Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 58
Текст из файла (страница 58)
 ïåðâîì èç íèõ(ê êîòîðîìó îòíîñèòñÿ è îáû÷íîå ÷åòûðåõ÷ëåííîå ñîîòíîøåíèå áåç ïóíêòèðíûõ õîðä) íåïîäâèæíàÿ õîðäà ÿâëÿåòñÿ ñïëîøíîé (ïîëîæèòåëüíîé). Âýòîì ñëó÷àå ïîäâèæíàÿ õîðäà íà âñåõ ÷åòûðåõ õîðäîâûõ äèàãðàììàõ èìååò îäèí è òîò æå òèï (ëèáî ñïëîøíàÿ, ëèáî ïóíêòèðíàÿ, ñì. âåðõíþþ èñðåäíþþ ÷àñòè ðèñ. 8.5). Âî âòîðîì ñëó÷àå íåïîäâèæíàÿ õîðäà ÿâëÿåòñÿïóíêòèðíîé. Ïðè ïåðåõîäå èç ïðàâîé ÷àñòè â ëåâóþ ïîäâèæíàÿ õîðäà ìå-8.1. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ346íÿåò ñâîé òèï, à âñå âûðàæåíèå ìåíÿåò çíàê, ñì.
íèæíþþ êàðòèíêó íàðèñ. 8.5.Ïðèâåäåì áîëåå òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ. Ìû ðàññìàòðèâàåì ïîãðóæåíèÿîêðóæíîñòè â ïëîñêîñòü îáùåãî ïîëîæåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî èçîòîïèé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé êðèâóþ, äèåîìîðèçìîâ îêðóæíîñòè è ïðîõîæäåíèÿ êðèâîé ÷åðåç òðîéíûå òî÷êè. Èíâàðèàíòû êðèâûõ ïðè òàêèõ óñëîâèÿõíàçûâàþòñÿ J -èíâàðèàíòàìè.Ïðè ïðîèçâîëüíîé äåîðìàöèè êðèâîé ïîìèìî (ðàçðåøåííîé) äåîðìàöèè, ñîñòîÿùåé â ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òðîéíóþ òî÷êó, åñòü åùå îäíà äåîðìàöèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ, ñîñòîÿùàÿ â ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ.Òàêàÿ îñîáåííîñòü àíàëîãè÷íà îñîáåííîñòè ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ñèíãóëÿðíûé óçåë.Ýòî ÿâëÿåòñÿ îòïðàâíîé òî÷êîé äëÿ îïðåäåëåíèÿ J -èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ïëîñêèõ êðèâûõ.
À èìåííî, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ïëîñêèõ êðèâûõ ñ òî÷íîñòüþ äî èçîòîïèé è ïðîõîæäåíèé ÷åðåç òðîéíûå òî÷êè.Ââåäåì ñèíãóëÿðíûå êðèâûå òå, êîòîðûå èìåþò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åêïðîñòîãî êàñàíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå íà ìíîæåñòâå ñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ââåñòè ñîîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, ðàçðåøàþùåå òî÷êè êàñàíèÿ, ñì. ðèñ.8.6=-èñ. 8.6. àçðåøåíèå îñîáåííîñòè êðèâîéÏðè ýòîì êàæäûé J -èíâàðèàíò ïëîñêèõ êðèâûõ îáùåãî ïîëîæåíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ äî íåêîòîðîé óíêöèè íà êðèâûõ, èìåþùèõ òî÷êè êàñàíèÿ. J èíâàðèàíò íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ïîðÿäêà n, åñëè åãî çíà÷åíèÿ íà êðèâûõ ñ n + 1 òî÷êîé ñàìîêàñàíèÿ ðàâíî íóëþ.
Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿñëó÷àé ìíîãèõ êðèâûõ ñ òî÷êàìè êàñàíèÿ.àñïîëîæåíèå òî÷åê êàñàíèÿ íà äèàãðàììå îïèñûâàåòñÿ îñíàùåííîé õîðäîâîé äèàãðàììîé.Ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà óçëîâ ïî J -èíâàðèàíòó n-ãî ïîðÿäêà ïëîñêèõ êðèâûõ ñòðîèòñÿ îáîáùåííàÿ âåñîâàÿ óíêöèÿ íà îñíàùåííûõ õîðäîâûõ äèàãðàììàõ, ò.å. óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ8.2.
Ïîäõîä óñàðîâà-Ïîëÿêà-Âèðî ê èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ347îáîáùåííîìó ÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèþ.Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 8.3 (Ñ.Ê.Ëàíäî, [Ëàí℄).äîâûõ äèàãðàììàõ ïîðÿäêàøåËþáàÿ óíêöèÿ íà îñíàùåííûõ õîð-n, ïîëó÷åííàÿèçJ -èíâàðèàíòàïîðÿäêà íå âû-n, óäîâëåòâîðÿåò îáîáùåííîìó ÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèþ (âñåìåãî âåðñèÿì).Íà äàííûé ìîìåíò íåèçâåñòíî, âåðåí ëè äëÿ J -èíâàðèàíòîâ êðèâûõ àíàëîã òåîðåìû Êîíöåâè÷à, ò.å.
âåðíî ëè, ÷òî ïî âñÿêîé îáîáùåííîé âåñîâîéóíêöèè ìîæíî âîññòàíîâèòü íåêîòîðûé J -èíâàðèàíò êîíå÷íîãî ïîðÿäêà.Ïîäðîáíåå ñì. [Ëàí℄.Òàêèì îáðàçîì, íàõîæäåíèå ñèñòåì âåñîâ äëÿ õîðäîâûõ äèàãðàìì èëèîñíàùåííûõ õîðäîâûõ äèàãðàìì ÿâëÿåòñÿ âàæíîé çàäà÷åé.  äàëüíåéøåììû ïîêàæåì, ÷òî íåêîòîðûå ÷àñòè÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ âåñüìà íåîæèäàííî âîçíèêàþò áëàãîäàðÿ èçó÷åíèþ ñêîáêè Êàóìàíà êëàññè÷åñêèõ èâèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, à òàêæå áëàãîäàðÿ êîäèðîâàíèþ óçëîâ ïîñðåäñòâîì àòîìîâ è d-äèàãðàìì.8.2. Ïîäõîä óñàðîâà-Ïîëÿêà-Âèðî ê èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõóçëîâÂâåäåì íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ.
Ïîä ïîëóâèðòóàëüíûì ïåðåêðåñòêîì áóäåì ïîíèìàòü îðìàëüíóþ ìåòêó äëÿ ïåðåêðåñòêà,â êîòîðîì óêàçûâàåòñÿ, êàêàÿ âåòâü ïðîõîäèò îðìàëüíî âûøå, à êàêàÿ îðìàëüíî íèæå, ïðè ýòîì ñàì ïåðåêðåñòîê îáâåäåí êðóæî÷êîì. Äèàãðàììà ñ ïîëóâèðòóàëüíûì ïåðåêðåñòêîì îïðåäåëÿåòñÿ êàê îðìàëüíàÿðàçíîñòü äâóõ äèàãðàìì, îäíà èç êîòîðûõ èìååò êëàññè÷åñêèé ïåðåêðåñòîê, à äðóãàÿ âèðòóàëüíûé.Ïóñòü D äèàãðàììà âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿ è ïóñòü {d1 , d2 , . . .
, dn } íåêîòîðûé íàáîð êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ ýòîé äèàãðàììû. Äëÿ íàáîðà {σ1 , . . . , σn } èç åäèíèö è íóëåé îïðåäåëèì Dσ êàê äèàãðàììó, ïîëó÷à-8.2. Ïîäõîä óñàðîâà-Ïîëÿêà-Âèðî ê èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ348åìóþ èç D ïðåîáðàçîâàíèåì âñåõ ïåðåêðåñòêîâ di , äëÿ êîòîðûõ σi = 1, ââèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç |σ| ÷èñëî åäèíèö â íàáîðå σ .Ôîðìàëüíàÿ àëüòåðíèðîâàííàÿ ñóììàX(−1)|σ| Dσσíàçûâàåòñÿ äèàãðàììîé ñ n ïîëóâèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè.Îáîçíà÷èì ÷åðåç K ìíîæåñòâî âñåõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Ïóñòü ν : K → Q íåêîòîðûé èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñî çíà÷åíèÿìè â Q. Ïðîäîëæèì ýòîò èíâàðèàíò ïî ëèíåéíîñòè íà Q[K] ìíîæåñòâî îðìàëüíûõëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Ñêàæåì, ÷òî ν ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n èíâàðèàíò ν îáðàùàåòñÿ â íóëü íà êàæäîì âèðòóàëüíîì óçëå K ñ áîëåå ÷åì nïîëóâèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè.
Åñëè ñóùåñòâóåò n, äëÿ êîòîðîãî ýòîâûïîëíèìî, òî ìèíèìàëüíîå èç òàêèõ ÷èñåë n íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì èíâàðèàíòà ν .=−âìåñòå ñ ñîîòíîøåÔîðìàëüíîå ñîîòíîøåíèå Âàñèëüåâàíèåì, îïðåäåëÿþùèì âèðòóàëüíûé ïåðåêðåñòîê, âëå÷åò ñîîòíîøåíèå[ X UÇàìå÷àíèå 8.1. Îòìåòèì, ÷òî ñèíãóëÿðíûå óçëû ðàññìàòðèâàþòñÿ çäåñüíå êàê íåçàâèñèìûå îáúåêòû, èìåþùèå ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óçëîâ ñíåêîòîðûìè îñîáåííîñòÿìè, à ëèøü êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè áîëåå ïðîñòûõ îáúåêòîâ.Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âñÿêîãî èíâàðèàíòà ν ïîðÿäêà n â ñìûñëå, îïèñàííîìâûøå, åãî îãðàíè÷åíèå íà ñëó÷àé êëàññè÷åñêèõ óçëîâ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì êîíå÷íîãî ïîðÿäêà â îáû÷íîì ñìûñëå. Îáðàòíîå, îäíàêî, íåâåðíî.
Òàê,íàïðèìåð, ñîãëàñíî ïðèâåäåííîìó âûøå îïðåäåëåíèþ, íå ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòîâ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ (êîìïàêòíûõ) âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ïîäðîáíååñì. [GPV, Oht℄.Èñõîäÿ èç îðìàëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùåãî âèðòóàëüíûé ïå-8.3. Ïîäõîä Êàóìàíà349ðåêðåñòîê, è ñîîòíîøåíèÿ Âàñèëüåâà, Ì.Á.Ïîëÿê ïîñòðîèë òàê íàçûâàåìóþ àëãåáðó Ïîëÿêà, ñì. [GPV℄, äàþùóþ ïîëíîå êîìáèíàòîðíîå îïèñàíèåâñåõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ. Êðîìå òîãî, â ðàáîòå [GPV℄ ïðèâåäåíû êîìáèíàòîðíûå îðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà äëÿäëèííûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ.8.3. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ (ïî Ë.Êàóìàíó)Ïîäõîä Êàóìàíà ñâÿçàí ñ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ñèíãóëÿðíîãî óçëà (çàöåïëåíèÿ) íà âèðòóàëüíûé ñëó÷àé.Îïðåäåëåíèå 8.2.Ñèíãóëÿðíàÿ âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììàÎïðåäåëåíèå 8.3.Ñèíãóëÿðíîå âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå ýòî ÷åòûðåõâàëåíòíûé ãðà íà ïëîñêîñòè, ñíàáæåííûé îðèåíòàöèåé óíèêóðñàëüíûõ êîìïîíåíò, à òàêæå ñòðóêòóðîé â ïåðåêðåñòêàõ: êàæäûé ïåðåêðåñòîêýòîãî ãðàà ÿâëÿåòñÿ ëèáî êëàññè÷åñêèì (ïðîõîä-ïåðåõîä), ëèáî âèðòóàëüíûì, ëèáî ñèíãóëÿðíûì.Ñèíãóëÿðíûé ïåðåêðåñòîê èçîáðàæàåòñÿ æèðíîé òî÷êîé.(óçåë) ýòîêëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè äèàãðàìì ñèíãóëÿðíûõ âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé(óçëîâ) ïî îáîáùåííûì äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà è æåñòêèì èçîòîïèÿì,ñì.
ðèñ. 8.7.Îïðåäåëåíèå 8.4.ñèíãóëÿðíîãî âèðòóàëüíîãî çàöåïëåíèÿíàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî åãî ñèíãóëÿðíûõ ïåðåêðåñòêîâ.Ïîðÿäêîìèñ. 8.7. Æåñòêàÿ èçîòîïèÿ8.3. Ïîäõîä Êàóìàíà350Ïîñëå ýòîãî îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ(çàöåïëåíèé) äîñëîâíî ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåíèåì â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå. Àèìåííî, äëÿ êàæäîãî èíâàðèàíòà f âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ìîæíî îïðåäåëèòü åãî îðìàëüíûå ïðîèçâîäíûå f ′ , f ′′ , . . . , ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ Âàñèëüåâà: f (n) ( ) = f (n−1) ( )−f (n−1) ( ). Ñêàæåì, ÷òî èíâàðèàíò f èìååòïîðÿäîê ìåíüøèé èëè ðàâíûé n, åñëè f (n+1) ≡ 0.Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïîðÿäêà íóëü êëàññèèöèðóþòñÿ îðèåíòèðîâàííûìè êðèâûìè íà îðèåíòèðîâàííûõ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòÿõ, ðàññìàòðèâàåìûõ ñ òî÷íîñòüþ äî ñâîáîäíîé ãîìîòîïèè è ñòàáèëèçèöèé/äåñòàáèëèçàöèé (ïëîñêèå âèðòóàëüíûåóçëû, ñì.
ãëàâó 1, òåîðåìó 1.1). Âîïðîñ î êëàññèèêàöèè òàêèõ êðèâûõîáñóæäàëñÿ â ïåðâîé ãëàâå.[XU8.3.1. Èíâàðèàíòû, ïîðîæäåííûå ïîëèíîìîì ΞÄâå îñíîâíûå êîíñòðóêöèè, èñïîëüçóåìûå ïðè îïðåäåëåíèè ïîëèíîìà Ξ(4.10), ýòî ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà è èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ïîðÿäêàíóëü. Ïîêàæåì, ÷òî èíâàðèàíò Ξ ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíûì, ÷åì ïîëèíîìÄæîíñà-Êàóìàíà è èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ïîðÿäêà íóëü, ðàññìîòðåííûåâìåñòå.Îáîçíà÷èì äèàãðàììó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 8.8, ÷åðåç M̄ ; îáîçíà÷èìñîîòâåòñòâóþùåå çàöåïëåíèå ÷åðåç M .èñ.
8.8. Çàöåïëåíèå MÎ÷åâèäíî, ÷òî ýòî çàöåïëåíèå èìååò òå æå èíâàðèàíòû ïîðÿäêà íóëü, ÷òîè òðèâèàëüíîå äâóõêîìïîíåíòíîå çàöåïëåíèå: çàìåíÿÿ â äâóõ ìåñòàõ òèïûêëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ è ïðèìåíÿÿ äâàæäû äâèæåíèå Ω2 , ìû ïîëó÷àåìäâóõêîìïîíåíòíîå çàöåïëåíèå áåç êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ.8.4. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà, ïîðîæäåííûå èíâàðèàíòîì Ξ351Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïîëèíîì Äæîíñà-Êàóìàíà íà ýòîì çàöåïëåíèèòàêîé æå, êàê è íà òðèâèàëüíîì çàöåïëåíèè èç äâóõ êîìïîíåíò: ýòî òðèâèàëüíîå çàöåïëåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç äèàãðàììû M̄ ïðèìåíåíèåì âèðòóàëèçàöèè (äâàæäû) è îáúåçäà.Ïðè ýòîì ïîëèíîì Ξ ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü íåêëàññè÷íîñòü çàöåïëåíèÿM.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñå ýëåìåíòû èç ìíîæåñòâà S (ñì.
ñòð. 182), ïîëó÷àåìûå ïî äèàãðàììå M , ëåæàò íà òîðå T 2 . Äåéñòâèòåëüíî, íàáîð êðèâûõ δâûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 8.9.èñ. 8.9. Ñèñòåìà êðèâûõ δ(M̄ )Äâå êðèâûå èç δ íà òîðå ïàðàëëåëüíû (íàáîð êðèâûõ δ îïðåäåëåí íà ñòð.183).Ïðè ýòîì äëÿ íåêîòîðûõ ñîñòîÿíèé s íàáîð γ ′ (s) ñîäåðæèò íåòðèâèàëüíûå êðèâûå, íå ïàðàëëåëüíûå êðèâûì èç δ . Íåòðóäíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò p ∈ S èìååò â ðàçëîæåíèè (4.10) íåíóëåâîé êîýèöèåíò.
Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî Ξ(M ) èìååò íåòðèâèàëüíûé êîýèöèåíòïðè íåêîòîðûõ ýëåìåíòàõ èç S , îòëè÷íûõ îò P .Íåòðèâèàëüíîñòü çàöåïëåíèÿ M áûëà óñòàíîâëåíà àâòîðîì â 2003 ãîäó,[Ìà8℄.8.4. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà, ïîðîæäåííûå èíâàðèàíòîì Ξ íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû ðàáîòàåì ñ èíâàðèàíòàìè Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ â ñìûñëå Êàóìàíà. åçóëüòàòû íàñòîÿùåãî ðàçäåëà îïóáëèêîâàíû â [Man4, Ìà8℄.Èíâàðèàíò Ξ, êîýèöèåíòû êîòîðîãî ïðè ýëåìåíòàõ èç S ÿâëÿþòñÿ ïî-8.4. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà, ïîðîæäåííûå èíâàðèàíòîì Ξ352ëèíîìàìè Ëîðàíà îò ïåðåìåííîé a, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â îðìàëüíûéðÿä çàìåíîé ïåðåìåííîé a = ex è ðàçëîæåíèåì ýêñïîíåíòû ïî îðìóëåÒåéëîðà. Äëÿ óäîáñòâà ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òó æå áóêâó Ξ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîëó÷åííîãî ðÿäà îò ïåðåìåííîé x.Ïóñòü L âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå.
Ïóñòü Ξm (L) êîýèöèåíò â ðÿäåΞ(L) ïðè xm . Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýëåìåíòîâ èçS ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýèöèåíòàìè.Äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 8.4.Äëÿ êàæäîãîm ∈ N+èíâàðèàíòΞmòîì Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïîðÿäêà íå áîëååÿâëÿåòñÿ èíâàðèàí-m.Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî èíâàðèàíò Ξ â äåéñòâèòåëüíîñòè ñëàáååèíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé: äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàW ∈ S êîýèöèåíò ïðè W â Ξ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê îðìàëüíûéðÿä èç èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòà òåîðåìà ÿâíî îïèñûâàåò íåêîòîðûå áåñêîíå÷íûå ñåðèè èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõçàöåïëåíèé ïðîèçâîëüíûõ ïîðÿäêîâ.Çàìå÷àíèå 8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
