Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ92öåïëåíèÿ â Γ.  ñëó÷àå, êîãäà Γ èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, èìååòñìûñë ãîâîðèòü î êîëè÷åñòâå òàêèõ ìîðèçìîâ êàê îá èíâàðèàíòå.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàæäîìó óçëó (çàöåïëåíèþ) ìîæíî ñîïîñòàâëÿòü èíâàðèàíòíûé äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä (âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä) â òîé èëèèíîé êàòåãîðèè.
Òàê, íàïðèìåð, â êàòåãîðèè ãðóïï äèñòðèáóòèâíûé ãðóïïîèä ïðåäñòàâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïîé, ò.å. ïðè çàïèñè ñîîòíîøåíèéãðóïïîèäà óçëà íà ÿçûêå ãðóïï, ãäå â êà÷åñòâå ñîîòíîøåíèÿ a ◦ b áåðåòñÿbab−1 , çàäàåò óíäàìåíòàëüíóþ ãðóïïó óçëà.Âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä çàäàåò ñëåäóþùåå îáîáùåíèå óíäàìåíòàëüíîéãðóïïû äîïîëíåíèÿ ê óçëó.Ëåììà 3.1. [Man6℄ Äëÿ êàæäîéèçâåäåíèå ãðóïïûðàçóþùåéGãðóïïûGãðóïïàG ∗ {q} (ñâîáîäíîåïðî-ñ áåñêîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé ãðóïïîé, ïîðîæäåííîé îá-q)ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé◦, f (·), îïðåäåëåííûõ êàê a◦b = bab−1 , f (c) = qcq −1 äëÿ âñåõ a, b, c ∈ G∗{q}.Îáðàòèìîñòü îïåðàöèè f , êàê è îáðàòèìîñòü ñîïðÿæåíèÿî÷åâèäíà.
Äåéñòâèòåëüíî, íàì íóæíî ïîêàçàòü ëèøü, ÷òî f (a ◦ b) = f (a) ◦f (b).  ñàìîì äåëå, f (a◦b) = f (bab−1 ) = qbab−1 q −1 = qbq −1 (qaq −1 )qb−1 q −1 =f (b)f (a)f (b−1 ) = f (a) ◦ f (b).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñòðîèì òåïåðü âèðòóàëüíóþ ãðóïïó âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ G(L)ïî âèðòóàëüíîé äèàãðàììå L. Îáîçíà÷èì âñå äóãè äèàãðàììû L ÷åðåçai , i = 1, . . . , n. ðóïïà G(L) ýòî ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ îáðàçóþùèìèa1 , . . . , an , q ñ îïðåäåëÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè âèäîâ (3.1), (3.2), (3.3), â êîòîðûõ ìû ïîëàãàåì f (x) = qxq −1 , y ◦ z = zyz −1 .
Íàçîâåì êëàññè÷åñêîéãðóïïîé âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ àêòîðãðóïïó âèðòóàëüíîé ãðóïïû ïîñîîòíîøåíèþ q = 1. ñëó÷àå êëàññè÷åñêîé äèàãðàììû ìû ïîëó÷èì â òî÷íîñòè êîïðåäñòàâëåíèå Âèðòèíãåðà ñ îäíîé ëèøíåé îáðàçóþùåé q (êîòîðàÿ íå ó÷àñòâóåò âñîîòíîøåíèÿõ); òàêèì îáðàçîì, îïèñàííàÿ âûøå âèðòóàëüíàÿ ãðóïïà áóäåòïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñâîáîäíîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïû óçëà íà áåñêîíå÷íóþöèêëè÷åñêóþ ãðóïïó, ïîðîæäåííóþ îáðàçóþùåé q .Íåêîòîðûå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ (è èõ èíâàðèàíòû) ìîãóò îáëàäàòüñâîéñòâàìè, êîòîðûå íå èìåþò ìåñòà â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ93Íàïðèìåð, êàê â êëàññè÷åñêîì, òàê è â âèðòóàëüíîì ñëó÷àå ìîæíî îïðåäåëèòü âåðõíþþ è íèæíþþ ãðóïïû (â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå óíäàìåíòàëüíûå ãðóïïû äîïîëíåíèÿ); íèæíÿÿ ãðóïïà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ãðóïïà çåðêàëüíîãî îáðàçà âèðòóàëüíîãî óçëà.
Äëÿ êëàññè÷åñêèõóçëîâ ýòè ãðóïïû ÿâëÿþòñÿ èçîìîðíûìè ïî ãåîìåòðè÷åñêèì ïðè÷èíàì. âèðòóàëüíîì ñëó÷àå âåðõíåå è íèæíåå êîïðåäñòàâëåíèÿ ìîãóò çàäàâàòüíåèçîìîðíûå êëàññè÷åñêèå ãðóïïû.  ïðèâîäèìîì íèæå ïðèìåðå ïðèâîäèòñÿ ãðóïïà áåç äîïîëíèòåëüíîé îáðàçóþùåé q . Ïåðâûé òàêîé ïðèìåð áûëïðèâåäåí â [GPV℄. Îí âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.dcdcNabcbèñ. 3.12. Âèðòóàëüíûé óçåë ñ íåèçîìîðíûìè âåðõíåé è íèæíåé ãðóïïàìèàññìîòðèì âèðòóàëüíûé óçåë K, èçîáðàæåííûé íà ðèñ 3.12. Åãî ÷åòûðåäëèííûå äóãè a, b, c, d, óêàçàííûå íà ðèñ. 3.12, ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâåîáðàçóþùèõ ãðóïïû óçëà.
Çäåñü äëèííàÿ äóãà èäåò îò ïðîõîäà äî ñëåäóþùåãî ïðîõîäà, ïî õîäó îáðàçóÿ ïåðåõîäû è âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè. Ìûïîëó÷èì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:b = dad−1 , a = bdb−1 , d = bcb−1 , c = dbd−1 .Òàêèì îáðàçîì, îáðàçóþùèå a è c âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îáðàçóþùèå b è d.Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì êîïðåäñòàâëåíèå hb, d|bdb = dbdi, êîòîðîå çàäàåò ãðóïïó, èçîìîðíóþ ãðóïïå òðèëèñòíèêà (ãðóïïå êîñ èç òðåõ íèòåé).Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ãðóïïà ñîîòâåòñòâóþùåãî çåðêàëüíîãî óçëà èçîìîðíà ãðóïïå Z ãðóïïå òðèâèàëüíîãî óçëà.Èç òåîðåìû Äåíà-Ïàïàêèðüÿêîïóëîñà [Ïàï℄ ñëåäóåò, ÷òî ñðåäè íåòðèâèàëüíûõ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ íåò óçëà, èìåþùåãî óíäàìåíòàëüíóþ ãðóïïó3.1.
ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ94äîïîëíåíèÿ, èçîìîðíóþ Z, ïîýòîìó óçåë K íå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì.Òåîðåìà 3.4. ([Man6℄) Ïàðà: (ãðóïïà G(L), ýëåìåíò q ∈ G(L)) ÿâëÿåòñÿèíâàðèàíòîì âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè äèàãðàì′ìû L è L çàäàþò ýêâèâàëåíòíûå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ, òî ñóùå′ñòâóåò èçîìîðèçì h : G(L) → G(L ), òàêîé ÷òî h(qL ) = qL′ .Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 3.3 è ëåììû 3.1.Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ òðèâèàëüíîãî óçëà U ìû èìååì G(U ) = ha, q|i; ýòî ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ñ äâóìÿ îáðàçóþùèìè.Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ðàññóæäåíèé ñëåäóåò íåòðèâèàëüíîñòü âèðòóàëüíîãî òðèëèñòíèêà: åãî âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä íå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðíûìâèðòóàëüíîìó ãðóïïîèäó òðèâèàëüíîãî óçëà ïîñðåäñòâîì èçîìîðèçìà, ñîõðàíÿþùåãî ýëåìåíò q .Ñóùåñòâóåò è äðóãèå êîïðåäñòàâëåíèÿ âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà â ãðóïïàõ.
Íàïðèìåð, êîïðåäñòàâëåíèåx ◦ y = y p xy −p , f (x) = qxq −1 ,ãäå p èêñèðîâàííîå öåëîå ÷èñëî, à q èêñèðîâàííûé ýëåìåíò ãðóïïû. Äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè òàêîå æå, êàê â îáùåì ñëó÷àå, òîëüêîâìåñòî àáñòðàêòíûõ îïåðàöèé ◦, f íóæíî èñïîëüçîâàòü èõ ÿâíûå ãðóïïîâûå ðåàëèçàöèè.Êðîìå òîãî, äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíâàðèàíòîâ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíèìèç ñëåäóþùèõ êîïðåäñòàâëåíèé:èëèx ◦ y = yx−1 y, f (x) = qxq −1x ◦ y = yx−1 y, f (x) = qx−1 q.Çàìå÷àíèå 3.5. àññìîòðèì ãðóïïóñ îáðàçóþùèìè, ñîîòâåòñòâóþùè-ìè äóãàì êëàññè÷åñêîãî óçëà è ñîîòíîøåíèÿìè â ïåðåêðåñòêàõ, êîòîðûå−1ïîëó÷àþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé ãðóïïîèäà ïî ïðàâèëó x ◦ y → yx y . Êàêèçâåñòíî, ýòà ãðóïïà èçîìîðíà óíäàìåíòàëüíîé ãðóïïå äâóëèñòíîãîíàêðûòèÿ, âåòâÿùåãîñÿ íàä óçëîì.3.13.1.2.
Èíâàðèàíò ðàñêðàñîê. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ95Èäåÿ ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòà ðàñêðàñîê (ýëåìåíòàìè íåêîòîðîãî âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà) î÷åíü ïðîñòà. Èíâàðèàíò ðàñêðàñîê ðàâåí êîëè÷åñòâóãîìîìîðèçìîâ âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà ðàññìàòðèâàåìîãî çàöåïëåíèÿ âíåêîòîðûé êîíå÷íûé âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä. Áîëåå òî÷íî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ëåììà.Ëåììà 3.2.Γ′ âèðòóàëüíûé ãðóïïîèä. Òîãäà ìíîæåñòâî ãî′ìîìîðèçìîâ Γ(L) → Γ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì çàöåïëåíèÿ L.  ÷àñò′íîñòè, åñëè ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà Γ êîíå÷íî,′òî êîëè÷åñòâî ãîìîìîðèçìîâ Γ(L) → Γ òàêæå êîíå÷íî, è ýòî êîëè÷åÏóñòüñòâî ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà.Ïåðâîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî ïî ïîñòðîåíèþ.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ðàññìîòðèì âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå L èåãî ïðàâèëüíóþ äèàãðàììó L̄. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãîìîìîðèçìà h : Γ(L) →Γ′ íàì íóæíî îïðåäåëèòü ëèøü ýëåìåíòû h(ai ) îáðàçû ýëåìåíòîâ âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà Γ(L), ñîîòâåòñòâóþùåãî äóãàì äèàãðàììû L̄, ò.å. îáðàçóþùèì. Òàê êàê êîëè÷åñòâî äóã ó äèàãðàììû êîíå÷íî, èñêîìîå êîëè÷åñòâîãîìîìîðèçìîâ òàêæå êîíå÷íî.Äîêàçàòåëüñòâî.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êîíå÷íîãî âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà Γ′ ìû èìååì öåëî÷èñëåííûé èíâàðèàíò çàöåïëåíèé, îïðåäåëÿåìûé êàê ÷èñëî ãîìîìîðèçìîâ Γ(L) → Γ′ . Ñìûñë ýòîãî èíâàðèàíòà î÷åíü ïðîñò: îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî ðàñêðàñîê äóã äèàãðàììû L̄ ýëåìåíòàìè âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäàΓ′ ; ðàñêðàñêà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà â êëàññè÷åñêèõ è âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêàõ.Ïðèâåäåì ïðèìåð âèðòóàëüíîãî ãðóïïîèäà èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ.
Îïðåäåëèì îïåðàöèþ ◦ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó (íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîêè ai èñòîëáöà aj ñòîèò ýëåìåíò ai ◦ aj ):3.1◦a1a2a3a4. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿa1a1a4a2a3a2a3a2a4a1a3a4a1a3a2a4a2a3a1a496(3.4)Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î òîì, ãäå áðàòü (êîíå÷íûå) âèðòóàëüíûå ãðóïïîèäû. Ïðèâåäåì îáîáùåíèÿ êîíñòðóêöèé äèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ, ïðåäëîæåííûõ â [Ìàò℄, íà âèðòóàëüíûé ñëó÷àé. àññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, g ∈ G èêñèðîâàííûé ýëåìåíò â ýòîéãðóïïå, à n èêñèðîâàííîå öåëîå ÷èñëî.
Òîãäà ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâãðóïïû G, ñíàáæåííîå îïåðàöèÿìè x ◦ y = y n xy −n , f (x) = gxg −1 , ÿâëÿåòñÿâèðòóàëüíûì ãðóïïîèäîì.Èíà÷å ìîæíî ñòðîèòü âèðòóàëüíûå ãðóïïîèäû ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ(êîíå÷íîé) ãðóïïû G ñ èêñèðîâàííûì ýëåìåíòîì g ∈ G ìû ïîëàãàåìx ◦ y = yx−1 y, f (x) = gxg −1 .Ïóñòü äàíî êîììóòàòèâíîå êîëüöî R ñ åäèíèöåé, è ïóñòü t, s ∈ R îáðàòèìûå ýëåìåíòû.Èç íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêè âûòåêàåòÒåîðåìà 3.5.R, ñíàáæåííîå îïåðàöèÿìè ◦, /, f, f −1 , çàäàííûìè ïî ïðàâèëó x◦y = tx+(1−t)y, f (x) = sx, ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíûì[Man6℄ Êîëüöîãðóïïîèäîì.Ýòè ïðèìåðû äàþò äâå ñåðèè öåëî÷èñëåííûõ èíâàðèàíòîâ âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé.Ñïèñîê äèñòðèáóòèâíûõ ãðóïïîèäîâ ìàëîé ñëîæíîñòè ïðèâåäåí â ìîíîãðàèè Ñêîòòà Êàðòåðà, Ñåéè÷è Êàìàäû è Ìàñàõèêî Ñàéòî, [CKS2℄.
 ýòîéêíèãå òàêæå îïèñàíà òåîðèÿ ãîìîëîãèé ãðóïïîèäîâ (quandle homology), êîòîðàÿ èìååò ïðèìåíåíèå â îáû÷íîé òåîðèè âèðòóàëüíûõ óçëîâ, à òàêæå ââûñøèõ ðàçìåðíîñòÿõ (íàïðèìåð, äëÿ ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòîâ äâóìåðíûõóçëîâ â R4 ).3.1. ðóïïîèäû è èõ îáîáùåíèÿ973.1.3. Âèðòóàëüíûé ìîäóëü Àëåêñàíäåðàè åãî îáîáùåíèÿÏîëèíîì Àëåêñàíäåðà ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç óíäàìåíòàëüíóþ ãðóïïó äîïîëíåíèÿ ê óçëó èëè ÷åðåç ñâîáîäíîå äèåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèåÔîêñà, ñì., íàïð., [ÊÔ℄.Ìû áóäåì îïðåäåëÿòü ïîëèíîì Àëåêñàíäåðà ïîñðåäñòâîì ìîäóëÿ Àëåêñàíäåðà.Ìîäóëü Àëåêñàíäåðà (âèðòóàëüíîé èëè êëàññè÷åñêîé) äèàãðàììû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäóëü íàä Z[t], ïîðîæäåííûé âñåìè äëèííûìè äóãàìè äèàãðàììû (êîòîðûå â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ñîâïàäàþò ñ åå îáû÷íûìè äóãàìè)è ñîîòíîøåíèÿìè (3.1) â êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêàõ òàê, êàê ïîêàçàíî íàðèñ. 3.3, ãäå îïåðàöèÿ a ◦ b îçíà÷àåò ta + (1 − t)b.Ýòè ñîîòíîøåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå êâàäðàòíîé ìàòðèöû,ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò ïåðåêðåñòêàì äèàãðàììû, à ñòîëáöû (äëèííûì) äóãàì äèàãðàììû.Ïóñòü äàíà îðèåíòèðîâàííàÿ äèàãðàììà çàöåïëåíèÿ L ñ n êëàññè÷åñêèìè ïåðåêðåñòêàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
