Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 57
Текст из файла (страница 57)
íà ñòð. 159). Êàæäàÿ îêðóæíîñòü ïàðàìåòðèçóåò âëîæåíèå8.1. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ339îäíîé èç êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ. Íà ýòèõ îêðóæíîñòÿõ ìû ñîåäèíÿåì õîðäàìè (èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, îòìå÷àåì ïîñðåäñòâîì âûäåëåíèÿ íóëüìåðíûõ îêðóæíîñòåé) ïàðû òî÷åê, èìåþùèõ îäèíàêîâûé îáðàç â òðåõìåðíîìïðîñòðàíñòâå, ñì. ðèñ. 8.1.èñ. 8.1. Äèàãðàììà ñèíãóëÿðíîãî óçëàè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé õîðäîâàÿ äèàãðàììà[ XÊàæäóþ ñèíãóëÿðíóþ òî÷êó (âåðøèíó) ñèíãóëÿðíîãî çàöåïëåíèÿ ìîæíî ðàçâåñòè äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïîëîæèòåëüíûì7→è îòðèöàòåëüíûì7→.
Òàêèì îáðàçîì, ñ êàæäûì ñèíãóëÿðíûì çàöåïëåíèåì è âûäåëåííîé îñîáîé åãî òî÷êîé ñâÿçàíû äâà ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèÿ ìåíüøåãîïîðÿäêà, ïðè ýòîì ýòè äâà ðàçâåäåíèÿ êîððåêòíî îïðåäåëåíû îòíîñèòåëüíîèçîòîïèè.Ïóñòü äàí èíâàðèàíò f êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé ñî çíà÷åíèÿìè â ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü îðìàëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî óçëîâ ñ êîýèöèåíòàìè â ýòîé àáåëåâîéãðóïïå è âñå èíâàðèàíòíûå óíêöèè ïðîäîëæàòü ïî ëèíåéíîñòè íà ëèíåéíûå êîìáèíàöèè óçëîâ. Èíâàðèàíò f ìîæíî ïðîäîëæèòü íà ñèíãóëÿðíûåçàöåïëåíèÿ ïî ñëåäóþùåé îðìóëå:[ U[ X Uf ′() = f() − f()(8.1)Ýòà îðìóëà îçíà÷àåò, ÷òî ìû îïðåäåëÿåì ïðîèçâîäíóþ f ′ èíâàðèàíòà fêàê óíêöèþ íà ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèÿõ ïåðâîãî ïîðÿäêà, çíà÷åíèå êîòîðîé íà ñèíãóëÿðíîì çàöåïëåíèè ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì ðàçíîñòè çíà÷åíèé íàäâóõ çàöåïëåíèÿõ, ïîëó÷àåìûõ èç íåãî ïîëîæèòåëüíûì è îòðèöàòåëüíûì8.1.
Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ340ðàçâåäåíèÿìè. Ôîðìóëà (8.1) íîñèò íàçâàíèå ñîîòíîøåíèÿ Âàñèëüåâà.Äàëåå, èìåÿ ïðîèçâîäíóþ f ′ óíêöèè f , ìû ìîæåì îïðåäåëèòü âòîðóþïðîèçâîäíóþ f ′′ óíêöèè f íà ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèÿõ âòîðîãî ïîðÿäêà: ìû èñïîëüçóåì òó æå îðìóëó (8.1) â âèäå f ′′ ( ) = f ′ ( ) − f ′ ( ),ïîäðàçóìåâàÿ, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ òðåìÿ ñèíãóëÿðíûìè çàöåïëåíèÿìè,óñòðîåííûìè îäèíàêîâî âíå íåêîòîðîé ìàëîé îêðåñòíîñòè ñèíãóëÿðíîãî ïåðåêðåñòêà îäíîãî èç çàöåïëåíèé; â ýòîé îêðåñòíîñòè âòîðîå çàöåïëåíèå ðàçâåäåíî ïîëîæèòåëüíî, à òðåòüå îòðèöàòåëüíî, ïðè ýòîì âíå ýòîé ìàëîéîêðåñòíîñòè èìååòñÿ åùå îäíî ñèíãóëÿðíîå ïåðåñå÷åíèå.
Äàëåå ìû îïðåäåëÿåì òðåòüþ ïðîèçâîäíóþ íà ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèÿõ ïîðÿäêà òðè, çàòåì÷åòâåðòóþ ïðîèçâîäíóþ è òàê äàëåå.[XUÎïðåäåëåíèå 8.0. îâîðÿò, ÷òî èíâàðèàíò f êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèéÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì (Âàñèëüåâà) êîíå÷íîãî ïîðÿäêà íå áîëåå n, åñëè(n + 1)-ÿ ïðîèçâîäíàÿ f (n+1) ýòîãî èíâàðèàíòà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþíà ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèÿõ ñ n + 1 ñèíãóëÿðíîé âåðøèíîé. Ïðè ýòîì èíâàðèàíò èìååò ïîðÿäîê ðîâíî n, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïîðÿäêà íåáîëåå n, íî íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïîðÿäêà íå áîëåå (n − 1).Îáîçíà÷èì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà ïîðÿäêà íåáîëåå n ÷åðåç Vn .
Èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå âëîæåíèå V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . .Îïðåäåëåíèå 8.1. Äëÿ èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà f ïîðÿäêà n åãî n-ÿ ïðî-èçâîäíàÿ f (n) íîñèò íàçâàíèå ñèìâîëà èíâàðèàíòà f .Òàê êàê ñîîòíîøåíèå Âàñèëüåâà îòíîñèòñÿ ê òðîéêàì (ñèíãóëÿðíûõ) çàöåïëåíèé, èìåþùèì îäíî è òî æå ÷èñëî êîìïîíåíò, èìååò ñìûñë ãîâîðèòüîòäåëüíî îá èíâàðèàíòàõ Âàñèëüåâà çàöåïëåíèé ñ èêñèðîâàííûì êîëè÷åñòâîì êîìïîíåíò. Íàïðèìåð, îá èíâàðèàíòàõ Âàñèëüåâà óçëîâ, èíâàðèàíòàõÂàñèëüåâà äâóõêîìïîíåíòíûõ çàöåïëåíèé è òàê äàëåå.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñèìâîë ñîäåðæèò â ñåáå âàæíóþ ÷àñòü èíîðìàöèè îáèíâàðèàíòå Âàñèëüåâà. À èìåííî, èìååò ìåñòîÒåîðåìà 8.1.
(Â.À.Âàñèëüåâ) Ïóñòü v1 è v2 äâà èíâàðèàíòà Âàñèëüåâàïîðÿäêàníà çàöåïëåíèÿõ èçñèìâîë. Òîãäà ðàçíîñòüíå áîëåån − 1.v1 − v2kêîìïîíåíò, èìåþùèå îäèí è òîò æåÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì Âàñèëüåâà ïîðÿäêà8.1. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ341Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî èçó÷àòü ñòðóêòóðó ïðîñòðàíñòâà èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà Vn , çíàÿ Vn−1 è ñòðóêòóðó ïðîñòðàíñòâà ñèìâîëîâ.Ïóñòü çàäàí èíâàðèàíò Âàñèëüåâà v ïîðÿäêà n (íà çàöåïëåíèÿõ ñ íåêîòîðûì èêñèðîâàííûì êîëè÷åñòâîì êîìïîíåíò k ).
Òîãäà v (n+1) = 0, ýòîîçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ äèàãðàìì ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèé èç k êîìïîíåíò, îòëè÷àþùèõñÿ îäíîé çàìåíîé ïåðåêðåñòêà←→è èìåþùèõ(n)(n)ïîðÿäîê n ìû èìååì v ( ) = v ( ).Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå ñèìâîëà èíâàðèàíòà v íå çàâèñèò îò ñòðóêòóðû êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ äèàãðàììû ñîîòâåòñòâóþùåãî ñèíãóëÿðíîãîçàöåïëåíèÿ ïîðÿäêà n. Åäèíñòâåííîå, îò ÷åãî îíî çàâèñèò, ýòî êîìáèíàòîðíàÿ ñòðóêòóðà ñèíãóëÿðíûõ ïåðåêðåñòêîâ íà çàöåïëåíèÿõ.Ïîñëåäíÿÿ çàäàåòñÿ õîðäîâîé äèàãðàììîé íà k îêðóæíîñòÿõ ñëåäóþùèìîáðàçîì (õîðäîâûå äèàãðàììû íà îäíîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îïðåäåëåíûíà ñòð. 159). Õîðäîâàÿ äèàãðàììà ñîñòîèò èç k îòäåëüíî ñòîÿùèõ îðèåíòèðîâàííûõ îêðóæíîñòåé ïðîîáðàçîâ êîìïîíåíò çàöåïëåíèÿ, ïðè ýòîì äâàïðîîáðàçà îäíîé è òîé æå ñèíãóëÿðíîé âåðøèíû ñîåäèíåíû õîðäîé.Ìû áóäåì èçîáðàæàòü òàêèå õîðäîâûå äèàãðàììû íà ïëîñêîñòè, ïðèýòîì ìû íå áóäåì óêàçûâàòü îðèåíòàöèè îêðóæíîñòåé, ñ÷èòàÿ èõ îðèåíòèðîâàííûìè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.Ïðèìåð õîðäîâîé äèàãðàììû íà äâóõ îêðóæíîñòÿõ èçîáðàæåí íà ðèñ.
8.2.XUXUèñ. 8.2. Õîðäîâàÿ äèàãðàììà íà äâóõ îêðóæíîñòÿõÒàêàÿ õîðäîâàÿ äèàãðàììà ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êîìáèíàòîðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè êàê ãðà, íà êîòîðîì èìååòñÿ k îðèåíòèðîâàííûõöèêëîâ.8.1. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ342Òàêèì îáðàçîì, ñèìâîë èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà ïîðÿäêà n íà çàöåïëåíèÿõèç k êîìïîíåíò çàäàåòñÿ ñâîèì çíà÷åíèåì íà õîðäîâûõ äèàãðàììàõ íà kîêðóæíîñòÿõ ñ n õîðäàìè, èëè, áîëåå òî÷íî, ëèíåéíîé óíêöèåé íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå òàêèõ äèàãðàìì.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íå ëþáàÿ ëèíåéíàÿ óíêöèÿ íà ýòîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò èãðàòü ðîëü ñèìâîëà èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà.À èìåííî, êàæäàÿ òàêàÿ óíêöèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ò.í. îäíî÷ëåííîìó è ÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèÿì.Îäíî÷ëåííîå ñîîòíîøåíèå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Åñëè èìååòñÿ õîðäîâàÿñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì õîðä, èç êîòîðûõ îäíà ÿâëÿåòñÿäèàãðàììà C =îòäåëüíî ñòîÿùåé, òî ëþáîé ñèìâîë èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà íà ýòîé äèàãðàììå ðàâåí íóëþ.×åòûðåõ÷ëåííîå ñîîòíîøåíèå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ êàæäîãî ñèìâîëà v (n) èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà v ïîðÿäêà n èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèåB*v (n) ()) − v (n) (3) − v (n) (4) + v (n) ((8.2)) = 0. ýòîì ñîîòíîøåíèè ó÷àñòâóþò õîðäîâûå äèàãðàììû ïîðÿäêà n; ïðè ýòîìîñòàâøèåñÿ (n − 2) õîðäû, íå èçîáðàæåííûå â îðìóëå (8.2), ÿâëÿþòñÿíåïîäâèæíûìè (îíè îäèíàêîâî ðàñïîëîæåíû íà âñåõ äèàãðàììàõ).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì çàäàåòñÿ ÷åòûðåõ÷ëåííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ çàöåïëåíèé: â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ÷åòûðå äèàãðàììû íà íåñêîëüêèõ îêðóæíîñòÿõ; ýòè ÷åòûðå äèàãðàììû îòëè÷àþòñÿ âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì ïàðûõîðä, êîíöû êîòîðûõ ëåæàò íà òðåõ âûäåëåííûõ ó÷àñòêàõ (êîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîãóò ïðèíàäëåæàòü ðàçíûì îêðóæíîñòÿì).Òåîðåìà 8.2 (Òåîðåìà Âàñèëüåâà-Êîíöåâè÷à [Kon℄).
Ëèíåéíàÿ óíêöèÿfíà ïðîñòðàíñòâå õîðäîâûõ äèàãðàìì ñnõîðäàìè íàkîêðóæíî-ñòÿõ çàäàåò ñèìâîë èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà îíà óäîâëåòâîðÿåò îäíî÷ëåííîìó è ÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèÿì.Ýòà òåîðåìà äàåò ïîëíîå îïèñàíèå ïðîñòðàíñòâà Vn /Vn−1 äëÿ èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà ïîðÿäêîâ n è n − 1 êëàññè÷åñêèõ çàöåïëåíèé.8.1.
Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ343Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ëèíåéíàÿ óíêöèÿ íà õîðäîâûõ äèàãðàììàõ ñèêñèðîâàííûì ÷èñëîì îêðóæíîñòåé, óäîâëåòâîðÿþùàÿ îäíî÷ëåííîìó è÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèÿì, çàäàåò ñèìâîë èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà.Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òàêæå ðàññìîòðåíèå ëèíåéíûõ óíêöèé íà õîðäîâûõäèàãðàììàõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ÷åòûðåõ÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèþ, íî, âîçìîæíî, íå óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíî÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèþ. Òàêèå óíêöèèíàçûâàþòñÿ ñèñòåìàìè âåñîâ, ñì., íàïð, [BN1℄.Èíîãäà ïîä âûðàæåíèåì ñèñòåìà âåñîâ ïîíèìàþò óíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ òàêæå è îäíî÷ëåííîìó ñîîòíîøåíèþ.
Ëþáàÿ òàêàÿ ñèñòåìà âåñîâÿâëÿåòñÿ ñèìâîëîì íåêîòîðîãî èíâàðèàíòà Âàñèëüåâà óçëîâ.Ñèñòåìû âåñîâ (áåç ó÷åòà îäíî÷ëåííûõ ñîîòíîøåíèé) ñâÿçàíû ñ èíâàðèàíòàìè êîíå÷íîãî ïîðÿäêà îñíàùåííûõ çàöåïëåíèé ñ ÷åòíûì îñíàùåíèåì. äàëüíåéøåì ìû áóäåì îãîâàðèâàòü, êàêîå èç äâóõ îïðåäåëåíèé èìååòñÿâ âèäó.Ïàðàëëåëüíî ñ òåîðèåé èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà óçëîâ ñóùåñòâóåò òåîðèÿJ -èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ïîãðóæåííûõ ïëîñêèõ êðèâûõ îáùåãîïîëîæåíèÿ. Èäåÿ ðàññìîòðåíèÿ J -èíâàðèàíòîâ ïðèíàäëåæèò Â.È.
Àðíîëüäó, ñì. [Arn1, Arn2℄, ïîäðîáíåå ñì. [Ëàí℄.Îòìåòèì, ÷òî äî ðàáîòû Ñ.Ê.Ëàíäî [Ëàí℄ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ñóùåñòâîâàëè J -èíâàðèàíòû, îòâå÷àþùèå ïåðåñòðîéêàì ïðè ïîïóòíîì êàñàíèè (òàê íàçûâàåìûå J + -èíâàðèàíòû) è J -èíâàðèàíòû, îòâå÷àþùèå ïåðåñòðîéêàì ïðè ïðîòèâîïóòíîì êàñàíèè. Â.Â.îðþíîâ [Goryu℄ äàë ïîëíîåîïèñàíèå J + -èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà; îí îòìåòèë òàêæå, ÷òî J − èíâàðèàíòû äîïóñêàþò ïîäîáíîå îïèñàíèå. äàííîì ñëó÷àå àíàëîãîì óçëîâ ÿâëÿþòñÿ íàáîðû êðèâûõ, ïîãðóæåííûå â ïëîñêîñòü áåç òî÷åê ñàìîêàñàíèÿ, àíàëîãîì ñèíãóëÿðíûõ çàöåïëåíèé íàáîðû êðèâûõ, èìåþùèå òî÷êè (ñàìî)êàñàíèÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå.Êîìáèíàòîðíîå ðàñïîëîæåíèå òî÷åê ñàìîêàñàíèÿ òàêæå çàäàåòñÿ õîðäîâîéäèàãðàììîé, ñì. ðèñ. 8.3.Ïðè ýòîì çäåñü èìåþòñÿ äâà ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûõ òèïà êàñàíèé: ïîïóòíîå è ïðîòèâîïóòíîå, ñì.
ðèñ. 8.4.Ñîïîñòàâèì ïîïóòíûì êàñàíèÿì çíàê ïëþñ, à ïðîòèâîïóòíûì êàñàíèÿì çíàê ìèíóñ. Ìû áóäåì òàêæå îáîçíà÷àòü ïîïóòíûå êàñàíèÿ ñïëîø-8.1. Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ344èñ. 8.3. Äèàãðàììà ñ ñàìîêàñàíèÿìèè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé îñíàùåííàÿ õîðäîâàÿ äèàãðàììàèñ. 8.4. Ïîïóòíîå è ïðîòèâîïóòíîå êàñàíèÿíûìè õîðäàìè, à ïðîòèâîïóòíûå ïóíêòèðíûìè õîðäàìè.Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ èçó÷åíèÿ èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ïëîñêèõêðèâûõ íóæíî ðàññìàòðèâàòü õîðäîâûå äèàãðàììû ñ äâóìÿ òèïàìè õîðä.Õîðäîâûå äèàãðàììû, â êîòîðûõ îäèí âûäåëåííûé òèï õîðä íàçûâàåòñÿïîëîæèòåëüíûì (è îáîçíà÷àåòñÿ ñïëîøíîé ëèíèåé), à äðóãîé îòðèöàòåëüíûì (è îáîçíà÷àåòñÿ ïóíêòèðíîé ëèíèåé), íàçûâàþòñÿ îñíàùåííûìèõîðäîâûìè äèàãðàììàì (ñð.
ãë. 4).Êàê è â ñëó÷àå èíâàðèàíòîâ Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ, çíà÷åíèåïðîèçâîäíîé íåêîòîðîãî èíâàðèàíòà íà êðèâîé ñ òî÷êîé êàñàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ çíà÷åíèé èíâàðèàíòà íà áëèçêèõ ê íåé êðèâûõ (ñì. ðèñ.8.6). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñèìâîë èíâàðèàíòà ïîðÿäêà n çíà÷åíèååãî n-é ïðîèçâîäíîé. Ýòî çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ âåñîâîé óíêöèåé íà îñíàùåííûõ õîðäîâûõ äèàãðàììàõ. Ôóíêöèè íà îñíàùåííûõ õîðäîâûõ äèàãðàììàõ, ïðîèñõîäÿùèå èç J -èíâàðèàíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà ïëîñêèõ êðèâûõ,8.1.
Èíâàðèàíòû Âàñèëüåâà êëàññè÷åñêèõ óçëîâ345äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåêîòîðûì ñîîòíîøåíèÿì, íîñÿùèì íàçâàíèå îáîáùåííîãî ÷åòûðåõ÷ëåííîãî ñîîòíîøåíèÿ, ñì. ðèñ. 8.5.-=--=--= -+èñ. 8.5. Îáîáùåííîå ÷åòûðåõ÷ëåííîå ñîîòíîøåíèåÎáîáùåííîå ÷åòûðåõ÷ëåííîå ñîîòíîøåíèå ñîñòîèò èç ÷åòâåðêè îñíàùåííûõ õîðäîâûõ äèàãðàìì, ó êîòîðûõ âñå õîðäû, êðîìå äâóõ, ðàñïîëîæåíûîäèíàêîâûì îáðàçîì, à äâå õîðäû òàê æå, êàê â îáû÷íîì ÷åòûðåõ÷ëåííîì ñîîòíîøåíèè. Îòìåòèì, ÷òî èç ýòèõ äâóõ õîðä îäíó ìîæíî ñ÷èòàòüíåïîäâèæíîé: åå òèï è ðàñïîëîæåíèå îäèíàêîâî â êàæäîé èç ÷åòûðåõ äèàãðàìì, ó÷àñòâóþùèõ â ñîîòíîøåíèè (ýòà õîðäà èçîáðàæåíà íà äèàãðàììàõíà ðèñ. 8.5 íàêëîííîé).Ïðè ýòîì èìåþòñÿ äâà ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
