Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ðèñ. 4.15. Ýëåìåíò KX ñîäåðæèò òðè ëèíèè ÷àñòè îêðóæíîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèå òðåòüåìó äâèæåíèþ åéäåìåéñòåðà (èìåþùèå êîíöàìè øåñòü âûäåëåííûõ òî÷åê) âíóòðè DM , à òàêæå ñîäåðæèò ìíîæåñòâîX . Àíàëîãè÷íî, ñèñòåìà êðèâûõ KY ñîäåðæèò òå æå òðè ëèíèè è Y , àKZ ñîäåðæèò òå æå òðè ëèíèè è Z . Åäèíñòâåííîå, ÷òî íàì íóæíî çíàòüî ïîâåäåíèè KX , KY è KZ âíå äèñêà DM , ýòî òî, ÷òî ýòè äèàãðàììûñîâïàäàþò.KX@¡@¡KY¡@¡¡ @¡@@@¡@¡KZ¡@¡¡ @¡@@@¡@¡¡@¡¡ @¡@@èñ. 4.15. ×àñòè äèàãðàìì KX , KY , KZÏîêàæåì, ÷òî Ξ(L) = Ξ(L′ ). Ñ î÷åâèäíîñòüþ ìû èìååì w(L) = w(L′ ).Íàì íóæíî ñðàâíèòü ÷ëåíû â ðàçëîæåíèè (4.10) äëÿ äèàãðàìì |L| è |L′ |.Êàæäîìó ñîñòîÿíèþ äèàãðàììû L ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîïîñòàâèòü ñîñòîÿíèå äèàãðàììû L′ : ìû ñîïîñòàâëÿåì ïåðåêðåñòêàì P, Q, R ïåðåêðåñòêè P ′ , Q′ , R′ è åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâëÿåì âñå îñòàëüíûåïåðåêðåñòêè äèàãðàìì L è L′ .
Äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ äèàãðàììû |L|, óêîòîðîãî ïåðåêðåñòîê P ðàçâåäåí ñïîñîáîì A, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîñòîÿíèåäèàãðàììû |L′ | âíîñèò òîò æå âêëàä â ðàçëîæåíèå (4.10), ÷òî è ñîñòîÿíèå äëÿ äèàãðàììû |L|, òàê êàê äèàãðàììû |L| è |L′ | ïîñëå ðàçâåäåíèÿ âïåðåêðåñòêå P (ñîîòâåòñòâåííî, P ′ ) ñïîñîáîì A ñîâïàäàþò.4.2. Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè187Òàêèì îáðàçîì, íàì äîñòàòî÷íî ñðàâíèâàòü ÷ëåíû â ðàçëîæåíèè (4.10),ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçâåäåíèþ ïåðåêðåñòêà P â ñîñòîÿíèè B .
Áóäåì ãðóïïèðîâàòü ýòè ÷ëåíû (äëÿ |L| è äëÿ |L′ |) â ÷åòâåðêè; ÷ëåíû â îäíîé ÷åòâåðêåðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî ðàçâåäåíèåì â ïåðåêðåñòêàõ R è S . Ôèêñèðóåì òåïåðüðàçâåäåíèÿ äëÿ äèàãðàìì |L| è |L′ | âíå äèñêà D îäèíàêîâûì îáðàçîì è áóäåì ñðàâíèâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ÷åòâåðêè. Åñëè ìû óäàëèì ÷àñòè êðèâûõâíóòðè äèñêà D è çàìåíèì èõ íà X, Y èëè Z , ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó êðèâûõíà ïîâåðõíîñòè M .
Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâà êðèâûõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ òðåõñèñòåìàõ ÷åðåç νX , νY è νZ ñîîòâåòñòâåííî.×åòûðå ÷ëåíà, ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììå |L|, â ñóììå äàþò ñëåäóþùåå:aKX (−a2 − a−2 )(νX −1) + a−1 (KZ (−a2 − a−2 )(νZ −1) ++KX (−a2 − a−2 )νX ) + a−3 KX (−a2 − a−2 )(νX −1) == a−1 (−a2 − a−2 )(νZ −1) KZ .Äëÿ |L′ | ìû èìååì àíàëîãè÷íóþ îðìóëó ñ KZ è KY . Êîýèöèåíòû ïðèKY ñîêðàòÿòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷èì òî æå ñàìîå âûðàæåíèå:a−1 (−a2 − a−2 )(νZ −1) KZ .Ïðîâåðèì òåïåðü èíâàðèàíòíîñòü ïîëèíîìà Ξ ïðè âòîðîì êëàññè÷åñêîìäâèæåíèè åéäåìåéñòåðà. Ïóñòü L′ äèàãðàììà, ïîëó÷àåìàÿ èç L ïðèìåíåíèåì óâåëè÷èâàþùåãî âòîðîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.Ìû èìååì w(L) = w(L′ ).àññìîòðèì ìíîãîîáðàçèå M (L). Ïðîåêöèÿ çàöåïëåíèÿ L ðàçáèâàåò M (L)íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû.
Èìåþòñÿ äâå ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûå âîçìîæíîñòè.  îäíîì ñëó÷àå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà ïðèìåíÿåòñÿ ê îäíîé èòîé æå êîìïîíåíòå. Áîëåå òî÷íî, â ýòîì ñëó÷àå íà ïîâåðõíîñòè M (L) ñóùåñòâóåò ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà K, òàêàÿ ÷òî äâå ó÷àñòâóþùèå â äâèæåíèèåéäåìåéñòåðà âåòâè ïðîåêöèè äèàãðàììû L ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè ãðàíèöûêîìïîíåíòû K, ïðè ýòîì ïðè âòîðîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà îáå ýòè âåòâèíàïðàâëÿþòñÿ âíóòðü K.Òîãäà M (L′ ) ãîìåîìîðíî ìíîãîîáðàçèþ M (L), à êðèâûå èç ìíîæåñòâδ(L) è δ(L′ ) ïðåäñòàâëÿþò îäèí è òîò æå ãîìîòîïè÷åñêèé òèï, íî ïðè ïðè-4.2.
Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè188ìåíåíèè äâèæåíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ äâà íîâûõ ïåðåêðåñòêà.  ýòîì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà Ξ(L) = Ξ(L′ ) ïðîõîäèò òî÷íî òàê æå, êàê è â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå (ñîêðàùåíèå îòíîñèòñÿ çäåñü ê ïîëèíîìèàëüíûì êîýèöèåíòàì ïðè ýëåìåíòàõ èç S ). Êðîìå òîãî, äîêàçàòåëüñòâî â ýòîì ñëó÷àå äàæåïðîùå, ÷åì äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ïðè Ω3 : íàì íóæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü ÷åòûðå ñëàãàåìûõ äëÿ |L′ |, ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìó ñëàãàåìîìóäëÿ |L|. êàæäîì ñëó÷àå òðè èç íèõ ñîâìåñòíî ñîêðàùàþòñÿ, à îñòàâøååñÿ ñëàãàåìîå äëÿ |L′ | ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ñëàãàåìûì äëÿ L, à èìåííî,G Jhi = ahKi + a−1 hL Q Oi = (a2 + a−2 )hOhi + 1hi + 1hi=i.Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî w(L) = w(L′ ), ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Âî âòîðîì ñëó÷àå äâèæåíèå Ω2 îòíîñèòñÿ ê äâóì ðàçëè÷íûì îáëàñòÿì íàìíîãîîáðàçèè M (L), òåì ñàìûì ìíîãîîáðàçèå M (L′ ) ïîëó÷àåòñÿ èç M (L)äîáàâëåíèåì ðó÷êè. Íà ýòîé ðó÷êå ìû èìååì äâà íîâûõ ïåðåêðåñòêà P èQ, ñì.
ðèñ. 4.16.#Ã"!ÂÁ#Ã↓PQ"!¿Àèñ. 4.16. Äîáàâëåíèå ðó÷êè ïðè ïðèìåíåíèè Ω2àññìîòðèì âñå ñîñòîÿíèÿ äèàãðàììû |L′ |. Îíè ìîãóò áûòü ðàçáèòû íà÷åòûðå òèïà â çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà ðàçâåäåíèÿ ïåðåêðåñòêîâ P è Q.Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå ñîñòîÿíèå s äèàãðàììû |L| ïîðîæäàåò ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ s++ , s−− , s−+ è s+− äèàãðàììû |L′ |. Çàìåòèì, ÷òî p(s) = p(s+− ) (à4.2. Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè189èìåííî, ïðåäñòàâèòåëü p(s) â S ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäñòàâèòåëÿ ýëåìåíòà p(s′ )â S óäàëåíèåì ðó÷êè, ñì.
ðèñ. 4.16), à òàêæå p(s++ ) = p(s−− ) = p(s−+ ).Êðîìå òîãî, äëÿ êàæäîãî s ìû èìååì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:α(s) − β(s) = α(s+− ) − β(s+− ), γ(s) = γ(s+− ),γ(s++ ) = γ(s−− ) = γ(s−+ ) − 1.Òàêèì îáðàçîì, âñå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ (4.10) äëÿ L′ , ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñòîÿíèÿì s−− , s++ è s−+ , ñîêðàòÿòñÿ ïî ïðè÷èíå òîæäåñòâà a2 +a−2 +(−a2 −a−2 ) = 0. ×ëåíû, ñîîòâåòñòâóþùèå s+− , äàäóò êàê ðàç òî æå ñàìîå, ÷òî è(4.10) äëÿ äèàãðàììû L.Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýòîò èíâàðèàíò ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì, òàê êàêýëåìåíòû ìíîæåñòâà S àëãîðèòìè÷åñêè ðàñïîçíàâàåìû.4.2.3.
Ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ïîëèíîìà ΞÑ îäíîé ñòîðîíû, ïîëèíîì Ξ ïîñòðîåí ñ èñïîëüçîâàíèåì èíâàðèàíîâ Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ïîðÿäêà 0.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåíèå ïîëèíîìà ÄæîíñàÊàóìàíà. Ìû ïðèâåäåì ïðèìåðû, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ïîëèíîì Ξ ñèëüíåå,÷åì èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ïîðÿäêà íóëü è ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíàâìåñòå âçÿòûå, ò.å. ïðèâåäåì ïðèìåðû çàöåïëåíèé, íå îòëè÷èìûõ äðóã îòäðóãà ïîñðåäñòâîì èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà ïîðÿäêà íîëü è ïîëèíîìà ÄæîíñàÊàóìàíà, íà êîòîðûõ ïîëèíîì Ξ ïðèíèìàåò ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.Êðîìå òîãî, èíâàðèàíò Ξ çàäàåò ïðåïÿòñòâèå ê äåñòàáèëèçàöèè.Óòâåðæäåíèå 4.2.Åñëè âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèåñòàâëåíî çàöåïëåíèåì íà ïîâåðõíîñòè ðîäàΞ(S)g,Lìîæåò áûòü ïðåä-ïðè ýòîì â ðàçëîæåíèèâñòðå÷àåòñÿ ñ íåíóëåâûì êîýèöèåíòîì ýëåìåíòìàëüíûé ïðåäñòàâèòåëü êîòîðîãî âèìååò ïîäëåæàùèé ðîäg.Sèìååò ðîäg,s ∈ S,ìèíè-òî çàöåïëåíèåLÝòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïîëèíîìà Ξ.àññìîòðèì ïðèìåð.
Ïóñòü P ýëåìåíò èç S , ïðåäñòàâèìûé ñåðîé ñïóñòûì ìíîæåñòâîì êðèâûõ íà íåé. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ êàæäîãî êëàññè÷å-4.2. Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè190ñêîãî çàöåïëåíèÿ K ìû èìååì Ξ(K) = P ·X(K). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òðèâèàëüíîãî çàöåïëåíèÿ èç äâóõ êîìïîíåíò L ìû èìååì Ξ(L) = P · (−a2 − a−2 ).Òðèâèàëüíîå çàöåïëåíèå L èç äâóõ êîìïîíåíò è çàöåïëåíèå Λ, èçîáðàæåííîå íà ðèñ.
4.17, èìåþò îäèí è òîò æå ïîëèíîì Äæîíñà. Äåéñòâèòåëüíî,çàöåïëåíèå Λ ïîëó÷àåòñÿ èç L ïðèìåíåíèåì âèðòóàëèçàöèè.èñ. 4.17. Çàöåïëåíèå ñ òðèâèàëüíûì ïîëèíîìîì Äæîíñà-Êàóìàíààññìîòðèì ñëåäóþùèå ýëåìåíòû èç S (íà ðèñóíêàõ ìû áóäåì èçîáðàæàòü ïðåäñòàâëÿþùèå èõ ýëåìåíòû èç S ), ñì. ðèñ. 4.18. Äâóìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì M â ýòèõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ òîð, èçîáðàæåííûé â âèäå êâàäðàòàñ îòîæäåñòâëåííûìè ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè.HHHQ=HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHR=HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHèñ. 4.18. Äâà ýëåìåíòà èç SÝëåìåíò Q ∈ S ïðåäñòàâëåí äèàãðàììîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4.18;äâå äîïîëíèòåëüíûå íåîðèåíòèðîâàííûå îêðóæíîñòè (êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè Q èç äèàãðàììû S è íå èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå) ìîãóòáûòü óäàëåíû ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè íîìåð 4, ñì.
ñòð.182. Äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé ìû íå áóäåì äåëàòü ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýëåìåíòîì èç S è ïðåäñòàâëÿþùèì åãî ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì èç S .Ïîêàæåì, ÷òî â S èìååò ìåñòî Q 6= P, R 6= P , à òàêæå ÷òî Q 6= R.4.2. Ïîëèíîì Ξ. Âîïðîñû ìèíèìàëüíîñòè191Äåéñòâèòåëüíî, Q 6= P , òàê êàê Q èìååò äâå êðèâûå ñ íåíóëåâûì àëãåáðàè÷åñêèì ïåðåñå÷åíèåì (+2 èëè −2 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê ìû îðèåíòèðóåì ýòè êðèâûå); òàêèì îáðàçîì, íè îäíà èç ýòèõ êðèâûõ íå ìîæåòáûòü óäàëåíà, åñëè ìû áóäåì ïðèìåíÿòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòèäëÿ S .
Äàëåå, ìû òàêæå âèäèì, ÷òî R 6= P . Êðîìå òîãî, R 6= Q, òàê êàê Rñîäåðæèò òðè íåãîìîòîïíûå êðèâûå íà òîðå (â êîîðäèíàòàõ íà ðèñ. 4.18 èõíàïðàâëÿþùèå âåêòîðû èìåþò âèä (0, 1), (1, 0), è (2, −1)); êàæäûå äâå èçíèõ èìåþò íåíóëåâîå àëãåáðàè÷åñêîå ïåðåñå÷åíèå, çíà÷èò, íè îäíà èç íèõíå ìîæåò áûòü óäàëåíà. Ïîýòîìó ïðîñòåéøàÿ äèàãðàììà, ïðåäñòàâëÿþùàÿêëàññ R â S , íå ìîæåò ñîñòîÿòü ìåíåå, ÷åì èç òðåõ êðèâûõ.Äàëåå, äëÿ çàöåïëåíèÿ Λ ìû èìååìΞ(Λ) = Qa2 + 2R(−a2 − a−2 ) + Qa−2 = (2R − Q)(−a2 − a−2 ).Òàêèì îáðàçîì, Ξ(Λ) 6= Ξ(L).Îáñóæäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
