Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 55
Текст из файла (страница 55)
. . ),íîìåðà íèòåé, ïîäõîäÿùèå ê ïåðåêðåñòêó ñëåâà è ñïðàâà, îáîçíà÷èì ÷åðåçp è q . Ïðè j 6= p, q ìû èìååì Pj′ = Pj . Áîëåå òîãî, Pp = Pp′ ïî ïîñòðîåíèþîòîáðàæåíèÿ F (òàê êàê p-ÿ íèòü äâàæäû îáðàçóåò ïåðåõîä). Äàëåå, Pq′ =−1(Pq Pp−1 a−1p Pp )Pp ap Pp = Pq .Ïðîâåðèì òåïåðü èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî òðåòüåãî âèðòóàëüíîãîäâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà. Ïóñòü β ñëîâî-êîñà, β1 = βζi ζi+1 ζi , à β2 =βζi+1 ζi ζi+1 .
Ïóñòü p, q, r íîìåðà íèòåé (ñ÷èòàÿ ñâåðõó), ñîîòâåòñòâóþùèåïîëîæåíèÿì n, n + 1, n + 2 âíèçó êîñû b.Îáîçíà÷èì F(β) ÷åðåç (P1 , . . . , Pn ), à F(β1 ) ÷åðåç (P11 , . . . , Pn1 ). Îáîçíà-7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ327÷èì òàêæå F(β2 ) ÷åðåç (P12 , . . . , Pn2 ). Î÷åâèäíî, ÷òî ∀i 6= p, q, r ìû èìååìPi = Pi1 = Pi2 . Èç ÿâíûõ âû÷èñëåíèé ñëåäóåò, ÷òî Pp1 = Pp2 = Pp · t2 , Pq1 =Pq2 = Pq , à òàêæå Pr1 = Pr2 = Pr · t−2 .àññìîòðèì òåïåðü ñìåøàííîå (ïîëóâèðòóàëüíîå) ñîîòíîøåíèå. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè, ÷òî è ïðåæäå: P 1 è P 2 áóäóòîáîçíà÷àòü F(ββ1 ) è F(ββ2 ) ñîîòâåòñòâåííî, ãäå β1 = βζi ζi+1 σi , β2 =βσi+1 ζi ζi+1 .
Êàê è ðàíåå, Pj1 = Pj2 = Pj äëÿ âñåõ j 6= p, q, r. Èç ÿâíûõ âû÷èñ−1ëåíèé ñëåäóåò, ÷òî Pp1 = Pp t2 , Pq1 = Pq t−1 , Pr1 = Pr t−1 (Pq t−1 )−1 a−1q (Pq t ) =−1−1Pr Pq a−1è Pp2 = Pp t2 , Pq2 = Pq t−1 , Pr2 = Pr Pq−1 a−1q Pq tq Pq t .àññìîòðèì, íàêîíåö, òðåòüå êëàññè÷åñêîå äâèæåíèå åéäåìåéñòåðà β1 =βσi σi+1 σi , β2 = βσi+1 σi σi+1 ; îáîçíà÷åíèÿ îñòàþòñÿ ïðåæíèìè. Ìû èìååì:∀j 6= p, q, r : Pj1 = Pj2 = Pj . Êðîìå òîãî, òàê êàê pÿ íèòü (â îáîèõ ñëó÷àÿõ) îáðàçóåò äâà ïåðåõîäà, òî Pp1 = Pp2 = Pp . Ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååì−1 −1−1 −1−1 −1−1 −11Pq1 = Pq Pp−1 a−1p Pp , Pr = (Pr Pp ap Pp ) · (Pq Pp ap Pp ) aq (Pq Pp ap Pp )−1 −1= Pr Pq−1 a−1q Pq Pp ap Pp ; ïî ïîñòðîåíèþ èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà−1 −1−1 −12Pq2 = Pq Pp−1 a−1p Pp , Pr = Pr Pq aq Pq Pp ap Pp .Ñîâïàäåíèå îêîí÷àòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.Òàêèì îáðàçîì ìû äîêàçàëè, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì âèðòóàëüíûõêîñ, ò.å.
äëÿ çàäàííîé êîñû çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ F íå çàâèñèò îò äèàãðàììû, ïðåäñòàâëÿþùåé b. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ïèñàòü ïðîñòî F(b).Çàìå÷àíèå 7.5.F ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåêàê óíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ (E1 , . . . , En ), à êàê óíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ â n ýêçåìïëÿðàõ ãðóïïû G: ïî ñóòè äåëà, â äîêàçàòåëüñòâå äîêàçûâàëàñü èíâàðèàíòíîñòü ýëåìåíòîâ èç (G, . . . , G).Íà ñàìîì äåëå óíêöèþ7.5.2. Ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñÎïèñàííûé âûøå èíâàðèàíò F çàäàåò ïðåäñòàâëåíèå ψ ãðóïïû V Bn âãðóïïó àâòîìîðèçìîâ ñâîáîäíîé ãðóïïû Fn+1 ñ îáðàçóþùèìè a1 , .
. . , an , tïî ïðàâèëó (i = 1, . . . , n − 1):7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñai 7→ ai ai+1 a−1ai 7→ tai+1 t−1iai+1 7→ aiai+1 7→ t−1 ai tψ(σi ) =; ψ(ζi ) =al 7→ al , l 6= i, i + 1a 7→ al , l 6= i, i + 1 lt 7→ tt→7 t.328(7.4)Èç ÿâíîé ïðîâåðêè âûòåêàåòÒåîðåìà 7.8.ðåàëèçóþùåé ïåðåñòàíîâêó π ,−1èìååò ìåñòî F(β) = (e1 , . . . , en ). Òîãäà îòîáðàæåíèå ai 7→ eπ(i) aπ(i) eπ(i) , t 7→t â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ îïèñàííûì âûøå äåéñòâèåì ψ .Ïóñòü äëÿ ñëîâà-êîñûβ,Òàêèì îáðàçîì, îðìóëà (7.4) çàäàåò òî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû êîñâ ãðóïïó àâòîìîðèçìîâ ñâîáîäíîé ãðóïïû. êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ýòî ïðåäñòàâëåíèå, ðàññìîòðåííîå áåç ó÷åòà îáðàçóþùåé t, íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì Àðòèíà.7.5.3.
Î ïîëíîòå â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ êîñ îïðåäåëèì n-ñèñòåìó êàê ñëåäóþùåå óïðîùåíèå ïîíÿòèÿ âèðòóàëüíîé n-ñèñòåìû. àññìîòðèì ñâîáîäíîå ïðîèçâåäåíèå G n ãðóïï, èçîìîðíûõ ãðóïïå Z, ñ îáðàçóþùèìè a1 , . . . , an . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ei′ ëåâûå ñìåæíûå êëàññû G ïî ãðóïïå, ïîðîæäåííîé {ai }, ò.å.,g1 , g2 ∈ G ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäèí è òîò æå ýëåìåíò â Ei′ åñëè è òîëüêîåñëè g1 = aki g2 äëÿ íåêîòîðîãî k .Îïðåäåëåíèå 7.4. Ïîä nñèñòåìîé áóäåì ïîíèìàòü íàáîð ýëåìåíòîâ{e1 ∈ E1′ , . . . , en ∈ En′ }.Îïðåäåëåíèå 7.5. Ïîä óïîðÿäî÷åííîé nñèñòåìîé áóäåì ïîíèìàòü ïà-ðó: hnñèñòåìà è ïåðåñòàíîâêà èç Sn i.Åñòåñòâåííûì îáðàçîì èíâàðèàíò F óïðîùàåòñÿ äî èíâàðèàíòà f , ïðèíèìàþùåãî çíà÷åíèÿ â óïîðÿäî÷åííûõ n-ñèñòåìàõ: ìû çàáûâàåì ïðî îáðàçóþùóþ t.
Ïðè ýòîì äëÿ ñëó÷àÿ êëàññè÷åñêèõ êîñ ïîòåðè èíîðìàöèèíå ïðîèñõîäèò: äëÿ âñÿêîé êëàññè÷åñêîé êîñû β çàïèñü F(β) íå ñîäåðæèòâõîæäåíèé ïåðåìåííîé t.Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé êëàññè÷åñêîé êîñå β ñîïîñòàâëÿåòñÿ íàáîð ýëåìåíòîâ f (β) = (e1 , . . . , en ). Êàæäûé ýëåìåíò ei îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ329óìíîæåíèÿ ñëåâà íà íåêîòîðóþ ñòåïåíü îáðàçóþùåé ai . Ïîýòîìó êîððåêòíîçàäàíî ïðåîáðàçîâàíèå îáðàçóþùèõ: ai → e−1π(i) aπ(i) eπ(i) .
Òàêèì îáðàçîì, ìûïîëó÷àåì äåéñòâèå ãðóïïû êîñ íà ñâîáîäíîé ãðóïïå; ýòî äåéñòâèå èçâåñòíî; îíî íàçûâàåòñÿ äåéñòâèåì óðâèöà.  ðàáîòå Àðòèíà [Art1℄ äîêàçàíî,÷òî èíâàðèàíò f ïîëîí, ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèå óðâèöà ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èíâàðèàíò f (è, âìåñòå ñ íèì, èíâàðèàíò F ) ÿâëÿåòñÿïîëíûì â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ êîñ.7.5.4. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿÊàê è êëàññè÷åñêèå óçëû, êëàññè÷åñêèå êîñû (ò.å. êîñû, èìåþùèå ïðåäñòàâèòåëåé, â çàïèñè êîòîðûõ íå âñòðå÷àåòñÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåêðåñòêîâ)äîïóñêàþò äâà îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè: êëàññè÷åñêîå (ïîñðåäñòâîì îáû÷íûõ äâèæåíèé åéäåìåéñòåðà) è âèðòóàëüíîå (ïîñðåäñòâîì îáîáùåííûõäâèæåíèé åéäåìåéñòåðà). Ñ ïîìîùüþ èíâàðèàíòà F ïîêàæåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå ýòè äâà ñîîòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíñòè ñîâïàäàþò.
Âïåðâûå ýòîáûëî äîêàçàíî îäæåðîì Ôåííîì, è÷àðäîì èìàíüè è Êîëèíîì óðêîì,ñì. [FRR℄.Ïîëàãàÿ t = 1 â èíâàðèàíòå F è ïåðåõîäÿ ê èíâàðèàíòó f , ïîëíîìó âñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ êîñ, ìû ïîëó÷àåì îáîáùåíèå ïîëíîãî èíâàðèàíòà fêëàññè÷åñêèõ êîñ íà ñëó÷àé âèðòóàëüíûõ êîñ.Òàêèì îáðàçîì, åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ãðóïïû êëàññè÷åñêèõ êîñ âãðóïïó âèðòóàëüíûõ êîñ (ïåðåâîäÿùåå σi â σi ) ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì. Áîëååòî÷íî, èìååò ìåñòîÒåîðåìà 7.9.Äâå ýêâèâàëåíòíûå âèðòóàëüíûå ñëîâà-êîñûïèñè êîòîðûõ íåò îáðàçóþùèõζi ,b1èb2 ,â çà-çàäàþò ýêâèâàëåíòíûå êëàññè÷åñêèåêîñû.Òàê êàê b1 âèðòóàëüíî ýêâèâàëåíòíà b2 , ìû èìååì f (b1 ) =f (b2 ).
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïîëíîòó èíâàðèàíòà f äëÿ êëàññè÷åñêèõ êîñ,ìû èìååì b1 = b2 (â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå).Äîêàçàòåëüñòâî.Çàïðåùåííîå äâèæåíèå äëÿ âèðòóàëüíûõ êîñ (ñîîòâåòñòâóþùåå çàïðåùåííîìó äâèæåíèþ äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ) èìååò âèä: σi σi+1 ζi → ζi+1 σi σi+1 ,ñì. ðèñ. 7.11.7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ330èñ. 7.11. Çàïðåùåííîå äâèæåíèå äëÿ âèðòóàëüíûõ êîñÏîêàæåì, ÷òî çàïðåùåííîå äâèæåíèå íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàêêîìïîçèöèÿ ñîîòíîøåíèé â ãðóïïå âèðòóàëüíûõ êîñ.Òåîðåìà 7.10.Çàïðåùåííîå äâèæåíèå(ñîîòíîøåíèå)äëÿ âèðòóàëüíûõêîñ íå ÿâëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè.Äåéñòâèòåëüíî, âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ F(σ1 σ2 ζ1 ) è F(ζ2 σ1 σ2 ). ïåðâîì ñëó÷àå ìû èìååì:Äîêàçàòåëüñòâî.−1 −1−1−1 −1(e, e, e) → (e, a−11 , e) → (e, a1 , a1 ) → (e, a1 t, a1 t ).Âî âòîðîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì:−1 −1 −1(e, e, e) → (e, t, t−1 ) → (e, t, t−1 a−11 ) → (e, ta1 , t a1 ).Ýòè ðåçóëüòàòû (âèðòóàëüíûå nñèñòåìû) íå ñîâïàäàþò; òàêèì îáðàçîì,âèðòóàëüíûå êîñû, ïåðåâîäèìûå äðóã â äðóãà çàïðåùåííûì äâèæåíèåì, íåìîãóò áûòü ýêâèâàëåíòíû.Çàìå÷àíèå 7.6.F ê èíâàðèàíòó f (åñëèìû ïîëîæèì t = 1), ìû ïîëó÷èì f (σ1 σ2 ζ1 ) = f (ζ2 σ1 σ2 ).
Ñëåäîâàòåëüíî,ïåðåìåííàÿ t ñóùåñòâåííà â ïîñòðîåíèè èíâàðèàíòà F .Ïðè ïåðåõîäå îò èíâàðèàíòàÏðèâåäåì åùå äâà ïðèìåðà, ïîêàçûâàþùèõ ïðåèìóùåñòâà èíâàðèàíòà F .àññìîòðèì êîñó èç òðåõ íèòåé b = ζ2 σ2−1 ζ2 σ1 σ2 ζ1 σ1 ζ1 σ2−1 σ1−1 . Ïðÿìûåâû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ýòîé êîñû F(b) 6= F(e). Îäíàêî, ýòà êîñàíå ðàçëè÷àåòñÿ âèðòóàëüíûì ïîëèíîìîì Äæîíñà, ïðåäëîæåííûì â [Kau1℄.Áîëåå òî÷íî, ðàññìîòðèì çàöåïëåíèå Cl(b), ïîëó÷åííîå çàìûêàíèåì êîñûb è ïîëèíîì Äæîíñà V (Cl(b)) ýòîãî çàöåïëåíèÿ.
Èçâåñòíî, ÷òî ïîëèíîì7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ331Äæîíñà íå ðàçëè÷àåò çàöåïëåíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà âèðòóàëèçàöèåé, ñì. ñòð. 151.b∼b∼bbèñ. 7.12. Ïàðû äèàãðàìì, íå ðàçëè÷àåìûå ñêîáêîéÂèðòóàëèçàöèÿ âûðàæàåòñÿ íà ÿçûêå âèðòóàëüíûõ êîñ. Åñëè ìû äëÿíåêîòîðîé êîñû ìû ñäåëàåì çàìåíó σi±1 íà ζi σi±1 ζi , òî çàìûêàíèÿ îáåèõ êîñáóäóò èìåòü îäèíàêîâûå ïîëèíîìû Äæîíñà-Êàóìàíà, ñì. ðèñ. 7.12. ñàìîì äåëå,X(Cl(b)) = X(Cl(σ2−1 σ1 σ2 σ1 σ2−1 σ1−1 )).Ïðåîáðàçîâàííàÿ êîñà òðèâèàëüíà, ïîýòîìó X(Cl(b)) = X(Cl(e)).Çàìå÷àíèå 7.7.Çäåñü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîëèíîì Äæîíñà çà-ìûêàíèÿ êîñû, òàê è ñêîáêó Êàóìàíà äëÿ êîñ, îïèñàííóþ â íà÷àëå íàñòîÿùåé ãëàâû.  îáîèõ ñëó÷àÿõ êîñû, ïîëó÷àþùèåñÿ îäíà èç äðóãîé âèðòóàëèçàöèåé, áóäóò èìåòü îäèíàêîâûå ñêîáêè.Ïðèâåäåì åùå îäèí ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé ñèëó èíâàðèàíòà F . Ìû ïîêàçàëè, ÷òî êîñà b = (σ12 ζ1 σ1−1 ζ1 σ1−1 ζ1 )2 ëåæèò â ÿäðå ïðåäñòàâëåíèÿ ÁóðàóB.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî èíâàðèàíò F ðàñïîçíàåò íåòðèâèàëüíîñòü ýòîé êîñû.7.5.5. Íàñêîëüêî ñèëåí èíâàðèàíò F ?Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, íîâûé èíâàðèàíò ñèëüíåå, ÷åì êîýèöèåíòçàöåïëåíèÿ, èíîãäà îí ðàçëè÷àåò âèðòóàëüíûå óçëû, êîòîðûå íå ðàçëè÷àþòñÿ ñêîáêîé Êàóìàíà èëè ïðåäñòàâëåíèåì Áóðàó.Êðîìå òîãî, îãðàíè÷åíèå èíâàðèàíòà F íà ñëó÷àé êëàññè÷åñêèõ êîñ (ïðèàêòîðèçàöèè t = 1) ñîâïàäàåò ñ ïîëíûì èíâàðèàíòîì f êëàññè÷åñêèõ êîñ.Èíâàðèàíò F äàåò íàì ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ èç îäíîãî àëãåáðàè÷åñêîãîîáúåêòà (ãðóïïà êîñ) â äðóãîé àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò (n êîïèé ñâîáîäíîé7.5.
Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ332ãðóïïû èëè n êëàññîâ ñìåæíîñòè ñâîáîäíîé ãðóïïû). Ýòî îòîáðàæåíèå íåÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì.Äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíèòü ñèëó èíâàðèàíòà F , óñòàíîâèì íåêîòîðûå åãîñâîéñòâà.Èç òåîðåìû 7.8 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿËåììà 7.1.F(b1 ) = F(b2 ) äëÿ íåêîòîðûõ êîñ b1 , b2 , òî äëÿ ëþáîéïàðû êîñ a è c ìû èìååì F(ab1 c) = F(ab2 c) (âñå êîñû ïðåäïîëàãàþòñÿ ñîäíèì è òåì æå êîëè÷åñòâîì íèòåé).ÅñëèÂàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé èíâàðèàíòà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî åãî çíà÷åíèé.Çàäà÷à îïèñàíèÿ ýòîãî ìíîæåñòâà èëè ÷òî òî æå ñàìîå íàáîðà áåñêîíå÷íûõ ìàòðèö ïðåäñòàâëåíèÿ, îäíàêî, ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñëîæíîé, è íàìíåèçâåñòíî åå ðåøåíèå äàæå äëÿ òðåõ íèòåé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìû îïèøåì ìíîæåñòâî çíà÷åíèé äëÿ ñëó÷àÿ âèðòóàëüíûõ êîñ èç äâóõ íèòåé è,òåì ñàìûì, êëàññèèöèðóåì ýòè êîñû.
Âïðî÷åì, ãðóïïà âèðòóàëüíûõ êîñèç äâóõ íèòåé óñòðîåíà î÷åíü ïðîñòî: îíà èçîìîðíà ãðóïïå Z ∗ Z2 .Ñìåíà îáîçíà÷åíèé: âìåñòî îáðàçóþùèõ a1 , a2 âèðòóàëüíûõ 2ñèñòåììû áóäåì ïèñàòü a, b; âìåñòî îáðàçóþùèõ σ1 , ζ1 ãðóïïû êîñ ìû áóäåì ïèñàòüσ, ζ .Íàïîìíèì, ÷òî f èíâàðèàíò, ïîëó÷àåìûé èç F çàáûâàíèåì îáðàçóþùåé t. Îáîçíà÷èì ñâîáîäíóþ ãðóïïó, ïîðîæäåííóþ a, b ÷åðåç G′ . ÏóñòüE1′ = {a}\G′ , E2′ = {b}\G′ . ñëó÷àå äâóõ íèòåé f îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî V B(2) â (E1′ , E2′ ), èëè,ïðîùå, (G′ , G′ ).Äëÿ çàäàííîé êîñû α èç äâóõ íèòåé îáîçíà÷èì f (α) ÷åðåç (P (α), Q(α)).àññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèå âèðòóàëüíûå êîñû èç äâóõ íèòåé è çíà÷åíèÿ óíêöèè f íà íèõ:1. Äëÿ òðèâèàëüíîé êîñû ìû èìååì (e, e);2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
