Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ðàäóèi,jðîâàííîé ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêîé êîìïëåêñà Cíàçûâàåòñÿ àëüòåðíèðîâàííàÿ ñóììà ãðàäóèðîâàííûõ ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ öåïåé èëè, ÷òîòî æå ñàìîå, ãðóïï ãîìîëîãèé. Äëÿ ïðîñòðàíñòâ öåïåé ìû èìååì: χ(C i,j ) =PPi jii,jii,j (−1) q dimC .i (−1) qdimC =Ó òàêèõ êîìïëåêñîâ äëÿ êàæäîé áèãðàäóèðîâêè (i, j) èìååòñÿ ãðóïïà(êî)ãîìîëîãèé H(C), îïðåäåëÿåìàÿ êàê àêòîðãðóïïà ñîîòâåòñòâóþùåãîïðîñòðàíñòâà öèêëîâ ïî ïîäïðîñòðàíñòâó ãðàíèö.Çäåñü qdim ãðàäóèðîâàííàÿ ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà A ñ îäíîé (êâàíòîâîé) ãðàäóèðîâêîé.Äâà ãðàäóèðîâàííûõ (áèãðàäóèðîâàííûõ) êîìïëåêñà C è C ′ íàçûâàþòñÿêâàçèèçîìîðíûìè, åñëè ñóùåñòâóþò ñîõðàíÿþùèå (áè)ãðàäóèðîâêó îòîáðàæåíèÿ f : C → C ′ , g : C ′ → C è îòîáðàæåíèå u, ïîíèæàþùåå âûñîòóíà åäèíèöó (è ñîõðàíÿþùåå âòîðóþ ãðàäóèðîâêó, åñëè òàêîâàÿ èìååòñÿ),òàêèå ÷òî f ◦ g = IdC ′ , à g ◦ f − IdC = d ◦ u + u ◦ d.Ó êâàçèèçîìîðíûõ êîìïëåêñîâ ãîìîëîãèè èçîìîðíû.5.2.1.
Ïîëèíîì Äæîíñà Jˆ: äðóãàÿ íîðìèðîâêàÎïèøåì íîðìèðîâêó ïîëèíîìà Äæîíñà, ïðåäëîæåííóþ Õîâàíîâûì (èîòëè÷àþùóþñÿ îò îáùåïðèíÿòîé).pÑäåëàâ â ñêîáêå Êàóìàíà çàìåíó ïåðåìåííîé a = (−q −1 ), ìû ïîëó÷èì âìåñòî ïîëèíîìà Äæîíñà V åãî ìîäèèöèðîâàííóþ âåðñèþ J . àñ-5.3. Êîìïëåêñ Õîâàíîâà ñ êîýèöèåíòàìè â ïîëå Z2204ñìîòðèì òàêæå ïîëèíîì Jˆ = J · (q + q −1 ). Áîëåå ïîäðîáíî Jˆ îïðåäåëÿåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü L îðèåíòèðîâàííàÿ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà, |L| ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåîðèåíòèðîâàííàÿ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà,n+ è n− êîëè÷åñòâà ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ, n îáùåå ÷èñëî êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ. Òàêèì îáðàçîìn = n+ + n− . Òîãäà èìååìˆJ(L)= (−1)n− q n+ −2n− [L],(5.1)I O Lãäå [L] ìîäèèöèðîâàííàÿ ñêîáêà Êàóìàíà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ïðàâèëó[°] = (q + q −1 ), [L ⊔ °] = (q + q −1 ) · [L], [ ] = [ ] − q[ ].Ïîëèíîì Jˆ èìååò ñëåäóþùåå êîíöåïòóàëüíî âàæíîå îïèñàíèå â òåðìèíàõêóáà ñîñòîÿíèé.
Âûíîñÿ çà ñêîáêó íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü (−1)n− q n+ −2n−Pìû ïîëó÷àåì (ñëåãêà ìîäèèöèðîâàííóþ) ñêîáêó Êàóìàíà s (−q)β(s) ((q+q −1 )γ(s) ). Òî åñòü, ìû áåðåì ñóììó ïî âñåì âåðøèíàì êóáà ïðîèçâåäåíèé(−q)h × (q + q −1 )#° , ãäå h âûñîòà âåðøèíû, à #° êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé, â ñîñòîÿíèè, ñîîòâåòñòâóþùåì äàííîé âåðøèíå êóáà.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëèíîìà íàì íóæíî ñîïîñòàâèòü êàæäîé îêðóæíîñòè ïîëèíîì Ëîðàíà (q + q −1 ), à çàòåì ïåðåìíîæèòü ýòè ïîëèíîìû, âçÿòûå ñ íåêîòîðûìè êîýèöèåíòàìè, ðàâíûìû ±q k , è âçÿòüñóììó ïîëó÷èâøèõñÿ ïîëèíîìîâ ïî âñåì âåðøèíàì êóáà.Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëèíîì Äæîíñà âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî èíîðìàöèè îêîëè÷åñòâå îêðóæíîñòåé â êàæäîì èç ñîñòîÿíèé êóáà.
Åñëè ìû òàêæå ïðèìåì âî âíèìàíèå òî, êàê ýòè îêðóæíîñòè ïåðåñòðàèâàþòñÿ ïðè ïåðåõîäåîò îäíîãî ñîñòîÿíèÿ ê ñîñåäíåìó, ìû ñìîæåì ïîñòðîèòü êîìïëåêñ Õîâàíîâà.5.3. Êîìïëåêñ Õîâàíîâà âèðòóàëüíûõ óçëîâñ êîýèöèåíòàìè â ïîëå Z2 íàñòîÿùåì ðàçäåëå ïðèâîäèòñÿ ðåçóëüòàò àâòîðà, âïåðâûå îïóáëèêîâàííûé â [Ìà6℄.Ïóñòü L îðèåíòèðîâàííàÿ äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ ñ nêëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè. Ïîä êóáîì ïåðåñòðîåê ìû ïîíèìàåì êóáÊîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2205{0, 1}n , â êàæäîé âåðøèíå êîòîðîãî óêàçàíî êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé âñîîòâåòñòâóþùåì ñîñòîÿíèè (êàê ó êóáà ñîñòîÿíèé), à íà êàæäîì ðåáðåóêàçàíî, êàêèå îêðóæíîñòè ïåðåñòðàèâàþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò ñîñòîÿíèÿ êñîñåäíåìó ñîãëàñíî ýòîìó ðåáðó (íîâàÿ èíîðìàöèÿ).
Âûñîòîé β(s) ñîñòîÿíèÿ s (âåðøèíû) êóáà íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ðàçâåäåíèé òèïà B . Îðèåíòèðóåì ðåáðà êóáà âäîëü âîçðàñòàíèÿ ñóììû êîîðäèíàò (ò.å. îò ðàçâåäåíèÿòèïà A ê ðàçâåäåíèþ òèïà B ). Ñîïîñòàâèì êàæäîé îêðóæíîñòè â êàæäîìñîñòîÿíèè ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V íàä ïîëåì Z2 , ïîðîæäåííîå äâóìÿ âåêòîðàìè v+ è v− , ãäå âåêòîðà v± èìåþò ãðàäóèðîâêó ±1. Òàêèì îáðàçîì,qdimV = (q + q −1 ). Êàæäîé âåðøèíå êóáà s = {a1 , . .
. , an } ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç γ(s).Ñîïîñòàâèì êàæäîé òàêîé âåðøèíå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V ⊗γ(s) {β(s)},ïîëó÷àþùååñÿ èç òåíçîðíîé ñòåïåíè ïðîñòðàíñòâà V ñäâèãîì ãðàäóèðîâêè.Çàìå÷àíèå 5.1.÷åíèåV äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òî æå îáîçíà-äëÿ äâóìåðíîãî ãðàäóèðîâàííîãî ñâîáîäíîãî ìîäóëÿ, ïîðîæäåííî-ãî ýëåìåíòàìèv+ , v−ãðàäóèðîâîêêîëüöîì êîýèöèåíòîâ.±1,ðàññìîòðåííîãî íàä ïðîèçâîëüíûìÇàìå÷àíèå 5.2.  íàñòîÿùåé ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì ñèììåòðè÷åñêîåòåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå, ïðè êîòîðîì äëÿ ýëåìåíòîâxσj ⊗ · · · ⊗ xσn = x1 ⊗ · · · ⊗ xn .
Ýòî ïðîèçâåäåíèå ìû íàçîâåìíåóïîðÿäî÷åííûì.  ñëåäóþùåé ãëàâå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòüèìååò ìåñòîòàêæåxi ∈ Vi , i = 1, . . . , nòåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå, â êîòîðîì ïðè îòîæäåñòâëåíèè çíàê áóäåò çàäàâàòüñÿ ÷åòíîñòüþ ïîäñòàíîâêè.Çàìåíà (q + q −1 ) íà ïðîñòðàíñòâî V , òàêîå ÷òî qdimV = (q + q −1 ), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âàæíûé øàã êàòåãîðèèêàöèè. Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâîöåïåé âûñîòû k êàê ïðÿìóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ, îòíîñÿùèõñÿ êî âñåì âåðøèíàì âûñîòû k êóáà ïåðåñòðîåê.Ìû êîððåêòíî çàäàëè öåïè ãðàäóèðîâàííîãî êîìïëåêñà. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî, êàê áû ìû íè çàäàëè äèåðåíöèàëû ýòîãî êîìïëåêñà (ñ óñëîâèåì∂ 2 = 0, åãî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà îò ýòîãî çàâèñåòü íå áóäåò. À èìåííî,ˆχ(Kh(L)) = J(L),ãäå Kh(L) îçíà÷àåò áèãðàäóèðîâàííóþ ãðóïïó ãîìîëîãèé òîãî êîìïëåêñà, êîòîðûé ìû ñîáèðàåìñÿ ñòðîèòü.Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2206Îïðåäåëèì ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû íà öåïÿõ, äåéñòâóþùèå âäîëüðåáåð êóáà ïî íàïðàâëåíèþ ñòðåëîê, ò.å.
îò ðàçâåäåíèÿ òèïà A ê ðàçâåäåíèþòèïà B , ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ðåáðî a êóáà ïåðåñòðîåê ñîîòâåòñòâóåòïåðåõîäó èç ñîñòîÿíèÿ s â ñîñòîÿíèå s′ , ïðè ýòîì èìååòñÿ l îêðóæíîñòåé, íåèíöèäåíòíûõ ïåðåêðåñòêó, ê êîòîðîìó îòíîñèòñÿ ïåðåñòðîéêà. Ýòè îêðóæíîñòè íå ïðåòåðïåâàþò èçìåíåíèé ïðè ïåðåõîäå èç ñîñòîÿíèÿ s â ñîñòîÿíèås′ .  ïåðåêðåñòêå äèàãðàììû |L|, îòâå÷àþùåì ðåáðó a, ïðîèñõîäèò ïåðåñòðîéêà ëèáî îäíîé îêðóæíîñòè â äâå, ëèáî äâóõ îêðóæíîñòåé â îäíó, ëèáîîäíîé îêðóæíîñòè â îäíó.
 ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ìû îïðåäåëèì ÷àñòè÷íûé äèåðåíöèàë òàê, êàê îí îïðåäåëÿåòñÿ â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ óçëîâ[BN2℄, à èìåííî, íà ðåáðå, óâåëè÷èâàþùåì êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé ìû ïîëîæèì ∆ ⊗ Id⊗l {1}, à íà ðåáðå, óìåíüøàþùåì êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé,ìû ïîëîæèì m ⊗ Id⊗l {1}. Çäåñü òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå îòíîñèòñÿ êîêðóæíîñòÿì, êîòîðûå íå èíöèäåíòíû ðàññìàòðèâàåìîìó ïåðåêðåñòêó, àîòîáðàæåíèÿ m : V ⊗ V → V è ∆ : V → V ⊗ V îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïðàâèëó:Îòîáðàæåíèå m:½v+ ⊗ v+ 7→ v+ , v+ ⊗ v− 7→ v− ,(5.2)v− ⊗ v+ 7→ v− , v− ⊗ v− 7→ 0Îòîáðàæåíèå ∆ :½v+ 7→ v+ ⊗ v− + v− ⊗ v+ ,v− 7→ v− ⊗ v− .(5.3)Äëÿ öåïåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ èêñèðîâàííîé âåðøèíå êóáà, äèåðåíöèàë ∂ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó âñåõ ÷àñòè÷íûõ äèåðåíöèàëîâ (êîòîðûå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ∂ ′ , áûòü ìîæåò, ñ èíäåêñîì, óêàçûâàþùèìíà ðåáðî, âäîëü êîòîðîãî ÷àñòè÷íûé äèåðåíöèàë äåéñòâóåò) ïî âñåìðåáðàì, èñõîäÿùèì èç äàííîé âåðøèíû êóáà (â íàïðàâëåíèè óâåëè÷åíèÿñóììû êîîðäèíàò). îáùåì ñëó÷àå êîððåêòíîå îïðåäåëåíèå ÷àñòè÷íîãî äèåðåíöèàëà âèäà (1 → 1) ñîãëàñîâàííûì ñ äèåðåíöèàëàìè òèïîâ (1 → 2) è (2 →1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíóþ òðóäíîñòü.
Äëÿ êîýèöèåíòîâ èç Z2 ýòàòðóäíîñòü ëåãêî ïðåîäîëåâàåòñÿ.Êîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2207Èìåííî, â ñëó÷àå ïåðåñòðîéêè òèïà (1 → 1) ìû îïðåäåëèì ÷àñòè÷íûéäèåðåíöèàë íà ðåáðå êàê îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå âñå ïðîñòðàíñòâî,îòâå÷àþùåå âåðøèíå êóáà, â íóëü. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè êóá ïåðåñòðîåê, â êîòîðîì ïî ñðàâíåíèþ ñ êóáîì ñîñòîÿíèé åùå äîïîëíèòåëüíîóêàçàíî, êàê äåéñòâóþò ÷àñòè÷íûå äèåðåíöèàëû ∂ ′ .
Îáîçíà÷èì ïîëó÷èâøååñÿ ïðîñòðàíñòâî öåïåé (êóá) ÷åðåç [[L]]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äèåðåíöèàë áûë îïðåäåëåí êîððåêòíî, êóá äîëæåí áûòü àíòèêîììóòàòèâåí, ò.å.äëÿ êàæäîé äâóìåðíîé ãðàíè êóáà êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îäíîé ïàðå ïîñëåäîâàòåëüíî èäóùèõ ðåáåð, ðàâíà ìèíóñ êîìïîçèöèèîòîáðàæåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ äðóãîé ïàðå ðåáåð. Îòìåòèì, ÷òî â äàííîìñëó÷àå (äëÿ ïîëÿ Z2 ) àíòèêîììóòàòèâíîñòü ðàâíîñèëüíà êîììóòàòèâíîñòè.Îïðåäåëèì äèåðåíöèàë ∂ êàê ñóììó âñåõ äèåðåíöèàëîâ ∂ ′ .Ëåììà 5.1.Îïðåäåëåííûé âûøå êóá[[L]]êîììóòàòèâåí.Ýòî óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ ðóòèííîé ïðîâåðêîé, àíàëîãè÷íîé òîé,êîòîðóþ ïðîäåëàë Áàð-Íàòàí â ðàáîòå [BN2℄. À èìåííî, ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîèìååò ìåñòî (àíòè)êîììóòàòèâíîñòü íà êàæäîé äâóìåðíîé ãðàíè êóáà.Ìû ïðèâåäåì ëèøü îäèí ïðèìåð òàêîé ïðîâåðêè (ñàìûé èíòåðåñíûé),ñì.
ðèñ. 5.1.Äàëåå ìû óâèäèì (ñòð. 223,284), ÷òî êàæäàÿ äâóìåðíàÿ ãðàíü êóáà ïåðåñòðîåê çàäàåò íåêîòîðûé àòîì. íàñòîÿùåì ñëó÷àå (ðèñ. 5.1) íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå m◦∆ :V → V ïåðåâîäèò âñå ïðîñòðàíñòâî V â íóëü. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè òàêîìîòîáðàæåíèè ìû èìååì: v− 7→ v− ⊗v− 7→ 0, v+ 7→ v+ ⊗v− +v− ⊗v+ 7→ 2v− = 0íàä ïîëåì Z2 .Îòìåòèì, ÷òî ýòî åäèíñòâåííûé ñóùåñòâåííûé íåêëàññè÷åñêèé ñëó÷àé, â êîòîðîì âñòðå÷àåòñÿ ïåðåñòðîéêà òèïà 1 → 1. Äåéñòâèòåëüíî, èçñîîáðàæåíèé ÷åòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî íà êàæäîé äâóìåðíîé ãðàíè êóáà ïåðåñòðîåê ÷èñëî ïåðåñòðîåê òèïà 1 → 1 ëèáî ðàâíî íóëþ, ëèáî íå ìåíåå äâóõ.Åñëè èõ íåò, òî äåëî ñâîäèòñÿ ê îäíîìó èç êëàññè÷åñêèõ ñëó÷àåâ (âñå òàêèåñëó÷àè áûëè ðàññìîòðåíû Áàð-Íàòàíîì).Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå, åñëè òàêèõ ïåðåñòðîåê äâå èëè ÷åòûðå, òî íàäâóìåðíîé ãðàíè ðàññìàòðèâàåìîãî êóáàÊîìïëåêñ Õîâàíîâà mod Z2208èñ.
5.1. Ïðîâåðêà êîììóòàòèâíîñòè äâóìåðíîé ãðàíè êóáàsV ⊗a {1} −→ V ⊗b {2}r↑↑qpV ⊗c−→ V ⊗d {1}(5.4)ëèáî êàæäàÿ èç êîìïîçèöèé q ◦ p è s ◦ r ñîäåðæèò íóëåâîå îòîáðàæåíèå,îòâå÷àþùåå ïåðåõîäó âèäà 1 → 1 (íàïðèìåð, â ñëó÷àå a = b, c = d îòîáðàæåíèÿ p è s íóëåâûå), ëèáî èìååò ìåñòî ñëó÷àé, ðàçîáðàííûé âûøå.Ïîëîæèì (ñð. [Kh℄), C(L) = [[L]]{n+ − 2n− }[−n− ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
