Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Äëÿ σ ìû èìååì (1, a−1 );3. Äëÿ êîñû σ −1 ìû èìååì (b, 1);4. Äëÿ ζ ïîëó÷àåì (1, 1).7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ333Íåñëîæíî äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 7.11. Ïóñòü β(âèðòóàëüíàÿ êîñà èç äâóõ íèòåé).P (β)Q(β)−1 = ak bl äëÿ íåêîòîðûõ k, l. ñëîâî-êîñàÒîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîÌû áóäåì èñïîëüçîâàòü èíäóêöèþ ïî êîëè÷åñòâó áóêâ âçàïèñè êîñû.
 ñëó÷àå ïóñòîãî ñëîâà íå÷åãî äîêàçûâàòü. Ïóñòü òåïåðü β ñëîâî-êîñà èç k áóêâ, β ′ = βα, ãäå α îäíà èç áóêâ ζ, σ èëè σ −1 . ÏóñòüP (β)Q(β)−1 = an bm .Äëÿ α = ζ ìû èìååì P (β ′ ) = P, Q(β ′ ) = Q(β). Òàêèì îáðàçîì ìû−1ïîëó÷àåì P (β ′ )Q(β ′ ) = an bm .Ïðè α = σ åñëè êîñà β ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, ìû ïîëó÷àåì: P 7→ P, Q 7→QP −1 a−1 P , P Q−1 7→ aP Q−1 ; äëÿ íå÷åòíîé êîñû β : Q 7→ Q, P 7→ P Q−1 b−1 Q,P Q−1 7→ P Q−1 b−1 . ñëó÷àå α = σ −1 è ÷åòíîé êîñû β ìû èìååì: Q 7→ Q, P 7→ P Q−1 bQ, P Q−1 7→P Q−1 b, äëÿ íå÷åòíîé êîñû β : P 7→ P, Q 7→ QP −1 aP, P Q−1 7→ a−1 P Q−1 .Òàêèì îáðàçîì, ìû îñóùåñòâèëè øàã èíäóêöèè è òåì ñàìûì äîêàçàëèòåîðåìó.Äîêàçàòåëüñòâî.Óñëîâèå íà P Q−1 ÿâëÿåòñÿ âïîëíå åñòåñòâåííûì. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò g ∈ G′ òàêîé, ÷òî g ∈ [P ] ∈ E1′ è g ∈ [Q] ∈ E2′ .
Òàêîéýëåìåíò g åäèíñòâåí. Òàêèì îáðàçîì, ýòîò ýëåìåíò g ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéèíâàðèàíò ãðóïïû V B(2).Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ êàæäîé âèðòóàëüíîé êîñû b èç äâóõ íèòåé ìû èìååìf (b) = f (bζ). Êðîìå òîãî, âñå êîñû åñòåñòâåííûì îáðàçîì äåëÿòñÿ íà ïàðû:êàæäîé ÷åòíîé âèðòóàëüíîé êîñå b â V B(2) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ðîâíî îäíóíå÷åòíóþ êîñó bζ . Òàêèì îáðàçîì, íàì äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîäãðóïïó÷åòíûõ êîñ EV B(2) ãðóïïû V B(2).Òåîðåìà 7.12.òóàëüíûõ êîñÈíâàðèàíòEV B(2)g (òàêæå, êàê è èíâàðèàíòf)ãðóïïû âèð-ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.Íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïîëíîòó èíâàðèàíòà g .
Äëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáèòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ ëåììà.Ëåììà 7.2. Äëÿ êàæäûõ äâóõ âèðòóàëüíûõ ñëîâ-êîñ π, ρ ∈ V B(2) èç äâóõíèòåé ìû èìååì:îòîáðàæåíèågg(πρ) = g(ρ)g(π)àíòèãîìîìîðíî íàg(π)−1 = g(π −1 ).V B(2).èÒàêèì îáðàçîì,7.5. Èíâàðèàíò âèðòóàëüíûõ êîñ334ðóïïà V B(2) ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé äâóìÿ îáðàçóþùèìè α = ζσ è β = ζσ −1 .Äàëåå, g(e) = e, g(α) = b−1 , g(β) = a−1 , g(α−1 ) = b, g(β −1 ) = a.Óòâåðæäåíèå îá àíòèãîìîìîðíîñòè îòîáðàæåíèÿ g ÿâíî ïðîâåðÿåòñÿíà îáðàçóþùèõ α è β .Äîêàçàòåëüñòâî.Èç ëåììû 7.2 ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå gàíòèãîìîìîðíî è îòîáðàæàåò ãðóïïó EV B(2) â ñâîáîäíóþ ãðóïïó ñ îáðàçóþùèìè a, b.
Ýòî îòîáðàæåíèå ïåðåâîäèò α, β â îáðàçóþùèå a, b−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, îíî íå èìååò ÿäðà. Òàêèì îáðàçîì, g ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíâàðèàíòîì ãðóïïû EV B(2), ïîýòîìó ïîëíûì ÿâëÿåòñÿ è èíâàðèàíò f .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 7.12.Èòàê, îòîáðàæåíèå F òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíâàðèàíòîì äëÿ EV B(2).Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ýòîò èíâàðèàíò ÷óâñòâèòåëåí ê óìíîæåíèþ íà ζ ñïðàâà, ìûâèäèì, ÷òî F ðàñïîçíàåò âñå ýëåìåíòû èç V B(2). ×òîáû ðàñïîçíàòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ïàðà ýëåìåíòîâ (e1 ∈ E1 , e2 ∈ E2 ) çíà÷åíèåì èíâàðèàíòà F íàíåêîòîðîé êîñå, íàì íóæíî ëèøü ïðîàêòîðèçîâàòü e1 è e2 ïî ñîîòíîøåíèþ t = 1, âçÿòü êîñó-ïðîîáðàç b (åñëè òàêîâîé èìååòñÿ) ïîëó÷åííîé ïàðû(e′1 , e′2 ) ïðè îòîáðàæåíèè f , è îïðåäåëèòü, âåðíî ëè F(b) = (e1 , e2 ) èëèF(bζ) = (e1 , e2 ).Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ïàðû (e1 ∈ E1 , e2 ∈ E2 ), íå ÿâëÿþùåéñÿ çíà÷åíèåì èíâàðèàíòà F íà âèðòóàëüíûõ êîñàõ, ÿâëÿåòñÿ ïàðà (b, a).
 ýòîìñëó÷àå P Q−1 = ba−1 , ÷òî íå ðàâíî ak bl íè äëÿ êàêèõ öåëûõ ÷èñåë k, l.ëàâà 8Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ èâèðòóàëüíûõ óçëîâ êîíöå 80-õ ãîäîâ äâàäöàòîãî âåêà Â.À.Âàñèëüåâûì [Vas1, Vas2℄ è Ì.Í.óñàðîâûì [óñ℄ áûëî äàíî îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòîâ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ,êîòîðûå âïîñëåäñòâèè ïîëó÷èëè íàçâàíèå èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà èëè èíâàðèàíòîâ êîí÷åíîãî ïîðÿäêà. Ýòè îïðåäåëåíèÿ áûëè î÷åíü óäà÷íûìè, ïîñêîëüêó âñå èçâåñòíûå äî òîãî âðåìåíè ïîëèíîìèàëüíûå èíâàðèàíòû óçëîâ[HOMFLY, Jon1℄, à òàêæå êâàíòîâûå èíâàðèàíòû [Tur1℄ óäàëîñü âûðàçèòü÷åðåç èíâàðèàíòû êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, ñì.
ðàáîòû [BL, BN1℄. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå â ïðîèçâîëüíîé àáåëåâîé ãðóïïåêîýèöèåíòîâ.  íàñòîÿùåé ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà ñ êîýèöèåíòàìè â Q.Ñðàçó ñòàëî ïîíÿòíî, ÷òî èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà òåñíî ñâÿçàíû ñ óíêöèÿìè íà õîðäîâûõ äèàãðàììàõ òàê íàçûâàåìûìè ñèñòåìàìè âåñîâ (ñì.îïðåäåëåíèå íà ñòð.
343): êàæäîìó èíâàðèàíòó ñîïîñòàâëÿåòñÿ òàêàÿ óíêöèÿ. Âîçíèê âîïðîñ: âåðíî ëè, ÷òî âñå ñèñòåìû âåñîâ çàäàþò èíâàðèàíòûÂàñèëüåâà?àáîòà Ì.Ë.Êîíöåâè÷à [Kon℄ ïîìîãëà ïîíÿòü ñòðóêòóðó èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà: ïðåäëîæåííàÿ èì èíòåãðàëüíàÿ îðìóëà ïðèâîäèò ê óíèâåðñàëüíîìó èíâàðèàíòó Âàñèëüåâà-Êîíöåâè÷à, âîññòàíàâëèâàþùåìó ïî ëþáîéíàïåðåä çàäàííîé ñèñòåìå âåñîâ ñîîòâåòñòâóþùèé èíâàðèàíò Âàñèëüåâà. ýòîì ñìûñëå èíòåãðàë Êîíöåâè÷à ðàâíîöåíåí íàáîðó âñåõ èíâàðèàíòîâÂàñèëüåâà.
Êàê îêàçàëîñü, ñì., íàïð., [Bir3℄, èíòåãðàë Êîíöåâè÷à ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì òàêæå è äëÿ êâàíòîâûõ èíâàðèàíòîâ óçëîâ; èç ýòîãîñëåäóåò, ÷òî êâàíòîâûå èíâàðèàíòû íå ñèëüíåå èíâàðèàíòîâ ÂàñèëüåâàÈíâàðèàíòû Âàñèëüåâà336(â ðàáîòå Ï.Âîæåëÿ [Vog℄ ïîêàçàíî, ÷òî îíè ñòðîãî ñëàáåå, ò.å. ïðèâåäåíû ÿâíûå ïðèìåðû èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà, êîòîðûå íå âûðàçèìû ÷åðåçêâàíòîâûå èíâàðèàíòû). Êîìáèíàòîðíûé ïîäõîä ê èíòåãðàëó Êîíöåâè÷àñòàë âîçìîæåí áëàãîäàðÿ ðàáîòå Ò.Ëå è Äæ.Ìóðàêàìè [LM℄, êîòîðûå ïîëíîñòüþ ïåðåâåëè âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà Êîíöåâè÷à êëàññè÷åñêèõ óçëîâ íàêîìáèíàòîðíûé ÿçûê.Çàòåì òàêîå êîìáèíàòîðíîå îïèñàíèå áûëî ðàñïðîñòðàíåíî íà áîëåå øèðîêèé êëàññ óçëîâ, â ÷àñòíîñòè, íà óçëû â óòîëùåííûõ ïîâåðõíîñòÿõ ñêðàåì M2 × I è óòîëùåííóþ ïðîåêòèâíóþ ïëîñêîñòü RP 2 × I ; ýòî áûëîïðîäåëàíî â ðàáîòå É.Ëèáåðóìà [Lieb℄.Èç îáçîðîâ, ïîñâÿùåííûõ òåîðèè èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà (êëàññè÷åñêèõ)óçëîâ îòìåòèì [BN1℄.Ïîñëå ðàáîòû Êîíöåâè÷à ñòàëî ÿñíî, ÷òî äîëæåí áûòü íåêîòîðûé êîìáèíàòîðíûé ïîäõîä ê èíâàðèàíòàì Âàñèëüåâà; ýòîò êîìáèíàòîðíûé ïîäõîäáûë ÷åòêî ñîðìóëèðîâàí â ðàáîòå Ì.Á.Ïîëÿêà è Î.ß.Âèðî [PV℄, ïîñëå÷åãî ñòàë àêòóàëüíûì âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè êîìáèíàòîðíûõ îðìóëäëÿ âñåõ èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ îðìóë, âûðàæàþùèõ çíà÷åíèå äàííîãî èíâàðèàíòà óçëîâ ÷åðåç åãî ãàóññîâó äèàãðàììóïîäñ÷åòîì ÷èñëà âõîæäåíèé â ýòó ãàóññîâó äèàãðàììó íåêîòîðûõ ãàóññîâûõ äèàãðàìì èç èêñèðîâàííîãî íàáîðà (ñî çíàêàìè).Ñ ïîÿâëåíèåì âèðòóàëüíûõ óçëîâ òåîðèÿ èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà ïðèîáðåëà îñîáûé èíòåðåñ.
Çäåñü ñòîèò îòìåòèòü ðàáîòó óñàðîâà, Ïîëÿêà èÂèðî [GPV℄.  ýòîé ðàáîòå áûëà äîêàçàíà òåîðåìà óñàðîâà î íàëè÷èèêîìáèíàòîðíûõ îðìóë äëÿ âñåõ èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ. Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî ñðåäè ãàóññîâûõ äèàãðàìì, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿâ òàêîãî ðîäà îðìóëàõ, íåëüçÿ îáîéòèñü áåç íåðåàëèçóåìûõ ãàóññîâûõäèàãðàìì, ò.å.
ãàóññîâû äèàãðàììû, ñîîòâåòñòâóþùèå âèðòóàëüíûì óçëàì. íåé àâòîðû ïðèøëè ê ïîíÿòèþ âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïóòåì, îòëè÷íûì îòîðèãèíàëüíîãî ïîäõîäà Êàóìàíà. ðàáîòå [Âàñ℄ Â.À.Âàñèëüåâ ïðèâåë óòî÷íåíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà, îòâå÷àþùåå íà âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè êîìáèíàòîðíûõ îðìóë ñ öåëî÷èñëåííûìè êîýèöèåíòàìè.Íàëè÷èå â êîìáèíàòîðíûõ îðìóëàõ ãàóññîâûõ äèàãðàìì âèðòóàëüíûõÈíâàðèàíòû Âàñèëüåâà337óçëîâ ïîáóäèëî àâòîðîâ ðàáîòû [GPV℄ ê ïîèñêó àíàëîãè÷íîé êîíñòðóêöèè èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ; ïî ñóòè äåëà, ýòî áûëèíîé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ïðè êîòîðîì èíâàðèàíòêîíå÷íîãî ïîðÿäêà òðàêòîâàëñÿ êàê èíâàðèàíò, èìåþùèé êîìáèíàòîðíóþîðìóëó, ó÷èòûâàþùóþ âõîæäåíèå ãàóññîâûõ äèàãðàìì ñî çíàêàìè.Åñòåñòâåííûì îáðàçîì â ýòîé ðàáîòå áûëà ïîñòðîåíà àëãåáðà Ïîëÿêà óíèâåðñàëüíàÿ àëãåáðà, èç êîòîðîé ïîëó÷àþòñÿ âñå èíâàðèàíòû âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé êîíå÷íîãî ïîðÿäêà; ýëåìåíòàìè ýòîé àëãåáðû ÿâëÿþòñÿîðìàëüíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé.Òàêîå îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòîâ (Âàñèëüåâà) êîíå÷íîãî ïîðÿäêà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ îêàçàëîñü íå î÷åíü óäà÷íûì, õîòÿ è õîðîøî ïîääàþùèìñÿêëàññèèêàöèè.
Äåëî â òîì, ÷òî êàæäûé èíâàðèàíò Âàñèëüåâà (â ñìûñëåÏîëÿêà è Âèðî) ñâÿçàí ñ íåêîòîðûì èíâàðèàíòîì Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõóçëîâ, ïðè ýòîì äàëåêî íå âñå èíâàðèàíòû êîíå÷íîãî ïîðÿäêà êëàññè÷åñêèõóçëîâ îáîáùàþòñÿ äî îïðåäåëÿåìûõ òàêèì îáðàçîì èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãîïîðÿäêà âèðòóàëüíûõ óçëîâ.Îòâåòîì íà ýòó ðàáîòó ïîñëóæèëà ïîñëåäíÿÿ âåðñèÿ ïèîíåðñêîé ðàáîòûÊàóìàíà [Kau7℄, â êîòîðîé îí ïðåäëîæèë áîëåå îðìàëüíûé ïîäõîä êèíâàðèàíòàì êîíå÷íîãî ïîðÿäêà âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñ èñïîëüçîâàíèåìïîíÿòèÿ æåñòêîé èçîòîïèè.Ñòàëî ÿñíî, ÷òî ìíîãèå ïîëèíîìèàëüíûå èíâàðèàíòû ñèíãóëÿðíûõ âèðòóàëüíûõ óçëîâ óêëàäûâàþòñÿ â êîíöåïöèþ Êàóìàíà, è èç íèõ ìîæíîïîëó÷àòü èíâàðèàíòû êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, îäíàêî ñòðîéíîé òåîðèè òàêèõèíâàðèàíòîâ äî ñèõ ïîð íåò.Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ óçëîâ áîëåå îáøèðíî, ÷åì ìíîæåñòâîêëàññè÷åñêèõ óçëîâ, è, êàê îêàçàëîñü, íà âèðòóàëüíûõ óçëàõ ìîæíî ëåãêîíàéòè ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ îá èíâàðèàíòàõ Âàñèëüåâà, äî ñèõ ïîð íåðåøåííûõ â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå.Òàê, íàïðèìåð, èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà âèðòóàëüíûõ óçëîâ ïîçâîëÿþòðàçëè÷àòü îáðàòèìîñòü óçëîâ (ýòî âïåðâûå áûëî çàìå÷åíî Ñàâîëëåêîì,[Saw2℄).
Î âîïðîñå ðàñïîçíàâàåìîñòè îáðàòèìîñòè èíâàðèàíòàìè Âàñèëüåâà â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ñì., íàïð., [CDBook, DuK℄.Ñòðóêòóðà íàñòîÿùåé ãëàâû òàêîâà. Ñíà÷àëà ìû äàåì îïðåäåëåíèå èíâà-8.1. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ338ðèàíòîâ Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ è J -èíâàðèàíòîâ ïëîñêèõ êðèâûõ,à òàêæå äâà îïðåäåëåíèÿ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà âèðòóàëüíûõ óçëîâ ñîãëàñíî óñàðîâó-Ïîëÿêó-Âèðî è ñîãëàñíî Êàóìàíó. Çàòåì ìûïðèâîäèì îðìóëèðîâêè ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [GPV℄, ïîñëå ÷åãî ïåðåõîäèìê îáñóæäåíèþ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ñîãëàñíî Êàóìàíó. íàñòîÿùåé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîëèíîì Ξ, îïðåäåëåííûé â ãëàâå 4, ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä è äàåò òðèïàðàìåòðè÷åñêóþ ñåðèþ èíâàðèàíòîâÂàñèëüåâà (òåîðåìà 8.4).Ïîñëå ýòîãî ìû ïåðåõîäèì ê îáñóæäåíèþ ðåçóëüòàòîâ Á.Ìåëëîðà è àâòîðà î ñâÿçè âèðòóàëüíûõ óçëîâ, ïîëèíîìà Äæîíñà-Êàóìàíà è èíâàðèàíòîâêîíå÷íîãî ïîðÿäêà äëÿ êëàññè÷åñêèõ óçëîâ.Öåíòðàëüíûì ðåçóëüòàòîì íàñòîÿùåé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ãèïîòåçû Âàñèëüåâà î ðåàëèçóåìîñòè õîðäîâûõ äèàãðàìì ñèíãóëÿðíûìè óçëàìè,âëîæèìûìè â ïëîñêîñòü (òåîðåìà 8.6).
Ýòà ãèïîòåçà ìîòèâèðîâàíà çàäà÷åéî ñóùåñòâîâàíèè öåëî÷èñëåííûõ êîìáèíàòîðíûõ îðìóë äëÿ èíâàðèàíòîâÂàñèëüåâà, ðåøåííîé Âàñèëüåâûì â [Âàñ℄. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ãèïîòåçûÂàñèëüåâà ìû èñïîëüçóåì êîìáèíàòîðíóþ òåõíèêó, îïèñàííóþ â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ (àòîìû, d-äèàãðàììû, ñòðóêòóðà èñòî÷íèê-ñòîê).8.1. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâè J -èíâàðèàíòû êðèâûõÍà ïðîòÿæåíèè íàñòîÿùåãî ðàçäåëà âñå çàöåïëåíèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ îðèåíòèðîâàííûìè, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå.Ïîä ñèíãóëÿðíûì çàöåïëåíèåì èç k êîìïîíåíò ïîðÿäêà n áóäåì ïîíèìàòü ïîãðóæåíèå â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íåñâÿçíîãî íàáîðà èç k îðèåíòèðîâàííûõ îêðóæíîñòåé, îñîáåííîñòÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ëèøü òî÷êèäâîéíîãî òðàíñâåðñàëüíîãî (ñàìî)ïåðåñå÷åíèÿ, è èõ ðîâíî n øòóê.
Ñèíãóëÿðíûå çàöåïëåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî åñòåñòâåííîé èçîòîïèè, ò.å. îòîáðàæåíèÿ îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà R3 íà ñåáÿ, ñîõðàíÿþùåãî îðèåíòàöèþ.Êàæäîìó ñèíãóëÿðíîìó çàöåïëåíèþ èç n êîìïîíåíò åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîîòâåòñòâóåò õîðäîâàÿ äèàãðàììà íà n îðèåíòèðîâàííÿõ îêðóæíîñòÿõ (ñì. îïð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
