Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 25
Текст из файла (страница 25)
4.1.èñ. 4.1. Óçåë Êèøèíî, ðàçáèòûé íà äâà äëèííûõ óçëàÎí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâÿçíóþ ñóììó äâóõ òðèâèàëüíûõ óçëîâ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åãî ïîëèíîì Äæîíñà ðàâåí åäèíèöå.  äàëüíåéøåì ìûïîêàæåì íåòðèâèàëüíîñòü óçëà Êèøèíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëèíîìàΞ4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ150 îáîáùåíèÿ ïîëèíîìà Äæîíñà, ó÷èòûâàþùåãî ãåîìåòðèþ âèðòóàëüíûõóçëîâ.Êàæäàÿ èç äâóõ ÷àñòåé óçëà Êèøèíî çàäàåò òðèâèàëüíûé óçåë ïðèçàìûêàíèè (ñì. ðèñ.
3.26); îäíàêî êàæäàÿ èç ýòèõ ÷àñòåé íåòðèâèàëüíàêàê äëèííûé óçåë, ñì. ñòð. 126; åñëè áû õîòü îäèí èç ýòèõ äëèííûõ óçëîâáûë òðèâèàëüíûì, òî òðèâèàëüíûì áûë áû è ñàì óçåë Êèøèíî.Âîïðîñ î òîì, ñóùåñòâóþò ëè íåòðèâèàëüíûå êëàññè÷åñêèå óçëû, íà êîòîðûõ ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà ðàâåí åäèíèöå, äî ñèõ ïîð ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì. íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì ðÿä ðåçóëüòàòîâ, ïîçâîëÿþùèõ ÷àñòè÷íî îòâå÷àòü íà ïðèâåäåííûå âûøå âîïðîñû, à òàêæå íåêîòîðûå ãèïîòåçû, ñâÿçàííûå ñ ðàñïîçíàâàíèåì òðèâèàëüíîãî óçëà ïîëèíîìîì ÄæîíñàÊàóìàíà.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî n > 2 ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîå êëàññè÷åñêîåçàöåïëåíèå èç n êîìïîíåíò, èìåþùåå òîò æå ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà,÷òî è òðèâèàëüíîå nêîìïîíåíòíîå çàöåïëåíèå, à èìåííî, (−a2 − a−2 )n−1 .Ýòè ïðèìåðû ïîñòðîåíû â ðàáîòå Ë.Êàóìàíà, Ì.
Òèñòëòóýéòà è Ø.Ýëèàõó,[EKT℄.Áîëåå òîãî, â òîé æå ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ êàæäîãî êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ L èç n êîìïîíåíò ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàçëè÷íûõ(n + 1)-êîìïîíåíòíûõ çàöåïëåíèé, èìåþùèõ ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà,ðàâíûé X(L) · (−a2 − a−2 ). íàñòîÿùåé ãëàâå ìû ïðèâåäåì îáîáùåíèÿ ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà,êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ áîëåå ñèëüíûìè â ñëó÷àå âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Ýòè ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â êíèãå [Ìà1℄ è ñòàòüÿõ [Ìà7, Man3, Ma13℄.Íåñëîæíî äîêàçûâàåòñÿÏðåäëîæåíèå 4.1 (ñì., íàïð, [Kam.N1℄).íèÿ èçX(L)nÄëÿ êëàññè÷åñêîãî çàöåïëå-êîìïîíåíò âñå íåíóëåâûå ìîíîìû ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíàèìåþò ñòåïåíè, ñðàâíèìûå ñ2n + 2ïî ìîäóëþ ÷åòûðå. ñëó÷àå âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ìîæíî ñêàçàòü ëèøü, ÷òî âñå ìîíîìûèìåþò ñòåïåíè, ñðàâíèìûå ïî ìîäóëþ äâà.
Ýòî ÿâíî ñëåäóåò èç îðìóëû4.1. Îòñþäà íåìåäëåííî âûòåêàåò îáùåèçâåñòíîå4.1Ñëåäñòâèå 4.1.ëèíîìX(K)ÏóñòüK. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ151 âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå, äëÿ êîòîðîãî ïî-4k è õîòÿöåëûõ k, l . Òîãäàèìååò õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé ìîíîì ñòåïåíèáû îäèí íåíóëåâîé ìîíîì ñòåïåíèâèðòóàëüíîå çàöåïëåíèåK4l + 2äëÿ íåêîòîðûõíå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî äèàãðàììîéáåç âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ.Ýòî ïðîñòåéøèé ïðèìåð òîãî, êàê ìîæíî îïðåäåëèòü, ÷òî òî èëè èíîåâèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì.Ñâîéñòâî ïîëèíîìà Ëîðàíà èìåòü ñòåïåíè ìîíîìîâ, ñðàâíèìûå ïî ìîäóëþ ÷åòûðå, ïðèñóùå íå òîëüêî êëàññè÷åñêèì çàöåïëåíèÿì, íî è âèðòóàëüíûì çàöåïëåíèÿì, èìåþùèì äèàãðàììû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îðèåíòèðóåìûå àòîìû, ñì.
îïðåäåëåíèå äàëåå, õîòÿ ýòî ñâîéñòâî íå ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì îðèåíòèðóåìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà, ñì. pagerefPRIMER5. Îòìåòèì, ÷òî îðèåíòèðóåìîñòü àòîìà ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì ñâîéñòâîì äëÿîïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñà Õîâàíîâà. Îá ýòîì áóäåò ñêàçàíî â ñëåäóþùåé ãëàâå.Âèðòóàëèçàöèÿ è ìóòàöèèÑóùåñòâóþò ïðåîáðàçîâàíèÿ, ìåíÿþùèå äèàãðàììó âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ è ñàì êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ, íî íå ìåíÿþùèå ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà.
Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ âàæíû äëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ óçëîâ è ïîñòðîåíèÿ áîëåå ñèëüíûõ èíâàðèàíòîâ.Îäíî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîñòîèò â çàìåíå îäíîãî êëàññè÷åñêîãî ïåðåêðåñòêà îäíèì êëàññè÷åñêèì è äâóìÿ âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè òàê,êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.2.èñ. 4.2. Äâà âàðèàíòà âèðòóàëèçàöèè4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ152Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ âèðòóàëèçàöèåé èëè âûâîðà÷èâàíèåì.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êàæäûé èç äâóõ âàðèàíòîâ âèðòóàëèçàöèè âûðàæàåòñÿâ âèäå êîìáèíàöèè äðóãîãî âàðèàíòà âèðòóàëèçàöèè è äâèæåíèé îáúåçäà.Ìíîæåñòâî êëàññè÷åñêèõ óçëîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âñåõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.
Ïðè ýòîì è êëàññè÷åñêèå, è âèðòóàëüíûå óçëû çàäàþòñÿ ïîñðåäñòâîì àòîìîâ. Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ[FKM℄ îá óòî÷íåíèè (óïðîùåíèè) ïîíÿòèÿ âèðòóàëüíîãî óçëà ñ ïîìîùüþàòîìîâ, ÷òîáû ýêâèâàëåíòíîñòü êëàññè÷åñêèõ óçëîâ ïðè ýòîì íå èçìåíèëàñü. À èìåííî, ìû âûäâèãàåì ñëåäóþùóþ ãèïîòåçó.èïîòåçà 4.1. (èïîòåçà î âèðòóàëèçàöèè) Âåðíî ëè, ÷òî åñëè äâà êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèÿK1èK2ýêâèâàëåíòíû ïîñðåäñòâîì îáîáùåííûõäâèæåíèé åéäåìåéñòåðà è âèðòóàëèçàöèè, òî îíè èçîòîïíû?Îòìåòèì, ÷òî âèðòóàëèçàöèÿ, ïðèìåíåííàÿ äâàæäû ê îäíîìó è òîìó æåïåðåêðåñòêó X äèàãðàììû L (ò.å. ê ïåðåêðåñòêó X äèàãðàììû L, à çàòåìê ïîÿâèâøåìóñÿ âìåñòî íåãî ïåðåêðåñòêó X ′ äèàãðàììû L′ ), ïðèâîäèò êäèàãðàììå L′′ , ïîëó÷àþùåéñÿ èç äèàãðàììû L äâóêðàòíûì ïðèìåíåíèåìîáúåçäà.
Õîðîøî èçâåñòíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 4.1 (Êàóìàí, [Kau7℄). Âèðòóàëèçàöèÿ íå ìåíÿåò çíà÷åíèÿ ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà.Áîëåå èíòåðåñíûì ïðèìåðîì ïðåîáðàçîâàíèÿ, íå ìåíÿþùåãî ïîëèíîìàÄæîíñà-Êàóìàíà, ÿâëÿþòñÿ ìóòàöèè. Âïåðâûå ìóòàöèè áûëè ðàññìîòðåíû Äæ.Õ. Êîíâååì â [Con℄.Îíè ñîñòîÿò â óäàëåíèè èç äèàãðàììû íåêîòîðîãî ñîäåðæàùåãîñÿ â íåéðàãìåíòà (íàçûâàåìîãî òàíãëîì òèïà 2 − 2) è âñòàâêîé â íåå ýòîãî æåòàíãëà (ò.å. ÷àñòè äèàãðàììû óçëà èëè çàöåïëåíèÿ, èìåþùåé ÷åòûðå èñõîäÿùèõ êîíöà), ïîâåðíóòîãî íà óãîë π , ñì. ðèñ. 4.3.Äèàãðàììû, ïîëó÷àþùèåñÿ äðóã èç äðóãà ïðèìåíåíèåì ìóòàöèè, íàçûâàþòñÿ (âçàèìíûìè) ìóòàíòàìè.Ïîíÿòèå ìóòàöèè è ìóòàíòà äîñëîâíî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ óçëîâ è çàöåïëåíèé (ïðè ýòîì òàíãëû òèïà 2 − 2, âñòðå÷àþùèåñÿ ââèäå ïîääèàãðàììû, ìîãóò áûòü è âèðòóàëüíûìè).Îáùåèçâåñòíî (äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïð., â [Ìà1℄) ñëåäóþùåå4.1.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ153èñ. 4.3. ÌóòàöèÿÏðåäëîæåíèå 4.2.Ìóòàöèÿ íå ìåíÿåò çíà÷åíèÿ ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà.Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäóñîñòîÿíèÿìè ìóòàíòîâ L1 è L2 òàêîå, ÷òî êîëè÷åñòâî îêðóæíîñòåé â ñîñòîÿíèè s äëÿ äèàãðàììû L1 ðàâíî êîëè÷åñòâó îêðóæíîñòåé â ñîîòâåòñòâóþùåì åìó ñîñòîÿíèè s′ äèàãðàììû L2 . Òàê êàê ÷èñëà çàêðó÷åííîñòè ó(îðèåíòèðîâàííûõ) ìóòàíòîâ ñîâïàäàþò, òî ñîâïàäàþò è çíà÷åíèÿ íà íèõïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà, ñì. ðèñ. 4.3.Îòìåòèì, ÷òî êîìïëåêñ Õîâàíîâà, êîòîðîìó áóäåò ïîñâÿùåíà ñëåäóþùàÿãëàâà, èíîãäà ðàçëè÷àåò ìóòàöèè â ñëó÷àå çàöåïëåíèé. Ýòî áûëî âïåðâûåîáíàðóæåíî Øòåàíîì Âåðëè [Weh1℄.4.1.1.
Àòîìû è óçëûÏóñòü äàíà êëàññè÷åñêàÿ àëüòåðíèðîâàííàÿ äèàãðàììà L. Åå òåíü ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà êëåòêè C1 , . . . , Cn , êîòîðûå ìîæíî ðàñêðàñèòü øàõìàòíûì îáðàçîì. Ïðè ýòîì íàáîð îêðóæíîñòåé â A-ñîñòîÿíèè (ñîñòîÿíèè,â êîòîðîì âñå ïåðåêðåñòêè ðàçâåäåíû ñïîñîáîì A, ñì. ñòð. 147) âçàèìíîîäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò êëåòêàì îäíîãî öâåòà, à íàáîð îêðóæíîñòåé âB -ñîñòîÿíèè (êîãäà âñå ïåðåêðåñòêè ðàçâåäåíû ñïîñîáîì B ) ñîîòâåòñòâó-4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ154åò îñòàâøèìñÿ îêðóæíîñòÿì. Òàêèì îáðàçîì, àëüòåðíèðîâàííàÿ äèàãðàììà çàäàåò ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà, ïîðîæäàþùèé ÷åðíî-áåëóþ ðàñêðàñêóäâóìåðíîé ñåðû (ïëîñêîñòè ñ äîáàâëåííîé áåñêîíå÷íîé òî÷êîé). ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé êëàññè÷åñêîé äèàãðàììû îêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñòîÿíèÿì A è B íå çàäàþò ðàçáèåíèÿ ñåðû.
Êàê îêàçûâàåòñÿ,ñ êàæäîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììîé ìîæíî ñâÿçàòü íåêîòîðóþ äâóìåðíóþïîâåðõíîñòü, ðàçáèòóþ íà êëåòêè è ðàñêðàøåííóþ øàõìàòíûì îáðàçîì,÷òîáû áåëûå êëåòêè ñîîòâåòñòâîâàëè îêðóæíîñòÿì â ñîñòîÿíèè A, à ÷åðíûåêëåòêè îêðóæíîñòÿì â ñîñòîÿíèè B . ×àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé êîíñòðóêöèèÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèå ñåðû, îïèñàííîå â íà÷àëå íàñòîÿùåãî ïîäðàçäåëà.Ýòà ïîâåðõíîñòü (âìåñòå ñ ãðàîì è øàõìàòíîé ðàñêðàñêîé) íàçûâàåòñÿàòîìîì. Ïî àòîìó âîññòàíàâëèâàåòñÿ áîëüøàÿ ÷àñòü èíîðìàöèè î çàöåïëåíèè, â ÷àñòíîñòè, åãî ñêîáêà Êàóìàíà (ïîëèíîìà Äæîíñà), à òàêæåãîìîëîãèè Õîâàíîâà.Âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèàãðàììû çàöåïëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îðèåíòèðóåìîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìà è åãî ðîä.Ïîíÿòèå àòîìà âïåðâûå áûëî ââåäåíî À.Ò.Ôîìåíêî â [F℄ äëÿ êëàññèèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ìàëîé ñëîæíîñòè. äàëüíåéøåì ñâÿçü ìåæäó àòîìàìè è óçëàìè èññëåäîâàëàñü àâòîðîì âðÿäå ðàáîò [Ìàí-1, Ìàí-2, Ìàí-3, Ìà1℄. [Tur2℄ Â..Òóðàåâ èñïîëüçîâàë ñõîæóþ êîíñòðóêöèþ (ïîýòîìó ðîä àòîìà â íåêîòîðûõ èñòî÷íèêàõ, íàïð., [Low℄, íàçûâàþò ðîäîì Òóðàåâà).Îïðåäåëåíèå 4.0.
Íàçîâåìäâóìåðíîå çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå M , â êîòîðîå âëîæåí ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà Γ ∈ M , äåëÿùèé ìíîãîîáðàçèå M íà êëåòêè ñ èêñèðîâàííîé øàõìàòíîé ðàñêðàñêîé äâóìåðíûõêëåòîê. ðà Γ íàçûâàåòñÿ îñòîâîì àòîìà. Âåðøèíàìè àòîìà íàçûâàþòñÿâåðøèíû åãî îñòîâà.îäîì (ñîîòâåòñòâåííî, ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêîé) àòîìà íàçûâàåòñÿðîä (ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà) ñîîòâåòñòâóþùåãî äâóìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.
Àòîì íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóåìûì, åñëè òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîãîîáðàçèå. Àòîìû ðîäà 0 íàçûâàþòñÿ ñåðè÷åñêèìè, îðèåíòèðóåìûå àòîìû ðîäà îäèí òîðè÷åñêèìè.Çàìå÷àíèå 4.1.àòîìîìÀòîì ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå â âèäå äâóìåðíîé ïî-4.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ155âåðõíîñòè (ñ êðàåì), íà êîòîðîé çàäàíà óíêöèÿ Ìîðñà ñ âûäåëåííûìêðèòè÷åñêèì óðîâíåì ñ íåñêîëüêèìè ñåäëîâûìè òî÷êàìè ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ äðóãèõ ñåäëîâûõ òî÷åê (èçíà÷àëüíîå îïðåäåëåíèå À.Ò.Ôîìåíêî[F℄); â ýòîì ñëó÷àå îñòîâ àòîìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèòè÷åñêèé óðîâåíü, ÷åðíûå êëåòêè îáëàñòè çíà÷åíèé âûøå êðèòè÷åñêîãî (ïîñëåêðèòè÷åñêèå), à áåëûå êëåòêè îáëàñòè çíà÷åíèé íèæå êðèòè÷åñêîãî (äîêðèòè÷åñêèå). Äàëåå òàêæå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ òåðìèíû äîêðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè è ïîñëåêðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè äëÿ îïèñàíèÿ îêðóæíîñòåé â ñîñòîÿíèÿõ ñîîòâåòñòâóþùåãî óçëà.Ïðèìåð òîðè÷åñêîãî àòîìà èçîáðàæåí íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
