Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ìàòðèöó ÀëåêñàíäåðàM (L) ñëåäóþùèì îáðàçîì. (Ìû âåðíåìñÿ ê òàêèì ìàòðèöàì â äàëüíåéøåì,êîãäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü âèðòóàëüíûå óçëû).Ïåðåíóìåðóåì âñå êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè äèàãðàììû íàòóðàëüíûìè÷èñëàìè îò åäèíèöû äî n.  îáùåì ñëó÷àå èç êàæäîãî ïåðåêðåñòêà èñõîäèò ðîâíî îäíà äëèííàÿ äóãà (åñëè òîëüêî â äèàãðàììå íåò îòäåëüíûõöèêëè÷åñêèõ äóã).
Íàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ïðàâèëüíûåäèàãðàììû. Ñîïîñòàâèì êàæäîé äëèííîé äóãå íîìåð i òîãî ïåðåêðåñòêà,èç êîòîðîãî îíà âûõîäèò. Òåïåðü ìîæíî ïîñòðîèòü ìàòðèöó èíöèäåíòíîñòè, â êîòîðîé ïåðåêðåñòêè ñîîòâåòñòâóþò ñòðîêàì, à äóãè ñîîòâåòñòâóþòñòîëáöàì.Äîïóñòèì, ÷òî íèêàêîé ïåðåêðåñòîê íå èíöèäåíòåí îäíîé è òîé æå äëèííîé äóãå äâàæäû.Òîãäà êàæäîå ïåðåñå÷åíèå ïðèíàäëåæèò ðîâíî òðåì äëèííûì äóãàì: äóãà, îáðàçóþùàÿ ïåðåõîä (íîìåð j ), èñõîäÿùàÿ äóãà (íîìåði), è âõîäÿùàÿ äóãà (íîìåð k ), ñì. ðèñ. 3.13.Ïðè ýòîì iÿ ñòðîêà ìàòðèöû Àëåêñàíäåðà ñîñòîèò èç òðåõ íåíóëåâûõýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ìåñòàõ i, j, k . Åñëè iûé ïåðåêðåñòîê ïîëî-X3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ98æèòåëåí ( ), òî mii = 1, mik = −t, mij = t − 1.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àåïîëàãàåì mii = t, mik = −1, mij = 1 − t.Î÷åâèäíî, ÷òî îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó ñóììàýëåìåíòîâ â êàæäîé ñòðîêå ðàâíà íóëþ.Òåì ñàìûì ìû ïîñòðîèëè êëàññè÷åñêóþ ìàòðèöó Àëåêñàíäåðà, ñîîòíîøåíèÿ â êîòîðîé çàäàþò êëàññè÷åñêèé ìîäóëü Àëåêñàíäåðà; îáðàçóþùèå âïîñëåäíåì ñîîòâåòñòâóþò äëèííûì äóãàì èñõîäíîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììû.Åñòü äâà åñòåñòâåííûõ ñïîñîáà îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêîãî ìîäóëÿ Àëåêñàíäåðà íà âèðòóàëüíûé ñëó÷àé.
Îäèí èç íèõ (àääèòèâíûé ñïîñîá) ñîñòîèòâ äîáàâëåíèè íîâîé îáðàçóþùåé ε â ñàì ìîäóëü, ïðè ýòîì îïåðàöèÿ f èìååòâèä x → x + ε; âòîðîé ìóëüòèïëèêàòèâíûé, ò.å. ìû äîáàâëÿåì íîâóþ ïåðåìåííóþ ê îñíîâíîìó êîëüöó (â ñëó÷àå çàöåïëåíèé èç ìíîãèõ êîìïîíåíò íîâûå ïåðåìåííûå, â êîëè÷åñòâå, ðàâíîì ÷èñëó êîìïîíåíò), è îïåðàöèÿ fñîñòîèò â óìíîæåíèè íà îäíó èç ýòèõ ïåðåìåííûõ. Åñòåñòâåííî, ÷òî â ñëó÷àå ìíîãèõ êîìïîíåíò ýòî ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ìîäèèêàöèåé âèðòóàëüíîãîãðóïïîèäà.Àääèòèâíûé ïîäõîäÏðèâîäèìûå íèæå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [Ìà2, Ma13, Ìà1℄.Ïóñòü R êîëüöî ïîëèíîìîâ Ëîðàíà îò ïåðåìåííîé t. Èíîãäà íàì áóäåò óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî R ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì íàä Z, à èíîãäà íàä Q.Ýòî áóäåò îãîâàðèâàòüñÿ îòäåëüíî. Áóäåì ñîïîñòàâëÿòü äèàãðàììàì âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ìîäóëè íàä êîëüöîì R, ïðè ýòîì ñðåäè îáðàçóþùèõìîäóëÿ ïîìèìî ýëåìåíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ äóãàì óçëà, áóäåò òàêæå èêñèðîâàííûé ýëåìåíò ε.
Ýòîò ýëåìåíò áóäåò èãðàòü ðîëü âûäåëåííîé äîïîëíèòåëüíîé îáðàçóþùåé. Áîëåå òî÷íî, ðàññìîòðèì âèðòóàëüíóþ äèàãðàììóL. Îáîçíà÷èì åå äóãè ÷åðåç a1 , . . . , an . Ïîñòðîèì òåïåðü ìîäóëü íàä êîëüöîì R, ïîðîæäåííûé îáðàçóþùèìè-äóãàìè a1 , . . . , an è îáðàçóþùåé ε, ïîñòðîåííûé ïî ïðàâèëó âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà, îïåðàöèè â êîòîðîì èìåþòâèä:3.1½.
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿx ◦ y = tx + (1 − t)yf (x) =x+ε99(3.5)Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòè îïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò àêñèîìàì âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà.Ýòè îïåðàöèè çàäàþò ñîîòíîøåíèÿ â ìîäóëå M.Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé âèðòóàëüíîé äèàãðàììå L ñîîòâåòñòâóåò ïàðà(M, ε) ìîäóëü è âûäåëåííûé ýëåìåíò â íåì.Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðàññóæäåíèé âûòåêàåòÒåîðåìà 3.6.′Äëÿ äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ âèðòóàëüíûõ äèàãðàìì L è L′ñóùåñòâóåò èçîìîðèçì ìîäóëåé M(L) → M(L ), ïåðåâîäÿùèé ýëåìåíòε(L) â ε(L′ ).Ýòîò ìîäóëü ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü áîëåå ïðîñòûå (ïîëèíîìèàëüíûå) èíâàðèàíòû çàöåïëåíèé.
Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü èäåàë I(L) â êîëüöåR, àííóëèðóþùèé ýëåìåíò ε èç ìîäóëÿ M(L). Èç òåîðåìû 3.6 ñëåäóåò, ÷òîèäåàë I(L) òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì çàöåïëåíèÿ.Âàæåí ñëó÷àé, êîãäà èäåàë I(L) ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì. àññìîòðèì ñëó÷àé åâêëèäîâà êîëüöà R = Q[t, t−1 ].  ýòîì ñëó÷àå ýòîò èäåàë ïîðîæäåííåêîòîðûì ïîëèíîìîì, êîòîðûé, áóäó÷è ðàññìîòðåí ñ òî÷íîñòüþ äî åäèíèö êîëüöà R, ñàì ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì çàöåïëåíèÿ L.
Îáîçíà÷èì ýòîòïîëèíîì ÷åðåç V A è áóäåì íàçûâàòü V A-ïîëèíîìîì.Èç ïîñòðîåíèÿ âûòåêàåò ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 3.7.ÏîëèíîìVAÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì âèðòóàëüíûõ çàöåïkëåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà λt , k ∈ Z, λ ∈ QÏåðåéäåì ê ÿâíîìó îïèñàíèþ òîãî, êàê âû÷èñëÿòü ïîëèíîì V A.àññìîòðèì (ïðàâèëüíóþ) îðèåíòèðîâàííóþ âèðòóàëüíóþ äèàãðàììó Kñ n êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè. Ïåðåíóìåðóåì åå êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè îò 1 äî n, ïðè ýòîì êàæäîé äëèííîé äóãåñîïîñòàâèì íîìåð òîãî êëàññè÷åñêîãî ïåðåêðåñòêà, èç êîòîðîãî îíà âûõîäèò.Êàæäàÿ äëèííàÿ äóãà l íà÷èíàåòñÿ ñ íåêîòîðîé äóãè s(l). Îáîçíà÷èìýëåìåíò ìîäóëÿ M, ñîîòâåòñòâóþùèé íà÷àëüíîé äóãå s(k) äëèííîé äóãè3.1.
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ100ñ íîìåðîì k , ÷åðåç ak . Òîãäà âñå îñòàëüíûå äóãè äëèííîé äóãè ñ íîìåðîì k ïðåäñòàâëåíû â ìîäóëå M ýëåìåíòàìè âèäà ak + pki ε, ãäå pki íåêîòîðûå öåëûå ÷èñëà. Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíòû {a1 , . . . , an , ε} ñîñòàâëÿþò íàáîð îáðàçóþùèõ ìîäóëÿ M(K). Äëÿ çàäàíèÿ M íàì îñòàëîñü ëèøüîïèñàòü ñîîòíîøåíèÿ â êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ.  êëàññè÷åñêîì ïåðåêðåñòêå ñ íîìåðîì i ñõîäÿòñÿ òðè äëèííûå äóãè: äëèííàÿ äóãà ñ íîìåðîì iâûõîäèò èç íåãî, äëèííàÿ äóãà ñ íåêîòîðîì íîìåðîì j ïðîõîäèò ñêâîçü, àäëèííàÿ äóãà ñ íîìåðîì k âõîäèò â ýòîò ïåðåêðåñòîê, ñì. ðèñ. 3.13.ij@I@¡@¡@¡¡@@ ¡¡¡ @@¡@µ¡@kèñ. 3.13. Òðè äóãè, èíöèäåíòíûå ïåðåêðåñòêóÏðè ýòîì ïåðåêðåñòêó èíöèäåíòíû òðè äóãè, ÿâëÿþùèåñÿ ÷àñòÿìè äëèííûõ äóã ñ íîìåðàìè i, j, k .
Ïî ïîñòðîåíèþ èì ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòû ãðóïïîèäà âèäà ai , aj + pji ε, ak + pki ε. Ñîîòíîøåíèå â ïåðåêðåñòêå èìååò âèä−ai + t±1 ak + (1 − t±1 )aj = ((t±1 − 1)pji − t±1 pki )ε,(3.6)Xïðè ýòîì çíàê â ïîêàçàòåëå âûáèðàåòñÿ ðàâíûì +1 â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî ïåðåêðåñòêà ( ), à çíàê −1 âûáèðàåòñÿ â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî ïåðåêðåñòêà ( ).Çäåñü ìû óæå ïåðåíåñëè âñå ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ε, â ïðàâóþ ÷àñòü.Âûïèøåì òàêèì îáðàçîì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âñåõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ.
Ìû ïîëó÷èì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèéU(M ) · (a) = (b) · ε.(3.7)Ýòà ìàòðèöà M íîñèò íàçâàíèå ìàòðèöû Àëåêñàíäåðà âèðòóàëüíîé äèàãðàììû K , à (a) ñòîëáåö, ñîñòîÿùèé èç a1 , . . . , an .3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ101Ìàòðèöà Àëåêñàíäåðà îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè ñòðîê èñîîòâåòñòâóþùåé åé ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ.Ìàòðèöà Àëåêñàíäåðà âûðîæäåíà (ñì., íàïð, [ÊÔ℄): ñóììà ýëåìåíòîââ êàæäîé åå ñòðîêå ðàâíà íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ åå ñòðîê ðàâíà íóëþ. Èç óðàâíåíèÿ (3.7) ñëåäóåò, ÷òî, âçÿâñîîòâåòñòâóþùóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýëåìåíòîâ bi è óìíîæèâ åå íà ε,ìû ïîëó÷èì íóëü. Èç òàêèõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé è ñîñòîèò èäåàë I . Âñëó÷àå, åñëè èäåàë I òðèâèàëåí, ìû ïîëàãàåì ïîëèíîì V A ðàâíûì íóëþ.Òåîðåìà 3.8. Äëÿ êëàññè÷åñêîãî çàöåïëåíèÿ L âèðòóàëüíûé ìîäóëü Àëåêñàíäåðà ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ, îäíèì èç êîòîðûõÿâëÿåòñÿ ìîäóëü, ïîðîæäåííûé ýëåìåíòîìñòîε.
Ñëåäîâàòåëüíî,èìååò ìå-V A(L) = 0.àññìîòðèì äèàãðàììó çàöåïëåíèÿ L, íå èìåþùóþ âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ, è âûïèøåì äëÿ íåå ñîîòíîøåíèÿ ìîäóëÿ Àëåêñàíäåðà.  íèõ íå áóäåò ó÷àñòâîâàòü ε. Èç ýòîãî ñëåäóþò îáà óòâåðæäåíèÿòåîðåìû.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðèìåð 3.1.àññìîòðèì âèðòóàëüíûé òðèëèñòíèê è âû÷èñëèì åãîâèðòóàëüíûé ãðóïïîèä.
Íà ðèñ. 3.14 ñïðàâà, ìû èìååì äâà êëàññè÷åñêèõïåðåêðåñòêà:IèII .Îíè çàäàþò ñèñòåìó èç äâóõ ñîîòíîøåíèé:èñ. 3.14. àçìå÷åííûé âèðòóàëüíûé òðèëèñòíèêI : (a + ε)t + b(1 − t) = b + εII : bt + (b + ε)(1 − t) = a,3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ102èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî:at − bt = (1 − t)εb − a = (t − 1)ε.Óìíîæàÿ âòîðîå óðàâíåíèå íà t è ïðèáàâëÿÿ åãî ê ïåðâîìó, ìû ïîëó2÷àåì: 0 = ε(1 − t) . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äðóãèõ ñîîòíîøåíèé âèäàαε = 0 â ìîäóëå íåò. Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì V A(K) = (1 − t)2 .àññìîòðèì äâå ñâÿçíûå ñóììû âèðòóàëüíîãî òðèëèñòíèêà ñ ñàìèì ñîáîé èç ãëàâû 2, èçîáðàæåííûå íà ðèñ.
2.2 è 2.3. ßâíîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî èõ V A-ïîëèíîìû ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî (t−1)2 (t+1) è (t−1)2 (t2 +1),ïîäðîáíåå ñì. [Man6℄.Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 3.9 ([Ìà2℄). Äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãîïîëèíîìV A(K)äåëèòñÿ íà2(t − 1)óçëà(íåçàöåïëåíèÿ)K.Ïóñòü K̄ äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî óçëà.  ñëó÷àå, åñëè âñå åå ïåðåêðåñòêè âèðòóàëüíûå, K̄ ÿâëÿåòñÿ äèàãðàììîé òðèâèàëüíîãîóçëà è èìååò V Aïîëèíîì, ðàâíûé íóëþ.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê V1 äèàãðàììû K̄ . Ïóñòü X äëèííàÿ äóãà,èñõîäÿùàÿ èç ïåðåêðåñòêà V1 , è ïóñòü x ïåðâàÿ äóãà äëèííîé äóãè X , èíöèäåíòíàÿ ïåðåêðåñòêó V1 (ïî õîäó îðèåíòàöèè óçëà). Îáîçíà÷èì ýòó äóãó÷åðåç a1 . Ïî ïîñòðîåíèþ, âñåì äóãàì, ïðèíàäëåæàùèì äëèííîé äóãå X ,ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòû a1 + kε, k ∈ N.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäíÿÿ äóãàäëèííîé äóãè X (âäîëü îðèåíòàöèè óçëà) ïîìå÷åíà êàê a1 +k1 ε. Îáîçíà÷èìêîíå÷íûé ïåðåêðåñòîê ýòîé äóãè ÷åðåç V2 . àññìîòðèì òåïåðü ïåðâóþ äóãó,âûõîäÿùóþ èç V2 è ïðèïèøåì åé a2 + k1 ε (ò.å. ìû ìîæåì ââåñòè ïî ïðàâèëó îáðàçóþùóþ a′2 , à çàòåì ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííîé a′2 = a2 + k1 ε).Äàëåå ìû óñòàíîâèì ìåòêè âèäà a2 + kε äëÿ âñåõ äóã, ïðèíàäëåæàùèõ òîéæå äëèííîé äóãå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäíÿÿ èç íèõ èìååò ìåòêó a2 +k2 εè îêàí÷èâàåòñÿ â ïåðåêðåñòêå V3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
