Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ222ëèáî îáå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî èç ýòîãî ñëåäóåòîðèåíòèðóåìîñòü àòîìà.ðàíèöà êàæäîé ÷åðíîé êëåòêè àòîìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öèêë, ñîñòîÿùèé èç ïîäðÿä èäóùèõ ðåáåð, ïðè ýòîì êàæäîå ñëåäóþùåå ðåáðî íå ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ïðåäûäóùåìó ñîãëàñíî A-ñòðóêòóðå. Òàê êàê âêàæäîé âåðøèíå âûïîëíåíî óñëîâèå èñòî÷íèê-ñòîê, òî öèêë ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, ò.å. ïðåäñòàâèìûì â âèäå îòîáðàæåíèÿ îðèåíòèðîâàííîéîêðóæíîñòè, ïðè ýòîì îðèåíòàöèÿ ðåáåð ñîãëàñîâàíà ñ îðèåíòàöèåé îêðóæíîñòè.
Îðèåíòàöèÿ ãðàíèöû êëåòêè çàäàåò îðèåíòàöèþ è íà âíóòðåííîñòèýòîé êëåòêè: äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûáðàòü ðåïåð, ïåðâûé âåêòîð êîòîðîé îðèåíòèðîâàí ïî îäíîìó èç ðåáåð ãðàíèöû, à âòîðîé íàïðàâëåí âíóòðüêëåòêè. Ïðîäåëàåì ýòî äëÿ êàæäîé ÷åðíîé êëåòêè. Íàëè÷èå ñòðóêòóðûèñòî÷íèê-ñòîê â êàæäîé âåðøèíå îçíà÷àåò, ÷òî îðèåíòàöèè êëåòîê, ñîñåäñòâóþùèõ ïî âåðøèíå, ñîãëàñîâàíû. Îðèåíòàöèÿ ëåãêî ïðîäîëæàåòñÿ è íàáåëûå êëåòêè.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî àòîì îðèåíòèðîâàí. Ôèêñèðóåì îðèåíòàöèþàòîìà ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì è çàäàäèì îðèåíòàöèþ ðåáåð àòîìà òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû äëÿ êàæäîé ÷åðíîé êëåòêè C è êàæäîãî ðåáðà e, åé èíöèäåíòíîãî, îðèåíòàöèÿ ïàðû âåêòîðîâ ~e, ν áûëà ïîëîæèòåëüíîé, ãäå ν íîðìàëüíûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé îò òî÷êè íà ðåáðå e âíóòðü êëåòêè C ,à ~e âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü ðåáðà ñîãëàñíî âûáðàííîé îðèåíòàöèè.Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ îðèåíòàöèÿ ðåáåð áóäåò çàäàâàòü ñòðóêòóðóèñòî÷íèê-ñòîê.Çàìå÷àíèå 5.7.
Èç ïðåäëîæåíèÿ 5.1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè íåêîòîðûé àòîì(M, Γ) ñ îñòîâîì Γ îðèåíòèðóåì, òî òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ è ëþáîé′àòîì (M , Γ) ñ òåì æå îñòîâîì è òîé æå A-ñòðóêòóðîé).Çàìå÷àíèå 5.8.äðóãîéÑòðóêòóðà èñòî÷íèê-ñòîê, çàäàííàÿ íà âñåì àòîìå,îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ äëÿ îêðóæíîñòåé âîâñåõ ñîñòîÿíèÿõ ñêîáêè Êà-óìàíà ñîîòâåòñòâóþùåãî óçëà. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïîñòðîèòü íåêîòîðóþ äèàãðàììó, ïîëó÷åííóþ ñãëàæèâàíèåì íåêîòîðûõ ïåðåêðåñòêîâè óäàëåíèåì ñâîáîäíûõ îêðóæíîñòåé, íå èíöèäåíòíûõ âûáðàííûì ïåðåêðåñòêàì, òî îñòîâ àòîìà, ñîîòâåòñòâóþùåãî íîâîé äèàãðàììå, áóäåò5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ223íàñëåäîâàòü ñòðóêòóðó èñòî÷íèê-ñòîê èç èñõîäíîé, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííûé àòîì áóäåò îðèåíòèðîâàííûì.Èç ïðåäëîæåíèÿ 5.1 âûòåêàåò, ÷òî åñëè àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé âèðòóàëüíîé äèàãðàììå L îðèåíòèðóåì, òî íà êóáå ïåðåñòðîåê, ñîîòâåòñòâóþùåìäèàãðàììå L, íåò ïåðåñòðîåê òèïà 1 → 1. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì îñòîâΓ ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà. Êàæäîå ñîñòîÿíèå äèàãðàììû L ïðåäñòàâëÿåòñîáîé íåêîòîðûé àòîì, èìåþùèé îñòîâ Γ: îêðóæíîñòè ñîñòîÿíèÿ ñëóæàòäëÿ ïðèêëåéêè ÷åðíûõ êëåòîê äëÿ îñòîâà Γ. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 5.1 íîâûé àòîì òàêæå ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ó ýòîãî àòîìà íåìîæåò ñóùåñòâîâàòü ÷åðíîé êëåòêè, ïîäõîäÿùåé ê ñåáå íåîðèåíòèðóåìûìñïîñîáîì (òàê, ÷òî ïåðåñòðîéêà â ïåðåêðåñòêå, ãäå ýòà êëåòêà ïîäõîäèò êñåáå íå ìåíÿåò êîëè÷åñòâà îêðóæíîñòåé).Îáðàòíî, íàëè÷èå ïåðåñòðîéêè òèïà 1 → 1, î÷åâèäíî, ïðîòèâîðå÷èò ñóùåñòâîâàíèþ ñòðóêòóðû èñòî÷íèê-ñòîê.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, êóáû ïåðåñòðîåê êîððåêòíî îïðåäåëåíû, à èìåííî, âñåïåðåñòðîéêè èìåþò âèä 1 → 2 è 2 → 1, ÷àñò÷èíûå äèåðåíöèàëû îïðåäåëÿþòñÿ ïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèé m è ∆, äèåðåíöèàë çàäàåòñÿ â âèäåñóììû ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ ñî çíàêàìè, à êîððåêòíàÿ îïðåäåëåííîñòü ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî êëàññè÷åñêîìó ñëó÷àþ.Îòìåòèì ñëåäóþùèå äâå âàæíûå ëåììû.Ëåììà 5.2.
Ïóñòü L âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðóåìûé àòîì. Òîãäà íàáîð ãðóïï2ëîì ∂ çàäàåò êîìïëåêñ, ò.å. ∂ = 0.[[L]]âìåñòå ñ äèåðåíöèà-Íàì íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà [[L]] ÿâëÿåòñÿ àíòèêîììóòàòèâíîé. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðîâåðêå êîììóòàòèâíîñòè äâóìåðíûõ ãðàíåé äî âíåñåíèÿ çíàêîâ ±1.Êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà [[L]] çàäàåò àòîì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè.Êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ñïîñîáó ñãëàæèâàíèÿ íåêîòîðûõ (n − 2) êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû L, ñì. ðèñ.6.7. Îñòàâøèåñÿ äâà ïåðåêðåñòêà ìîãóò áûòü ñãëàæåíû ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì; ÷åòûðå âîçìîæíîñòè òàêîãî ñãëàæèâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþò âåðøèíàìÄîêàçàòåëüñòâî.5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ224äâóìåðíîé ãðàíè.Äëÿ ýòèõ ÷åòûðåõ ñîñòîÿíèé èìååòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî îáùèõ îêðóæíîñòåé, íå èíöèäåíòíûõ íèêàêîìó èç äâóõ ðàññìàòðèâàåìûõ ïåðåêðåñòêîâ.Ïîñëå óäàëåíèÿ ýòèõ îêðóæíîñòåé ìû ïîëó÷àåì àòîì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè.Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü, êîòîðàÿ ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü íåêîòîðîìó àòîìó ñ äâóìÿ âåðøèíàìè, çàäàåòàíòèêîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó.Òàê êàê àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé äèàãðàììå L, ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì,òî òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ è àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé ëþáîé äâóìåðíîé ãðàíèñîîòâåòñòâóþùåãî êîìïëåêñà (ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 5.8).Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü òåîðåìîé èç [Ìàí-1℄ î òîì, ÷òî âñå îðèåíòèðóåìûåàòîìû ñ äâóìÿ âåðøèíàìè ÿâëÿþòñÿ âûñîòíûìè.Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàæäûé àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé äâóìåðíîé ãðàíè êóáà ïåðåñòðîåê, îòâå÷àþùåé îðèåíòèðóåìîìó àòîìó, âñòðå÷àåòñÿ â ñëó÷àåêëàññè÷åñêèõ óçëîâ.
Âñå òàêèå äâóìåðíûå ãðàíè ïåðåáðàíû â [BN1℄ è äëÿíèõ äîêàçàíà êîììóòàòèâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé äèàãðàììû (äî âíåñåíèÿçíàêîâ äèåðåíöèàëîâ).Ïîñëå ýòîãî äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè êîìïëåêñà äîñëîâíî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå (ñì., íàïð., [BN1℄)è ñëåäóåò èç ïðîâåðêè ñâîéñòâ îòîáðàæåíèé m è ∆.Òåì ñàìûì ïîêàçàíî, ÷òî íàáîð öåïåé [[K]] ñ äèåðåíöèàëîì ∂ çàäàåòàíòèêîììóòàòèâíûé êóá.Òàêèì îáðàçîì, êîððåêòíî îïðåäåëåí êîìïëåêñ C(L).Îáîçíà÷èì ãîìîëîãèè ïîëó÷åííîãî êîìïëåêñà ÷åðåç Kh(L).Ëåììà 5.3.ÏóñòüL, L′ äâå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû, êîòîðûì ñî′îòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, ïðè ýòîì L îòëè÷àåòñÿ îò Lïðèìåíåíèåì îáúåçäà èëè îäíîãî èç òðåõ êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.
Òîãäà èìååò ìåñòî èçîìîðèçì ãîìîëîãèé ÕîâàíîâàKh(L′ ).Kh(L) ∼=Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû. Ïðè ïðèìåíåíèè äâèæåíèé îáúåçäàíå ìåíÿåòñÿ êóá ñîñòîÿíèé, è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíÿåòñÿ è âåñü êîìïëåêñ. ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà ìû èñïîëüçóåì â5.4.
Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ225òî÷íîñòè òî æå äîêàçàòåëüñòâî (ïî Áàð-Íàòàíó), èñïîëüçóþùåå ïðèíöèïñîêðàùåíèÿ, êîòîðîå ðàíåå áûëî èñïîëüçîâàíî äëÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà ïîìîäóëþ Z2 . Îíî ëîêàëüíîå, ò.å. èñïîëüçóåò òîëüêî ëîêàëüíóþ ñòðóêòóðóäâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà (âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê âûãëÿäèò íåïîäâèæíàÿ ÷àñòü çàöåïëåíèÿ). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â ýòîì äîêàçàòåëüñòâåíèãäå íå èñïîëüçîâàëîñü òî, ÷òî êîëüöîì êîýèöèåíòîâ ÿâëÿåòñÿ ïîëå Z2(èñïîëüçîâàëàñü èíúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ ∆ è ñþðúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ m).
Ñëåäîâàòåëüíî, îíî äîñëîâíî ïðîõîäèò è äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâïðè óñëîâèè, ÷òî âñå êîìïëåêñû êîððåêòíî îïðåäåëåíû. Òåì ñàìûì ëåììàäîêàçàíà.Ïðåäëîæåíèå 5.2.ÏóñòüL ïðîèçâîëüíàÿ äèàãðàììà âèðòóàëüíîãîçàöåïëåíèÿ. Òîãäà àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé óäâîåíèþD2 (L),ÿâëÿåòñÿîðèåíòèðóåìûì.Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 5.2 âûâîäèòñÿ èç ïðåäëîæåíèÿ 5.1 ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü L âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà. Îðèåíòèðóåì äèàãðàììó D2 (L) òàê,÷òîáû äëÿ êàæäîé òî÷êè A íà äèàãðàììå çàöåïëåíèÿ ðåïåð (∂LA , τA ), çàäàâàë ïîëîæèòåëüíóþ îðèåíòàöèþ ïëîñêîñòè, ñì. ðèñ. 5.8.6¾q6∂LA-τAA?èñ. 5.8.
Ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ äëÿ óäâîåííîé äèàãðàììûÇäåñü ∂L êàñàòåëüíûé âåêòîð ê çàöåïëåíèþ, à τA ïåðïåíäèêóëÿðíûéâåêòîðó ∂L âåêòîð îò òî÷êè A ê áëèçêîé òî÷êå íà ñîñåäíåé êîìïîíåíòå.5.4. Êîìïëåêñ Õîâàíîâà óäâîåíèé óçëîâ226Èñêîìàÿ ñòðóêòóðà èñòî÷íèê-ñòîê ïîëó÷àåòñÿ òàê: âñå ðåáðà (ò.å. îáðàçûðåáåð ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà) òåíè äèàãðàììû D2 (L) äåëÿòñÿ íà äëèííûå (êîòîðûå ïðîèñõîäÿò èç ðåáåð àòîìà, ñîîòâåòñòâóþùåãî äèàãðàììå L)è êîðîòêèå (÷åòûðå êîðîòêèõ ðåáðà ñîîòâåòñòâóþò êàæäîìó ïåðåêðåñòêó äèàãðàììû L, ñì. ðèñ.
5.8). Ñìåíèì îðèåíòàöèþ âñåõ êîðîòêèõ ðåáåð,îñòàâèâ îðèåíòàöèþ äëèííûõ íåèçìåííîé. Ïîëó÷åííàÿ îðèåíòàöèÿ ñ î÷åâèäíîñòüþ çàäàåò ñòðóêòóðó èñòî÷íèê-ñòîê.Ó÷èòûâàÿ ïðåäëîæåíèå 5.2 è ëåììó 5.2, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî êîìïëåêñ Õîâàíîâà äëÿ êàáåëåé D2n (L) êîððåêòíî îïðåäåëåí íàä ëþáûì êîëüöîì êîýèöèåíòîâ. Îòîáðàæåíèå L 7→ D2n (L) ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè èíâàðèàíòíûì (îíî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âñåõ êîìáèíàöèé ïðåîáðàçîâàíèé åéäåìåéñòåðà, êîòîðûå íå ìåíÿþò ÷èñëà çàêðó÷åííîñòè w). Ïî ýòîé ïðè÷èíååñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ãîìîëîãèè êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ óäâîåíííîãî(óäâîåíèå, óòðîåíèå è, áîëåå îáùî, îïåðàöèÿ âçÿòèÿ k -êàáåëÿ äèàãðàììûK → Dk (K) áûëî îïðåäåëåíî íà ñòð.
174) óçëà ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìèîñíàùåííûõ çàöåïëåíèé. À èìåííî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿËåììà 5.4.ÏóñòüL, L′ äâå äèàãðàììû ýêâèâàëåíòíûõ îñíàùåííûõâèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé. Òîãäà ñóùåñòâóåò íàáîð äèàãðàììL0 , L1 , . . . , Ln = D2 (L′ ), òàêîé ÷òî:1. Âñå àòîìû, ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììàì2. Äëÿ êàæäîãîLiLi ,D2 (L) =îðèåíòèðóåìû.i = 0, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
