Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ýòà ïåðåñòðîéêà ïðîèñõîäèò â íåêîòîðîì ïåðåêðåñòêå, òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ ëèáî äâå îêðóæíîñòè ïåðåñòðàèâàþòñÿ â îäíó, ëèáî îäíà â äâå.  òîì èçäâóõ ñîñòîÿíèé, ãäå èìåþòñÿ äâå îêðóæíîñòè, èíöèäåíòíûå äàííîìó ïåðåêðåñòêó, îíè óïîðÿäî÷åíû. Êðîìå òîãî, âñå òðè îêðóæíîñòè îðèåíòèðîâàíû, òåì ñàìûì âûáðàí áàçèñ äëÿ ïðîñòðàíñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî êàæäîéèç ýòèõ îêðóæíîñòåé.Çàäàäèì òåïåðü îòîáðàæåíèÿ ∆ : V → V ∧ V è m : V ∧ V → V ëîêàëüíî ñîãëàñíî ïðåäïèñàííîìó âûøå âûáîðó îáðàçóþùèõ â ïåðåêðåñòêåè ïðåäïèñàííîìó óïîðÿäî÷åíèþ:∆(1) = 11 ∧ X2 + X1 ∧ 12 ; ∆(X) = X1 ∧ X2 èm(11 ∧ 12 ) = 1; m(X1 ∧ 12 ) = m(11 ∧ X2 ) = X; m(X1 ∧ X2 ) = 0, ñì. ðèñ.6.4.Îòìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå m ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâíûì, à îòîáðàæåíèå6.3.
Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ278112m21m122èñ. 6.4. Îïðåäåëåíèå îïåðàöèé m è ∆∆ èíúåêòèâíûì.Ïðè íàëè÷èè îêðóæíîñòåé C1 , . . . , Cl , íå èíöèäåíòíûõ ïåðåêðåñòêó, âêîòîðîì ïðîèñõîäèò ïåðåñòðîéêà, è ýëåìåíòîâ γ1 , . . . , γk íà íèõ, îðìóëû÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ ∂ ′ ïåðåïèñûâàþòñÿ â âèäå:∂ ′ (1 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk ) =∆(1)∧γ1 ∧ · · · ∧ γk = 11 ∧ X2 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk + X1 ∧ 12 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk ; ∂ ′ (X ∧γ1 ∧ · · · ∧ γk ) = ∆(X)∧γ1 ∧ · · · ∧ γk = X1 ∧ X2 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk(â ñëó÷àå îòîáðàæåíèÿ òèïà 1 → 2)è∂ ′ (11 ∧ 12 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk ) =m(11 ∧ 12 ) ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk = 1 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk ; ∂ ′ (X1 ∧ 12 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk ) =∂ ′ (11 ∧X2 ∧γ1 ∧· · ·∧γk ) = m(X1 ∧12 )∧γ1 ∧· · ·∧γk = m(11 ∧X2 )∧γ1 ∧· · ·∧γk =X ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk ; ∂ ′ (X1 ∧ X2 ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk ) = m(X1 ∧ X2 ) ∧ γ1 ∧ · · · ∧ γk = 0(â ñëó÷àå îòîáðàæåíèÿ òèïà 2 → 1).Ïîñëå ýòîãî ìû îïðåäåëÿåì äèåðåíöèàë ∂ íà ïðîñòðàíñòâå öåïåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèþ s êàê ñóììó âñåõ ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ,äåéñòâóþùèõ íà ñîñòîÿíèå s.Ïðèìåð.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìû õîòèì ïîäâåðãíóòü êîóìíîæåíèþ âòîðîé ñîìíîæèòåëü X2 â X1 ∧ X2 , ìû ïîëó÷èì X1 ∧ X2 = −X2 ∧ X1 →6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû279−X2 ∧ X3 ∧ X1 = −X1 ∧ X2 ∧ X3 , ãäå X3 ïðèíàäëåæèò íîâîîáðàçîâàííîé(òðåòüåé) êîìïîíåíòå (ïðè óñëîâèè, ÷òî â ïåðåêðåñòêå, â êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïåðåñòðîéêà, ïîñëå ïåðåñòðîéêè, îêðóæíîñòü ñ ìåòêîé X2 ÿâëÿåòñÿëîêàëüíî ïåðâîé (ò.å. âåðõíåé èëè ëåâîé), à îêðóæíîñòü ñ ìåòêîé X3 ëîêàëüíî âòîðîé).6.4.
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìûÌû ïîñòðîèëè ïî çàäàííîé îðèåíòèðîâàííîé äèàãðàììå K âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ïðîñòðàíñòâî öåïåé [[K]] íàáîð áèãðàäóèðîâàííûõ ãðóïïñ äèåðåíöèàëîì ∂ . Ïî ïîñòðîåíèþ äèåðåíöèàë ïîâûøàåò âûñîòó, íåìåíÿåò ãðàäóèðîâêó (íàïîìíèì, ÷òî âûñîòà äëÿ ñîñòîÿíèÿ s îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîëè÷åñòâî êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ â ñîñòîÿíèè s, ðàçâåäåííûõñïîñîáîì B , à ãðàäóèðîâêà ðàâíà ñóììå âûñîòû è ãðàäóèðîâêè, çàäàâàåìîéîêðóæíîñòÿìè). íàñòîÿùåì ðàçäåëå áóäåò äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 6.3.Íàáîð ãðóïï[[K]]∂ ÿâëÿåòñÿ2ò.å.
∂ = 0, ïðèâìåñòå ñ äèåðåíöèàëîìêîððåêòíî îïðåäåëåííûì áèãðàäóèðîâàííûì êîìïëåêñîì,ýòîì äèåðåíöèàë ñîõðàíÿåò ãðàäóèðîâêó è ïîâûøàåò âûñîòó íà åäèíèöó.Ïî ïîñòðîåíèþ êîìïëåêñ C(K) ïîëó÷àåòñÿ èç [[K]] ñäâèãîì âûñîòû èãðàäóèðîâêè. Áóäåò äîêàçàíî (òåîðåìà 6.5), ÷òî ãîìîëîãèè êîìïëåêñà C(K)ñîâïàäàþò ñ ãîìîëîãèÿìè, ïîñòðîåííûìè â ïðåäûäóùåé ãëàâå äëÿ ñëó÷àÿâèðòóàëüíûõ óçëîâ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû.Äàëåå, èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.3 ïî ïîñòðîåíèþ âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 6.2.Êîìïëåêñ ñ êîýèöèåíòàìè â ïîëå Z2 ñîâïàäàåò ñ êîìïëåêñîì íàä Z2 ,îïèñàííûìè â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ñì.
ñòð. 204.Òåîðåìà 6.4. ðóïïû ãîìîëîãèé áèãðàäóèðîâàííîãî êîìïëåêñà C(K) ÿâëÿ-þòñÿ èíâàðèàíòàìè çàöåïëåíèÿKîòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ äâèæåíèéåéäåìåéñòåðà.Ìû ñíà÷àëà äîêàæåì òåîðåìó 6.3. Ïîñëå ýòîãî ìû äîêàæåì òåîðåìó 6.4;åå äîêàçàòåëüñòâî áóäåò áîëåå òåõíè÷åñêèì è ïðîõîäèòü ïî ñòàíäàðòíîé6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû280ñõåìå [BN1℄, ïðàâäà, ñ ó÷åòîì äîïîëíèòåëüíîé ïðîâåðêè ñîâïàäåíèÿ çíàêîâ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè óïîðÿäî÷åíèè è îðèåíòàöèè îêðóæíîñòåé.Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.3.Ñíà÷àëà ìû äîêàæåì äâå ëåììû, óñòàíàâëèâàþùèå íåêîòîðûå ñâîéñòâàêîìïëåêñà C(K) è óïðîùàþùèå äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ.Ïóñòü äàíà âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà K . àññìîòðèì íåêîòîðûé åå êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê U .
Ïóñòü äèàãðàììà K ′ ïîëó÷àåòñÿ èç K âèðòóàëèçàöèåé ïåðåêðåñòêà U . Òîãäà ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîåñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàìì Kè K ′ . Îíî ïîðîæäàåò âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå φ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè, êîòîðîå çàäàåòñÿ îäèíàêîâûì (â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñïîñîáîì A èëè âîáîèõ ñëó÷àÿõ ñïîñîáîì B ) âûáîðîì ñãëàæèâàíèé äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõïåðåêðåñòêîâ. Îòìåòèì, ÷òî òàêîå âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå íå ìåíÿåò êîëè÷åñòâà îêðóæíîñòåé â ñîñòîÿíèÿõ; ýòî ïðîâåðÿåòñÿ ëîêàëüíûìñðàâíåíèåì ðàçâåäåíèÿ ïåðåêðåñòêà U íà äèàãðàììå K è íà äèàãðàììå K ′(íàïðèìåð, ýòî ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóåò èç òîãî àêòà, ÷òî îêðóæíîñòè âñîñòîÿíèÿõ ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ àòîìîì, à àòîì íå ìåíÿåòñÿ ïðè âèðòóàëèçàöèè).
Îðèåíòèðóåì îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé îäèíàêîâî âíå îêðåñòíîñòè ïåðåêðåñòêà U . Îòîæäåñòâëåíèå ñîñòîÿíèé çàäàåòîòîáðàæåíèå g : [[K]] → [[K ′ ]] ïðîñòðàíñòâ öåïåé ñîãëàñíî ñëåäóþùåìóïðàâèëó. Äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ s è ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ñîñòîÿíèÿ φ(s)ðàçâåäåíèÿ äèàãðàììû K ñïîñîáîì s è ðàçâåäåíèå äèàãðàììû K ′ ñïîñîáîì φ(s) âíå îêðåñòíîñòè ïåðåêðåñòêà U ñîâïàäàþò.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíîóñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèåíòèðîâàííûìèîêðóæíîñòÿìè ñîñòîÿíèÿ s è îðèåíòèðîâàííûìè îêðóæíîñòÿìè ñîñòîÿíèÿφ(s) ñ ñîãëàñîâàííûìè (âíå îêðåñòíîñòè ïåðåêðåñòêà) îðèåíòàöèÿìè, ÷òîïðèâîäèò ê êîððåêòíî îïðåäåëåííîìó îòîáðàæåíèþ g . Òî æå îáîçíà÷åíèåg ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü è äëÿ îòîáðàæåíèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ (ìîäóëåé), ñîîòâåòñòâóþùèõ îêðóæíîñòÿì â ñîñòîÿíèÿõ s è φ(s).Êàæäîìó ñîñòîÿíèþ s äèàãðàììû K ñîîòâåòñòâóåò ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà öåïåé êîìïëåêñà [[K]], êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç Cs .
Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî äëÿ K ′ ÷åðåç Cs′ .6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìûËåììà 6.1. Ïóñòü K, K ′281 äâå âèðòóàëüíûå äèàãðàììû, ïîëó÷àþùèåñÿîäíà èç äðóãîé ïîñðåäñòâîì âèðòóàëèçàöèè. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñîõðàíÿ′þùåå ãðàäóèðîâêó îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâ öåïåé f : [[K]] → [[K ]],Csïåðåâîäÿùååèçîìîðíî âCs′è êîììóòèðóþùåå ñ ÷àñòè÷íûìè äèå-ðåíöèàëàìè. ÷àñòíîñòè, åñëè [[K]] ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñîì, òî òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ′è [[K ]]; ïðè ýòîì èõ ãðóïïû ãðàäóèðîâàííûõ ãîìîëîãèé èçîìîðíû.Ïóñòü äèàãðàììà K ′ ïîëó÷àåòñÿ èç äèàãðàììû K âèðòóàëèçàöèåé ïåðåêðåñòêà U .Áóäåì ñòðîèòü îòîáðàæåíèå f â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïåðåêðåñòêà U(èëè).
Ïî ïîñòðîåíèþ ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû êîìïëåêñà [[K ′ ]]ñîâïàäàþò ñ îáðàçàìè ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ êîìïëåêñà [[K]] îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ g , çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåêðåñòêó U . Äèåðåíöèàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå U , ðàçáèâàþò íàø êóá ñîñòîÿíèé íà âåðõíèé ïîäêóá è íèæíèéïîäêóá, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 6.5.Äîêàçàòåëüñòâî.XUjccjddabjajbèñ. 6.5. Èçìåíåíèå êóáà ïðè âèðòóàëèçàöèè; j = ±1.Îñòàâøèåñÿ ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû îòëè÷àþòñÿ, áûòü ìîæåò, çíàêàìè íà ðåáðàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåêðåñòêó U .
Ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòè÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû ëèáî âñå ñîãëàñóþòñÿ, ëèáî âñå îòëè÷àþòñÿ çíàêîì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 6.5.Äåéñòâèòåëüíî, áàçèñû, â êîòîðûõ çàïèñûâàþòñÿ ÷àñòè÷íûå äèåðåí-6.4. Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû282öèàëû âî âñåõ ïåðåêðåñòêàõ, êðîìå U , ñîãëàñóþòñÿ äëÿ äèàãðàìì K è K ′ . ýòèõ áàçèñàõ îðìóëû äëÿ ýòèõ ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ âûãëÿäÿòîäèíàêîâî. Ýòî ïðèâîäèò ê îòîæäåñòâëåíèþ öåïåé ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïëåêñîâ. Ïðè ýòîì èçîìîðèçìå äëÿ êàæäîé îêðóæíîñòè C , èíöèäåíòíîéïåðåêðåñòêó U äèàãðàììû K , è ñîîòâåòñòâóþùåé åé îêðóæíîñòè g(C) â ñîîòâåòñòâóþùåì ñîñòîÿíèè äèàãðàììû K ′ ìû èìååì g(XC,oK ) = −Xg(C),oK ′ ,ãäå oK è oK ′ îðèåíòàöèè îêðóæíîñòåé C è C ′ â ïåðåêðåñòêå U äèàãðàììK è K ′ , âûáðàííûå ñîãëàñíî ïðàâèëó, óêàçàííîìó íà ðèñ.
6.3. Ïîñëåäíååðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ïîòîìó, ÷òî â êàæäîì ñîñòîÿíèè s îêðóæíîñòè C ,ïîäõîäÿùåé ñïðàâà ñâåðõó ê ïåðåêðåñòêó U äèàãðàììû K , ñîîòâåòñòâóåòîêðóæíîñòü φ∗ (C) â ñîñòîÿíèè φ(s), êîòîðàÿ ïîäõîäèò ê ïåðåêðåñòêó Uñëåâà ñâåðõó, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò çàìåíå X íà −X â áàçèñàõ ïðîñòðàíñòâ V ,îòâå÷àþùèõ îêðóæíîñòÿì ñîñòîÿíèÿ, èíöèäåíòíûì äàííîìó ïåðåêðåñòêó,ñì. ðèñ. 6.3.Åñëè áû ìû èìåëè äåëî ñ îáû÷íûì òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì è íå îáðàùàëè âíèìàíèÿ íà óïîðÿäî÷åíèå îêðóæíîñòåé, òî ïåðåõîä X → −Xîñòàâëÿë áû ëîêàëüíûå îòîáðàæåíèÿ òèïà m èíâàðèàíòíûìè è çàìåíÿë ∆íà −∆.Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåêðåñòîê U ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì ( ).Âñå îòîáðàæåíèÿ òèïà m, îòâå÷àþùèå U , ñîîòâåòñòâóþò ïåðåñòðîéêå äâóõîêðóæíîñòåé (ïðàâîé è ëåâîé) â îäíó. Ïîñëå âèðòóàëèçàöèè ãëîáàëüíî ëåâàÿ îêðóæíîñòü ñòàíîâèòñÿ ïðàâîé, à ïðàâàÿ ëåâîé, ñì.
ðèñ. 6.6.ëîáàëüíî ìû ïîëó÷àåì èçìåíåíèå çíàêà ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâòèïà m â èêñèðîâàííîì áàçèñå. Äëÿ ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ òèïà∆ ìû èìååì äåëî ñ îäíîé îêðóæíîñòüþ, êîòîðàÿ ïåðåñòðàèâàåòñÿ â äâå âåðõíþþ è íèæíþþ; ñîîòíîøåíèå âåðõíèç íå ìåíÿåòñÿ ïðè âèðòóàëèçàöèè, ÷òî îñòàâëÿåò ÷àñòè÷íûé äèåðåíöèàë òèïà ∆ íåèçìåííûì. Âêàæäîì èç ñëó÷àåâ ïåðâàÿ êîìïîíåíòà èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå ñïëîøíîéëèíèåé; âòîðàÿ êîìïîíåíòà èçîáðàæåíà ïóíêòèðíîé ëèíèåé.Ñóììèðóÿ ñêàçàííîå âûøå (è âñïîìèíàÿ î çàìåíå çíàêà ÷àñòè÷íîãî äèåðåíöèàëà ∆ â ñâÿçè ñ ïåðåõîäîì X → −X ), ìû âèäèì, ÷òî âèðòóàëèçàöèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ïåðåêðåñòêà ìåíÿåò çíàêè âñåõ ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äàííîìó ïåðåêðåñòêó.X6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
