Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû114èñ. 3.19. Ïðèìåð ÑàâîëëåêàËåãêî âèäåòü, ÷òî ïîëèíîì ζ(K) è ïîëèíîì ζ(K ′ ), ïîëó÷åííûé èç íåãîçàìåíîé s íà s−1 è t íà t−1 , íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðóãà óìíîæåíèåì íà íåêîòîðûé ìîíîì sm tl . Ñëåäîâàòåëüíî, óçåë K íå ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì.Êðîìå òîãî, â ýòîé æå ðàáîòå Ñàâîëëåê ïîêàçàë, ÷òî åãî ïîëèíîì ñâîäèòñÿ ê èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé (ñì. îïðåäåëåíèå âãëàâå 8), è òåì ñàìûì ïîêàçàë, ÷òî â âèðòóàëüíîì ñëó÷àå èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ìîãóò ðàçëè÷àòü óçëû, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ îðèåíòàöèåé.  êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå âîïðîñ î òîì, ñóùåñòâóåò ëè èíâàðèàíò Âàñèëüåâà, ðàñïîçíàþùèé îáðàòèìîñòü íåêîòîðûõ óçëîâ, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì, ñì., íàïð.,[CDBook, DuK℄.Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå âèðòóàëüíûõ óçëîâ äàæå èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ïîðÿäêà íîëü ìîãóò ðàñïîçíàâàòü îáðàòèìîñòü: îá ýòîì áóäåò ñêàçàíîïîäðîáíåå â ãëàâå 8.Ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ áèãðóïïîèäîâ è èõ îáîáùåíèé âèðòóàëüíûõ áèãðóïïîèäîâ.3.2.
Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëûÍàñòîÿùèé ðàçäåë ñîäåðæèò öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò ãëàâû 3 ïîñòðîåíèå ñèëüíûõ èíâàðèàíòîâ äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ðàñïîçíàþùèõíåêîììóòèðóåìîñòü äëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.åçóëüòàòû àâòîðà, ïðèâîäèìûå â íàñòîÿùåì ðàçäåëå, îïóáëèêîâàíû âêíèãå [Ìà1℄ è â ñòàòüÿõ [Man5, Ìà9℄.3.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû115Íàçîâåì äëèííîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììîé ïîãðóæåíèå îáùåãî ïîëîæåíèÿ îðèåíòèðîâàííîé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R íà ïëîñêîñòü Oxy , ñîâïàäàþùåå âíå íåêîòîðîãî áîëüøîãî êðóãà ñ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì R íàïðÿìóþ Ox è ñíàáæåííîå â êàæäîì ïåðåñå÷åíèè (êîòîðîå â ñëó÷àå îáùåãîïîëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äâîéíûì è òðàíñâåðñàëüíûì) ñòðóêòóðîé êëàññè÷åñêîãî èëè âèðòóàëüíîãî ïåðåêðåñòêà.
Äëèííûå âèðòóàëüíûå äèàãðàììûìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü îðèåíòèðîâàííûìè ñîãëàñíî îðèåíòàöèè ïðÿìîéñëåâà íàïðàâî; ïðè èçîáðàæåíèè èõ íà ðèñóíêàõ ìû îðèåíòàöèþ íå áóäåìóêàçûâàòü.èñ. 3.20. Äèàãðàììà äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëàÓ äëèííîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû èìåþòñÿ äâå âûäåëåííûå íåêîìïàêòíûå äóãè (ñîîòâåòñòâåííî, äëèííûå äóãè, êîðîòêèå äóãè). Çäåñü äóãà íàçûâàåòñÿ íåêîìïàêòíîé, åñëè îíà ñîäåðæèò îáðàç òî÷êè x ∈ R, òàêîé÷òî îãðàíè÷åíèå îòîáðàæåíèÿ R1 → R2 íà èíòåðâàëû (−∞, −|x|] è [|x|, ∞)ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì âëîæåíèåì R1 → R1 .Íàçîâåì äëèííûì âèðòóàëüíûì óçëîì êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè äëèííûõâèðòóàëüíûõ äèàãðàìì îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.
Êëàññè÷åñêèì íàçûâàåòñÿ äëèííûé âèðòóàëüíûé óçåë, èìåþùèé äèàãðàììó áåç âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ. Òðèâèàëüíûì íàçûâàåòñÿ äëèííûéâèðòóàëüíûé óçåë, èìåþùèé äèàãðàììó áåç ïåðåêðåñòêîâ. Ýòîò óçåë ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì, ó êîòîðîãî åñòü äèàãðàììà, äâå íåêîìïàêòíûå äóãèêîòîðîé ñîâïàäàþò.Ïðèìåð 3.2.Ïðèìåð äëèííîãî óçëà èçîáðàæåí íà ðèñ.3.20Îáû÷íûå âèðòóàëüíûå óçëû (íå äëèííûå) ìû áóäåì íàçûâàòü òàêæåêîìïàêòíûìè âèðòóàëüíûìè óçëàìè.3.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû116Èìåþòñÿ äâå îïåðàöèè, ïðåâðàùàþùèå äëèííûé óçåë â êîìïàêòíûé èíàîáîðîò. Ïåðâàÿ èç íèõ íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì äëèííîãî óçëà, K 7→Cl(K), ñì. ðèñ.
3.21.èñ. 3.21. Çàìûêàíèå äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëàÝòà îïåðàöèÿ îïðåäåëåíà êîððåêòíî è ñîïîñòàâëÿåò äëèííîìó âèðòóàëüíîìó óçëó îðèåíòèðîâàííûé êîìïàêòíûé âèðòóàëüíûé óçåë. Îíà ñîñòîèòâ òîì, ÷òî äâå íåêîìïàêòíûå äóãè îáðûâàþòñÿ â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîñòè è ñîåäèíÿþòñÿ. Ïðè ýòîì ïîëó÷èâùèéñÿ êîìïàêòíûé óçåë íàñëåäóåòîðèåíòàöèþ äëèííîãî óçëà.Âòîðàÿ îïåðàöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ îáðàòíîé ê ïåðâîé, ðàçðûâàíèå ÿâëÿåòñÿ ìåíåå åñòåñòâåííîé. Îíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû âûáèðàåì íà äèàãðàììåîðèåíòèðîâàííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà L òî÷êó, îòëè÷íóþ îò ïåðåêðåñòêà,ðàçðûâàåì ýòîò óçåë â äàííîé òî÷êå è âûòÿãèâàåì êîíöû íà áåñêîíå÷íîñòüòàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü äëèííûé óçåë.  ñëó÷àå, åñëè êîíöû ìîæíî âûòÿíóòüíà áåñêîíå÷íîñòü, ÷òîáû íå âîçíèêëî äîïîëíèòåëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ, ìûáóäåì äåëàòü ýòî èìåííî òàêèì îáðàçîì; â ñëó÷àå, åñëè òàêîâûå âîçíèêàþò, âñå ýòè ïåðåêðåñòêè íóæíî îïðåäåëèòü, êàê âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè.Îáîçíà÷èì ýòó îïåðàöèþ ÷åðåç Brk : L → Brk(L) = K .3.2.
Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëûd*K©©© 1dHHjHK2d117--èñ. 3.22. Ïîëó÷åíèå äëèííîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû ðàçðûâàíèåìÍà ðèñ. 3.22 ïîêàçàíà ïðîöåäóðà ðàçðûâàíèÿ äèàãðàììû âèðòóàëüíîãîóçëà â íåêîòîðîé òî÷êå è ïîëó÷åíèÿ äëèííîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû.Î÷åâèäíî, ÷òî âòîðàÿ îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê ïåðâîé â òîì ñìûñëå, ÷òî Cl(Brk(L)) = L. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïåðàöèÿ Brk íå ÿâëÿåòñÿêîððåêòíî îïðåäåëåííîé, à èìåííî, ïîëó÷àþùèéñÿ äëèííûé âèðòóàëüíûéóçåë (åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè) ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êèðàçðûâà. äàëüíåéøåì (ãëàâà 8) ìû ïîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî êîìïàêòíîãî âèðòóàëüíîãî óçëà L ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïîïàðíî íåýêâèâàëåíòíûõäëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ K , òàêèõ ÷òî Cl(K) = L.
Âïåðâûå ýòî ÿâëåíèåáûëî çàìå÷åíî Ä.Ñèëüâåðîì è Ñ.Óèëüÿìñ; â êíèãå [Ìà1℄ îíî áûëî äîêàçàíî èñõîäÿ èç ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé, ñâÿçàííûõ ñ èíâàðèàíòàìè Âàñèëüåâàêîìïàêòíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Ê äëèííûì óçëàì (êëàññè÷åñêèì è âèðòóàëüíûì) ìîæíî ïðèìåíÿòü òåõíèêó, ðàçâèòóþ ðàíåå â íàñòîÿùåé ãëàâå, ïðè ýòîì ñòîèò îáðàòèòü âíèìàíèåíà äâà îáñòîÿòåëüñòâà:1. Ó äëèííîãî óçëà èìåþòñÿ èêñèðîâàííûå íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ íåêîìïàêòíûå äóãè, òåì ñàìûì èíâàðèàíòíûìè áóäåò íå òîëüêî ñàì àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò (ãðóïïîèä èëè åãî îáîáùåíèå), à àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò ñ âûäåëåííîé â íåì ïàðîé ýëåìåíòîâ.2. Ó äëèííîãî óçëà åñòü ïîðÿäîê îáõîäà, òåì ñàìûì åãî êëàññè÷åñêèåïåðåêðåñòêè äåëÿòñÿ íà äâà âèäà â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ äóãàáûëà ïðîéäåíà ðàíüøå: îáðàçóþùàÿ ïðîõîä èëè îáðàçóþùàÿ ïåðåõîä.3.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû118 ïåðâîì ñëó÷àå ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïåðåêðåñòîê ÿâëÿåòñÿ ðàííèìïðîõîäîì, à âî âòîðîì ðàííèì ïåðåõîäîì.Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü áîëåå òîíêèå èíâàðèàíòû, ÷åì îáû÷íûåâèðòóàëüíûå ãðóïïîèäû.Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå êëàññèèêàöèè óçëîâ (êîìïàêòíûõ) è äëèííûõ óçëîâ ñîâïàäàþò.
 âèðòóàëüíîì ñëó÷àå, êàê áóäåòïîêàçàíî â íàñòîÿùåé ãëàâå, ýòî íå òàê. Ïðèâåäåííûå âûøå ñîîáðàæåíèÿìîãóò áûòü ïîëåçíû êàê äëÿ ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòîâ êëàññè÷åñêèõ (äëèííûõ) óçëîâ, òàê è äëÿ ïîñòðîåíèÿ âèðòóàëüíûõ äëèííûõ óçëîâ. À èìåííî,â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ìû ïðåäëàãàåì íîâûé ïîäõîä ê èíâàðèàíòàì óçëîâ÷åðåç äëèííûå óçëû ñ ó÷åòîì äâóõ âèäîâ ïåðåêðåñòêîâ.  âèðòóàëüíîì æåñëó÷àå ìû ïîñòðîèì èíâàðèàíòû, êîòîðûå áóäóò ðàçëè÷àòü äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû, çàìûêàíèÿ êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýêâèâàëåíòíûå(êîìïàêòíûå) âèðòóàëüíûå óçëû.Èñõîäÿ èç ýòèõ äâóõ îáñòîÿòåëüñòâ ìîæíî ïîñòðîèòü èíâàðèàíòíûå êîíñòðóêöèè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ëåãêî ðàçëè÷àòü äëèííûå óçëû è îáíàðóæèâàòü åíîìåíû, íå èìåþùèå ìåñòà â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå: íàïðèìåð, òîòàêò, ÷òî äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå êîììóòèðóþò.Íàçîâåì äëèííûì ãðóïïîèäîì ìíîæåñòâî M ñ âûäåëåííûìè ýëåìåíòàìèa è b è çàäàííûìè áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè ◦, ∗ è óíàðíîé îïåðàöèåé f , òàêîå÷òî:1.
Ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ◦ (îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç /) è âèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîì îòíîñèòåëüíî f .2. Ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíûì ãðóïïîèäîì îòíîñèòåëüíî ∗(îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç //) è âèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîìîòíîñèòåëüíî f .3. Îïåðàöèè ◦, ∗, /, // ÿâëÿþòñÿ ïðàâî-äèñòðèáóòèâíûìè ïî îòíîøåíèþäðóã ê äðóãó.4.
Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ. Ïóñòü α, β íåêîòîðûå îïåðàöèè èç ñïèñêà {◦, ∗, /, //}. Òîãäà äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ M èìåþò ìåñòîòîæäåñòâà:3.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû½xα(y ◦ z) = xα(y ∗ z)xα(y/z) = xα(y//z)119(3.13)Ñîîòíîøåíèÿ (3.13) ìû íàçîâåì ñòðàííûìè. Íà ïåðâûé âçãëÿä îïåðàöèè◦ è / äîëæíû ñîâïàäàòü; íà ñàìîì äåëå, ñóùåñòâóþò ïðèìåðû, ãäå ðàçëè÷íûå îïåðàöèè ◦ è /, óäîâëåòîâîðÿþùèå ñòðàííûì ñîîòíîøåíèÿì, çàäàþòíåòðèâèàëüíûå èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Ýëåìåíòû a è b íàçûâàþòñÿ íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ýëåìåíòàìè äëèííîãî ãðóïïîèäà.Ïðèâåäåííûå âûøå àêñèîìû ñîîòâåòñòâóþò ïîñòðîåíèþ èíâàðèàíòà äëèííûõ óçëîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìû ðàññìàòðèâàåì äóãè äëèííîãî óçëà K èñîïîñòàâëÿåì èì ýëåìåíòû, êîòîðûå âïîñëåäñòâèè áóäóò èãðàòü ðîëü îáðàçóþùèõ äëèííîãî ãðóïïîèäà.
Èç íèõ âûäåëåííûìè ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèå aè b, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé íåêîìïàêòíûì äóãàì.  âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ ìû âûïèñûâàåì ñîîòíîøíåíèÿ òèïà (3.2,3.3), ñì. ñòð.85, êîòîðûå îáîçíà÷èì ÷åðåç Rk1 è Rk2 òàê æå, êàê è â ñëó÷àå âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà.
 êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ ìû âûïèñûâàåì ñîîòíîøåíèÿ(àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿì (3.1), ñì. ñòð. 82) R◦,i äëèííîãî ãðóïïîèäà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ◦ â ñëó÷àå ðàííåãî ïåðåõîäà èëè R∗,i äëèííîãî ãðóïïîèäà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ∗ â ñëó÷àå ðàííåãî ïðîõîäà. À èìåííî, ïîäðàííèì ïåðåõîäîì ìû ïîíèìàåì ñèòóàöèþ, êîãäà ïðè îáõîäå äëèííîãî óçëà îò íà÷àëà ê êîíöó â ðàññìàòðèâàåìîì ïåðåêðåñòêå ñíà÷àëà îáõîäèòñÿâåðõíÿÿ âåòâü (ïåðåõîä), à çàòåì íèæíÿÿ (ïðîõîä).  ïðîòèâíîì ñëó÷àåèìååò ìåñòî ðàííèé ïðîõîä, ñì.
ðèñ. 1.2.Çàäàäèì îáùóþ íóìåðàöèþ {Ri } äëÿ âñåõ îïèñàííûõ âûøå ñîîòíîøåíèé. Êàæäîå ñîîòíîøåíèå Ri èìååò âèä ðàâåíñòâà ri1 = ri2 .Êàê îêàçûâàåòñÿ, ïðèâåäåííûå âûøå àêñèîìû äëèííîãî ãðóïïîèäà ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü òàêèì îáðàçîì èíâàðèàíò äëèííûõ óçëîâ.Ïåðåéäåì ê åãî äåòàëüíîìó îïèñàíèþ. Îòìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî äëèííûéãðóïïîèä, àíàëîãè÷íî äèñòðèáóòèâíîìó ãðóïïîèäó èëè âèðòóàëüíîìó ãðóïïîèäó, ìîæíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ îáðàçóþùèõ è îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé. Äëÿ ýòîãî íóæíî âçÿòü îáðàçóþùèå a1 , . . .
, ak , ïîñòðîèòü ìíîæåñòâîäîïóñòèìûõ ñëîâ ñëîâ, ïîëó÷àåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíî èç îáðàçóþùèõ ïî-3.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû120èñ. 3.23. àííèé ïåðåõîä è ðàííèé ïðîõîäñðåäñòâîì îïåðàöèé ◦, /, ∗, //, f . Íà ïîëó÷åííîì ìíîæåñòâå Admi(a1 , . . . , ak )âñå îïåðàöèè äëèííîãî ãðóïïîèäà åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåíû. Îïðåäåëèì òåïåðü äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä, çàäàííûé îáðàçóþùèìè a1 , . . .
, akè ñîîòíîøåíèÿìè R1 , . . . , Rl è îáîçíà÷àåìûé ÷åðåç Äha1 , . . . , ak |R1 , . . . Rl |a, biêàê àêòîðìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Admi(M ) ïî ñîîòíîøåíèÿì ýêâèâàëåíòíîñòè, çàäàâàåìûì ñëåäóþùèìè ýëåìåíòàðíûìè ýêâèâàëåíòíîñòÿìè:1. ∀A ∈ Admi : A ◦ A ∼ A, A/A ∼ A, A ∗ A ∼ A, A//A ∼ A,2. ∀A, B ∈ Admi : (A ◦ B)/B ∼ (A/B) ◦ B ∼ A,∀A, B ∈ Admi : (A ∗ B)//B ∼ (A//B) ∗ B ∼ A,3. ∀A, B, C ∈ Admi : (AαB)βC ∼ (AβC)α(BβC),ãäå α, β ∈ {◦, ∗, /, //},4. xα(y ◦ z) ∼ xα(y ∗ z); xα(y/z) ∼ xα(y//z),äëÿ α ∈ {◦, ∗, /, //}.5.
f (f −1 (A)) ∼ f −1 (f (A)) ∼ A äëÿ ëþáûõ A ∈ Admi;6. f (AαB) = f (A)αf (B) äëÿ ëþáûõ A, B ∈ Admi è ëþáîé îïåðàöèèα ∈ {◦, ∗, /, //}.7. ∀i = 1, . . . , l : ri1 ∼ ri2 .Ýëåìåíòû a è b ìû çàäàåì íåêîòîðûìè äîïóñòèìûìè ñëîâàìè èç ìíîæåñòâà Admi(a1 , . . . , ak ).3.2. Äëèííûå âèðòóàëüíûå óçëû121Ïóñòü òåïåðü äàíà äèàãðàììà K äëèííîãî âèðòóàëüíîãî óçëà, è ïóñòüa1 , . . .
, ak åå äóãè, ïðè÷åì a = a1 íà÷àëüíàÿ äóãà, b = a2 êîíå÷íàÿ äóãà. Îïðåäåëèì äëèííûé ãðóïïîèä Ä(L) êàê Äha1 , . . . , ak |R◦i , R∗j , Rk,1 , Rl,2 |a1 , a2 i.Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 3.14.ÏóñòüK, K ′ äèàãðàììû ýêâèâàëåíòíûõ äëèííûõ âèð-òóàëüíûõ óçëîâ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ãîìîìîðèçì h : (Ä(K), aK , bK ) →(Ä(K ′ ), aK ′ , bK ′ ), ñîãëàñîâàííûé ñ îïåðàöèÿìè ◦, ∗ è f è ïåðåâîäÿùèé ýëå-ìåíòaKâaK ′ ,ýëåìåíò àbK âbK ′ .Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâóèíâàðèàíòíîñòè âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà.Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ÷èñòî âèðòóàëüíûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà î÷åâèäíà.
 ñëó÷àå îáúåçäà íàì äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü åãî ëîêàëüíóþ âåðñèþ, â êîòîðîé âåòâü ñ äâóìÿ âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè ïðîõîäèò ÷åðåç êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê.  ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì äåëî ñîïåðàöèåé f è ëèøü îäíîé èç îïåðàöèé ◦ èëè ∗. Äàëåå, òîëüêî îäíà èçäâóõ îïåðàöèé ∗, ◦ ìîæåò âîçíèêíóòü ïðè ðàññìîòðåíèè ïåðâîãî èëè âòîðîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.Ñàìûì èíòåðåñíûì ÿâëÿåòñÿ çäåñü òðåòüå êëàññè÷åñêîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà. Äîñòàòî÷íûì ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå åãî ñëó÷àåâ, óêàçàííûõíà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
