìà ñîîòâåòñòâóåò Añòðóêòóðå, íàñëåäóåìîé àòîìîìèç ïëîñêîñòè, ò.å. â êàæäîé âåðøèíå àòîìà ïðîòèâîïîëîæíûå ïîëóðåáðàîñòàþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè ïðè âëîæåíèè îñòîâà íà ïëîñêîñòü. îáùåì ñëó÷àå âûñîòíîñòüþ h îðèåíòèðóåìîãî àòîìà (M, Γ) íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûé ðîä îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè G, â êîòîðóþ îñòîâ Γàòîìà ìîæåò áûòü âëîæåí ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû. Âûñîòíîñòü îðèåíòèðóåìîãî àòîìà íå ïðåâîñõîäèò åãî ðîäà: h(M, Γ) 6 g(M, Γ).
Äåéñòâèòåëüíî, àòîì ðîäà g ïî îïðåäåëåíèþ çàäàåò âëîæåíèå îñòîâà â ïîâåðõíîñòüðîäà g ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû.Âèðòóàëüíûå äèàãðàììû è àòîìû.Ñîïîñòàâèì êàæäîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììå L àòîì V (L) ñëåäóþùèìîáðàçîì. Âåðøèíû àòîìà V (L) íàõîäÿòñÿ â îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñêëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè äèàãðàììû L. Ýòè êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè ñîåäèíÿþòñÿ âåòâÿìè äèàãðàììû, êîòîðûå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ (è ñàìîïåðåñåêàòüñÿ) â âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ.
 êàæäîì êëàññè÷åñêîì ïå-4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ157ðåêðåñòêå ìû èìååì ÷åòûðå èñõîäÿùèõ âåòâè. Ýòèì âåòâÿì ìû ñîïîñòàâèì ÷åòûðå ðåáðà àòîìà, ñîåäèíÿþùèå ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíû. Ïðàâèëî ïðèêëåéêè ÷åðíûõ (ñîîòâ., áåëûõ) êëåòîê îïðåäåëÿåòñÿ äèàãðàììîé L.À èìåííî, ïóñòü X êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê äèàãðàììû L. Ïåðåíóìåðóåì èñõîäÿùèå ðåáðà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå x1 , x2 , x3 , x4 òàê, ÷òîáû ëîêàëüíîðåáðà, ñîîòâåòñòâóþùèå x1 è x3 îáðàçîâûâàëè ïðîõîä, à ðåáðà, ñîîòâåòñòâóþùèå x2 è x4 , ïåðåõîä. Òîãäà äëÿ ïðèêëåéêè ÷åðíûõ êëåòîê ìû ëîêàëüíîâûáèðàåì ïàðû ïîëóðåáåð àòîìà (x1 , x2 ) è (x3 , x4 ), ò.å öèêë, ÿâëÿþùèéñÿãðàíèöåé ÷åðíîé êëåòêè, ñîäåðæàùåé ðåáðî x1 áóäåò â ïåðåêðåñòêå X ïåðåõîäèòü ñ ðåáðà x1 íà ðåáðî x2 , à öèêë ãðàíèöà ÷åðíîé êëåòêè, ñîäåðæàùåéx3 , áóäåò ïåðåõîäèòü â âåðøèíå X ñ x3 íà x4 .Íàçîâåì ðîäîì âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ L ìèíèìóì çíà÷åíèÿ ðîäà àòîìà g(M, Γ) ïî âñåì àòîìàì (M, Γ), ñîîòâåòñòâóþùèì äèàãðàììàì çàöåïëåíèÿ L, à âûñîòíîñòüþ ìèíèìóì çíà÷åíèÿ h(M, Γ) ïî âñåì àòîìàì(M, Γ), ñîîòâåòñòâóþùèì äèàãðàììàì çàöåïëåíèÿ L.Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êëàññè÷åñêèå çàöåïëåíèÿ èìåþò âûñîòíîñòüíóëü.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè çàöåïëåíèå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì, òî åãî òåíüïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âëîæåííûé â ïëîñêîñòü ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îñòîâîì ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà. Ïî ïîñòðîåíèþ A-ñòðóêòóðààòîìà ñîâïàäàåò ñ A-ñòðóêòóðîé, èíäóöèðóåìîé èç ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîé êëàññè÷åñêîé äèàãðàììå ñîîòâåòñòâóåò âûñîòíûéàòîì.Îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ ê äàííîé (ïîñòðîåíèå äèàãðàììû ïî àòîìó) ÿâëÿåòñÿíåîäíîçíà÷íîé.Èìåÿ àòîì (V, Γ), ìîæíî ïîñòðîèòü íåîðèåíòèðîâàííóþ äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
àññìîòðèì ïîãðóæåíèå îáùåãî ïîëîæåíèÿ îñòîâà Γ â ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû. Îáðàç ïîãðóæåíèÿ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà, âåðøèíàìèêîòîðîãî áóäóò îáðàçû âåðøèí àòîìà è ïåðåñå÷åíèÿ îáðàçîâ âíóòðåííèõòî÷åê ðåáåð. Ïîñëåäíèå áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè, à îáðàçû âåðøèí êàê êëàññè÷åñêèå. Äëÿ óòî÷íåíèÿ êëàññè÷åñêèõïåðåêðåñòêîâ âîñïîëüçóåìñÿ B -ñòðóêòóðîé àòîìà.
À èìåííî, âûáåðåì ðåáðî ïåðåõîäà òàê, ÷òî ïðè äâèæåíèè âíóòðè óãëà ïîñëåêðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ158ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ìû èäåì îò ðåáðà ïðîõîäà ê ðåáðó ïåðåõîäà.Îáîçíà÷èì âñåâîçìîæíûå êëàññû âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, ïîëó÷àþùèõñÿ èç àòîìà V , ÷åðåç L(V ).Ïðîèçâîë çäåñü âîçíèêàåò ïðè âûáîðå ïîãðóæåíèÿ, ñì. ðèñ.4.5. ñëó÷àå âûñîòíûõ àòîìîâ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ âëîæåíèÿìè.
Îáîçíà÷èìñîîòâåòñòâóþùåå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà L(V ) ÷åðåç Lemb (V ).Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 4.1 (Òåîðåìà îá àòîìàõ è óçëàõ,[Ìàí-1℄).òèï çàöåïëåíèÿVLemb (V )Èçîòîïè÷åñêèéíå çàâèñèò îò ñïîñîáà âëîæåíèÿ îñòîâà àòîìàâ ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåìA-ñòðóêòóðû.Îòìåòèì, ÷òî ïðè òàêîì ïîäõîäå òàâòîëîãè÷åñêîìó âëîæåíèþ â ïëîñêîñòü îñòîâîâ ïëîñêèõ àòîìîâ ñîîòâåòñòâóþò àëüòåðíèðîâàííûå äèàãðàììû îíè ðàçáèâàþò ïëîñêîñòü (ñåðó) íà ÷åðíûå è áåëûå êëåòêè. ñëó÷àå ïîãðóæåíèé îäíîçíà÷íîñòü óæå íå èìååò ìåñòà.Òåîðåìà 4.2 ([Ìà1℄).
Äèàãðàììû èç ìíîæåñòâà L(V ), îïðåäåëåííûå ïîàòîìóV,ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïðèìåíåíèåì äâèæåíèé îáúåçäà èâèðòóàëèçàöèè.Ïîãðóæåíèå îñòîâà â ïëîñêîñòü íà÷íåì ñ âëîæåíèÿ îêðåñòíîñòåé åãî âåðøèí ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû. Ïîñëå ýòîãî ðåáðà, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû àòîìà, ìîãóò áûòü ïîãðóæåíû â ïëîñêîñòü ïðîèçâîëüíûìîáðàçîì. Ýòî îòâå÷àåò òîìó, ÷òî äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî óçëà îïðåäåëåíàñ òî÷íîñòüþ äî îáúåçäà.Ïðè ýòîì âûáîð âëîæåíèÿ îêðåñòíîñòåé âåðøèí îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî. À èìåííî, äëÿ êàæäîé âåðøèíû X ñ öèêëè÷åñêèì ïîðÿäêîì èñõîäÿùèõïîëóðåáåð p, q, r, s íà àòîìå ìû ìîæåì âûáðàòü äâà ñïîñîáà âëîæåíèÿ ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû: â îäíîì ñëó÷àå ïîðÿäîê èñõîäÿùèõ ðåáåð íà ïëîñêîñòè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå èìååò âèä p, q, r, s, à â äðóãîì ñëó÷àå p, s, r, q ,ñì.
ðèñ. 4.5.Ïîëó÷àåìûå òàêèì îáðàçîì äèàãðàììû îòëè÷àþòñÿ âèðòóàëèçàöèåé âñîîòâåòñòâóþùåì ïåðåêðåñòêå.Äîêàçàòåëüñòâî.Âàæíóþ ðîëü âî ìíîãèõ çàäà÷àõ òåîðèè óçëîâ (â îñîáåííîñòè ïðè èçó-4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ159èñ. 4.5. àçëè÷íûå ïîãðóæåíèÿ îñòîâà àòîìàè âèðòóàëèçàöèÿ÷åíèè êîìáèíàòîðíîé ñòðóêòóðû èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà) èãðàþò òàê íàçûâàåìûå õîðäîâûå äèàãðàììû.Õîðäîâûå äèàãðàììû.Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïóñòü M îðèåíòèðîâàííîå îäíîìåðíîå ìíîãîîáðà-çèå (íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíîå).
Õîðäîâîé äèàãðàììîé ïîðÿäêà n íà M íàçûâàåòñÿ âëîæåíèå íåóïîðÿäî÷åííîé íåñâÿçíîé ñóììû n íóëüìåðíûõ îêðóæíîñòåé S 0 ⊔ · · · ⊔ S 0 → M, ðàññìàòðèâàåìîå ñ òî÷íîñòüþ äî èçîòîïèè.Îáû÷íî ìíîãîîáðàçèå M èçîáðàæàåòñÿ êàê íàáîð îêðóæíîñòåé è ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè, à ïàðû òî÷åê îáðàçû íóëüìåðíûõ îêðóæíîñòåé ñîåäèíÿþòñÿ ìåæäó ñîáîé îòðåçêàìè õîðäàìè.Îñíàùåííîé õîðäîâîé äèàãðàììîé íàçûâàåòñÿ õîðäîâàÿ äèàãðàììà, íàâñåõ õîðäàõ êîòîðîé ðàññòàâëåíû ìåòêè +1 èëè −1.Åñëè ìåòêè íà õîðäîâîé äèàãðàììå íå îáîçíà÷åíû, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîâñå îíè ðàâíû åäèíèöå. òåîðèè óçëîâ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ õîðäîâûå äèàãðàììû íàîêðóæíîñòè.4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ160À èìåííî, óäîáíî ñëåäóþùååÎïðåäåëåíèå 4.2.
Õîðäîâîé äèàãðàììîé íàçûâàåòñÿ òðåõâàëåíòíûé ãðà,ó êîòîðîãî âûäåëåí îðèåíòèðîâàííûé öèêë, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç âñå âåðøèíû ïî îäíîìó ðàçó. Ýòîò öèêë òàêæå íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ õîðäîâîéäèàãðàììû. åáðà, íå ïðèíàäëåæàùèå âûäåëåííîìó öèêëó, íå îðèåíòèðîâàíû; îíè íàçûâàþòñÿ õîðäàìè õîðäîâîé äèàãðàììû.åáðà õîðäîâîé äèàãðàììû, íå ÿâëÿþùèåñÿ õîðäàìè, íàçîâåì äóãàìè.Çàìå÷àíèå 4.3. äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä õîðäî-âîé äèàãðàììîé ìû áóäåì ïîíèìàòü õîðäîâóþ äèàãðàììó íà îäíîé îêðóæíîñòè.Ïåðåõîä îò àòîìîâ ê õîðäîâûì äèàãðàììàì.Îñîáåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò àòîìû, èìåþùèå ðîâíî îäíó ÷åðíóþêëåòêó.
 ýòîì ñëó÷àå îíè ìîãóò áûòü çàêîäèðîâàíû (îñíàùåííîé, ò.å. èìåþùåé çíàêè íà õîðäàõ) õîðäîâîé äèàãðàììîé ñëåäóþùèì îáðàçîì. àññìîòðèì åäèíñòâåííóþ ÷åðíóþ êëåòêó C . àññìîòðèì îêðóæíîñòü K , ëåæàùóþ âíóòðè ýòîé êëåòêè è ïðîõîäÿùóþ âáëèçè êðàÿ êëåòêè. Ê êàæäîéâåðøèíå àòîìà ýòà îêðóæíîñòü ïîäõîäèò ñ äâóõ ñòîðîí. Âûáåðåì âáëèçèêàæäîé âåðøèíû ïàðó òî÷åê íà îêðóæíîñòè è ñîåäèíèì èõ õîðäîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
