Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ýòà óíêöèÿ ñâÿçàíà ñ èíâàðèàíòàìè Âàñèëüåâà. Ýòà òåìà áóäåò îáñóæäåíà â ãëàâå8 íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè.Ïóñòü K äèàãðàììà çàöåïëåíèÿ ñ n êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè,V ñîîòâåòñòâóþùèé åé âûñîòíûé àòîì ñ n âåðøèíàìè. àññìîòðèì ïî-4.2. Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè180ñëåêðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè c1 , c2 , . . . , ck àòîìà V . Ïóñòü ýòè îêðóæíîñòèñîîòâåòñòâóþò B -ñîñòîÿíèþ àòîìà V . Âêëàä ýòîãî ñîñòîÿíèÿ ìëàäøóþ ñòåïåíü ðàçëîæåíèÿ (4.1) ñêîáêè Êàóìàíà, ðàâåí (−1)k−1 a−n−2k+2 . Âû÷èñëèìêîýèöèåíò ïðè ýòîé ñòåïåíè â hKi.Çàìå÷àíèå 4.7. Ýòîò êîýèöèåíò, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì óçëà. Äåëî â òîì, ÷òî, ãîâîðÿ ìëàäøèé êîýèöèåíò ïîëèíîìà,ìû îáû÷íî èìååì â âèäó åãî ìëàäøèé íåíóëåâîé êîýèöèåíò. Îäíàêîìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî âû÷èñëÿåìûé ïî ÿâíîé îðìóëå(4.1)ìëàäøèéêîýèöèåíò äëÿ ñêîáêè Êàóìàíà ðàâåí íóëþ, â òî âðåìÿ êàê äëÿ íåêîòîðîé äðóãîé äèàãðàììû(íàïðèìåð,ñ ìåíüøèì ÷èñëîì ïåðåêðåñòêîâ)àíàëîãè÷íîå ðàçëîæåíèå äàñò íàñòîÿùèé, ò.å.
íåíóëåâîé, ìëàäøèé êîýèöèåíò.Ñîñòîÿíèå s′ , â êîòîðîì l ïåðåêðåñòêîâ ðàçâåäåíû ñïîñîáîì A, çàäàåòìèíèìàëüíóþ âîçìîæíóþ ñòåïåíü ìîíîìà, åñëè è òîëüêî åñëè â ýòîì ñîñòîÿíèè êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé ðàâíî k + l. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè ïåðåõîäåîò B -ñîñòîÿíèÿ ê ñîñòîÿíèþ s′ ïîñëåäîâàòåëüíûì èçìåíåíèåì ðàçâåäåíèéâ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ ìû äîëæíû íà êàæäîì øàãå äåëàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ, ðàçáèâàþùèå îäíó îêðóæíîñòü íà äâå. Ñîåäèíèì â ñîñòîÿíèè s′õîðäàìè äóãè îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèå â îêðåñòíîñòÿõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ (âåðøèí àòîìà).
Ïîëó÷èòñÿ õîðäîâàÿ äèàãðàììà íà íåñêîëüêèõîêðóæíîñòÿõ.àññìîòðèì ïåðåêðåñòêè, â êîòîðûõ ñîñòîÿíèå s′ îòëè÷àåòñÿ îò B -ñîñòîÿíèÿ, è ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ïåðåêðåñòêàì õîðäû. ßñíî, ÷òî êàæäàÿòàêàÿ õîðäà ñîåäèíÿåò òî÷êè íà îäíîé è òîé æå îêðóæíîñòè, èíà÷å, èçìåíèâðàçâåäåíèå â ñîîòâåòñòâóþùåì ïåðåêðåñòêå, ìû íà ïåðâîì øàãå ïîëó÷èëèáû k−1 îêðóæíîñòü, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî íà l-ì øàãå ìû íå ìîæåì ïîëó÷èòüáîëüøå, ÷åì k + l − 2 îêðóæíîñòåé.àññìîòðèì îäíó îêðóæíîñòü C â B -ñîñòîÿíèè è îäíó õîðäó c, ñîåäèíÿþùóþ ïàðó òî÷åê íà îêðóæíîñòè C . Åñëè ìû ïåðåñòðîèì B -ñîñòîÿíèåïî õîðäå c, ìû ïîëó÷èì äâå îêðóæíîñòè.
Äàëåå, ÷òîáû ïîñëå ïåðåñòðîéêè ïî õîðäå ïîëó÷åííîå ñîñòîÿíèå äàâàëî ìîíîì ìèíèìàëüíîé âîçìîæíîéñòåïåíè, îáà êîíöà êàæäîé ïîñëåäóþùåé õîðäû d â äèàãðàììå C äîëæíûëåæàòü ïî îäíó ñòîðîíó îò õîðäû c, òàê êàê èíà÷å, èçìåíèâ ñîñòîÿíèå s′ ïî4.2. Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè181õîðäàì c è d, ìû ïîëó÷èì íå k + 2 îêðóæíîñòè, à k îêðóæíîñòåé, ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå èçìåíåíèå ïî l õîðäàì, ñðåäè êîòîðûõ åñòü c è d, äàñò íåáîëåå, ÷åì k + l − 2 îêðóæíîñòè.
Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäàòü àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó. Êàæäîé èç îêðóæíîñòåé B -ñîñòîÿíèÿñîîòâåòñòâóåò õîðäîâàÿ äèàãðàììà. Äîïóñòèìûì, ò.å. ïðèâîäÿùèì ê ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè ìîíîìà, íàáîðîì õîðä ÿâëÿåòñÿ íàáîð õîðä, â êîòîðîìëþáûå äâå õîðäû, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîé è òîé æå îêðóæíîñòè (õîðäîâîéäèàãðàììå), íå çàöåïëåíû (íå ïåðåñåêàþòñÿ). Èìåÿ äîïóñòèìûé íàáîð õîðä,ñîñòîÿùèé èç a1 õîðä íà ïåðâîé îêðóæíîñòè, a2 õîðä íà âòîðîé îêðóæíîêîòîðîå äàåòñòè, è ò.ä., ak õîðä íà k -é îêðóæíîñòè, ìû ïîëó÷èì ñîñòîÿíèå,Pâêëàä â ìëàäøèé êîýèöèåíò a−n−2k+2 , ðàâíûé (−1) i ai (−1)k−1 . Âûíîñÿ(−1)k−1 çà ñêîáêó (â äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì ó÷èòûâàòü ýòîò êîýèöèåíò), ìû ïîëó÷èì, ÷òî ìëàäøèé êîýèöèåíò ñêîáêè Êàóìàíà ðàâåíPnñóììå l=0 (−1)l Nl , ãäå Nl êîëè÷åñòâî äîïóñòèìûõ íàáîðîâ èç l õîðä. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìëàäøåãî êîýèöèåíòà ñêîáêè Êàóìàíàõîðäû, ñîåäèíÿþùèå ðàçíûå îêðóæíîñòè, íå èãðàþò ðîëè, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ íàáîðà íå ñâÿçàííûõ äðóã ñ äðóãîì õîðäîâûõ äèàãðàìì.Î÷åâèäíî, ÷òî ðåçóëüòèðóþùèé êîýèöèåíò M1 (D) ðàâåí ïðîèçâåäåíèþêîýèöèåíòîâ ïî âñåì õîðäîâûì äèàãðàììàì, ãäå äëÿ êàæäîé õîðäîâîéäèàãðàììû D îí ðàâåínX(−1)i (êîëè÷åñòâî íàáîðîâ i íåïåðåñåêàþùèõñÿ õîðä)(4.9)i=0Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñ÷èòàåòñÿ ñòàðøèé êîýèöèåíò ñêîáêè Êàóìàíà.4.2.2.
Ïîëèíîì ΞÎêàçûâàåòñÿ, ÷òî â îðìóëó (4.1) äëÿ ñêîáêè Êàóìàíà ìîæíî äîáàâèòü ãåîìåòðèþ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ÷òî ïðèâîäèò (ïîñëå íîðìèðîâêè,àíàëîãè÷íîé (4.2) ê áîëåå ñèëüíîìó èíâàðèàíòó âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Ïðèâîäèìûå â íàñòîÿùåé ãëàâå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â êíèãå [Ìà1℄ èñòàòüÿõ [Ìà7, Man3℄.4.2. Ïîëèíîì Ξ.
Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè182Ýòî äåëàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. àññìîòðèì ìíîæåñòâî S ïàð (îðèåíòèðîâàííàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü êîíå÷íûé íàáîð çàìêíóòûõ êðèâûõíà íåé). Çäåñü äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ïîäðàçóìåâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé,çàìêíóòîé è èìåþùåé êîíå÷íîå ÷èñëî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè (åñëè S íåñâÿçíà, òî îðèåíòèðîâàííîé ïðåäïîëàãàåòñÿ êàæäàÿ èç åå êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè). Çàäàäèì íà ìíîæåñòâå òàêèõ ïàð èç S ýêâèâàëåíòíîñòü òàê æå, êàêîïèñàíî â ãëàâå 1 ñ íåêîòîðûìè óòî÷íåíèÿìè ñëåäóþùèì îáðàçîì.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýëåìåíòû èç S ñ òî÷íîñòüþ äî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîðîæäàåìîãî ñëåäóþùèìè ýëåìåíòàðíûìè ýêâèâàëåíòíîñòÿìè:1.
Ñîõðàíÿþùèìè îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðèçìàìè ïîâåðõíîñòåé, ïåðåâîäÿùèìè êðèâûå â êðèâûå.2. Ñòàáèëèçàöèÿìè, ò.å. äîáàâëåíèÿìè ðó÷åê ñîãëàñîâàííûõ ñ îðèåíòàöèåé ïîâåðõíîñòè è íå ïåðåñåêàþùèõ êðèâûå, à òàêæå äåñòàáèëèçàöèÿìè îïåðàöèÿìè, îáðàòíûìè ê ñòàáèëèçàöèÿì.3. Ñâîáîäíûìè ãîìîòîïèÿìè êðèâûõ ïî ïîâåðõíîñòè.4. Äîáàâëåíèÿìè (óäàëåíèÿìè) ïðîñòûõ êðèâûõ, îãðàíè÷èâàþùèõ äèñêíà ïîâåðõíîñòè è íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ñ äðóãèìè êðèâûìè.Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ÷åðåç S .
Î÷åâèäíî, ÷òîýòî ìíîæåñòâî ñ÷åòíî.Âîïðîñ î òîì, ïðåäñòàâëÿþò ëè äâà ýëåìåíòà èç S îäèí è òîò æå êëàññýêâèâàëåíòíîñòè â S , ëåãêî ðàñïîçíàåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè (ñì. ïåðâóþ ãëàâó).Àíàëîãè÷íî àëãîðèòìó, îïèñàííîìó â ïåðâîé ãëàâå, ñòð. 28, â äàííîìñëó÷àå àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó âîçìîæíîñòè äåñòàáèëèçèðîâàòü ïîâåðõíîñòü (ïðèìåíèòü ê íåé ýêâèâàëåíòíîñòü, óìåíüøàþùóþðîä) ëèáî ê óìåíüøåíèþ åå ïîñðåäñòâîì ðàçâåäåíèÿ äâóóãîëüíèêà èëè óäàëåíèÿ ïåòëè, ñì. ðèñ. 1.21, ëèáî ê óäàëåíèþ îòäåëüíî ñòîÿùåé òðèâèàëüíîéîêðóæíîñòè, êîòîðàÿ íå èìååò ïåðåñå÷åíèé ñ äðóãèìè êðèâûìè.  ñëó÷àå,êîãäà íè÷åãî èç âûøåïåðå÷èñëåííîãî ñäåëàòü íåâîçìîæíî, äèàãðàììà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé.4.2. Ïîëèíîì Ξ.
Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè183Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ïðèìåíåíèåì òðåòüåãî (ïëîñêîãî) äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, êîòîðîå íå ìåíÿåò íè ïîâåðõíîñòè, íè êîëè÷åñòâà ïåðåêðåñòêîâ. Ïîýòîìó ðàñïîçíàâàíèå äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìáèíàòîðíóþ çàäà÷ó.Îñíîâíàÿ èäåÿ ïîñòðîåíèÿ íàøåãî èíâàðèàíòà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ìûñòðîèì óíêöèþ íà îðèåíòèðîâàííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèÿõ ñî çíà÷åíèÿìè â ìîäóëå SZ[a, a−1 ]; çíà÷åíèÿ ýòîé óíêöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéëèíåéíûå êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ èç S ñ êîýèöèåíòàìè èç Z[a, a−1 ], ïðèýòîì êîýèöèåíòû ñòðîÿòñÿ òàê æå, êàê ñëàãàåìûå â ðàçëîæåíèè ñêîáêèÊàóìàíà (4.1), à ýëåìåíòû èç S ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãåîìåòðèþ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Ïóñòü äàíà âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà K . àññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå âèðòóàëüíîãî óçëà â âèäå äèàãðàììû íà îðèåíòèðîâàííîé äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè M , ïðèâåäåííîå â ãëàâå 1, ñì.
ñòð. 29.Áîëåå òî÷íî, êàæäîå âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L ïðåäñòàâèìî çàöåïëåíèåì â íåêîòîðîé óòîëùåííîé ïîâåðõíîñòè Sg × I . Ïðè ïðîåêöèè íà Sg âäîëüI îíî çàäàåò íàáîð êðèâûõ â êîëè÷åñòâå, ðàâíîì êîëè÷åñòâó êîìïîíåíòçàöåïëåíèÿ L. ýòîì ñëó÷àå âñå ðàçâåäåíèÿ äèàãðàììû ìîæíî ïðîèçâîäèòü íåïîñðåäñòâåííî íà ïîâåðõíîñòè M .
Çàèêñèðóåì òåíü çàöåïëåíèÿ K íà ïîâåðõíîñòè M . Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðûé íàáîð δ çàìêíóòûõ êðèâûõ.Äàëåå, êàæäîìó ñîñòîÿíèþ s íåîðèåíòèðîâàííîé äèàãðàììû |K| (êîòîðîåòàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íà ïîâåðõíîñòè M ) ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûéíàáîð δ ′ (s) íåîðèåíòèðîâàííûõ çàìêíóòûõ êðèâûõ íà M .Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì íàáîð êðèâûõ (÷àñòü èç íèõ îðèåíòèðîâàíà, ÷àñòü íå îðèåíòèðîâàíà) p(s) = δ ⊔ δ ′ (s), êîòîðûé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà S è, ñëåäîâàòåëüíî, êàê ýëåìåíò èçìíîæåñòâà êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè S . àññìîòðèì òåïåðü îðìàëüíûéñâîáîäíûé ìîäóëü M = SZ[a, a−1 ] íàä êîëüöîì ïîëèíîìîâ Ëîðàíà îò ïåðåìåííîé a; îáðàçóþùèìè ýòîãî ìîäóëÿ áóäóò ýëåìåíòû èç S .Ñîïîñòàâèì òåïåðü äèàãðàììå L ýëåìåíò Ξ(L) ∈ M ñîãëàñíî ñëåäóþùåéîðìóëå:4.2.
Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòèΞ(L) = (−a)−3w(s)XsÒåîðåìà 4.8. Ôóíêöèÿ Ξ,184p(s)aα(s)−β(s) (−a2 − a−2 )(γ(s)−1) .îïðåäåëåííàÿ îðìóëîé(4.10),(4.10)çàäàåò èíâàðè-àíò âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Î÷åâèäíî, ÷òî êàê ÷èñòî âèðòóàëüíûå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, òàê è ïîëóâèðòóàëüíîå äâèæåíèå (ò.å. âàðèàíòû äâèæåíèÿ îáúåçäà), ïðèìåíåííûå ê L, íå ìåíÿþò çíà÷åíèÿ Ξ(L): ïî ïîñòðîåíèþ âñå ÷ëåíûâ ñóììå (4.10) îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè.Äîêàçàòåëüñòâà èíâàðèàíòíîñòè óíêöèè Ξ(L) ïðè ïåðâîì è òðåòüåìêëàññè÷åñêèõ äâèæåíèÿõ åéäåìåéñòåðà ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì äîêàçàòåëüñòâàì äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà,ñì., íàïð., [Ìà1℄; íóæíî ëèøü àêêóðàòíî ïðîñëåäèòü, ÷òî ñîêðàùàþùèåñÿâ îáû÷íîì ïîëèíîìå ÄæîíñàÊàóìàíà ñëàãàåìûå èãðàþò ðîëü êîýèöèåíòîâ ïðè îäíîì è òîì æå ýëåìåíòå èç S è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîêðàùàþòñÿè â îðìóëå äëÿ Ξ(L).Äåéñòâèòåëüíî, åñëè L è L′ äâå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû, ïîëó÷åííûåîäíà èç äðóãîé ïðèìåíåíèåì ïåðâîãî èëè òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, òî ïîâåðõíîñòè ñ êðàåì M ′ (L) è M ′ (L′ ), ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììàì|L| è |L′ |, ãîìåîìîðíû, ïðè ýòîì ïîâåäåíèå ñèñòåìû êðèâûõ δ äëÿ M (L)è äëÿ M (L′ ) îòëè÷àåòñÿ òîëüêî âíóòðè ìàëîé îáëàñòè, îòíîñÿùåéñÿ ê äâèæåíèþ åéäåìåéñòåðà.Ïðè äâèæåíèè Ω1 äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó äëÿ ñëó÷àÿ(îíè ñîîòâåòñòâóþò ëîêàëüíûì ÷èñëàìçàêðó÷åííîñòè +1 è −1).Ïóñòü L âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà, è ïóñòü L′ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà, ïîëó÷åííàÿ èç L äîáàâëåíèåì ïåòëè .
Êàæäîìó ñîñòîÿíèþ s äèàãðàììû |L| åñòåñòâåííî ñîîòâåòñòâóþò äâà ñîñòîÿíèÿ äèàãðàììû |L′ |. Ôèêñèðóåì îäíî èç íèõ è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç s′ . Ïóñòü L′ = L ⊔ ° íåñâÿçíàÿñóììà äèàãðàììû L è ìàëîé îêðóæíîñòè (òðèâèàëüíîãî óçëà). Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî p(s) = p(s′ ).Äåéñòâèòåëüíî, ïîâåðõíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììàì |L| è |L′ |,ãîìåîìîðíû, ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìû êðèâûõ ëèáî ñîâïàäà-Äîêàçàòåëüñòâî.EHE4.2.
Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòèLQRP′PX185L′DYQ′R′DZèñ. 4.14. Äèàãðàììû è ëèíèè êðèâûõ ïîñëå ñãëàæèâàíèÿþò, ëèáî åäèíñòâåííàÿ ðàçíèöà ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ñèñòåìàìè êðèâûõ ñîñòîèò â äîáàâëåíèè îêðóæíîñòè (ýëåìåíòàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü íîìåð 3, ñì. ñòð. 182). Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî ñðàâíèâàòü êîýèöèåíòû ïðè îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòàõ èç S . Ýòî äåëàåòñÿ òî÷íî òàê æå,êàê è â ñëó÷àå îáû÷íîãî ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà. À èìåííî, h i =ah i + a−1 h i = (−a)3 h i, ïðè ýòîì (−a)3 êîìïåíñèðóåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ìíîæèòåëåì −a−3 , ïðîèñõîäÿùèì èç ÷èñëà çàêðó÷åííîñòè.Ïóñòü òåïåðü äèàãðàììû L è L′ ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïðèìåíåíèåì òðåòüåãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.
 ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâåðõíîñòè M òàêæå ñîâïàäàþò. Âûáåðåì òðè ïåðåêðåñòêàP, Q, R äèàãðàììû L è òðè ïåðåêðåñòêà P ′ , Q′ , R′ äèàãðàììû L′ , ê êîòîðûìîòíîñèòñÿ òðåòüå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà, ñì. ðèñ. 4.14.Äèàãðàììû L, L′ îòëè÷àþòñÿ ëèøü âíóòðè ìàëîãî äèñêà D íà ïëîñêîñòè, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîâåðõíîñòè M (L) è M (L′ ) òàêæå îòëè÷àþòñÿâíóòðè íåêîòîðîãî ìàëîãî äèñêà DM â M . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî óêàçàòüøåñòü òî÷åê íà êðàå ∂D òàêèõ, ÷òî äèàãðàììû ñãëàæèâàíèé (â M ) äëÿL, L′ ïðîõîäèëè ÷åðåç ýòè è òîëüêî ýòè òî÷êè íà ∂D.àññìîòðèì òðè âîçìîæíîñòè X, Y, Z ñîåäèíåíèÿ ýòèõ òî÷åê, êàê ïîêà-MPPE4.2.
Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè186çàíî íà ðèñ. 4.14. Ìîæíî ñîåäèíèòü ýòè òî÷êè è äðóãèìè ñïîñîáàìè, íîèìåííî óïîìÿíóòûå âûøå ñïîñîáû áóäóò âîçíèêàòü â ðàçëîæåíèè (4.10).Ïóñòü |LX |, |LY |, |LZ | òðè ïëîñêèå äèàãðàììû íåîðèåíòèðîâàííûõ çàöåïëåíèé, ñîâïàäàþùèå ñ äèàãðàììîé |L| âíå äèñêà D è ñîâïàäàþùèå ñðàãìåíòàìè X, Y è Z âíóòðè D ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì X, Y, Z ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòè îêðóæíîñòåé ñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ íåêîòîðûì ñîñòîÿíèÿì.Íàì ïîíàäîáÿòñÿ òðè ýëåìåíòà èç S , ïðåäñòàâèìûå ýëåìåíòàìè KX , KYè KZ â S , ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
