Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿÒåîðèÿ Õîâàíîâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ, îïèñàííàÿ ðàíåå â íàñòîÿùåé ãëàâå íå åäèíñòâåííîå, ÷òî ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ìîäåëè Êàóìàíà è(àíòè)êîììóòàòèâíûõ êóáîâ ñîñòîÿíèé. Îáîáùåíèþ òåîðèè Õîâàíîâà, èñïîëüçóþùåìó ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ, íà êëàññè÷åñêèé è âèðòóàëüíûéñëó÷àè ïîñâÿùåí íàñòîÿùèé ðàçäåë äèññåðòàöèè.
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåãî ðàçäåëà îïóáëèêîâàíû â [Ma11℄.5.7.1. Ôðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿÏóñòü R, A êîììóòàòèâíûå êîëüöà, è ïóñòü ι : R → A âëîæåíèåêîììóòàòèâíûõ êîëåö, ïðè÷åì ι(1) = 1. Ôóíêòîð îãðàíè÷åíèÿ, ïåðåâîäÿùèé A-ìîäóëè â R-ìîäóëè èìååò ïðàâûé è ëåâûé ñîïðÿæåííûå óíêòîðû:óíêòîð èíäóêöèè Ind(M ) = A⊗R M è óíêòîð êîèíäóêöèè CoInd(M ) =HomR (A, M ). îâîðÿò, ÷òî ι ÿâëÿåòñÿ ðîáåíèóñîâûì âëîæåíèåì, åñëèóíêòîðû èíäóêöèè è êîèíäóêöèè èçîìîðíû. Ýêâèâàëåíòíî: âëîæåíèåι ÿâëÿåòñÿ ðîáåíèóñîâûì, åñëè óíêòîð îãðàíè÷åíèÿ èìååò äâóñòîðîííåäâîéñòâåííûé óíêòîð.
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî êîëüöî A ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðîáåíèóñîâî ðàñøèðåíèå íàä R ïîñðåäñòâîì ι.5.7. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ243Èìååò ìåñòî ñëåäóþùååÏðåäëîæåíèå 5.3 ([Kadi℄). Âëîæåíèå ι ÿâëÿåòñÿ ðîáåíèóñîâûì,åñëèA-áèìîäóëåé ∆ : A → A ⊗R A è îòîáðàæåíèå R-ìîäóëåé ε : A → R, òàêèå ÷òî ∆ ÿâëÿåòñÿ êîàññîöèàòèâíûì èêîììóòàòèâíûì êîóìíîæåíèåì, ïðè ýòîì (ε ⊗ Id)∆ = Id.ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèåÔðîáåíèóñîâî ðàñøèðåíèå âìåñòå ñ âûáîðîì ε è ∆ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçF = (R, A, ε, ∆) è íàçûâàåòñÿ ðîáåíèóñîâîé ñèñòåìîé, [Kadi℄.Ôðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ óäîáíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè êîãîìîëîãèéÕîâàíîâà ïî ñëåäóþùèì ïðè÷èíàì.
 ìîäóëå A, îïðåäåëåííîì íàä êîëüöîì R, åñòü äâå åñòåñòâåííûå îïåðàöèè: îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ è îïåðàöèÿêîóìíîæåíèÿ îïåðàöèÿ ∆.Ìû ñîáèðàåìñÿ èñïîëüçîâàòü ýòè îïåðàöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé. Ïðè ýòîì ìû (ïî î÷åâèäíûìïðè÷èíàì) îãðàíè÷èâàåìñÿ ëèøü ñëó÷àåì êîììóòàòèâíûõ êîëåö; êðîìå òîãî, ìû çàáûâàåì ïðî îïåðàòîð ε (ýòîò îïåðàòîð èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïðåäåëåíèè èíâàðèàíòîâ êîáîðäèçìîâ è äîêàçàòåëüñòâå óíêòîðèàëüíîñòè). Âîñòàëüíîì ìû ïðèäåðæèâàåìñÿ ðàáîòû Õîâàíîâà [Kh2℄.5.7.2.
Îïèñàíèå êîíñòðóêöèè Õîâàíîâàäëÿ ðîáåíèóñîâûõ ðàñøèðåíèéÊàê áûëî îïèñàíî ðàíåå â íàñòîÿùåé ãëàâå, ñòàíäàðòíàÿ òåîðèÿ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà ñòðîèòñÿ íàä íåêîòîðûì ïðîèçâîëüíûì êîëüöîì R (â êà÷åñòâå êîòîðîãî ìîãóò âûñòóïàòü, íàïðèìåð, êîëüöî Z èëè ïîëå Q èëèZp ), ïðè ýòîì ãîìîëîãèè òðèâèàëüíîãî óçëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãðàäóèðîâàííûé äâóìåðíûé ìîäóëü A íàä ýòèì êîëüöîì, ïîðîæäåííûé âåêòîðàìè v+ è v− ãðàäóèðîâêè +1 è −1 ñîîòâåòñòâåííî. Íà ýòèõ âåêòîðàõ îïðåäåëåíû äâà îòîáðàæåíèÿ: óìíîæåíèå m è êîóìíîæåíèå ∆. Åñëèñäâèíóòü ãðàäóèðîâêè âåêòîðîâ (÷òî ïîòðåáóåò íåçíà÷èòåëüíûõ èçìåíåíèé (ïåðåíîðìèðîâîê) â ïîñòðîåíèè òåîðèè ãîìîëîãèé), òî ìîæíî ïîëîæèòü degv+ = 0, degv− = 2.
Òîãäà ýëåìåíò v+ ìîæíî ñ÷èòàòü åäèíèöåé(îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç 1, à v− îáîçíà÷èì ÷åðåç X ), à îïðåäåëåííûå ðàíååóìíîæåíèå è êîóìíîæåíèå ïðåâðàòÿò ìîäóëü A â àëãåáðó Õîïà íàä R, â5.7. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ244êîòîðîé óìíîæåíèå çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó X 2 = 0, à êîóìíîæåíèå èìååò âèä∆(1) = 1 ⊗ X + X ⊗ 1, ∆(X) = X ⊗ X . ðàáîòå [Kh2℄ Ì.Õîâàíîâ ïîñòàâèë âîïðîñ: êàêîé ìîæåò áûòü ïàðà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ (A, R), ÷òîáû, âçÿâ R â êà÷åñòâå îñíîâíîãî êîëüöàêîýèöèåíòîâ, à A íåêîòîðóþ àëãåáðó Õîïà íàä êîëüöîì R â êà÷åñòâå êîëüöà ãîìîëîãèé òðèâèàëüíîãî óçëà îñíîâíîãî ñòðîèòåëüíîãîýëåìåíòà, ìû ìîãëè áû òî÷íî òàê æå ïîñòðîèòü èíâàðèàíòíóþ òåîðèþ ãîìîëîãèé äëÿ êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.
Ïîä òî÷íî òàê æå èìååòñÿâ âèäó, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì êóá ñîñòîÿíèé, â êàæäóþ âåðøèíó êîòîðîãî ñòàâèì òåíçîðíóþ ñòåïåíü ïðîñòðàíñòâà A (íàä R), ñîîòâåòñòâóþùóþêîëè÷åñòâó îêðóæíîñòåé â äàííîì ñîñòîÿíèè, îïðåäåëÿåì ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèé óìíîæåíèÿ è êîóìíîæåíèÿ, à çàòåìñòàâèì çíàêè íà ðåáðàõ êóáà è íîðìèðóåì âñþ êîíñòðóêöèþ ñäâèãàìè.Õîâàíîâ ïîêàçàë, ÷òî èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî äâèæåíèÿåéäåìåéñòåðà òðåáóåò äâóìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà A êàê R-ìîäóëÿ è ïðèâåë íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà òàêàÿ òåîðèÿ ãîìîëîãèé. òîé æå ðàáîòå [Kh2℄ ïîêàçàíî, ÷òî êàæäîå òàêîå ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ îïåðàöèé (çàìåíà áàçèñà, ñêðó÷èâàíèå è äâîéñòâåííîñòü) èç ñëåäóþùåãî ðåøåíèÿ, íàçûâàåìîãî óíèâåðñàëüíûì:1.
R = Z[h, t];2. A = R[X]/(X 2 − hX − t);3. degX = 2, degh = 2, degt = 4;4. ∆(1) = 1 ⊗ X + X ⊗ 1 − h1 ⊗ 1;5. ∆(X) = X ⊗ X + t1 ⊗ 1.Êàê ìû âèäèì, óìíîæåíèå â àëãåáðå A ñîõðàíÿåò ãðàäóèðîâêó, à êîóìíîæåíèå ïîâûøàåò åå íà äâà.Ìû îïóñêàåì íîðìàëèçàöèè, ðåãóëèðóþùèå ãðàäóèðîâêè.Íàçîâåì ýòó êîíñòðóêöèþ óíèâåðñàëüíîé (R, A)-êîíñòðóêöèåé. Ñîîòâåòñòâóþùèå ãîìîëîãèè (êëàññè÷åñêîãî îðèåíòèðîâàííîãî) çàöåïëåíèÿ Láóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç KhU (L).5.7. Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ245Õîâàíîâ äîêàçàë, ÷òî âñå îñòàëüíûå ñëó÷àè âûòåêàþò èç óíèâåðñàëüíîé (R, A)-êîíñòðóêöèè. Ñíà÷àëà îí èññëåäóåò ñòðóêòóðó ðîáåíèóñîâûõðàñøèðåíèé íà ïðåäìåò èíâàðèàíòíîñòè ïîëó÷àþùåéñÿ òåîðèè ãîìîëîãèéîòíîñèòåëüíî ïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà Ω1 .
Ýòî ïðèâîäèò åãî ê äâóìåðíîñòè A êàê R-ìîäóëÿ.Äàëåå Õîâàíîâ ðàññìàòðèâàåò óíèâåðñàëüíóþ òîïîëîãè÷åñêóþ êîíñòðóêöèþ Áàð-Íàòàíà, ïðåäëîæåííóþ â [BN3℄, è ñòðîèò óíêòîð èç òîïîëîãè÷åñêîé êàòåãîðèè Áàð-Íàòàíà â êàòåãîðèþ ðîáåíèóñîâûõ ðàñøèðåíèéðàíãà äâà. Ïîñòðîåííûé èì óíêòîð íå ÿâëÿåòñÿ íè èíúåêòèâíûì, íèñþðúåêòèâíûì, íî îí óñòðîåí òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñîõðàíÿåò âñå ñâîéñòâà,íåîáõîäèìûå äëÿ èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé îòíîñèòåëüíî äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Òàêèì îáðàçîì, Õîâàíîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ëþáîå ðîáåíèóñîâî ðàñøèðåíèå ðàíãà äâà êîððåêòíî îïðåäåëÿåò ýêñòðàîðäèíàðíóþ òåîðèþ ãîìîëîãèéçàöåïëåíèé.
Ïîñëå ýòîãî îí ïîêàçûâàåò, ÷òî ëþáàÿ òàêàÿ òåîðèÿ áåç ïîòåðè èíîðìàöèè ñâîäèòñÿ ê óíèâåðñàëüíîé òåîðèè ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõàëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé.Ìû íå áóäåì âäàâàòüñÿ â ïîäðîáíîñòè îïèñàíèÿ êîíñòðóêöèé Õîâàíîâà èÁàð-Íàòàíà, à âîçüìåì óíèâåðñàëüíóþ (R, A)-êîíñòðóêöèþ è ñòðóêòóðíûåïîëîæåíèÿ òåîðèè Õîâàíîâà çà îñíîâó äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ãîìîëîãèéâèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Îòìåòèì, ÷òî Õîâàíîâ òàêæå èññëåäîâàë óíêòîðèàëüíîñòü åãî íîâîéòåîðèè ãîìîëîãèé åå õîðîøåå ïîâåäåíèå ïðè êîáîðäèçìàõ. Äëÿ ýòîãîïîìèìî îïåðàöèé óìíîæåíèÿ è êîóìíîæåíèÿ áûëè îïðåäåëåíû òàêæå îòîáðàæåíèÿ åäèíèöû è êîåäèíèöû è ðàññìîòðåíû ïðåîáðàçîâàíèÿ âñåõ îïåðàöèé â àëãåáðå Ôðîáåíèóñà; ýòîò àñïåêò ìû çàòðàãèâàòü íå áóäåì.
Ìû áóäåìèñïîëüçîâàòü ëèøü òîò àêò, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî Õîâàíîâà ëîêàëüíî, ò.å.ïðè òîì èëè èíîì äâèæåíèè åéäåìåéñòåðà èíâàðèàíòíîñòü íå èñïîëüçóåòïðåäïîëîæåíèé î ñòðîåíèè óçëà âíå ó÷àñòêà ïëîñêîñòè, íà êîòîðîì äàííîåäâèæåíèå ïðîèñõîäèò (è, ïî ñóòè ïîâòîðÿåò ïðèâåäåííîå ðàíåå äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòîñòè îáû÷íûõ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà, â êîòîðîì èñïîëüçîâàëàñü èíúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ ∆ è ñþðúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ m).5.7.
Ïîëèíîì Õîâàíîâà è ðîáåíèóñîâû ðàñøèðåíèÿ2465.7.3. åîìåòðè÷åñêèå îáîáùåíèÿ ïîñðåäñòâîì àòîìîâ íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ êîíñòðóêöèÿÕîâàíîâà ðàáîòàåò â ñëó÷àå âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, â ÿâíîì âèäå, à òàêæå âûïèñûâàåì ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Êàæäîé äèàãðàììå çàöåïëåíèÿ, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðóåìûéàòîì, óíèâåðñàëüíàÿ (R, A)-êîíñòðóêöèÿ ñîïîñòàâëÿåò íåêîòîðûé êóá ïåðåñòðîåê áèãðàäóèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî öåïåé ñ ÷àñòè÷íûìè äèåðåíöèàëàìè, ãîìîëîãèè êîòîðîãî ïîñëå íåêîòîðîãî ñäâèãà çàäàþò èíâàðèàíò çàöåïëåíèé.Çäåñü êóáó ñîñòîÿíèé è êóáó ïåðåñòðîåê ìû ñîïîñòàâëÿåì ãðàäóèðîâàííûå êîìïëåêñûêóáû, â âåðøèíàõ êîòîðûõ ñòîÿò òåíçîðíûå ñòåïåíè êîëüöàA íàä êîëüöîì R ñîãëàñíî êîëè÷åñòâó îêðóæíîñòåé â äàííîì ñîñòîÿíèè;÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû â ýòèõ êóáàõ îïðåäåëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè mè ∆, à äèåðåíöèàë êàê ñóììà ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ ñî çíàêàìè.Èç òåîðèè Õîâàíîâà [Kh2℄ ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ëîêàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ãîìîëîãèé óíèâåðñàëüíîé (R, A)-êîíñòðóêöèè,ò.å.
íàáîð àëãåáðàè÷åñêèõ äåéñòâèé (àíàëîãè÷íî ïðèíöèïó ñîêðàùåíèÿ èêîðîòêèõ òî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé àëãåáðàè÷åñêèõ êîìïëåêñîâ), êîòîðûé ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó.Ôèêñèðóåì êëàññè÷åñêîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà Ωi . Òîãäà êàêîâû áûíè áûëè äâå (êëàññè÷åñêèå) äèàãðàììû L è L′ , ëîêàëüíî îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóã îò äðóãà äâèæåíèåì Ωi , ñóùåñòâóåò îïèñàííàÿ âûøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïåðåâîäÿùèõ KhU (L) âKhU (L′ ) è íå çàâèñÿùèõ ÿâíûì îáðàçîì îò âèäîâ ÷àñòíûõ äèåðåíöèàëîâ êîìïëåêñîâ Õîâàíîâà çàöåïëåíèé L è L′ , êðîìå òåõ, êîòîðûå ÿâíîîïðåäåëÿþòñÿ èç ëîêàëüíîé ñòðóêòóðû äàííîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðàΩi .Èç ýòîãî ñîîáðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ (R, A) - êîíñòðóêöèÿîáîáùàåòñÿ íà âèðòóàëüíûå äèàãðàììû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû. À èìåííî, åñëè çàäàíà îðèåíòèðóåìàÿ äèàãðàììà L, ìû5.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
