Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 35
Текст из файла (страница 35)
 ýòîì ñëó÷àå C(L)ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûì êîìïëåêñîì. Îáîçíà÷èì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ãîìîëîãèé êîìïëåêñà C(L) ÷åðåç Kh(L) (èëè KhZ2 (L) â ñëó÷àå,åñëè íóæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî êîìïëåêñ Õîâàíîâà ðàññìàòðèâàåòñÿ èìåííîíàä ïîëåì Z2 ).Òåîðåìà 5.1.[Ìà1, Ìà6℄ ðàäóèðîâàííàÿ ãðóïïà ãîìîëîãèéëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì çàöåïëåíèÿñòèêàχ(Kh(L))L;Kh(L)ÿâ-ãðàäóèðîâàííàÿ ýéëåðîâà õàðàêòåðè-ðàâíà ïîëèíîìó Äæîíñà.Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç òîãî àêòà, ÷òî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà, îïðåäåëåííàÿ êàê àëüòåðíèðîâàííàÿ ñóììà (ãðàäóèðîâàííûõ)Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2209ðàçìåðíîñòåé ãðóïï ãîìîëîãèé ðàâíà àëüòåðíèðîâàííîé ñóììå ãðàäóèðîâàííûõ ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ öåïåé.Äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé îòíîñèòåëüíî äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ ñëó÷àÿ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíâàðèàíòíîñòè â ðàáîòå Áàð-Íàòàíà èñïîëüçóåòñÿòàê íàçûâàåìûé ïðèíöèï ñîêðàùåíèÿ, êîòîðûé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.Ïóñòü C (áèãðàäóèðîâàííûé) öåïíîé êîìëåêñ, è ïóñòü C ′ ïîäêîìïëåêñ êîìïëåêñà C .Òîãäà:1.
Åñëè êîìïëåêñ C ′ àöèêëè÷åí, òî H(C) = H(C/C ′ ).2. Åñëè êîìïëåêñ C/C ′ àöèêëè÷åí, òî H(C) = H(C ′ ).Çäåñü H îáîçíà÷àåò ãðóïïó ãîìîëîãèé. Äàëåå äëÿ êàæäîãî èç äâèæåíèéåéäåìåéñòåðà êóáû ïåðåñòðîåê (îòâå÷àþùèå äèàãðàììå äî ïðèìåíåíèÿäâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà è äèàãðàììå ïîñëå ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà) ðàçáèâàþòñÿ íà ïîäêóáû (ìíîæåñòâî âåðøèí êóáà ïðåäñòàâëÿåòñîáîé äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ âåðøèí ñîñòàâëÿþùèõ åãî ïîäêóáîâ), îòâå÷àþùèå ðàçâåäåíèÿì â òåõ ðåáðàõ, ê êîòîðûì îòíîñèòñÿ òîèëè èíîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà.
Òàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå äâèæåíèÿ Ω3êóá ðàçìåðíîñòè n ðàçáèâàåòñÿ íà âîñåìü ïîäêóáîâ, êàæäûé èç êîòîðûõèìååò ðàçìåðíîñòü (n − 3). Äàëåå, ïðèìåíÿÿ ïðèíöèï ñîêðàùåíèÿ è èìåÿâ âèäó ëîêàëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ (ñîîòâåòñòâóþùèõ îòîáðàæåíèÿì ∆ è m), ìû ìîæåì ñâåñòè ãîìîëîãèè êóáà ðàçìåðíîñòè n ê áîëååïðîñòîìó âèäó. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòîò áîëåå ïðîñòîé âèä îäèí è òîò æåäëÿ äèàãðàììû äî ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà è äëÿ äèàãðàììûïîñëå ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.Ïðè ýòîì â äîêàçàòåëüñòâå íèãäå íå èñïîëüçóåòñÿ ãëîáàëüíàÿ èíîðìàöèÿ î äèåðåíöèàëàõ, ò.å. íèãäå íå ãîâîðèòñÿ, ÷òî íåêîòîðîéñòðåëêå â êóáå îòâå÷àåò äèåðåíöèàë âèäà ∆ èëè m, åñëè ýòî íå âèäíîÿâíî èç êàðòèíêè.Èíâàðèàíòíîñòü ïðè ïåðâîì êëàññè÷åñêîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà äîñëîâíî ïîâòîðÿåò ðàññóæäåíèÿ èç [BN1℄. Êîìïëåêñ, ñîîòâåòñòâóþùåé äèà-Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2210ãðàììå ñ äîáàâëåííûì çàâèòêîì, èìååò âèä³´m[[ ]] = [[ ]] → [[ ]]{1} .EMM P(5.5)Îòîáðàæåíèå m ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâíûì, ïðè ýòîì ïîäêîìïëåêñ êîìïëåêñàñëåâà, â êîòîðîì íà ìàëîé îêðóæíîñòè ñòîèò ±v+ , ïåðåâîäèòñÿîòîáðàæåíèåì m íà âåñü êîìïëåêññïðàâà.
Ïîýòîìó ìû ïðèõîäèì ê òîìó, ÷òî âåñü êîìïëåêñ èìååò òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è åãî àêòîðêîìïëåêñïî îïèñàííîé âûøå àöèêëè÷íîé ÷àñòè. Ýòîò àêòîðêîìïëåêñ èìååò òå æåãîìîëîãèè, ÷òî è [[ ]].Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàññìàòðèâàåòñÿ è äðóãîé çàâèòîê; â ýòîì ñëó÷àåèñïîëüçóåòñÿ èíúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ ∆.Êàê è â ñëó÷àå ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ïðè âòîðîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà ïîâòîðÿåò ñîîòâåòñòâóþùåå äîêàçàòåëüñòâî Áàð-Íàòàíà â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå.
Ìû ïðèâåäåì åãîçäåñü ïîòîìó, ÷òî îíî íàì ïîíàäîáèòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå èíâàðèàíòíîñòèîòíîñèòåëüíî òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.Èçíà÷àëüíûé êîìïëåêñ C âûãëÿäèò òàê:PP[[QNQmÝòîò êîìïëåêñ ñîäåðæèò ïîäêîìïëåêñ C ′ :[[′C =WT]]{1} −→ [[∆↑[[ ]] −→ [[m]]{2}.↑]]{1}]]v+ {1} −→ [[↑0−→W]]{2}↑0(5.6)(5.7)Çäåñü è äàëåå íèæíèé èíäåêñ v+ â ëåâîì âåðõíåì óãëó îçíà÷àåò ìåòêóíà ìàëîé îêðóæíîñòè.Àöèêëè÷íîñòü êîìïëåêñà C ′ î÷åâèäíà.Ôàêòîðèçóÿ C ïî C ′ , ìû ïîëó÷àåì[[QÊîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2]]{1}/v+ =0 −→∆↑−→ [[[[ ]]N0↑.]]{1}T211(5.8) ëåâîì âåðõíåì óãëó v+ = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî V = {v+ , v− },ñîîòâåòñòâóþùåå ìàëîé îêðóæíîñòè, ïðîàêòîðèçîâàíî ïî ñîîòíîøåíèþv+ = 0, ò.å. â ñîîòâåòñòâóþùåì (óïîðÿäî÷åííîì) òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèèâìåñòî äâóìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñòîèò îäíîìåðíîå, ïîðîæäåííîå ýëåìåíòîì v− . ïîñëåäíåì êîìïëåêñå ñòðåëêà ∆, íàïðàâëåííàÿ ââåðõ, ÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì.
Ñëåäîâàòåëüíî ýòîò êîìïëåêñ èìååò òå æå ãðóïïû ãîìîëîãèé,÷òî è [[ ]]. Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíîΩ2 (ñ òî÷íîñòüþ äî ñäâèãà âûñîòû è ãðàäóèðîâêè).Èçìåíåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà ïðè òðåòüåì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðàâûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.2. Çäåñü íà êàæäîì èç äâóõ êóáîâ ìûèìååì îäíî îòîáðàæåíèå âèäà ∆ è îäíî îòîáðàæåíèå âèäà m, ïðî îñòàëüíûåîòîáðàæåíèÿ íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé íå äåëàåòñÿ.Îáû÷íî èíâàðèàíòíîñòü ïîëèíîìà Äæîíñà îò îäíîé ïåðåìåííîé îòíîñèòåëüíî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà Ω3 äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ìû ðàçâîäèì îäèí ïåðåêðåñòîê äëÿ äâóõ äèàãðàìì, ïîñëå ÷åãî âèäèì, ÷òîïîëó÷èâøèåñÿ äèàãðàììû ëèáî ñîâïàäàþò, ëèáî ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïðèìåíåíèåì äâèæåíèÿ Ω2 .
Ìû áóäåì äåéñòâîâàòü àíàëîãè÷íûì îáðàçîì: ðàññìîòðèì òðåõìåðíûé êóá (êàæäàÿ âåðøèíà êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êóá êîðàçìåðíîñòè òðè); äâà òàêèõ êóáà, îòëè÷àþùèõñÿ òðåòüèìäâèæåíèåì åéäåìåéñòåðà, èìåþò ñîâïàäàþùèå íèæíèå óðîâíè (ïîäêóáûêîðàçìåðíîñòè 1) è îòëè÷àþùèåñÿ âòîðûì äâèæåíèåì åéäåìåéñòåðà âåðõíèå óðîâíè.àññìîòðèì òåïåðü ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà Ω2 ,îòíîñÿùèéñÿ ê âåðõíåìó óðîâíþ íà ðèñ.
5.2. Ñîîòâåòñòâóþùèé êîìïëåêñC/C ′ ñîäåðæèò ïîäêîìïëåêñTÊîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2212èñ. 5.2. Èçìåíåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà ïðè äâèæåíèè Ω3β−→0ց↑τ =d∗0 ∆−1C ′′′ = ∆ ↑dα∗0−→(5.9)τ β,Ïîñëåäíèé ÿâëÿåòñÿ àöèêëè÷íûì, òàê êàê îòîáðàæåíèå ∆ ÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðèçìîì.Çàìå÷àíèå 5.3.Çäåñü ñòðåëêàτíå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì äèåðåíöèà-β → ±τ β îçíà÷àåò, ÷òîÇíàê ± ïîÿâëÿåòñÿ â çàâèñè-ëîì.
 äàëüíåéøåì ñòðåëêà ïî äèàãîíàëè âèäàìû îòîæäåñòâëÿåì äâà ýëåìåíòà â êóáå.ìîñòè îò òîãî, ãäå íà äàííîé äâóìåðíîé ãðàíè ñòîèò äîáàâî÷íûé çíàêìèíóñ.  ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ èçZ2íàëè÷èå ýòîãî çíàêà íè íà ÷òî íåâëèÿåò. ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ â êîëüöå õàðàêòåðèñòèêè îòëè÷íîé îò äâóõçíàê ìîæåò ïîÿâèòüñÿ; âñå ðàññóæäåíèÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû ðàññóæäåíèÿì Áàð-Íàòàíà.
Ìû ïîäðîáíî ðàññìîòðèì âîïðîñ ñî çíàêàìè ïðèòðåòüåì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà â øåñòîé ãëàâå äëÿ áîëåå îáùåé êîí-Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2213ñòðóêöèè.Ïîñëå ýòîãî ìû âèäèì, ÷òî êîìïëåêñ C èìååò òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî èêîìïëåêñβ −→ 0(C/C )/C = ↑ ց ↑(5.10)0 −→ γ. ñèëó ïðèíöèïà ñîêðàùåíèÿ, ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ýòó îïåðàöèþ (àêòîðèçóÿ âåðõíþþ ãðàíü òðåõìåðíîãî êóáà ïî ñîîòâåòñòâóþùèì åé êîìïëåêñàì C ′ è ïî C ′′′ ) äëÿ äâóõ êóáîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 5.2 (òîëüêî äëÿ èõâåðõíèõ ãðàíåé).  èòîãå ïîëó÷èì êóáû, ïîêàçàííûå íà ðèñ.
5.3.′′′′èñ. 5.3. Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî Ω3Èìååò ìåñòî èçîìîðèçì ïðîñòðàíñòâ öåïåé ïîëó÷åííûõ äâóõ êîìïëåêñîâ (èçîìîðèçì óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèÿ Y, êîòîðîåîñòàâëÿåò íåèçìåííûìè íèæíèå óðîâíè, ïîêàçàííûå íà ðèñ. 5.3. è îòîáðàæàåò ïàðó (β1 , γ1 ) â ïàðó (β2 , γ2 ) íà âåðõíåì óðîâíå).Òîò àêò, ÷òî Y â äåéñòâèòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì ëèíåéíûõïðîñòðàíñòâ, î÷åâèäåí. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå äî-Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2214ñòàâëÿåò èçîìîðèçì ãîìîëîãèé êîìïëåêñîâ, íàì íåîáõîäèìî óñòàíîâèòüåãî êîììóòàòèâíîñòü ñ îòîáðàæåíèÿìè íà âåðòèêàëüíûõ ðåáðàõ. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî τ1 ◦ d1∗01 = d2∗01 è d1∗10 = τ2 ◦ d2∗10 .Òåîðåìà 5.1. äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 5.4.Âñå òå æå ðàññóæäåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ê ëþ-áûì êóáàì (íàïðèìåð, ê òàêèì, ó êîòîðûõ èìåþòñÿ äèåðåíöèàëû ïðîèçâîëüíîãî âèäà, îòíîñÿùèåñÿ ê ïåðåñòðîéêàì âèäà1 → 1).Íàçîâåì âûñîòîé h(Kh(K)) ãîìîëîãèé Õîâàíîâà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ K ðàçíîñòü ìåæäó ñòàðøåé è ìëàäøåé íåíóëåâîé êâàíòîâûìè ãðàäóèðîâêàìè íåíóëåâûõ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ K .Âûñîòà ãîìîëîãèé Õîâàíîâà ÿâëÿåòñÿ óòî÷íåíèåì äëèíû ñêîáêè Êàóìàíà: ïîñëåäíÿÿ îòâå÷àåò çà íåñîêðàùàåìîñòü ñòàðøåãî è ìëàäøåãî ìîíîìîâ â ðàçëîæåíèè (4.1); â òî æå âðåìÿ öåïè êîìïëåêñà Õîâàíîâà íàõîäÿòñÿ â åñòåñòâåííîì âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìîíîìàìè òîé æåñêîáêè, óìíîæåííîé íà (−a2 − a−2 ).spanhKiÏî ïîñòðîåíèþ ÿñíî, ÷òî h(Kh(K)) − 2 >.2Îòìåòèì, ÷òî êîìïëåêñ C(L) ðàñïàäàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó äâóõ êîìïëåêñîâ: ÷åòíîé ãðàäóèðîâêè è íå÷åòíîé ãðàäóèðîâêè (íàïîìíèì, ÷òî äèåðåíöèàë ñîõðàíÿåò ãðàäóèðîâêó).Ìû ïîëó÷àåì äâà òèïà ãîìîëîãèé Õîâàíîâà: ÷åòíûé Khe è íå÷åòíûéKho .Îíè ñîîòâåòñòâóþò ìîíîìàì ïîëèíîìà Äæîíñà, èìåþùèì ñòåïåíè, äàþùèå îñòàòîê äâà ïðè äåëåíèè íà ÷åòûðå (Khe ) è ìîíîìàì, ñòåïåíè êîòîðûõäåëÿòñÿ íà ÷åòûðå áåç îñòàòêà (Kho ).
Ó êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ ãîìîëîãèè òîëüêî îäíîãî èç ýòèõ äâóõ òèïîâ, áîëåå òî÷íî, èìååòìåñòî ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 5.2. Äëÿ êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ ñ ÷åòíûì ÷èñëîì êîìïîíåíòKho ∼= 0,e ∼Kh = 0.èìååò ìåñòîêîìïîíåíòäëÿ êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ ñ íå÷åòíûì ÷èñëîìÝòà òåîðåìà ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ïðåäëîæåíèþ 4.1 î ñòåïåíÿõ ìîíîìîâ, âõîäÿùèõ â ïîëèíîì Äæîíñà.Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2215Áîëåå òîãî, ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòà òåîðåìà âåðíà íå òîëüêî äëÿ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé, íî è äëÿ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, èìåþùèõ äèàãðàììó ñ îðèåíòèðóåìûì àòîìîì.àññìîòðèì äèàãðàììó çàöåïëåíèÿ L, èçîáðàæåííóþ â ïðàâîì íèæíåìóãëó íà ðèñ.
5.4.èñ. 5.4. Âèðòóàëüíûé óçåë ñ íåîðèåíòèðóåìûì àòîìîì ðîäà 2 ëåâîì âåðõíåì óãëó òîãî æå ðèñóíêà èçîáðàæåíà õîðäîâàÿ äèàãðàììà,ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòàðøåìó ñîñòîÿíèþ ñêîáêè Êàóìàíà äàííîé äèàãðàììû.  ýòîì ñîñòîÿíèè èìååòñÿ îäíà îêðóæíîñòü, è â ëþáîì èç ÷åòûðåõïåðåêðåñòêîâ îíà ïåðåñòðàèâàåòñÿ ïî ïóíêòèðíîé (îòðèöàòåëüíîé) õîðäå âîäíó îêðóæíîñòü.Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî ýòî çàöåïëåíèå íå èìååò äèàãðàìì, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
