XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Следствие 4.1. 1. Любой гомоморфизм Ь алгебры А = = (А, й) однозначно определяет конгруэнцию рь на А, такую, что Ь(А) М А/рь. 2. Любая конгруэнция р на алгебре А = (А, й) однозначно определяет некоторый гомоморфюм Ьр данной алгебры на фактор-алгебру А/р. Применим полученные результаты к теории групп. Докажем, что фактор-группа заданной группы ио нормальному делителю (см. 2) совпадает с фактор-алгеброй указанной группы по некоторой конгруэнции.
Прежде всего заметим, что поскольку фактор-алгебра любой группы (по любой конгруэнции) изоморфна некоторому гомоморфиому образу этой группы, а гомоморфный образ всякой группы является группой (см. 2.8), то фактор-алгебра группы по любой конгруэнции есть группа.
Докажем теперь следующую теорему. Теорема 4.5. Пусть й = (С,, 1) — произвольная группа и р — конгруэнция на ней. Тогда фактор-группа Д/р совпадает с фактор-группой Д/Я по некоторому нормальному делителю Я группы Д. ~ Рассмотрим канонический гомоморфюм Ьр группы й. Его ядром является множество всех элементов, эквивалентных (по 250 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ конгрузнции р) едиииие группы. Но поскольку, согласно теореме 2.19, ядро каждого гомоморфизма груни есть нормальный делитель, то множество [1]д (класс эквивалентности единицы группы) является нормальным делителем'. Этот нормальный делитель, обозначаемый далее Я, будучи классом эквивалентности единицы группы Д, является единицей фактор-группы Д/р и фактор-группы Д/Я. Остаюсь показать, что произвольный левый смежный класс а[1]» совпадает с классом эквивалентности элемента а Е С.
Для всякого элемента у этого класса имеем у = ах для некоторого хр1. Тогда, так как р — конгруэнция, получим [у]я — — [ах]р — — [а]»[х]» — — [а]»[1]» — — [а]я, откуда а[1]д — — [а]р. Итак, каждый левый смежный класс по нормальному делителю Я является одновременно классом эквивалентности по исходной конгруэнции р, а группы Д/р и Д/Я совпадают.
° Таким образом, имеет место взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями на группе и нормальными делителями этой группы, и каждая фактор-группа по конгруэнции является в то же время и фактор-группой по нормальному делителю,и наоборот. Важным результатом для групп является и следующая теорема. Теорема 4.6. Ядрами гомоморфизмов групп служат нормальные делители, и только они. 1 То, что ядро гомоморфнзма групп есть нормальный делитель, доказано выше (см. 2.Я). Наоборот, если Я вЂ” нормальный делитель Д, то отношение и — конгруэнцня (см.
4.3), а множество Н вЂ” ядро соответствующего канонического гомоморфиэма. ~ 'Точнее, нормальным делителем гудет подгруппе, носителем которой является мнозсество [1]». 251 4А. Гоиоморфязмы В силу установленной связи между фактор-системами и гомоморфизмами можно утверждать, что фактор-алгебра любого кольца по любой конгруэнции на этом кольце является кольцом. Естественно назвать его фпкпзор-кольцом (по заданной конгруэнции).
Пример 4.8. Как уже было показано в примере 4.4.б, отношение =ь есть конгрузнция на кольце целых чисел. Можно доказать, что фактор-кольцо кольца целых чисел по этой конгруэнции иэоморфно кольцу Еь вычетов по модулю Й, поскольку соответствующий канонический гомоморфизм сопоставляет каждому целому числу т е Е его класс эквивалентности (т]ея и существует естественное, сохраняющее операции взаимно однозначное соответствие между множеством этих классов (т.е.
фактор-множеством Е/=Ов0,~ь~) и множеством (О, 1, ..., й — 1) остатков от деления на я (см. также пример 2.25). В заключение докажем три теоремы, которые описывают с точностью до изоморфизма все полугруппы, группы и кольца. Будем говорить, что полугр]~ппа 8 = (Я, ) изоморфно вкладываетсл в моноид М = (М,, 1), если существует мономорфизм 8 в М, т.е. если образ полугруппы о при этом мономорфиэме является некоторой подполугруппой (но, вообще говоря, не подмоноидом) моноида М. Например, полугруппа ((О, 1), ) изоморфно вкладывается в моноид ЦО, 1],, 1), где операция — обычное умножение чисел.
Теорема 4.Т. Любая полугруппа изоморфно вкладывается в некоторый моноид. ~ Пусть 8 = (Я, ) — полугруппа, не являющаяся моноидом (так как иначе она тривиально вкладывается сама в себя). Пусть 1е) — произвольное одноэлементное множество, не пересекающееся с Я. Определим на множестве Я0 1е) операцию . следующим образом: на Я операция . совпадает с операцией полугруппы 8, а для каждого а Е Я 0 (е) она удовлетворяет со- 252 4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ отношениям а е = е а=а. Очевидно, что М = (ЯОе,, е)— требуемый моноид.~в Теорема 4.8. Любой моноид изоморфно вкладывается в симметрический моиоид некоторого множества А. < Пусть 8 = (8,, 1) — моноид. Сопоставим каждому а е 8 преобразование у„: х ~ х а (правый сдвиг на а) множества 8. Отображение а ~-~ ~„множества Я в множество всех преобразований 8 инъективно, поскольку если а у6 Ь, то у,(1) ~ Я1) и ~е ~Д. Далее, если с=а.Ь, то уаь(х) = х с= х(аЬ) = (ха)Ь = Щ~(х)) = (~шоу))(х). Итак, а ~ у„есть мономорфизм 8 в симметрический моноид множества А. ~ Теорема 4.9 (таеорема Хэли). Любая группа изоморфно вкладывается в симметрическую группу некоторого множества А.
~ Если 8 = (Я, , 1) — группа, то введенное в доказательстве теоремы 4.8 преобразование,~в:х ~+ х а множества 8 будет уже биекцией. Чтобы это доказать, достаточно построить ошабрахсеиие, обратное ~в. Действительно, сдвиг Д„-1 на а ~ будет отображением, обратным сдвигу на а: у„-1(Ях)) =(х а) а =х (а а ) =х 1=х. Точно так же и Д„(Д„-~(х) = х.
Из доказанного следует, что множество всех правых сдвигов множества Я образует по операции композиции группу, являющуюся подгруппой симметрической группы множества 8. Из доказательства теоремы 4.8 заключаем, что отображение а ~-+ у„, сопоставляющее каждому элементу а множества 8 (носнтеля моноида 8) сдвиг на а, инъективно и является, более того, мономорфизмом моноида 8 в симметрический моноид множества 8. Но поскольку, как мы только что показали, в том 4.о.
Пряные проязведеюаа алгебраических систем 253 случае, когда моноид б является группой, для любого а к Я выполняется равенство ~е-1(х) = ~е (х), то данный мономорфизм отображает элемент, обратный к а, в сдвиг, обратный сдвигу До. Тем самым он оказывается уже мономорфизмом группы б в группу всех подстановок множества Я (и изоморфизмом на подгруппу всех правых сдвигов множества Я), т.е. изоморфным вложением первой группы во вторую. 1ь Пусть в. = (К, +, 0) — абелева группа.
На множестве Епй(в.) всех эндоморфизмов группы а, можно определить структуру кольца следующим образом. Умножение эндоморфизмов определим как их композицию, а сложение — так, что для любого х Е К выполнено равенство (у+д)(х) = у(х)+д(х). Введем также нулевой эндоморфизм О, для всех х положив 0(х) = О, и каждому эндоморфизму у сопоставим противоположный эндоморфизм -у, для каждого х положив (-~)(х) = = -~(х). Можно доказать, что тем самым действительно определено кольцо (проверив все аксиомы кольца, см.
2.3). Его называют кольцом эндоморфиэмов абслевоб еруппы IС. Теорема 4.10. Любое кольцо изоморфно вкладывается в кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы. ф Доказательство этой теоремы проводится по аналогии с доказательствами теорем 4.8 и 4.9. Искомое вложение опреде. ляется следующим образом: пусть Я.
= (В, +,, О, 1) — кольцо. Для любого г Е В положим Ях) = х. г. Тогда отображение г ~-+ у,. и есть требуемое вложение, причем в качестве абелевой группы выступает аддитивная группа кольца К. 4.5. Прямые произведения алгебраических систем Часто возникает необходимость, имея некоторые исходные однотипные алгебраические системы, определенным образом „распространить" их операции и отношения на декартово 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ произведение их носителей: например, определить структуру группы (кольца, поля) на декартовом произведении носителей некоторых групп (колец, полей) или перенести структуру индуктивного упорядоченного множества на декартово произведение носителей заданных индуктивных упорядоченных множеств и т.п. Выясним, как осуществляется такой перенос операций и отношений, а также сформулируем некоторые условия, при которых все свойства исходных алгебраических систем сохраняются в их декартовом произведении.
Пусть Аь = (А1, й, П), ..., А„= (А„, й, П) — однотипные алгебраические системы (их сигнатуры, как и элементы этих сигнатур, обозначаются одинаково). Рассмотрим декартово произведение В = А1 х ... х А„ их носителей и перенесем на В операции и отношения исходной сигнатуры следующим образом. 1.
Для любой т-арноб (т > 1) операции ш Е й и произвольных кортежей яц = (хп, ..., хсв) е В, 1 = 1, т, положим х1 ° ° аовш = (ж11 ° ° ° хпз1ю~ ° ° ° ~ х1п " ° хтп~о) Для любых нульарныя операций аы ..., а„алгебраических систем Ам ..., А„определим кортеж а = (аз, ..., а„) как нульарную операцию на множестве В. 2. Для любого в-арного отношения к Е П (в > 1) и произвольных кортежей яц = (хи, ..., х;и) Е В, 1= 1, в, положим (ж1, ..., к,) Е я тогда и только тогда, когда (х11, ..., х, ) Е к для каждого .у = 1, п.
Полученную таким образом алгебраическую систему В на множестве В = А~ х ... х А„называют прямым (декартовым) произведением алгебраическик систем Ам ..., А„и обозначают А1 х ... х А„. В том случае, когда Аь =... = А„= А, получаем и-ю декартову степень алгебраической системы А, обозначаемую Ат. Замечание 4.4. Несколько особняком стоит случай и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
