Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Äëÿóñòðàíåíèÿ íåîäíîçíà÷íîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ âèðòóàëèçàöèåé, âîñïîëüçóåìñÿðàçáèåíèåì äèàãðàììû D íà ïîääèàãðàììû D′ è D′′ .À èìåííî, ïîãðóçèì õîðäîâóþ äèàãðàììó D â ïëîñêîñòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: âëîæèì îêðóæíîñòü ýòîé äèàãðàììû ñòàíäàðòíûì îáðàçîì è ðàñïîëîæèì õîðäû, ïðèíàäëåæàùèå ïîääèàãðàììå D′ , âíóòðè îêðóæíîñòè, àõîðäû, ïðèíàäëåæàùèå ïîääèàãðàììå D′′ , ñ âíåøíåé ñòîðîíû (íàïðèìåð,âíóòðåííèå â âèäå ïðÿìîëèíåéíûõ îêðóæíîñòåé, à âíåøíèå â âèäåîáðàçîâ ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ ïðè èíâåðñèè).
Åñòåñòâåííî, íåêîòîðûåõîðäû äèàãðàììû D′ ìîãóò áûòü çàöåïëåíû (êàê è õîðäû äèàãðàììû D′′ ).Äàëåå ìû çàìåíèì îêðåñòíîñòü êàæäîé èç ïîãðóæåííûõ õîðä íà äâå äóãè, îáðàçóþùèå êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê.  òåõ òî÷êàõ, ãäå õîðäû èìåëèïåðåñå÷åíèÿ, âîçíèêíóò ÷åòâåðêè ïåðåêðåñòêîâ; ïîìåòèì âñå òàêèå ïåðåêðåñòêè êàê âèðòóàëüíûå, ñì. ðèñ. 5.20.ßñíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ äèàãðàììà îïðåäåëåíà (ñ òî÷íîñòüþ äî îáúåçäà)5.9. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)DD1260D2èñ. 5.20.
Ïîñòðîåíèå äèàãðàììû óçëà KD;D′ ,D′′âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì ïåðåñå÷åíèé õîðä õîðäîâûõ äèàãðàìì D′ , D′′ .Ïîëó÷åííóþ äèàãðàììó ìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç KD;D′ ,D′′ . Ýòà êîíñòðóêöèÿ ïîíàäîáèòñÿ íàì â äàëüíåéøåì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì íåêîòîðûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.àññìîòðèì n-é êàáåëü Dn (KD;D′ ,D′′ ).Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿËåììà 5.10.Äëÿ ëþáîãîn > 1Dn (KD;D′ ,D′′ ) ìëàäøèé(4.1) è ðàâåí ±M1 (D′ ) ·äëÿ äèàãðàììûêîýèöèåíò â ðàçëîæåíèè ñêîáêè ÊàóìàíàM1 (D′′ ).Ñêàæåì, ÷òî â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè îêðóæíîñòü ïîäõîäèò ñàìà ê ñåáå âïåðåêðåñòêå, åñëè îíà èíöèäåíòíà ýòîìó ïåðåêðåñòêó äâàæäû.Ëåììà 5.10 âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé: ó êàáåëÿ Dn (KD;D′ ,D′′ )â B -ñîñòîÿíèè èìååòñÿ ïî n îêðóæíîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîé îêðóæíîñòè B -ñîñòîÿíèÿ äèàãðàììû KD;D′ ,D′′ .
Äâå èç íèõ ñàìàÿ âíóòðåííÿÿè ñàìàÿ âíåøíÿÿ ìîãóò ïîäõîäèòü ñàìè ê ñåáå â íåêîòîðûõ âåðøèíàõ;âñå îñòàëüíûå çàæàòû ìåæäó ýòèìè äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè, ñì. ðèñ. 5.21.Îäíà èç ýòèõ êðàéíèõ îêðóæíîñòåé ïîäõîäèò ñàìà ê ñåáå ñîãëàñíî äèàãðàììå D′ , à äðóãàÿ ñîãëàñíî äèàãðàììå D′′ . Îòñþäà ïîëó÷àåì èñêîìîå5.9. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)261óòâåðæäåíèå ëåììû 5.10.èñ. 5.21. B -ñîñòîÿíèå äëÿ òðîéíîãî êàáåëÿ óçëà âîñüìåðêà âèäó ëåììû 5.10 àêòóàëüíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òàêîãî ðàçáèåíèÿ äèàãðàììû D íà äâå äèàãðàììû D′ è D′′ , ÷òîáû M1 (D′ ) · M1 (D′′ ) 6=0. Ýòî ÷àñòî áûâàåò äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà M1 (D) = 0.Åñòåñòâåííîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ïðèìåðîâ äèàãðàìì âèðòóàëüíûõ óçëîâ D, äëÿ êîòîðûõ êàê ñòàðøèé, òàê è ìëàäøèé ìîíîìû âðàçëîæåíèè ïî (4.1) íå ðàâíû íóëþ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû óäîáíî ñëåäèòü çà îáîèìè êîýèöèåíòàìè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ àòîìîì ñ îäíîé ïîñëåêðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòüþè îäíîé äîêðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòüþ.5.9.
Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)262Êðîìå òîãî, ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì îðèåíòèðóåìûõ àòîìîâ. Áîëåå òîãî, ïóñòü äàíà äèàãðàììà D, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûé îðèåíòèðóåìûé àòîì V (D), èìåþùèé îäíó ïîñëåêðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü (ñîîòâåòñòâóþùóþ îáõîäó, çàäàâàåìîìó äèàãðàììîé D) è îäíó äîêðèòè÷åñêóþîêðóæíîñòü. Ñ òî÷êè çðåíèÿ äîêðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè àòîì òàêæå ìîæåò áûòü çàêîäèðîâàí õîðäîâîé äèàãðàììîé ýòà îêðóæíîñòü ïîëó÷àåòñÿèç àòîìà V ∗ (D), êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ îò V (D) öâåòàìè êëåòîê.Íàçîâåì ýòó õîðäîâóþ äèàãðàììó äâîéñòâåííîé ê äèàãðàììå D è îáîçíà÷èì åå ÷åðåç D∗ .
Òîãäà èìååòñÿ åñòåñòâåííîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó õîðäàìè äèàãðàììû D è õîðäàìè äèàãðàììû D∗ (è òå, èäðóãèå âçàèìíî îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò âåðøèíàì àòîìà V (D)). Òàêèìîáðàçîì, ëþáîå ïîäðàçáèåíèå õîðäîâîé äèàãðàììû D íà ïîääèàãðàììûD′ , D′′ çàäàåò ïîäðàçáèåíèå äèàãðàììû D∗ íà D∗′ , D∗′′ .Èç èçëîæåííîãî âûøå âûòåêàåòËåììà 5.11.Ïóñòü àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé õîðäîâîé äèàãðàììåD,èìååò îäíó ÷åðíóþ êëåòêó è îäíó áåëóþ êëåòêó. Òîãäà äëÿ äèàãðàììûDn (KD;D′ ,D′′ ) ñòàðøèé êîýèöèåíò â ðàçëîæåíèè ñêîáêè Êàóìàíà (4.1)′′′è ðàâåí ±M1 (D∗ ) · M1 (D∗ ).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé òåîðåìå.Òåîðåìà 5.15. Ïóñòü D õîðäîâàÿ äèàãðàììà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ àòîìó ñ îäíîé ÷åðíîé êëåòêîé è îäíîé áåëîé êëåòêîé, è ïóñòü íåêîòîðîå′′′ðàçáèåíèå åå õîðä íà äâà ñåìåéñòâà çàäàåò äèàãðàììû D , D .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äèàãðàììå D ñîîòâåòñòâóåò óçåë (íå çàöåïëåíèå), ïðè ýòîìM1 (D′ ) · M1 (D′′ ) · M1 (D∗′ ) · M1 (D∗′′ ) 6= 0. Òîãäà ëþáàÿ äèàãðàììà äëèííîãîóçëà, ïîëó÷àþùàÿñÿ ðàçðûâàíèåì äèàãðàììûKD;D′ ,D′′ ,ÿâëÿåòñÿ ìèíè-ìàëüíîé ïî êîëè÷åñòâó êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ.Äàííàÿ òåîðåìà óäîáíà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðîâ ê òåîðåìå 5.14.Îòìåòèì, ÷òî åñëè äèàãðàììà D çàäàåò àòîì ñ îäíîé ÷åðíîé êëåòêîé èîäíîé áåëîé êëåòêîé, òî äèàãðàììà KD;D′ ,D′′ íå ÿâëÿåòñÿ íè àäåêâàòíîé, íèïîëóàäåêâàòíîé (åñëè ìíîæåñòâî õîðä äèàãðàììû D íåïóñòî).Ïóñòü n ∈ N.
àññìîòðèì õîðäîâóþ äèàãðàììó D èç (6 + 4n) + 4 õîðä,óñòðîåííóþ ñëåäóþùèì ñïîñîáîì: ïåðâûå (6+4n) õîðä îáðàçóþò íåçàìêíó-5.9. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)263òóþ öåïî÷êó, â êîòîðîé êàæäàÿ õîðäà ñ íîìåðîì i ïåðåñåêàåòñÿ (çàöåïëåíà)ñ õîðäàìè ñ ñîñåäíèì(è) íîìåðàìè i−1 (åñëè i > 1) è i+1 (åñëè i < 6+4n)).Îñòàâøèåñÿ 4 îáîçíà÷åíû áóêâàìè a, b, c, d, ñì. ðèñ.
5.22.ab1cd24+6n33+6n2+6n...èñ. 5.22. Õîðäîâàÿ äèàãðàììà, çàäàþùàÿ ìèíèìàëüíóþ âèðòóàëüíóþ äèàãðàììóÇàìå÷àíèå 5.12.Õîðäûa, b, c, dèçîáðàæåíû ïóíêòèðîì äëÿ íàãëÿäíî-ñòè. Îíè âñå ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, ðàâíî êàê è âñå îñòàëüíûåõîðäû äàííîé õîðäîâîé äèàãðàììû.Òåïåðü ìû ìîæåì ðàçáèòü õîðäû äèàãðàììû D íà äâà ñåìåéñòâà ñëåäóþùèì îáðàçîì: õîðäû a, d îòíåñåì ê D′ , õîðäû b, c îòíåñåì ê ïîääèàãðàììåD′′ , à îñòàëüíûå õîðäû ðàñïðåäåëåíû òàê: íà÷àëüíûå òðè õîðäû 1, 2, 3 âñåìåéñòâå D′ , äàëåå äâå õîðäû 4, 5 â ñåìåéñòâå D′′ , ñëåäóþùèå äâå õîðäû â ñåìåéñòâå D′ , äàëåå ìû îïðåäåëÿåì ïàðó ñîñåäíèõ õîðä òî â îäíî, òî âäðóãîå ñåìåéñòâî, ïîêà íå îñòàíóòñÿ òðè õîðäû. Õîðäû 4n + 4, 4n + 5, 4n + 6òàêæå ïîïàäóò â îäíî ñåìåéñòâî.Äâîéñòâåííàÿ äèàãðàììà áóäåò èìåòü âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
5.23.Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî M1 (D′ ) · M1 (D′′ ) · M1 (D∗′ ) · M1 (D∗′′ ) = ±1.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè áåñêîíå÷íûé íàáîð ïðèìåðîâ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ íè àäåêâàòíûìè, íè ïîëóàäåêâàòíûìè. . Òàêæå ëåãêî âèäåòü, ÷òî ó (çàìûêàíèé)ýòèõ äèàãðàìì íåò ãîìîëîãèé Õîâàíîâà â ñòàðøåé è ìëàäøåé âûñîòàõ, èç5.9. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)12264ab3...4...2+6n1+6n3+6n4+6ncdèñ. 5.23.
Õîðäîâàÿ äèàãðàììà, äâîéñòâåííàÿ ê ïðåäûäóùåé÷åãî ñëåäóåò, ÷òî ìèíèìàëüíîñòü ýòîé äèàãðàììû íå âûòåêàåò èç òåîðåìû 5.12.ëàâà 6îìîëîãèè Õîâàíîâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñïðîèçâîëüíûìè êîýèöèåíòàìèÖåëüþ íàñòîÿùåé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ïî äèàãðàììå ïðîèçâîëüíîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ öåïíîãî êîìïëåêñà, ãîìîëîãèè êîòîðîãî èíâàðèàíòíû ïðè îáîáùåííûõ äâèæåíèÿõ åéäåìåéñòåðà, ïðè ýòîì â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ óçëîâ êîìïëåêñ èìååò òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è îáû÷íûéêîìïëåêñ Õîâàíîâà, áîëåå òîãî, ïîñòðîåííûå â ïðåäûäóùåé ãëàâå ÷àñòíûåñëó÷àè (äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûåàòîìû, à òàêæå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ â ñëó÷àå êîýèöèåíòîâ â ïîëå õàðàêòåðèñòèêè äâà) çàäàþò êîìïëåêñû, ãîìîëîãèè êîòîðûõèçîìîðíû ãîìîëîãèÿì êîìïëåêñà, êîòîðûé ñòðîèòñÿ â íàñòîÿùåé ãëàâå.ðàäóèðîâàííàÿ ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ýòîãî êîìïëåêñà ñîâïàäàåò ñ ïîëèíîìîì Äæîíñà Jˆ âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ.Êîíñòðóêöèÿ, ïðèâîäèìàÿ â íàñòîÿùåé ãëàâå, äàåò óòî÷íåíèå íåêîòîðûõòåîðåì ïðåäûäóùèõ äâóõ ãëàâ, â ÷àñòíîñòè, òåîðåì î çàòÿãèâàþùåì äåðåâåäëÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà è òåîðåì ìèíèìàëüíîñòè.
Îíà ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé â äèññåðòàöèè. åçóëüòàòû íàñòîÿùåé ãëàâû îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ[Man9℄ è [Ìà15℄.Êðîìå âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ïðèâîäèìàÿ â íàñòîÿùåé ãëàâå êîíñòðóêöèÿ(âìåñòå ñ êîíñòðóêöèåé àòîìîâ, îïèñàííîé â 4 ãëàâå) ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòüòåîðèþ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà îáúåêòîâ ñêðó÷åííûõ óçëîâ (ñì. äàëåå).6.1. Ââåäåíèå.
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò.2666.1. Ââåäåíèå. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò. ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ìû ïîñòðîèëè òåîðèþ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà äëÿâèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ. Áîëåå òî÷íî, êîìïëåêñ Õîâàíîâà íàä Z áûë îïðåäåëåí ëèøü äëÿ äèàãðàìì âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû; â îáùåì ñëó÷àå (äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì êîòîðûì ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü êàê îðèåíòèðóåìûå, òàê è íåîðèåíòèðóåìûå àòîìû) êîìïëåêñ Õîâàíîâà áûë îïðåäåëåí ëèøü íàä ïîëåì Z2 (êîãäà êîììóòàòèâíîñòü ãðàíåéêóáà ñîâïàäàåò ñ àíòèêîììóòàòèâíîñòüþ, è èç ýòîãî âûòåêàåò òîò àêò, ÷òîêâàäðàò äèåðåíöèàëà ðàâåí íóëþ). Àòîì (ñì.
îïð. íà ñòð. 154) åãî ðîä,à òàêæå îðèåíòèðóåìîñòü/íåîðèåíòèðóåìîñòü èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ïîñòðîåíèè è èçó÷åíèè ñâîéñòâ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà êàê êëàññè÷åñêèõ, òàê èâèðòóàëüíûõ óçëîâ (ïðè ýòîì íåîðèåíòèðóåìîñòü äî ñèõ ïîð ÿâëÿëàñü ãëàâíûì ïðåïÿòñòâèåì äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùåé òåîðèè). Äëÿ íåîðèåíòèðóåìûõàòîìîâ áûëè ïðåäëîæåíû äâå ãåîìåòðè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, ïåðåäåëûâàþùèå ëþáîå âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå â âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå, êîòîðîìóñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðóåìûé àòîì. Äàëåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ãîìîëîãèèÕîâàíîâà ïîëó÷åííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà (çàöåïëåíèÿ) ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè èñõîäíîãî âèðòóàëüíîãî óçëà (çàöåïëåíèÿ).Îñíîâíîé òðóäíîñòüþ, êîòîðàÿ ïðåîäîëåíà â íàñòîÿùåé ãëàâå, ÿâëÿåòñÿîïðåäåëåíèå äèåðåíöèàëà äëÿ êîìïëåêñîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âèðòóàëüíûì óçëàì, êîãäà ïðèõîäèòñÿ ïðîâåðÿòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå ñëó÷àåâ, ÷åìäëÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ (ñîîòâåòñòâóþùèå àòîìû áûëè ðàññìîòðåíû â ðàçäåëå 5.7.1).Ýòà òðóäíîñòü ïðåîäîëåâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïîñòðîåíèÿ íîâîãî êîìïëåêñà, èìåþùåãî òå æå ãîìîëîãèè, ÷òî è èñõîäíûé êîìïëåêñ Õîâàíîâà.
Ïåðâîéêëþ÷åâîé èäååé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ: ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî ïåðåêðåñòêà óçëà ê äðóãîìó âäîëü îêðóæíîñòè ñîñòîÿíèÿ íóæíî ìåíÿòü áàçèñ àëãåáðû Ôðîáåíèóñà, çàäàþùåé ãîìîëîãèè Õîâàíîâà òðèâèàëüíîãî óçëà (÷òîñâÿçàíî ñ âûáîðîì ëîêàëüíîé îðèåíòàöèè ñîîòâåòñòâóþùåé îêðóæíîñòè,ïðîèñõîäÿùèì èç ïåðåêðåñòêà). Âòîðàÿ êëþ÷åâàÿ èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîâìåñòî îáû÷íîãî òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî íåñêîëüêèì6.1. Ââåäåíèå. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò.267îêðóæíîñòÿì â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè, ìû áåðåì óïîðÿäî÷åííîå ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàäóèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ýòî èçáàâëÿåò íàñîò èñêóññòâåííîé îïåðàöèè ïåðåäåëûâàíèÿ êîììóòàòèâíîãî êóáà â àíòèêîììóòàòèâíûé, êàê ýòî ïðîäåëàíî â ðàáîòàõ [Kh, BN1℄ è â ïðåäûäóùåéãëàâå.Êàæäîé äèàãðàììå âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ìû ñîïîñòàâëÿåì áèãðàäóèðîâàííûé êîìïëåêñ, ãðóïïû ãîìîëîãèé êîòîðîãî èíâàðèàíòíû ïðè îáîáùåííûõ äâèæåíèÿõ åéäåìåéñòåðà. Îòìåòèì íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâàíàøåé êîíñòðóêöèè.1. Êîìïëåêñ ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì àòîìîâ; îí ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè òàê íàçûâàåìîé âèðòóàëèçàöèè (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
