Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 39
Текст из файла (страница 39)
 ñëó÷àå, åñëè ýòîò öèêë õîðîøèé (ñì. äàëåå), ñîåäèíèìðåáðîì lj1 êîíöû Xj′1 j2 è Xj′3 j4 , à ðåáðîì lj2 êîíöû Xj′′1 j2 è Xj′′3 j4 .  ñëó÷àå ïëîõîãî öèêëà ñîåäèíèì ðåáðîì lj1 êîíöû Xj′1 j2 è Xj′′3 j4 , à ðåáðîì lj2 êîíöû Xj′′1 j2 è Xj′3 j4 . Ïîíÿòèÿ õîðîøåãî è ïëîõîãî ðåáåð âîñõîäÿò ê îðèåíòèðóþùèì è íåîðèåíòèðóþùèì öèêëàì íà ñîîòâåòñòâóþùåì àòîìå: õîðîøèìíàçûâàåòñÿ ðåáðî, ñîîòâåòñòâóþùåå îðèåíòèðóåìîìó öèêëó. Ïðè íàêðûòèèàòîìà îðèåíòèðóþùèå öèêëû ïåðåõîäÿò â öèêëû, à íåîðèåíòèðóþùèå âíåçàìêíóòûå ïóòè (ñ íåêîòîðûìè êîíöàìè â Xk′ , Xk′′ ). Îïðåäåëèì òåïåðüïîíÿòèå õîðîøåãî ðåáðà (äëÿ ðåáåð, íå âõîäÿùèõ â ∆), à òàêæå ïîíÿòèåîðèåíòèðóþùåãî öèêëà, èñõîäÿ èç äèàãðàììû âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ.Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âñå ðåáðà äàííîãî öèêëà lj1 , lj2 , .
. . , ljk , ljk+1 = lj1 ,ãäå ðåáðà lji , lji+1 ñõîäÿòñÿ â âåðøèíå Xni (èíäåêñû i áåðóòñÿ ïî ìîäóëþk ) è ïîïðîáóåì âäîëü íèõ ëîêàëüíî îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó èñòî÷íèê-ñòîê.Îðèåíòèðóåì íåêîòîðûì îáðàçîì ðåáðî lj1 . Äàëåå, åñëè ðåáðî lj2 ïðîòèâîïîëîæíî ðåáðó lj1 â âåðøèíå Xn1 , òî ìû îðèåíòèðóåì lj2 òàê, ÷òîáû ëèáî îáàðåáðà lj1 è lj2 ñòàëè âõîäÿùèìè â âåðøèíó Xn1 , ëèáî îáà ñòàëè èñõîäÿùèìèèç íåå; â ñëó÷àå, åñëè ðåáðà íå ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè, ìû ñäåëàåìòàê, ÷òîáû îäíî èç íèõ áûëî âõîäÿùèì â äàííóþ âåðøèíó, à äðóãîå èñõîäÿùèì.
Äàëåå ïîñòóïèì òî÷íî òàê æå ïðè îðèåíòàöèè ðåáåð lj3 , lj4 , . . . .Åñëè ïðîöåññ ñîéäåòñÿ, ò.å. ìû îïðåäåëèì íà ðåáðå lji+1 = lj1 îðèåíòàöèþ,ñîâïàäàþùóþ ñ èñõîäíîé, íàçîâåì öèêë õîðîøèì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàçîâåì åãî ïëîõèì. Èìåííî, öèêë íàçûâàåòñÿ õîðîøèì (îðèåíòèðóþùèì),åñëè êîëè÷åñòâî åãî òðàíñâåðñàëüíûõ ïðîõîæäåíèé ÷åðåç êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè âåðøèíû àòîìà ÷åòíî.Çàìå÷àíèå 5.10.Íà ïëîñêîé äèàãðàììå÷åòíîñòüêîëè÷åñòâà òðàíñâåð-ñàëüíûõ ïðîõîæäåíèé ÷åðåç êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ïðîõîæäåíèé ÷åðåç âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè(âñåòàêèå ïðîõî-æäåíèÿ òðàíñâåðñàëüíû).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî òàêîå îïðåäåëåíèå õîðîøåãî öèêëà ñîâïàäàåò ñîïðåäåëåíèåì îðèåíòèðóþùåãî öèêëà íà àòîìå, çàäàííîãî A-ñòðóêòóðîé:Àòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà234çàäàâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî îðèåíòàöèþ ðåáåð ñîãëàñíî ïðàâèëó èñòî÷íèêñòîê, ìû çàäàåì îðèåíòàöèþ ïðèìûêàþùèõ ê ýòèì ðåáðàì ÷åðíûõ êëåòîê(ëîêàëüíî): ïåðâûé âåêòîð ðåïåðà íàïðàâëåí âäîëü îðèåíòàöèè ðåáðà, àâòîðîé âíóòðü ÷åðíîé êëåòêè.
Åñëè ìû âîçâðàùàåìñÿ íà èñõîäíîå ðåáðîñ òîé æå îðèåíòàöèåé, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïðîøëè ïî îðèåíòèðóþùåìó ïóòè, à åñëè ñ ïðîòèâîïîëîæíîé, òî ïî íåîðèåíòèðóþùåìó. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû ïðîõîäèì ñêâîçü êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê, òî çàäàâàåìûåòàêèì îáðàçîì îðèåíòàöèè ñîñåäñòâóþùèõ â íåì êëåòîê ïðîòèâîïîëîæíûäðóã äðóãó.
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñîâàííîñòü îðèåíòàöèè ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïî çàäàííîìó ïóòè çàâèñèò îò ÷åòíîñòè êîëè÷åñòâà êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ, ïðîéäåííûõ òðàíñâåðñàëüíî.Èòàê, ìû îïðåäåëèëè ïîíÿòèå îðèåíòèðóþùåãî öèêëà è õîðîøåãî ðåáðà (äëÿ ðåáåð, íå âõîäÿùèõ â äåðåâî ∆). Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëíîñòüþïîñòðîèëè äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî óçëà K(Ṽ (L)).
Îòìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå õîðîøåãî öèêëà íå çàâèñèò (ñ òî÷íîñòüþ äî îáúåçäà) îò âûáîðà äåðåâà ∆.Áîëåå òîãî, ïî àòîìó Ṽ (L) óçåë, ñîîòâåòñòâóþùèé äâóëèñòíîìó íàêðûòèþ, âîññòàíàâëèâàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî âèðòóàëèçàöèé (÷òî, âïðî÷åì, íåìåíÿåò ãîìîëîãèé Õîâàíîâà) è îáúåçäîâ; ìû æå óêàçàëè ÿâíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ äèàãðàììû K(Ṽ (L)) ïî äèàãðàììå L; îí ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ïîãðóæåíèþ îñòîâà àòîìà Ṽ (L) ( ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðèìåíåíèå îáúåçäà ê èñõîäíîé äèàãðàììå çàöåïëåíèÿL íà äèàãðàììå K(Ṽ (L)) èíäóöèðóåò íåêîòîðóþ êîìáèíàöèþ îáúåçäîâ.Êðîìå òîãî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿËåììà 5.5.
Ïðè ïðèìåíåíèè îäíîãî èç êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà ê äèàãðàììåLäèàãðàììàK(Ṽ (L))áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì: ê íåé áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ òî æå ñàìîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà â äâóõ ìåñòàõ. Ïðè ýòîì àòîì, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîìåæóòî÷íîéK(Ṽ (L)) ïðèìåíåíèåì âòîðîãî äâèæåíèÿ åéìåñòå (ëþáîì èç äâóõ) ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì.äèàãðàììå, ïîëó÷åííîé èçäåìåéñòåðà â îäíîìÌû áóäåì îáîçíà÷àòü çàöåïëåíèÿ äî è ïîñëå ïðèìåíåíèÿ äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ÷åðåç L, L′ , îñòîâû ñîîòâåòñòâóþùèõ àòîìîâ÷åðåç Γ, Γ′ , à ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû íàêðûòèé ÷åðåç L̃, L̃′ .Äîêàçàòåëüñòâî.Àòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà235Êàæäîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñòðîéêó äèàãðàììû óçëà âíóòðè íåêîòîðîé îáëàñòè; âíóòðè ýòîé îáëàñòè äèàãðàììà Lèìååò íåêîòîðûé âèä P , à äèàãðàììà L′ íåêîòîðûé âèä Q.
Ïðè ýòîì ìûèìååì íåêîòîðûé íàáîð õâîñòèêîâ t1 , . . . , tn , ñîåäèíÿþùèõ ïîääèàãðàììóP (äèàãðàììû L) èëè ïîääèàãðàììó Q (äèàãðàììû L′ ) ñ îñòàâøåéñÿ (íåïîäâèæíîé) ÷àñòüþ äèàãðàììû.  ñëó÷àå ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðàn ðàâíî äâóì, â ñëó÷àå âòîðîãî ÷åòûðåì, â ñëó÷àå òðåòüåãî øåñòè. Íàäèàãðàììàõ L̃ è L̃′ êàæäûé õâîñòèê ti ïîäíèìàåòñÿ äî äâóõ õâîñòèêîâ t′i , t′′i . ñëó÷àå, åñëè ïîääèàãðàììà P èëè ïîääèàãðàììà Q íå ñîäåðæèò íåîðèåíòèðóþùèõ öèêëîâ, íà L̃ ìû ïîëó÷àåì äâå êîïèè ïîääèàãðàìì P , à íà L̃′ äâå êîïèè äèàãðàììû Q.
Ñóòü òåîðåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòè êîïèè ñîãëàñîâàííûì îáðàçîì ïîäñîåäèíåíû ê õâîñòèêàì. Ïðèìåð ñîãëàñîâàííîãîè íåñîãëàñîâàííîãî ñîåäèíåíèé ïðèâåäåí íà ðèñ. 5.14.èñ. 5.14. Ñîãëàñîâàííîå è íåñîãëàñîâàííîå ñîåäèíåíèÿ ñîãëàñîâàííîì ñëó÷àå âñå âåðøèíû t′i , t′′i ñîåäèíÿþòñÿ îäèíàêîâûì ñïîñîáîì â ñëó÷àå ïîäíÿòèÿ äèàãðàììû L è â ñëó÷àå ïîäíÿòèÿ L′ , à èìåííî,ïðè íåêîòîðîì ïåðåîáîçíà÷åíèè âñå t′j ñîåäèíÿþòñÿ ìåæäó ñîáîé, à t′′k ìåæäó ñîáîé.
 íåñîãëàñîâàííîì ñëó÷àå íà ðèñ. 5.14 ñîåäèíåíèå ïðè ïîäíÿòèè L òàêîå æå, êàê è â ñîãëàñîâàííîì ñëó÷àå, à ñîåäèíåíèå ïðè ïîäíÿòèèL′ ìîæåò áûòü äðóãèì, íàïðèìåð: îäèí ýêçåìïëÿð Q ñîåäèíÿåòñÿ ñ âåðøèíàìè t′1 , t′2 , t′′3 , t′′4 , t′5 , t′6 , à âòîðîé ñ t′′1 , t′′2 , t′3 , t′4 , t′′5 , t′′6 . Íàì íóæíî ïîêàçàòü,Àòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà236÷òî âòîðîé ñëó÷àé íå èìååò ìåñòà. ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ óâåëè÷èâàþùåãî ïåðâîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, âîçíèêàåò ïåòëÿ, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî ðåáðà lj , íà÷àëüíàÿ (îíà æå êîíå÷íàÿ) òî÷êà êîòîðîãî ðàçáèâàåò íåêîòîðîå ðåáðî lk .
Î÷åâèäíî, ÷òî ðåáðîlj , ðàññìîòðåííîå êàê öèêë, ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì. Êðîìå òîãî, ðåáðî lk ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ðåáðà lk1 è lk2 , êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè âïåðåêðåñòêå ðàçáèåíèÿ. àññìîòðèì öèêë c íà ãðàå Γ′ , ñîäåðæàùèé ðåáðî lk . Åìó åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîîòâåòñòâóåò öèêë c′ , ñîäåðæàùèé ðåáðàlk1 è lk2 íà ãðàå Γ′ . Åñëè öèêë c îðèåíòèðóåì, òî îðèåíòèðóåì è öèêë c′ èíàîáîðîò.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè ðåáðà lk1 è lk2 íå ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îïðåäåëåíèè öèêëà íà ýòèõ ðåáðàõ ìîæíîçàäàòü ïîñëåäîâàòåëüíóþ îðèåíòàöèþ, ïðîèñõîäÿùóþ èç îðèåíòàöèè ðåáðàlk . Ïîýòîìó åñëè íà äèàãðàììå K(Ṽ (L)) ðåáðî lk1 ñîåäèíÿåò, ñêàæåì, êîíöû′′′Xpqñ Xrs, òî ïàðà ðåáåð lk11 , lk12 áóäåò ñîåäèíÿòü ñîîòâåòñòâóþùèå èì êîí′′′öû (ñ òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè) Xpqè Xrs. Ýòî è îçíà÷àåò ñîãëàñîâàííîñòüñîåäèíåíèÿ.Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî è ñ äâóìÿ îñòàâøèìèñÿ äâèæåíèÿìè åéäåìåéñòåðà. Êàæäîå èç ýòèõ äâèæåíèé Ω2 èëè Ω3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñòðîéêó íåêîòîðîé îáëàñòè íà ïëîñêîñòè; èç ýòîé îáëàñòè âûõîäèò íåñêîëüêîâåòâåé (â ñëó÷àå âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà èõ ÷åòûðå, à â ñëó÷àåòðåòüåãî øåñòü).
àññìîòðèì íàáîð êîíöîâ {Xij } ýòèõ âåòâåé.àññìîòðèì ñíà÷àëà âòîðîå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà. Ó äèàãðàììû Lèìååòñÿ äâóóãîëüíèê cd è ÷åòûðå èñõîäÿùèõ ðåáðà a, b, e, f , ñì. ðèñ. 5.15.èñ. 5.15. Ñëó÷àé âòîðîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðàÀòîìû è êîìïëåêñ Õîâàíîâà237Ýòîò äâóóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì, èáî êàê öèêë îí íå èìååò òðàíñâåðñàëüíûõ ïðîõîæäåíèé ÷åðåç âåðøèíû. Òàêèì îáðàçîì, âåñü íàáîð ðåáåð îäíîçíà÷íî ïîäíèìàåòñÿ íà äèàãðàììó K(Ṽ (L′ )).  èòîãå ìû ïîëó÷èìäâà íàáîðà âåòâåé a′ , b′ , c′ , d′ , e′ , f ′ è a′′ , b′′ , c′′ , d′′ , e′′ , f ′′ .
Âåòâè c′ , d′ îáðàçóþò äâóóãîëüíèê, ê êîòîðîìó ìîæíî ïðèìåíèòü óìåíüøàþùåå äâèæåíèååéäåìåéñòåðà. Òî æå ìîæíî ñêàçàòü è î äâóóãîëüíèêå c′′ d′′ . Ïðèìåíÿÿ êíèì óìåíüøàþùèå äâèæåíèÿ âòîðûå äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà, ìû ïîëó÷èì äèàãðàììó K(Ṽ (L)). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ïîñëå òàêîãîóìåíüøàþùåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà ðåáðî a′ ñîåäèíèòñÿ ñ ðåáðîì e′ , àðåáðî b′ ñ ðåáðîì f ′ (ïðè ýòîì a′′ ñîåäèíÿåòñÿ ñ e′′ , à b′′ ñ f ′′ ). Ïîñëåäíååâûòåêàåò èç òîãî ñîîáðàæåíèÿ, ÷òî ëþáîé öèêë íà L, ïðîõîäÿùèé ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç a, c, e èìååò ñòîëüêî æå òðàíñâåðñàëüíûõ ïðîõîæäåíèé÷åðåç ïåðåêðåñòêè, ñêîëüêî è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó öèêë íà L′ , ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ðåáðî A.Èç ýòîãî ñëåäóåò òàêæå è âòîðîå óòâåðæäåíèå ëåììû. ñëó÷àå òðåòüåãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà êàê íà äèàãðàììå L, òàê èíà äèàãðàììå L′ ìû èìååì ïî òðåóãîëüíèêó (h, i, f ) è (k, m, n) è ïî øåñòüâíåøíèõ âåòâåé (a, b, g, d, c, e) è (a, b, l, d, c, j).Îáà òðåóãîëüíèêà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé õîðîøèå öèêëû, òàê êàê íå ñîäåðæàò òðàíñâåðñàëüíûõ ïðîõîæäåíèé ÷åðåç êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè.Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùèå îáëàñòè P è Q ïîäíèìàþòñÿ äî äâîéíûõêîïèé îáëàñòåé P è Q.
Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî îíè ïîäíèìàþòñÿ ñîãëàñîâàííî.Äëÿ ýòîãî íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáûå äâà ïóòè γ ∈ L è γ ′ ∈ L′ , ñîåäèíÿþùèå êîíöû ti , tj , îäèíàêîâî ïîäíèìàþòñÿ íà L è L̃. Íàïðèìåð, åñëèîäèí èç äâóõ ïðîîáðàçîâ γ̃ ïóòè γ ñîåäèíÿåò òî÷êè t′i , t′j è ïðîõîäèò âíóòðèîáëàñòè P , òî ó êàæäîãî ïóòè γ ′ , èìåþùåãî òå æå êîíöû, ÷òî è ïóòü γ ,îäèí èç ïðîîáðàçîâ γ̃ ′ ñîåäèíÿåò òå æå òî÷êè t′i , t′j (à íå t′i , t′′j ). Íà ðèñ. 5.16ïîêàçàí ïðèìåð äâóõ òàêèõ ïóòåé.À èìåííî, ðàññìîòðèì äâà ïóòè ìåæäó òî÷êàìè X è Y íà äèàãðàììàõL è L′ (îòìå÷åííûå ñòðåëêàìè). Ìû óòâåðæäàåì, ÷òî îíè ïîäíèìàþòñÿîäèíàêîâûì îáðàçîì íà L̃ è L̃′ ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
