Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Èíûìè ñëîâàìè, ãèïîòåçà óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ çàäàííîé Añòðóêòóðû B -ñòðóêòóðà, çàäàþùàÿ ïëîñêèé àòîì ñóùåñòâóåò â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îòñóòñòâóåò ïðåïÿòñòâèå Âàñèëüåâà äâà öèêëà,èìåþùèå ðîâíî îäíó òî÷êó ïåðåêðåñòüÿ.Áóäåì çàïèñûâàòü öèêëû â âèäå íàáîðà ïîäðÿä èäóùèõ ðåáåð. Çäåñüòî÷êîé ïåðåêðåñòüÿ öèêëîâ A = (A0 , A1 , . .
. , An = A0 ) è B = (B0 , B1 , . . . , Bm =B0 ), íå èìåþùèõ îáùèõ ðåáåð, ìû íàçûâàåì âåðøèíó, â êîòîðîé ai = bj äëÿíåêîòîðûõ èíäåêñîâ i, j , ïðè÷åì ðåáðà Ai−1 , Ai ÿâëÿþòñÿ îðìàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûìè â ñìûñëå A-ñòðóêòóðû (èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî ðåáðà Bj−1 , Bjòàêæå ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè). Òî÷êîé ñàìîïåðåêðåñòüÿ öèêëà Aäëèíû n íàçûâàåòñÿ òàêàÿ âåðøèíà ai = aj (i 6= j mod n) ýòîãî öèêëà, â8.6. Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà359êîòîðîé ðåáðà Ai−1 , Ai ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè. Çäåñü è äàëåå íóìåðàöèÿ âåðøèí è ðåáåð öèêëà äëèíû n áåðåòñÿ ïî ìîäóëþ n.Öåëüþ íàñòîÿùåãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû. Âïåðâûå ýòîò ðåçóëüòàò îïóáëèêîâàí â [Ma12℄.
Îòìåòèì, ÷òî ìåòîäû, ïðèìåíÿåìûå çäåñü, òåñíî ñâÿçàíû ñ òåìè ìåòîäàìè, êîòîðûå ìû èñïîëüçóåì ïðèïîñòðîåíèè êîìïëåêñà Õîâàíîâà äëÿ âèðòóàëüíûõ óçëîâ: à èìåííî, ìû èñïîëüçóåì ãðàû ñ A-ñòðóêòóðîé è B -ñòðóêòóðîé (àòîìû), èõ îðèåíòèðóåìîñòü (ñòðóêòóðà èñòî÷íèê-ñòîê), à òàêæå d-äèàãðàììû. äàëüíåéøåì âñå 4-ãðàû ñ A-ñòðóêòóðîé ïðåäïîëàãàþòñÿ ñâÿçíûìè.Ñëó÷àé íåñâÿçíûõ ãðàîâ î÷åâèäíûì îáðàçîì ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ ñâÿçíûõãðàîâ.Çàìåòèì, ÷òî â îäíó ñòîðîíó óòâåðæäåíèå ãèïîòåçû î÷åâèäíî: åñëè ãðàâëîæèì â ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåì A-ñòðóêòóðû, òî îí íå ìîæåò èìåòü äâóõöèêëîâ ñ ðîâíî îäíîé òî÷êîé ïåðåêðåñòüÿ.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî èíäåêñïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ãëàäêèõ êðèâûõ îáùåãî ïîëîæåíèÿ íà ïëîñêîñòè ÷åòåí.Äàëåå, åñëè ñóùåñòâóþò äâà öèêëà A è B , èìåþùèå ðîâíî îäíó òî÷êóïåðåêðåñòüÿ, òî ñóùåñòâóþò äâà ïðîñòûõ öèêëà A′ è B ′ ñ òîé æå ñàìîé òî÷êîé ïåðåêðåñòüÿ: ýòîãî ëåãêî äîñòè÷ü óïðîùàþùåé ïåðåñòðîéêîé öèêëîâ Aè B . Ïóñòü, íàïðèìåð, öèêë A íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì.
àññìîòðèì åãî òî÷êóñàìîïåðåñå÷åíèÿ X . Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî öèêë A ðàçáèâàåòñÿ âåðøèíîéX íà äâà öèêëà A′ è A′′ , îäèí èç êîòîðûõ (A′ ) èìååò ðîâíî îäíó òî÷êó ïåðåêðåñòüÿ ñ öèêëîì B òó æå, ÷òî è öèêë A. Óïðîùàþùàÿ ïåðåñòðîéêàñîñòîèò â çàìåíå A íà A′ , ñì. ðèñ.
8.12.èñ. 8.12. Óïðîùåíèå öèêëà A8.6. Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà360Òàê ìîæíî ïðîäîëæàòü äî òåõ ïîð, ïîêà îáà ðàññìàòðèâàåìûõ öèêëà Aè B íå ñòàíóò ïðîñòûìè.Ìû áóäåì äîêàçûâàòü ñëîæíóþ ÷àñòü ãèïîòåçû Âàñèëüåâà íå ïðåäïîëàãàÿ ïðîñòîòû ãðàîâ.À èìåííî, ìû äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 8.6. Ïóñòü Gêîñòü ñ ñîõðàíåíèåìãðàåG, 4-ãðà ñA-ñòðóêòóðîé,A-ñòðóêòóðû.íå âëîæèìûé â ïëîñ-Òîãäà íàéäóòñÿ äâà öèêëàA, Bíàíå èìåþùèå îáùèõ ðåáåð, ó êîòîðûõ êîëè÷åñòâî òî÷åê ïåðåêðå-ñòüÿ öèêëîâAèBðàâíî åäèíèöå.Îïðåäåëåíèå 8.5.
Óíèêóðñàëüíûìíàçîâåì îñíàùåííûé ãðà,èçîìîðíûé îáðàçó èììåðñèè îêðóæíîñòè â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, âñåîñîáåííîñòè êîòîðîãî èñ÷åðïûâàþòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì äâîéíûõ òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, íèêàêàÿ èç êîòîðûõ íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé êàñàíèÿ, ñ åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðîé ïðîòèâîïîëîæíûõ ïîëóðåáåð.Ó óíèêóðñàëüíîãî ãðàà èìååòñÿ åñòåñòâåííàÿ A-ñòðóêòóðà: êàæäàÿ âåðøèíà (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ) äåëèò îáðàç äóãè îêðóæíîñòè íà äâå ÷àñòè, êîòîðûå è îòâå÷àþò ïðîòèâîïîëîæíûì ðåáðàì. ýòîì ñëó÷àå èìååò ñìûñë ãîâîðèòü îá óíèêóðñàëüíîì öèêëå, ò.å. òàêîìöèêëå, êîòîðûé îáõîäèò âñå ðåáðà, ïåðåõîäÿ ñ ðåáðà íà ïðîòèâîïîëîæíîååìó.Òàêèì ãðààì (êîòîðûå îïèñûâàþò âëîæåíèÿ ñèíãóëÿðíûõ óçëîâ) åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîîòâåòñòâóþò õîðäîâûå äèàãðàììû (íà îäíîé îêðóæíîñòè).
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ÷àñòî ïîëüçîâàòüñÿ öèêëàìè îáõîäàìèðåáåð âñåãî ãðàà, íî íå óíèêóðñàëüíûìè. Õîðäîâûå äèàãðàììû, êîòîðûåáóäóò ïîÿâëÿòüñÿ â òåêñòå òàêæå ñîîòâåòñòâóþò íå óíèêóðñàëüíûì îáõîäàì, ñì. íèæå.  îòëè÷èå îò óíèêóðñàëüíîãî îáõîäà íå óíèêóðñàëüíûéîáõîä ó ãðàà íå åäèíñòâåí.ãðàîìÇàìå÷àíèå 8.3. Íèãäå â äàëüíåéøåì òåêñòå ìû íå ïðåäïîëàãàåì óíèêóð-ñàëüíîñòè ãðàîâ è äîêàçûâàåì âñå óòâåðæäåíèÿ âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî,ÿâëÿåòñÿ ãðà óíèêóðñàëüíûì èëè íåò. äàëüíåéøåì íàì áóäåò âàæíî íàëè÷èå ñòðóêòóðû èñòî÷íèê-ñòîê íàãðàå ñ A-ñòðóêòóðîé. Ìû áóäåì çàäàâàòü îðèåíòàöèþ ðåáåð ãðàà è â8.6. Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà361êàæäîé âåðøèíå ñìîòðåòü, çàäàåò ëè ýòà îðèåíòàöèÿ ñòðóêòóðó èñòî÷íèêñòîê â äàííîé âåðøèíå.Îïðåäåëåíèå 8.6.
Öèêë AΓ ñ A-ñòðóêòóðîé íàçûâàåòñÿ ïîâîðà÷èâàþùèì, åñëè ëþáûå äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðåáðà Ai , Ai+1 â ýòîìöèêëå íå ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè.Îáõîäîì ãðàà Γ íàçîâåì ïîâîðà÷èâàþùèé öèêë, ñîäåðæàùèé âñå ðåáðàãðàà Γ.Î÷åâèäíà ñëåäóþùàÿËåììà 8.1.4-ãðààÊàæäûé ñâÿçíûé îñíàùåííûé 4-ãðàΓèìååò îáõîä.Âàæíûì ñâîéñòâîì d-äèàãðàìì ÿâëÿåòñÿ èõ âëîæèìîñòü â ïëîñêîñòü(êàê ãðàîâ).Ëåììà 8.2. ÏóñòüA-ñòðóêòóðîé íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþíàéäóòñÿ äâà öèêëà A è B íà ãðàå Γ, èìåþùèå4-ãðàèñòî÷íèê-ñòîê.
ÒîãäàΓñðîâíî îäíó òî÷êó ïåðåêðåñòüÿ è íå èìåþùèå îáùèõ ðåáåð.àññìîòðèì ïîâîðà÷èâàþùèé îáõîä O ãðàà Γ, ïðè ýòîìîðèåíòèðóåì ðåáðî Oi îò òî÷êè oi ê òî÷êå oi+1 , i = 1, 2 . . . . Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ãðà Γ íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ èñòî÷íèê-ñòîê. Îáõîä Oçàäàåò íåêîòîðóþ îðèåíòàöèþ âñåõ ðåáåð ãðàà Γ.
Ïî ïðåäïîëîæåíèþíàéäåòñÿ âåðøèíà, â êîòîðîé äëÿ äàííîé îðèåíòàöèè íàðóøàåòñÿ óñëîâèåèñòî÷íèê-ñòîê. Ïóñòü oj = ok òàêàÿ âåðøèíà. àññìîòðèì äâà öèêëàA = {Oj , Oj+1 , . . . , Ok−1 } è B = {Ok , Ok+1 . . . , Oj−1 }, íà êîòîðûå äåëèòñÿöèêë O òî÷êîé oj = ok .
 ëþáîé òî÷êå, îòëè÷íîé îò äàííîé, êàæäûé èçäâóõ öèêëîâ ÿâëÿåòñÿ ïîâîðà÷èâàþùèì (òàê êàê ñîâïàäàåò ñ îáõîäîì O),ïîýòîìó êîëè÷åñòâî òî÷åê ïåðåêðåñòüÿ ðàññìàòðèâàåìûõ öèêëîâ íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöû. Åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, â êîòîðîé òàêîå ïåðåêðåñòüå ìîæåòèìåòü ìåñòî ýòî oj = ok . Ïîêàæåì, ÷òî îíà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ òàêîâîé. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî öèêë A â òî÷êå oj = ok ïåðåõîäèò ñðåáðà íà ïðîòèâîïîëîæíîå.
 ýòîé òî÷êå öèêë A ïåðåõîäèò ñ ðåáðà Ok−1 íàðåáðî Oj .  ýòîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ðåáðà: Oj−1 , Oj , Ok−1 , Ok . åáðî Ok íå ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ðåáðó Ok−1 ïî ïîñòðîåíèþ îáõîäà O.Äàëåå, ðåáðî Oj−1 íå ìîæåò áûòü ïðîòèâîïîëîæíûì ðåáðó Ok−1 , òàê êàê âýòîì ñëó÷àå â âåðøèíå oj = ok âûïîëíÿëîñü áû óñëîâèå èñòî÷íèê-ñòîê: ìûÄîêàçàòåëüñòâî.8.6. Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà362èìåëè áû äâà ïðîòèâîïîëîæíûõ âõîäÿùèõ ðåáðà Ok−1 è Oj−1 è äâà èñõîäÿùèõ ðåáðà Ok è Oj . Ýòî ïðîòèâîðå÷èò íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ. Òàêèìîáðàçîì, oj = ok åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïåðåêðåñòüÿ öèêëîâ A è B .Ïóñòü Γ 4-ãðà ñ âûäåëåííîé A-ñòðóêòóðîé è ñ m âåðøèíàìè, A åãîîáõîä. Åìó ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñëåäóþùóþ õîðäîâóþ äèàãðàììó. àñïîëîæèì íà îêðóæíîñòè 2m òî÷åê {xj } = { 2πj2m } è ñîåäèíèì ðàçëè÷íûå òî÷êèxj è xj ′ õîðäîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà aj = aj ′ .
Çäåñü j ïðîáåãàåòçíà÷åíèÿ îò 1 äî 2m.Ëåììà 8.3. Ïóñòü 4-ãðà Γ ñ A-ñòðóêòóðîé òàêîâ, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõöèêëîâAèB,íå èìåþùèõ îáùèõ ðåáåð, êîëè÷åñòâî òî÷åê òðàíñâåð-ñàëüíîãî ïåðåêðåñòüÿ (â ñìûñëåãäà äëÿ ëþáîãî îáõîäàOýòîìó îáõîäó, ÿâëÿåòñÿãðààΓA-ñòðóêòóðû)îòëè÷íî îò åäèíèöû. Òî-õîðäîâàÿ äèàãðàììà, ñîîòâåòñòâóþùàÿd-äèàãðàììîé.Çàìå÷àíèå 8.4. Óñëîâèå ëåììû 8.3 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ïðåïÿòñòâèÿ, ñîðìóëèðîâàííîãî â ãèïîòåçå Âàñèëüåâà.Îòìåòèì ñíà÷àëà ñëåäóþùèé àêò [Ìàí-2℄. Õîðäîâàÿäèàãðàììà ÿâëÿåòñÿ d-äèàãðàììîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå èìååò ïîääèàãðàììû ∆2n+1 âèäà ïðàâèëüíûé (2n+1)-óãîëüíèê, ò.å. õîðäîâîéäèàãðàììû èç 2n + 1 õîðäû (n > 0) â êîòîðîé õîðäà j çàöåïëåíà ëèøü ñõîðäàìè ñ íîìåðàìè j + 1 è j − 1 (íóìåðàöèÿ âçÿòà ïî ìîäóëþ 2n + 1), ñì.ðèñ.
8.13. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî n õîðäîâàÿ äèàãðàììà, îáëàäàþùàÿîïèñàííûìè âûøå óñëîâèÿìè, åäèíñòâåííà.Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå ëåììû.  ñèëó ëåììû 8.2 4-ãðà Γ ñ åãî Añòðóêòóðîé îáëàäàåò ñâîéñòâîì èñòî÷íèê-ñòîê.Òàêèì îáðàçîì, íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå, åñëè ãðà Γîáëàäàåò ñâîéñòâîì èñòî÷íèê-ñòîê, íàëè÷èå (2n + 1)-óãîëüíèêà â êà÷åñòâåïîääèàãðàììû âëå÷åò íàëè÷èå íà èñõîäíîì ãðàå äâóõ íå èìåþùèõ îáùèõðåáåð öèêëîâ, èìåþùèõ ðîâíî îäíó òî÷êó ïåðåêðåñòüÿ.åáðàì ãðàà ñîîòâåòñòâóþò äóãè õîðäîâîé äèàãðàììû, à âåðøèíàì åå õîðäû. Äóãîé õîðäîâîé äèàãðàììû íàçîâåì ÷àñòü åå îêðóæíîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè âåðøèíàìè.Äîêàçàòåëüñòâî.8.6. Äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Âàñèëüåâà363èñ.
8.13. Õîðäîâàÿ äèàãðàììà ∆2n+1 è öèêëû 1 è 2 íà íåìÏðè ýòîì åñëè ãðà îáëàäàåò ñâîéñòâîì èñòî÷íèê-ñòîê, òî îòíîøåíèåïðîòèâîïîëîæíîñòè ðåáåðäóã òàêîâî: äëÿ êàæäîé õîðäû ñ êîíöàìè X, Yäóãà, âõîäÿùàÿ â âåðøèíó X , ïðîòèâîïîëîæíà äóãå, âõîäÿùåé â âåðøèíóY .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
