Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 38
Текст из файла (страница 38)
, n−1 äèàãðàììà Li+1 ïîëó÷àåòñÿ èç äèàãðàììûïðèìåíåíèåì îäíîãî èç îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Äâèæåíèå îáúåçäà, ïðèìåíåííîå ê äèàãðàììåD, èíäóöèðóåò êîìïîçèöèþ äâèæåíèé îáúåçäà äëÿ äèàãðàììû Dm (L).Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäëîæåíèåì 5.2. Äëÿ êàæäîãî óäâîåííîãî åéäåìåéñòåðà èç öåïî÷êè îò D2 (L) ê D2 (L′ ) óêàæåì, êàê èçìåíÿåòñÿ ñòðóêòóðàèñòî÷íèê-ñòîê. Ýòî ñäåëàíî íà ðèñ. 5.9,5.10,5.11. íåêîòîðûõ î÷åâèäíûõ ñëó÷àÿõ ñòðåëêè íà ðèñ. 5.9,5.11 îçíà÷àþò íåîäíî, à äâà ñèììåòðè÷íûõ êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà èëèæå íåñêîëüêî äâèæåíèé, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèìåíåíèÿ êîòîðûõ î÷åâèäíà.
Èõ ìîæíî ïðèìåíèòü îäíî çà äðóãèì, è ïðè ýòîì â ñëó÷àå ëþáîãî èçÄîêàçàòåëüñòâî ëåììû 5.4.5.4. Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ227èñ. 5.9. Óäâîåííîå äâèæåíèå Ω1èñ. 5.10. Óäâîåííîå äâèæåíèå Ω2èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 5.9,5.10,5.11 ïðåîáðàçîâàíèé ëåãêî âèäåòü, ÷òî òàêîå ïîñëåäîâàòåëüíîå ïåðåñòðàèâàíèå âëå÷åò è îäíîçíà÷íîå ïåðåñòðàèâàíèå ñòðóêòóðû èñòî÷íèê-ñòîê.Îòìåòèì ñëåäóþùåå. Ïðè ïîñòðîåíèè êîìïëåêñà C äëÿ âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü ëèøü êëàññè÷åñêèå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, òàê êàê äâèæåíèå îáúåçäà íå ìåíÿåò àòîìà.Èòàê, ðàññìîòðèì âñå êëàññè÷åñêèå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.Åñëè äèàãðàììû K è K ′ îòëè÷àþòñÿ ïðèìåíåíèåì ïåðâîãî èëè òðåòüåãîäâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, òî ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà èñòî÷íèê-ñòîê äëÿ äèàãðàììû K îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò ëîêàëüíîé ñòðóêòóðå èñòî÷íèê-ñòîê5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ228èñ. 5.11. Óäâîåííîå äâèæåíèå Ω3äëÿ K ′ òàêèì îáðàçîì, ÷òî âíå îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ýòè äèàãðàììû ñîâïàäàþò. Çäåñü íà ëèíèÿõ, èçîáðàæåííûõ ïóíêòèðîì,ñòðóêòóðà èñòî÷íèê-ñòîê çàäàåòñÿ êàê ïðîòèâîïîëîæíàÿ ê ïðèìûêàþùèìê íèì ñïëîøíûì ëèíèÿì, ñì. ðèñ. 5.12.èñ. 5.12. àçìåòêà äëÿ óäâîåííûõ äâèæåíèé Ω1 è Ω3Ó âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà åñòü äâà ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ ñëó-5.4. Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ229÷àÿ.
Îíè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 5.13.èñ. 5.13. àçìåòêà äëÿ óäâîåííûõ äâèæåíèé Ω2 ïåðâîì èç íèõ (âåðõíÿÿ êàðòèíêà) ìû èìååì äâå ïðîòèâîíàïðàâëåííûå äóãè (ñîãëàñíî îðèåíòàöèè èñòî÷íèê-ñòîê), à âî âòîðîì ñëó÷àå äâåñîíàïðàâëåííûå. ïåðâîì ñëó÷àå óêàçàíî, êàê ïåðåñòðàèâàåòñÿ ëîêàëüíàÿ ðàçìåòêà ðåáåðäèàãðàììû è ñòðóêòóðà èñòî÷íèê-ñòîê.Âòîðîé ñëó÷àé íå äîïóñòèì, ò.å.
ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà àòîì ïåðåñòàíåò áûòü îðèåíòèðóåìûì.Òàêèì îáðàçîì, èç êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà òîëüêî îäèíñëó÷àé (óâåëè÷èâàþùåãî) âòîðîãî äâèæåíèÿ ìîæåò íàðóøèòü îðèåíòèðóåìîñòü àòîìà. Ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ, îïèñûâàåìûõ â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû5.4, ýòîò ñëó÷àé íå âñòðå÷àåòñÿ.Çàìå÷àíèå 5.9.Ìîæíî ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî äèàãðàìì âèðòóàëü-íûõ óçëîâ ñ îðèåíòèðóåìûìè àòîìàìè è íàáîð äâèæåíèé íà íåì, ñîñòîÿùèé èç âñåõ îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà, íå íàðóøàþùèõ ñâîéñòâà îðèåíòèðóåìîñòè (ò.å. äâèæåíèå îáúåçäà, ïåðâîå è òðåòüå êëàññè÷åñêèå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà è îðèåíòèðóåìàÿ âåðñèÿ âòîðîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà).Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî èññëåäîâàëîñü Íàîêî Êàìàäîé, ñì. [Kam.N1,Kam.N2, KNS℄. ÷àñòíîñòè, èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðàññóæäåíèé(ëåììà5.3) ñëåäó-5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ230åò, ÷òî êîìïëåêñ Õîâàíîâà êîððåêòíî îïðåäåëåí íàä ëþáûì êîëüöîì êîýèöèåíòîâ è èíâàðèàíòåí â êàòåãîðèè îðèåíòèðóåìûõ âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé.Òåîðåìà 5.3. Ïóñòü n íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà Kh(D2n (L)) ÿâëÿåòñÿèíâàðèàíòîì îñíàùåííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 5.2, C(D2n (L)) ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûì êîìïëåêñîì.
Ïóñòü òåïåðü L, L′ äâå ýêâèâàëåíòíûå äèàãðàììû îñíàùåííûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé. Òîãäà â ñèëó ëåììû 5.4 ñóùåñòâóåò íàáîð âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì D2n (L) = L0 , . . . , Ln = D2n (L′ ), ñîîòâåòñòâóþùèõ îðèåíòèðóåìûì àòîìàì, ïðè ýòîì äèàãðàììà Li+1 ïîëó÷àåòñÿ èç äèàãðàììû Li ïðèìåíåíèåì îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Ïî ëåììå 5.2, äëÿ êàæäîé èç äèàãðàìì Lj êîððåêòíî îïðåäåëåíû ãîìîëîãèè Kh(D2n (Lj )). Èíâàðèàíòíîñòü ãîìîëîãèé Kh îòíîñèòåëüíî äâèæåíèÿîáúåçäà î÷åâèäíà ïî ïîñòðîåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó ëåììû 5.3 (â êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèéåéäåìåéñòåðà), ìû èìååì Kh(D2n (L)) = Kh(L1 ) = · · · = Kh(D2n (L′ )).Òåîðåìà äîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî.Îòìåòèì, ÷òî óäâîåíèå äèàãðàììû L è óäâîåíèå äèàãðàììû L′ , ïîëó÷åííîé èç L âèðòóàëèçàöèåé îäíîãî èç ïåðåêðåñòêîâ, èìåþò ðàçëè÷íûå êóáûñîñòîÿíèé.
Òàê ÷òî ïîñòðîåííûé â íàñòîÿùåì ðàçäåëå êîìïëåêñ ìîæåò apriori ðàçëè÷àòü îñíàùåííûå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû, ïîëó÷åííûå äðóã èçäðóãà âèðòóàëèçàöèåé.Îäíàêî ïîñòðîåííûé â íàñòîÿùåì ðàçäåëå óäâîåííûé êîìïëåêñ Õîâàíîâà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî êîìïëåêñà Õîâàíîâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ: êàê â êëàññè÷åñêîì, òàê è â âèðòóàëüíîì ñëó÷àå íàì íóæíîáðàòü óäâîåíèå, è ïîñëå ýòîãî ñ÷èòàòü ãîìîëîãèè Õîâàíîâà.Åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î òîì, èíâàðèàíòíû ëè îáû÷íûå ãîìîëîãèè Õîâàíîâà Kh(L) â ñëó÷àå äèàãðàìì, êîòîðûì îòâå÷àþò îðèåíòèðîâàííûå àòîìû. Ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåòñÿ (ñ íåêòîðûìèîãðàíè÷åíèÿìè) â ñëåäóþùåì ðàçäåëå è (ïîëíîñòüþ) â ñëåäóþùåé ãëàâå.5.5. Àòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà2315.5. Àòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâàäâóëèñòíûõ íàêðûòèéÎñíîâíîé öåëüþ íàñòîÿùåãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé òåîðåìû.Òåîðåìà 5.4.ÏóñòüF ïîëå.
ÏóñòüL, L′ äâå ýêâèâàëåíòíûå âèð-òóàëüíûå äèàãðàììû, êîòîðûì îòâå÷àþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû. Òîãäà èìååò ìåñòî èçîìîðèçì ãðàäóèðîâàííûõ ãðóïï ãîìîëîãèéKhF (L′ ).KhF (L) ∼=Îñíîâíàÿ èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Äëÿ êàæäîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû L ìîæíî ðàññìîòðåòü ñîîòâåòñòâóþùèé åé àòîì V (L).Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü òåõíèêó îðèåíòèðóþùåãî íàêðûòèÿ. À èìåííî,åñëè àòîì V (L) îðèåíòèðóåì, ðàññìîòðèì äâå êîïèè àòîìà V (L), åñëèíåò, òî ðàññìîòðèì àòîì Ṽ (L) îðèåíòèðóþùåå äâóëèñòíîå íàêðûòèå íàäàòîìîì V (L). Îíî îïðåäåëÿåòñÿ êàê äâóëèñòíîå íàêðûòèå íàä ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòüþ, ïðè ýòîì ïðîîáðàçîì îñòîâà ÿâëÿåòñÿ ãðà, êîòîðûéìû áåðåì çà îñòîâ, ïðîîáðàçîì ÷åðíûõ êëåòîê ïàðû ÷åðíûõ êëåòîê, àïðîîáðàçîì áåëûõ êëåòîê ïàðû áåëûõ êëåòîê. Ïîëó÷åííûé àòîì ìîæåòáûòü ëèáî äâóõêîìïîíåíòíûì, ëèáî îäíîêîìïîíåíòíûì, â çàâèñèìîñòè îòòîãî, ÿâëÿåòñÿ èñõîäíûé àòîì îðèåíòèðîâàííûì èëè íåò.Îáîçíà÷èì âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëó÷åííîìó àòîìó Ṽ (L), ÷åðåç K(Ṽ (L)).Åñëè ïðèìåíÿòü êëàññè÷åñêîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà Ωi ê èñõîäíîéäèàãðàììå L, ê äèàãðàììå K(Ṽ (L)) áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ äâèæåíèå Ωi â äâóõìåñòàõ, ïðè ýòîì â ñëó÷àå äâèæåíèÿ Ω2 ê äèàãðàììå K(Ṽ (L)) áóäåò äâàðàçà ïðèìåíÿòüñÿ äîïóñòèìûé âàðèàíò âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.Ýòó êîíñòðóêöèþ ìîæíî òðàêòîâàòü òàê: ìû ðàññìàòðèâàåì äâà íàáîðàïåðåêðåñòêîâ àòîìà ñ Añòðóêòóðîé â íèõ è ñîåäèíÿåì ïåðåêðåñòêè ðåáðàìè.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî âèðòóàëüíîãî óçëà ìîæíî ðàññìîòðåòü åãîíàêðûòóþ âåðñèþ:Àòîìû è êîìïëåêñ ÕîâàíîâàL → V (L) → Ṽ (L) → KhF (K(Ṽ (L)))232(5.12)Èñõîäÿ èç äèàãðàìì óçëîâ ýòà êîíñòðóêöèÿ îïèñûâàåòñÿ òàê.
Ïóñòü äàíîâèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L, ó êîòîðîãî èìååòñÿ n êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ X1 , . . . , Xn . Ýòè ïåðåêðåñòêè êàê-òî ñîåäèíÿþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Òàêèìîáðàçîì, ìû èìååì ãðà Γ, ïîãðóæåííûé íà ïëîñêîñòü. Ó êàæäîãî èç ïåðåêðåñòêîâ Xi èìååòñÿ ïî ÷åòûðå êîíöà Xi1 , Xi2 , Xi3 , Xi4 ïåðåíóìåðîâàííûå,ñêàæåì, ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ïðè ýòîì ïåðåêðåñòêè ñîåäèíÿþòñÿ âåòâÿìèóçëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ðåáðà àòîìà. Ïóñòü ðåáðî lj ñîåäèíÿåò êîíöûXj1 j2 è Xj3 j4 , ãäå j2 , j4 ∈ {1, 2, 3, 4}.Äèàãðàììà K(Ṽ (L)) ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îíà ñîäåðæèò 2n ïåðåêðåñòêîâ X1′ , .
. . , Xn′ , X1′′ , . . . , Xn′′ , êîòîðûå ñîåäèíÿþòñÿ âåòâÿìè. Ó êàæäîé âåòâè lj èñõîäíîé äèàãðàììû ïîÿâëÿþòñÿ äâà îáðàçà: lj1 è lj2 . Êàæäîå èçäâóõ ðåáåð lji ñîåäèíÿåò êîíåö Xj′1 j2 èëè Xj′′1 j2 ñ êîíöîì Xj′3 j4 èëè Xj′′3 j4 . Äëÿêàæäîãî ðåáðà lj1 íàì íóæíî óêàçàòü, êàêèå èìåííî êîíöû îíî ñîåäèíÿåò(X ′ èëè X ′′ ). Çäåñü ó íàñ èìååòñÿ ïðîèçâîë â îïèñàíèè. Äåëî â òîì, ÷òî äîòîãî, êàê ìû íà÷àëè îïèñûâàòü ðåáðà, ìû íå èìåëè åñòåñòâåííîãî óïîðÿäî÷åíèÿ âåðøèí: êàêàÿ èç âåðøèí Xi′ èëè Xi′′ ïåðâàÿ, à êàêàÿ âòîðàÿ.Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîé òðóäíîñòè âûáåðåì íåêîòîðîå ìàêñèìàëüíîå äåðåâî∆ â ãðàå Γ è ñêàæåì, ÷òî âñå ðåáðà lj1 , ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðàì ýòîãî äåðåâà, ñîåäèíÿþò êîíöû Xj′1 j2 ñ Xj′3 j4 (òåì ñàìûì, ðåáðà lj2 ñîåäèíÿþò êîíöûXj′′1 j2 è Xj′′3 j4 ).Âûáîð äðóãîãî äåðåâà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñìåíå îáîçíà÷åíèé: â íåêîòîðûõ ïàðàõ Xj′ è Xj′′ ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè.
Ïîñëå ýòîãî ïðàâèëî ñîåäèíåíèÿ îñòàâøèõñÿ êîíöîâ ðåáðàìè li1 è li2 òàêîâî. Ìû îïÿòü ïîçâîëèì ñåáåíåêîòîðûé ïðîèçâîë: óêàçûâàÿ, êàêèå ïàðû êîíöîâ íóæíî ñîåäèíèòü ðåáðîì li· , ìû íå áóäåì óêàçûâàòü, ñîåäèíÿåì ìû èõ ðåáðîì li1 èëè ðåáðîìli2 : ñîîòâåòñòâóþùàÿ èì ñèììåòðè÷íàÿ ïàðà êîíöîâ, ïîëó÷àþùàÿñÿ çàìåíîé X ′ ←→ X ′′ áóäåò òàêæå ñîåäèíåíà ðåáðîì, ïðè ýòîì äëÿ ïîñòðîåíèÿäèàãðàììû óçëà íàì íå âàæíî, êàê ýòè äâà ðåáðà îáîçíà÷àþòñÿ.Òàêæå ìû íå áóäåì ñëåäèòü çà òåì, êàê èìåííî íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû ðåáðà liα : ðåçóëüòèðóþùèé êëàññ âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ îò ýòîãîçàâèñåòü íå áóäåò (ïî ïîñòðîåíèþ äèàãðàììû áóäóò ïîëó÷àòüñÿ äðóã èçÀòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà233äðóãà ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì äâèæåíèÿ îáúåçäà).Èòàê, ìû èêñèðîâàëè ìàêñèìàëüíîå äåðåâî ∆ ⊂ Γ. Êàæäîå ðåáðî lj ,íå ïðèíàäëåæàùåå ýòîìó äåðåâó, çàäàåò ìèíèìàëüíûé öèêë íà ïîäãðàå∆ ∪ lj ⊂ Γ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
