Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ñðåäè äèàãîíàëåé èìåþòñÿ êðàéíå ëåâàÿ èêðàéíå ïðàâàÿ íà êîòîðûõ çíà÷åíèå 2x − y ìèíèìàëüíî (ñîîòâ., ìàêñèìàëüíî). Òàêèì îáðàçîì, òîëùèíà èçìåðÿåò êîëè÷åñòâî äèàãîíàëåé ìåæäóäâóìÿ êðàéíèìè äèàãîíàëÿìè.Íàçîâåì òîëùèíîé T (L) âèðòóàëüíîé äèàãðàììû L, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðóåìûé àòîì, ìàêñèìóì çíà÷åíèÿ òîëùèíû ïî âñåì êîëüöàì êîýèöèåíòîâ (â êëàññè÷åñêîé êàòåãîðèè).  îðèåíòèðóåìîé êàòåãîðèè îïðåäåëÿåòñÿ òîëùèíà Tor êàê ìàêñèìóì òîëùèíû ïî âñåì ïîëÿì (âîðèåíòèðóåìîé âèðòóàëüíîé êàòåãîðèè), à â îáùåé êàòåãîðèè îïðåäåëÿåòñÿZ2 -òîëùèíà TZ2 (L).
Ïóñòü g(L) ðîä àòîìà, ñîîòâåòñòâóþùåãî äèàãðàììåL.Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðàññóæäåíèé è îïðåäåëåíèÿ àòîìà âûòåêàåò ñëåäóþùàÿËåììà 5.9.Äëÿ êàæäîé äèàãðàììû âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿLèìååì:TZ2 (L) 6 g(L) + 2, ïðè ýòîì äëÿ îðèåíòèðóåìîé äèàãðàììû ìû èìååìTor (L) 6 g(L)+2, äëÿ êëàññè÷åñêèõ äèàãðàìì èìååò ìåñòî T (L) 6 g(L)+2.Ïîíÿòèå 1-ïîëíîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû áûëî îïðåäåëåíî â ãëàâå 45.8.
Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé255íà ñòð. 171; îíî îçíà÷àëî, ÷òî äëèíà ñêîáêè Êàóìàíà spanhLi = 4n − 4g .Íàçîâåì âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó L 2-ïîëíîé, åñëè T (L) = 2g + 2.Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ îöåíêè ÷èñëà äèàãîíàëåé êîìïëåêñà Âåðëè (ñì. ñòð.242) íàì íóæíî îöåíèòü àìïëèòóäó ÷èñåë β(s) ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì s ∈K1 (L). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå àëüòåðíèðîâàííîé äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ âñå òàêèå ÷èñëà ðàâíû (÷òî ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ äâóõ äèàãîíàëåé tmaxè tmin , òàêèõ, ÷òî tmax = tmin + 2), â ñëó÷àå àòîìà ðîäà 1 ÷èñëà β(s) ìîãóòïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ x, x + 1, x + 2 äëÿ íåêîòîðîãî x; â ñëó÷àå àòîìà ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè χ îíè ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ â ïðîìåæóòêå îòíåêîòîðîãî ÷èñëà x äî x + (2 − χ).Ñóììèðóÿ ñêàçàííîå â òåîðåìå 4.4 è ëåììå 5.9, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó.Òåîðåìà 5.13. Ïóñòü T (Kh(K)) = g + 2, spanhKi = s.
Òîãäà êîëè÷åñòâîêëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ ñâÿçíîé äèàãðàììû âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ,sýêâèâàëåíòíîãî çàöåïëåíèþ K , íå ìîæåò áûòü ìåíüøå, ÷åì4 + g. ÷àñòíîñòè, åñëè äèàãðàììà ñ n ïåðåêðåñòêàìè è àòîìîì ðîäà g ÿâëÿåòñÿ1-ïîëíîéè2-ïîëíîé,òî îíà ìèíèìàëüíà â êëàññå ñâÿçíûõ äèà-ãðàìì.Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ìèíèìàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå äèàãðàììû, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ äâà ñâîéñòâà åñòåñòâåííîé íåñîêðàòèìîñòè: â ðàçëîæåíèè ñêîáêè Êàóìàíà ñòàðøèé ÷ëåí è ìëàäøèé ÷ëåííå ðàâíû íóëþ, à â êîìïëåêñå Âåðëè êàæäàÿ èç äâóõ êðàéíèõ äèàãîíàëåéèìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí íåòðèâèàëüíûé ýëåìåíò ãîìîëîãèé Õîâàíîâà.Ýòà òåîðåìà èìååò ìåñòî è â áîëåå øèðîêîì êîíòåêñòå, ñì.
òåîðåìó 6.6.Òåîðåìà 5.13 èìååò ìåñòî â ëþáîé ñèòóàöèè êàòåãîðèè, â êîòîðîé êîððåêòíî îïðåäåëåí è èíâàðèàíòåí êîìïëåêñ Õîâàíîâà. Òàê, åñëè íàñ èíòåðåñóåò èíâàðèàíòíîñòü íåêîòîðîé êëàññè÷åñêîé äèàãðàììû â êëàññå êëàññè÷åñêèõ äèàãðàìì, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü òîëùèíó T ìàêñèìóì ïî âñåâîçìîæíûì êîëüöàì êîýèöèåíòîâ, åñëè íàñ èíòåðåñóåò èíâàðèàíòíîñòüâ êàòåãîðèè îðèåíòèðóåìûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, ìû ìîæåì âçÿòü òîëùèíó Tor ; â íåîðèåíòèðóåìîì ñëó÷àå íóæíî áðàòü òîëùèíó TZ2 .5.9. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)2565.9.
Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)Îñíîâíîé çàäà÷åé òåîðèè óçëîâ (êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ) ÿâëÿåòñÿçàäà÷à êëàññèèêàöèè óçëîâ. Ýêâèâàëåíòíûå óçëû ìîãóò áûòü çàäàíû äèàãðàììàìè ñ ðàçëè÷íûì êîëè÷åñòâîì (êëàññè÷åñêèõ) ïåðåêðåñòêîâ. Óñòàíîâëåíèå àêòà ìèíèìàëüíîñòè äèàãðàììû ÿâëÿåòñÿ êàê ïðàâèëî òðóäíîéçàäà÷åé. Ñâîéñòâî ìèíèìàëüíîñòè ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü çàäà÷ó êëàññèèêàöèè. ñëó÷àå êëàññè÷åñêîé òåîðèè óçëîâ òåîðåìà 4.7 ïðèâîäèò ê äîêàçàòåëüñòâó êëàññè÷åñêîé òåîðåìû Òèñòëòóýéòà, óòâåðæäàþùåé ìèíèìàëüíîñòüàäåêâàòíûõ äèàãðàìì êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò óñëîâèÿ îñíàùåííîñòè â òåîðåìå 4.7, ìîæíî ïåðåéòè ê âçÿòèþñâÿçíîé ñóììû óçëà ñ åãî çåðêàëüíûì îáðàçîì (ïîäðîáíîñòè ñì. äàëåå).Ïîýòîìó òåõíèêà îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíûõ äèàãðàìì óçëîâ, îïèñàííàÿ â÷åòâåðòîé ãëàâå (òåîðåìû 4.4, 4.6, 4.7), ïðîõîäèò â ñëó÷àå äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî äëÿ äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ êîððåêòíî îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ ñâÿçíîé ñóììû.
Ïðè ýòîì â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ, â êîòîðîì äàííîìó êðèòåðèþ óäîâëåòâîðÿþò ëèøüàäåêâàòíûå äèàãðàììû (ñì. îïðåäåëåíèå íà ñòð. 174), ìèíèìàëüíîñòü êîòîðûõ áûëà äîêàçàíà åùå Òèñòëòóýéòîì ñ èñïîëüçîâàíèåì ñêîáêè Êàóìàíà (è ìîæåò òàêæå áûòü äîêàçàíà ñ ïîìîùüþ ãîìîëîãèé Õîâàíîâà), çäåñüèìåþòñÿ áåñêîíå÷íûå ñåðèè äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ àäåêâàòíûìè, íî ìèíèìàëüíîñòü êîòîðûõ äîêàçûâàåòñÿ òåìè æåñàìûìè ìåòîäàìè.Ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ ýòèõ êëàññîâ áîëåå ïîäðîáíî. àññìîòðèì äëèííûåóçëû è èõ çàìûêàíèÿ (ñì.
îïð. íà ñòð. 115,116).Íàïîìíèì, ÷òî äèàãðàììà êàáåëÿ Dn (L) áûëà îïðåäåëåíà íà ñòð. 176.Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 5.14.êàÿ ÷òî äëÿñÿ1-ïîëíîé.K äèàãðàììà äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà, òàâñÿêîãî n > 1 âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà Dn (Cl(K)) ÿâëÿåòÒîãäà äèàãðàììà K ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ïî êîëè÷åñòâóÏóñòüêëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ.5.9. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)257Áóäåì äîêàçûâàòü òåîðåìó àíàëîãè÷íî òåîðåìå 4.7. ÏóñòüL = K#K ñâÿçíàÿ ñóììà äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà ñ åãî çåðêàëüíûì îáðàçîì. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì Cl(Dn (K)) = Dn (Cl(K)).
Î÷åâèäíî, ÷òî Dn (L) = Dn (K)#Dn (K ′ ). Áîëåå òîãî, êàæäîé äèàãðàììå äëèííîãîâèðòóàëüíîãî óçëà K îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà Lñ íóëåâûì îñíàùåíèåì. Òàêèì îáðàçîì, îïåðàöèÿ K → Dn (L) ÿâëÿåòñÿêîððåêòíî îïðåäåëåííîé.Äàëåå, ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî èç 1-ïîëíîòû äèàãðàììû Cl(Dn (K)) ñëåäóåò ïîëíîòà äèàãðàììû Cl(Dn (L)) (çàìûêàíèå äëÿ êàáåëÿ áåðåòñÿ àíàëîãè÷íî çàìûêàíèþ êîñû). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êàæäàÿ îêðóæíîñòüâ A-ñîñòîÿíèè äèàãðàììû Cl(Dn (L)) ðàçáèâàåòñÿ íà îêðóæíîñòü èç Añîñòîÿíèÿ äèàãðàììû Cl(Dn (K)) è îêðóæíîñòè èç B -ñîñòîÿíèÿ äèàãðàììû Cl(Dn (K ′ )).  ñèëó 1-ïîëíîòû äèàãðàìì B è B ′ ñàìîèíöèäåíòíîñòüêàæäîé èç ýòèõ äèàãðàìì äàåò íåíóëåâîé êîýèöèåíò (M1 ), àíàëîãè÷íûìîáðàçîì, íåíóëåâûì áóäåò è ñòàðøèé êîýèöèåíò â ðàçëîæåíèè ñêîáêèÊàóìàíà hCl(Dn (K ′ ))i.Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ èç òåîðåìû 4.7, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî óìåíüøåíèå êîëè÷åñòâà êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû K ïðèâåëî áû êóìåíüøåíèþ ðîäà àòîìà, ñîîòâåòñòâóþùåãî Cl(L), íà ñêîëü óãîäíî áîëüøîå ÷èñëî.
Ïðîòèâîðå÷èå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.Äîêàçàòåëüñòâî.′Åñòåñòâåííî, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå íåòðèâèàëüíûõ êëàññîâ òàêèõ äëèííûõóçëîâ äîëæíî áûòü äîêàçàíî. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîìïàêòíûõ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ 1-ïîëíîòà äëÿ äèàãðàìì Dn (K) ìîæåò èìåòü ìåñòî ëèøü âñëó÷àå, åñëè èñõîäíàÿ äèàãðàììà ÿâëÿåòñÿ àäåêâàòíîé è âñå äèàãðàììûDn (K) òàêæå ÿâëÿþòñÿ àäåêâàòíûìè (ñòð. 174).  ðàññìàòðèâàåìîì íàìèäàëåå ñëó÷àå íå ïðåäïîëàãàåòñÿ äàæå 1-ïîëíîòû äëÿ èñõîäíîé äèàãðàììû,â òî âðåìÿ, êàê äèàãðàììû Dn (K) ìîãóò áûòü 1-ïîëíûìè, íî íå àäåêâàòíûìè (è äàæå íå ïîëóàäåêâàòíûìè).Äåëî â òîì, ÷òî ñòàðøèé êîýèöèåíò ñêîáêè Êàóìàíà (êàê è ìëàäøèé åå êîýèöèåíò) äëÿ âñåõ äèàãðàìì Dn (K) ïðè âñåõ n > 1 âû÷èñëÿåòñÿ ïî îäíîé è òîé æå îðìóëå.
Çäåñü ìû èìååì â âèäó ñòàðøèé êîýèöèåíò ðàçëîæåíèÿ (4.1); â ñëó÷àå, åñëè äèàãðàììà D2 (K) íå ÿâëÿåòñÿ1-ïîëíîé, ò.å. ýòîò êîýèöèåíò ðàâåí íóëþ, íàñòîÿùèé ñòàðøèé êîý-5.9. Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)258èöèåíò âû÷èñëÿåòñÿ ãîðàçäî ñëîæíåå.Ïîýòîìó âàæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ñòàðøåãî è ìëàäøåãî êîýèöèåíòîâ ñêîáêè Êàóìàíà (4.1) äëÿ êàáåëåé Dn (K).Ýòîò êîýèöèåíò òåñíî ñâÿçàí ñ óíêöèåé M1 (ñì. ñòð. 181). Áîëåå òî÷íî, ïóñòü äàíà õîðäîâàÿ äèàãðàììà íà îêðóæíîñòè (íà íåñêîëüêèõ îêðóæíîñòÿõ) D. àçîáüåì õîðäû äèàãðàììû D íà äâà ìíîæåñòâà, îáðàçóþùèåõîðäîâûå äèàãðàììû D′ è D′′ (íàáîðû õîðäîâûõ äèàãðàìì) è çàòåì ñîñ÷èòàòü êîýèöèåíòû M1 (D′ ) è M1 (D′′ ).
Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê âû÷èñëåíèþñòàðøåãî êîýèöèåíòà ðàçëîæåíèÿ (4.1) äëÿ âñåõ äèàãðàìì Dn (L) ïðèn > 1 îäíîâðåìåííî.Ïîñëåäíåå ëåãêî âûòåêàåò èç óòâåðæäåíèÿ (âïåðâûå äîêàçàííîãî â ðàáîòå [Mnh℄) î òîì, ÷òî åñëè õîðäîâàÿ äèàãðàììà D′ ïîëó÷àåòñÿ èç õîðäîâîéäèàãðàììû D äîáàâëåíèåì ïàðàëëåëüíîé õîðäû ê îäíîé èç õîðä (áåçðàçëè÷íî, ê êàêîé èìåííî), òî M1 (D′ ) = M1 (D). Èç ýòîãî ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòèòî, ÷òî çíà÷åíèå óíêöèè M1 íå èçìåíèòñÿ, åñëè âìåñòî êàæäîé õîðäûâçÿòü íàáîð èç k ïàðàëëåëüíûõ õîðä.Ïðè âçÿòèè n-ãî êàáåëÿ Dn (K) â ñòàðøåì ñîñòîÿíèè ìû ïîëó÷èì äâåîêðóæíîñòè, õîðäîâûå äèàãðàììû êîòîðûõ ýòî äèàãðàììû, ïîëó÷àåìûåèç D′ è D′′ îïåðàöèåé âçÿòèÿ n ïàðàëëåëüíûõ õîðä íà ìåñòå êàæäîé õîðäû.Ïîñëåäíåå èçîáðàæåíî íà ðèñ. 5.21: òðîéíîé êàáåëü äëÿ óçëà âîñüìåðêà âêàæäîì ïåðåêðåñòêå äàåò òðè õîðäû ëèáî äëÿ ñàìîé âíóòðåííåé îêðóæíîñòè, ëèáî äëÿ ñàìîé âíåøíåé îêðóæíîñòè. êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå äåëî îáñòîèò òàê, ÷òî èñõîäíàÿ õîðäîâàÿ äèàãðàììà ÿâëÿåòñÿ d-äèàãðàììîé (ñì.
îïð. íà ñòð. 163), è ïîëó÷àþùååñÿ ðàçáèåíèå ýòî êàê ðàç ðàçáèåíèå õîðä íà äâà ñåìåéñòâà òàêèì îáðàçîì, ÷òîõîðäû, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó ñåìåéñòâó, ÿâëÿþòñÿ íåçàöåïëåííûìè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ó èçíà÷àëüíîé äèàãðàììû èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà õîðäà,ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè íà îäíîé è òîé æå îêðóæíîñòè, òî íè îäíà èç äèàãðàììDn (L), n > 1, íå áóäåò 1-ïîëíîé. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå 1-ïîëíîòà äèàãðàììû Dn (L) âëå÷åò àäåêâàòíîñòü äèàãðàììû L.Ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà ñëó÷àå, êîãäà ó àòîìà èìååòñÿ ðîâíî îäíà äîêðèòè÷åñêàÿ (ñîîòâ., ïîñëåêðèòè÷åñêàÿ) îêðóæíîñòü. ñëó÷àå âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì ýòî ðàçáèåíèå ìîæåò áûòü (äëÿ çàäàí-5.9.
Ìèíèìàëüíûå äèàãðàììû äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ãë.4)259íîé õîðäîâîé äèàãðàììû D) ïðîèçâîëüíûì. Ïîñòðîåíèå äèàãðàìì, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîëüíûì ðàçáèåíèÿì, äîñòèãàåòñÿ ïîñðåäñòâîì âèðòóàëèçàöèè. À èìåííî, ïðè âèðòóàëèçàöèè íåêîòîðîãî ïåðåêðåñòêà â èñõîäíîéäèàãðàììå L ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó ïåðåêðåñòêó õîðäà â ðàçáèåíèè, îòâå÷àþùåì äèàãðàììå Dn (L), ïåðåõîäèò èç îäíîãî ñåìåéñòâà â äðóãîå.Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ.
Äàëåå äîêîíöà íàñòîÿùåé ãëàâû âñå àòîìû, ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììàì âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, ïðåäïîëàãàþòñÿ îðèåíòèðóåìûìè.Ïóñòü D õîðäîâàÿ äèàãðàììà íà îäíîé îêðóæíîñòè ñ n õîðäàìè, èïóñòü V (D) ñîîòâåòñòâóþùèé åé àòîì ñ îäíîé ÷åðíîé êëåòêîé è n âåðøèíàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îñòîâ àòîìà V (D) èìååò îäíó óíèêóðñàëüíóþêîìïîíåíòó, ò.å. ïðè ëþáîé ïðîåêöèè îñòîâà íà ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåìA-ñòðóêòóðû ìû ïîëó÷èì óçåë, à íå ìíîãîêîìïîíåíòíîå çàöåïëåíèå.Ïóñòü äàëåå D′ è D′′ äâå õîðäîâûå äèàãðàììû, ïîëó÷åííûå ðàçáèåíèåìõîðä äèàãðàììû D íåêîòîðûì îáðàçîì íà äâà ïîäìíîæåñòâà.Îïðåäåëèì äèàãðàììó KD;D′ ,D′′ äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà ñëåäóþùèìîáðàçîì (ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèé îáúåçäà).  êà÷åñòâå àòîìà, çàäàþùåãîýòó äèàãðàììó, ìû âîçüìåì àòîì V (D); ïî òàêîìó àòîìó äèàãðàììà óçëàâîññòàíàâëèâàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî âèðòóàëèçàöèè (è îáúåçäà).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
