Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов (1097523), страница 52
Текст из файла (страница 52)
. , an ) íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷èñåë (1, . . . , n) ∈ Sn ), ïðè ýòîìíåêîòîðûå ïåðåêðåñòêè ïîìå÷åíû êàê âèðòóàëüíûå, à â îñòàëüíûõ (êëàññè÷åñêèõ) ïåðåêðåñòêàõ óêàçàíî, êàêàÿ âåòâü çàäàåò ïðîõîä, à êàêàÿ ïåðåõîä, ñì. ðèñ. 7.1.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî êîñà ðåàëèçóåò ïåðåñòàíîâêóa : 1 7→ a(1), . . . , n 7→ a(n).âèðòóàëüíîé êîñûèñ. 7.1.
Äèàãðàììà âèðòóàëüíîé êîñûÎïðåäåëåíèå 7.2. Âèðòóàëüíîé êîñîé íàçûâàåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíî-ñòè äèàãðàìì âèðòóàëüíûõ êîñ ïî ïëîñêèì èçîòîïèÿì íåïðåðûâíûì äåîðìàöèÿì ïëîñêîñòè, îñòàâëÿþùèì íåïîäâèæíûìè âñå åå êîíöåâûå òî÷êè7.1. Îïðåäåëåíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ310è ïðåîáðàçóþùèì äèàãðàììó êîñû â äèàãðàììó êîñû, à òàêæå ïî âñåì äâèæåíèÿì åéäåìåéñòåðà, îñòàâëÿþùèì êîñó â êëàññå êîñ, çà èñêëþ÷åíèåìïåðâîãî êëàññè÷åñêîãî è ïåðâîãî âèðòóàëüíîãî.Çàìå÷àíèå 7.1.Ïåðâîå êëàññè÷åñêîå è ïåðâîå âèðòóàëüíîå äâèæåíèÿåéäåìåéñòåðà íåâîçìîæíû ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî íèòü êîñû, èìåþùàÿïåòëþ, íå ìîæåò áûòü âîñõîäÿùåé.Íàçîâåì âèðòóàëüíóþ êîñó êðàøåíîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïåðåñòàíîâêà òðèâèàëüíà.
Íàçîâåì âèðòóàëüíóþ êîñó ÷åòíîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïåðåñòàíîâêà ÷åòíà.Êàê è êëàññè÷åñêèå êîñû, âèðòóàëüíûå êîñû îáëàäàþò åñòåñòâåííîé ãðóïïîâîé ñòðóêòóðîé. Çäåñü óìíîæåíèå ðàñïîëîæåíèå îäíîé êîñû íàä äðóãîé (ñî ñãëàæèâàíèåì â òî÷êàõ ñîåäèíåíèÿ), à âçÿòèå îáðàòíîé çåðêàëüíîå îòðàæåíèå äèàãðàììû îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Îáðàçóþùèìè ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ èç n íèòåé ÿâëÿþòñÿ: σ1 , . . . , σn−1 (êëàññè÷åñêèå ïåðåêðåñòêè) è ζ1 , . . . , ζn−1 (âèðòóàëüíûå ïåðåêðåñòêè), ñì.
ðèñ. 7.2.ii+1......i...i+1...èñ. 7.2. Îáðàçóþùèå ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ σi (ñâåðõó) è ζi (ñíèçó)Îáðàòíûå ýëåìåíòû äëÿ îáðàçóþùèõ âèäà σ îïðåäåëåíû òàê æå, êàê èâ êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ êàæäîãî i = 1, . . . , n − 1 ñïðàâåäëèâî ζi2 = e (â ñèëó âòîðîãî âèðòóàëüíîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà).7.2.
Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû311Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèé íàáîð ñîîòíîøåíèé [Ver℄ ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùèì äëÿ ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ:1. (Ñîîòíîøåíèÿ ãðóïïû êîñ:) σi σj = σj σi äëÿ i, j = 1, . . . , n−1, |i−j| > 2;σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 , i = 1, . . . , n − 2;2. (Ñîîòíîøåíèÿ ãðóïïû ïåðåñòàíîâîê:) ζi ζj = ζj ζi äëÿ i, j = 1, . . . , n −1, |i−j| > 2; ζi ζi+1 ζi = ζi+1 ζi ζi+1 , i = 1, . . . , n−2; ζi2 = e, i = 1, . . . , n−1;3. (Ñìåøàííûå ñîîòíîøåíèÿ:) σi ζi+1 ζi = ζi+1 ζi σi+1 , i = 1, . . .
, n − 2;σi ζj = ζj σi äëÿ i, j = 1, . . . , n − 1, |i − j| > 2.Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ïîðîæäåíèÿ ãðóïïû êîñ èç ïåðå÷èñëåííûõâûøå îáðàçóþùèõ ìîæíî îñòàâèòü îäíó êëàññè÷åñêóþ îáðàçóþùóþ σ1 èâñå âèðòóàëüíûå. Òîãäà îñòàëüíûå êëàññè÷åñêèå îáðàçóþùèå σi áóäóò ñîïðÿæåíû îáðàçóþùåé σ1 . Òàê, íàïðèìåð, σ2 = ζ1 ζ2 σ1 ζ2 ζ1 .Äðóãèå âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ êîïðåäñòàâëåíèÿìè ãðóïïû âèðòóàëüíûõêîñ è çàäàíèÿìè âèðòóàëüíûõ óçëîâ çàìûêàíèåìè âèðòóàëüíûõ êîñ (â ÷àñòíîñòè ñ ïðåäëîæåííûì âûøå íàáîðîì èç n îáðàçóþùèõ) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî÷èñëà n íèòåé, îïèñàíû â ñòàòüÿõ Ë.Êàóìàíà è Ñ.Ëàìáðîïóëó [KL, KL2℄.ðóïïà âèðòóàëüíûõ êîñ èç n íèòåé îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç V B(n).
Åñëèðàññìîòðåòü ïîäãðóïïó ãðóïïû âèðòóàëüíûõ êîñ èç n íèòåé, ñîñòîÿùóþ èçêîñ, â çàïèñè êîòîðûõ íå âñòðå÷àþòñÿ îáðàçóþùèå σn è ζn , ìû ïîëó÷èìãðóïïó, èçîìîðíóþ V B(n − 1). Ïîýòîìó èìåþò ìåñòî âëîæåíèÿ V B(1) ⊂V B(2) ⊂ · · · ⊂ V B(n) ⊂ . . .Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ãîâîðèòü î ñòàáèëüíîé ãðóïïå âèðòóàëüíûõ êîñV B(∞) êàê î ïðÿìîì ïðåäåëå ãðóïï âèðòóàëüíûõ êîñ ïî âëîæåíèþ.7.2. Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëûÏðåæäå, ÷åì ïðèñòóïèòü ê èçëîæåíèþ îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ î êîñàõ èâèðòóàëüíûõ êîñàõ, íàïîìíèì íåñêîëüêî ñòðóêòóðíûõ ìîìåíòîâ.Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ êëàññè÷åñêèõ êîñ âèðòóàëüíû êîñû èìåþò çàìûêàíèÿ, ñì. ðèñ.
7.3.Ñêàæåì, ÷òî (ãëàäêàÿ) âèðòóàëüíàÿ äèàãðàììà D íà ïëîñêîñòè P çàïëåòàåòñÿ âîêðóã òî÷êè A êàê êîñà, åñëè A ∈/ D è â êàæäîé òî÷êå X7.2. Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû312èñ. 7.3. Çàìûêàíèå âèðòóàëüíîé êîñûèñ. 7.4. Ïîñòðîåíèå âèðòóàëüíîé êîñû ïî çàïëåòàþùåéñÿ äèàãðàììåäèàãðàììû D êàñàòåëüíûé âåêòîð (çàäàííûé âäîëü îðèåíòàöèè äèàãðàììû D) íàïðàâëåí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü èç òî÷êè A.Çàïëåòàþùàÿñÿ âîêðóã íåêîòîðîé òî÷êè äèàãðàììà ìîæåò áûòü ïðåâðàùåíà â äèàãðàììó çàìûêàíèÿ âèðòóàëüíîé êîñû: äëÿ ýòîãî íóæíî ðàçðåçàòü äèàãðàììó âäîëü ñîñåäíèõ ðàäèóñîâ, ñåêòîð ìåæäó êîòîðûìè íåñîäåðæèò ïåðåêðåñòêîâ, è âûïðÿìèòü åå, ñì. ðèñ. 7.4.Î÷åâèäíî, ÷òî ýêâèâàëåíòíûå âèðòóàëüíûå êîñû çàäàþò èçîòîïíûå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ.
Êðîìå òîãî, âñå êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê çàìûêàíèÿ âèðòóàëüíûõ êîñ.Òåîðåìà Àëåêñàíäåðà [Ale3℄ óòâåðæäàåò, ÷òî âñÿêîå çàöåïëåíèå ìîæåòáûòü ïîëó÷åíî â âèäå çàìûêàíèÿ íåêîòîðîé êîñû. Åå âèðòóàëüíûé àíàëîã(ñì., íàïð., [KL℄) óòâåðæäàåò, ÷òî âñÿêîå âèðòóàëüíîå çàöåïëåíèå ïîëó÷à-7.2. Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû313åòñÿ çàìûêàíèåì íåêîòîðîé âèðòóàëüíîé êîñû.Òåîðåìà Ìàðêîâà óñòàíàâëèâàåò íàáîð äâèæåíèé äëÿ êîñ (âèðòóàëüíûõêîñ) òàêîé, ÷òî äâå êîñû β1 è β2 çàäàþò èçîòîïíûå çàöåïëåíèÿ, òî åñòüCl(β1 ) ≡ Cl(β2 ), òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîñà β1 ìîæåò áûòü ïåðåñòðîåíà â êîñó β2 êîíå÷íîé öåïî÷êîé ïðåîáðàçîâàíèé èç èêñèðîâàííîãîìíîæåñòâà.
 êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé äâà; îíè íîñÿò èìÿïðåîáðàçîâàíèé (äâèæåíèé) Ìàðêîâà.Ïðè ýòîì â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü âñå êîñû â öåïî÷êå îòβ1 ê β2 ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèìè. êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ìàðêîâà:Òåîðåìà 7.1.Çàìûêàíèÿ äâóõ êîñβ1èβ2ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èçîòîï-íûå çàöåïëåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàçîâàíà âβ2β1ìîæåò áûòü ïðåîáðà-ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïðåîáðàçîâàíèé êëàññè÷åñêèõ êîñ, ïî-êàçàííûõ íà ðèñ. 7.5I(íàìîæåò áûòü êàê òèïàF)ïðàâîì ðèñóíêå ñíèçó äîáàâëÿåìûé ïåðåêðåñòîê, òàê è òèïà.B −1←→A←→AAAAAB¢¢A¢¢A¢Aèñ. 7.5. Äâèæåíèÿ ÌàðêîâàÂïåðâûå äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áûëî àíîíñèðîâàíî À.À.Ìàðêîâûì[Mar℄, íî ýòî äîêàçàòåëüñòâî ñîäåðæàëî ïðîáåëû. Ïåðâîå áåçóïðå÷íîå äîêàçàòåëüñòâî (êëàññè÷åñêîé) òåîðåìû Ìàðêîâà ïðèíàäëåæèò Äæîàí Áèðìàí,ñì.
[Bir2℄, ñì. òàêæå [Mor, Tra℄. ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìàðêîâà ìîæíîíàéòè â êíèãå àâòîðà [Ìà1℄. ðàáîòå [Kam℄ Ñåéè÷è Êàìàäà äîêàçàë àíàëîã òåîðåìû Ìàðêîâà îáýêâèâàëåíòíîñòè âèðòóàëüíûõ çàöåïëåíèé, çàäàííûõ çàìûêàíèÿìè âèðòóàëüíûõ êîñ â ñëåäóþùåé îðìóëèðîâêå.7.2.
Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëûÒåîðåìà 7.2. Çàìûêàíèÿ314äâóõ âèðòóàëüíûõ êîñ çàäàþò èçîòîïíûå âèð-òóàëüíûå çàöåïëåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè äâå âèðòóàëüíûå êîñû ñâÿçàíû êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñîîòíîøåíèé èç ñïèñêà(VM0)(VM3).(VM0)Ýêâèâàëåíòíîñòü êîñ.(VM1)Ñîïðÿæåííîñòü(VM2)Ïðàâàÿ ñòàáèëèçàöèÿ(âãðóïïå âèðòóàëüíûõ êîñ).(äîáàâëåíèåñïðàâà íèòè, êîòîðàÿ îáðàçóåò ñïîñëåäíåé íèòüþ âíèçó íîâûé ïåðåêðåñòîê ïîëîæèòåëüíûé êëàññè÷åñêèé, îòðèöàòåëüíûé êëàññè÷åñêèé èëè âèðòóàëüíûé), à òàêæåäåñòàáèëèçàöèÿ(VM3)(ïðåîáðàçîâàíèå,îáðàòíîå ñòàáèëèçàöèè);Ïðàâîå è ëåâîå âèðòóàëüíûå ïåðåáðàñûâàíèÿ, ñì.
ðèñ. 7.6.èñ. 7.6. Âèðòóàëüíûå ïåðåáðàñûâàíèÿÄâèæåíèÿ (VM0)(VM2) ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû êëàññè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì Ìàðêîâà ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî â êà÷åñòâå ñîïðÿãàþùåé êîñû(äâèæåíèå (VM1)) ìîæíî áðàòü ïðîèçâîëüíóþ âèðòóàëüíóþ êîñó, èìåþùóþ òî æå êîëè÷åñòâî íèòåé, ÷òî è ñîïðÿãàåìàÿ êîñà. Íîâîå äâèæåíèå (VM3) èìååò äâà âàðèàíòà: ïðàâûé è ëåâûé.
Êàæäîå èç âèðòóàëüíûõïåðåáðàñûâàíèé ñîñòîèò â çàìåíå äâóõ êëàññè÷åñêèõ ïåðåêðåñòêîâ, ìåæäóêîòîðûìè ïðîõîäèò íèòü êîñû, íå èìåþùàÿ ïåðåêðåñòêîâ, äâóìÿ âèðòóàëüíûìè ïåðåêðåñòêàìè. Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ íå ìåíÿþò êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè çàìûêàíèé êîñ, òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèå çàìûêàíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äðóãèç äðóãà ïðèìåíåíèåì âòîðîãî êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà èâòîðîãî âèðòóàëüíîãî äâèæåíèÿ åéäåìåéñòåðà.7.2. Âèðòóàëüíûå êîñû è âèðòóàëüíûå óçëû315Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè äàíî â ðàáîòå [Kam℄.Áîëåå óäîáíûì ÿâëÿåòñÿ íàáîð ïðåîáðàçîâàíèé êîñ, ïðåäëîæåííûé Ëóèñîì Êàóìàíîì è Ñîèåé Ëàìáðîïóëó â [KL2℄.À èìåííî, â ýòîé ðàáîòå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 7.3.
Çàìûêàíèÿ äâóõ âèðòóàëüíûõ êîñ L è L′çàäàþò îðèåíòè′ðîâàííûå âèðòóàëüíûå çàöåïëåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîñà Lïîëó÷àåòñÿ èçLïðèìåíåíèåì öåïî÷êè ïðåîáðàçîâàíèé ñëåäóþùèõ âèäîâ:1. Èçîòîïèÿ êîñ.2. Ñîïðÿæåíèå ïîñðåäñòâîì êëàññè÷åñêèõ êîñ,3. Ïðàâîå âèðòóàëüíîåLv -ïðåîáðàçîâàíèå,4. Ïðàâîå êëàññè÷åñêîåLv -ïðåîáðàçîâàíèå,5. Ïðàâîå è ëåâîåLv -ïðîøèâàíèÿ.Ñõåìàòè÷íî ýòè äâèæåíèÿ èçîáðàæåíû íà ðèñóíêàõ 7.7, 7.8, 7.9.èñ. 7.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
