XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 38
Текст из файла (страница 38)
на аддитпивной группе дейстпвитпельных чисел. Докажем сначала второе утверждение. Пусть а = Ь (шод 1) и с = И (шоб 1). Тогда числа а — Ь и с — д являются целыми. Следовательно, и их сумма (а — 6)+(с-И) = (а+с) — (Ь+д) тоже целое число, т.е. а+ с = Ь+ Ы (шот1 1). Это и означает, что отношение равенства по модулю 1 является конгрузнцией на аддитивной группе действительных чисел.
Пусть, как и выше, а=Ь(шо41) и с=д(шоб1). Если бы (длялюбыха, Ь, с, И) отсюда следовало, чтоа с=Ь И(шой1), то тогда дробная часть а с всегда совпадала бы с дробной частью Ь. И. Но каждое число равно по модулю 1 своей дробной части. Следовательно, тогда дробная часть произведения любых двух 238 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ чисел должна была бы равняться произведению дробных частей этих чисел. Простой пример, приведенный ниже, показывает, что это не так.
При Ь= а = 1 1 имеем а =0,1 (шод1), Ь= 0,1 (шот11) и 0,1~ = = 0,01. Так как аЬ= 1>1~ =1,21, то аЬ= 0,21(шоб1). Это и означает, что равенство по модулю 1 не есть конгрузнция на поле действительных чисел (Ж, +,,0,1). б. Пусть (Е, +,, О, 1) — кольцо целых чисел. Отношение равекстива ио модуле Й, введенное в равд. 2.3, будет конгруэнцией на данном кольце. Действительно, пусть ти ив г и (шой Й) и г ш в (шой Й). Тогда существуют такие целые числа 1> и 1г, что пт-и=1> Й, (4.1) Складывая уравнения системы (4.1), получаем ти+г (и+в) = (>1+!2)Й т.е.
ти + г = и + в (шот1 Й). Умножая первое уравнение системы (4.1) на г, второе — на и и складывая результаты, получаем тиг — ив = (1тг+1гв)Й, т.е. тит ш ив (шот1 Й), что и доказывает сформулированное вылив утверждение. в. Рассмотрим алгебраическую систему (Е, +,, О, 1, <), образованную из кольца целых чисел добавлением отикошекил (( (естивстивеккого числового порядка).
Тогда равенство по модулю Й уже не будет конгруэнцией на данной алгебраической системе. Действительно, если, скажем,а и Ь при делении на Й дают один и тот же остаток 1, а с и д — один и тот же остаток р, то из а < с не следует, вообще говоря, что Ь < д. Например, 5=17(шоб4),6=10(шот14), 5<6, но 17>10. Таким образом, отношение равенства целых чисел но модулю Й не „сохраняет" отношения <, т.е. справедливость неравенства а ( Ь зависит от 4.3. Ковгруаиции и фактор-системы 239 того, какие элементы а и Ь в соответствующих классах эквивалентности выбраны. г. Пусть в линейном нросшрансшве Ь фиксировано линейное ноднросгарансшво У. Рассмотрим Ь как модуль над полем действительных чисел (К, +,, О, 1). На множестве векторов Ь зададим отношение к так: а ° к Ьоьа — Ь Е У.
Нетрудно показать, что это отношение экивалентности. Далее, если а ° ~ Ь и с ь д, то а+с-(Ь+И) =(а-6)+(с-И) ЕУ, поскольку каждое слагаемое в последней сумме есть вектор из подпространства У. Для проювольного действительного а ю а к Ь следует, что аа к аЬ, так как аа — аЬ = а(а — Ь) Е К Таким образом, введенное отношение есть'конгруэнция на линейном пространстве Ь. Напомним, что множество векторов линейного пространства по сложению есть абелева группа. Следовательно, рассмотренное отношение эквавалентности к есть конгруэнция на этой группе. Покажем, что указанную конгруэнцию можно распространить на произвольную абелеву группу.
Пусть Д = = (С, +, О) — некоторая абелева группа, а Я = (Н, +, О)— проювольная подгруппа группы Д. Зададим отношение -и так: а нЬ оь а — Ь е Н. Рассуждал так же, как и в случае множества векторов линейного пространства, можно показать, что отношение и является конгруэнцией. д. Пусть А = (А, <) и В = (В, () — упорядоченные мноэсесшва. Зададим отображение у: А -+ В так, чтобы оно было моношонно, т.е.
чтобы для любых а, Ь Е А из а ( Ь следовало Да) -С у(6). Введем отношение эквивалентности у на А (см. 1.Т), положив а у 6 оь у(а) = у(6). Выясним, будет ли это отношение конгрузнцией на модели А = (А, <). Пусть а1 у Ьм аэ у Ьэ и а1 <аэ. Тогдав силу монотонности отображения ~ имеем ~(а1) ( ~(аэ), а так как ~(а1) = ДЬ~) и у(аэ) = ~(Ьэ), то и Д61) -< ~(Ьз).
Отсюда, однако, нельзя в общем случае сделать вывод, что Ь1 < Ьз. На рис. 4.1 у (2) -С у(4), но элементы 2 и 4 не сравнимы. Данное отображение (как 240 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ У У(4 1 2 3 у(1)-у(2) у(З) А В Рис. 4.1 нетрудно понять, монотонное) не будет конгрузнцией хотя бы потому, что 1 ° у 2, но 1 < 4, а 2 и 4 не сравнимы. Если же отображение у таково, что а < Ь 4Э Да) .~ у(6), то ° у будет конгруэнцией. Например, если на диаграмме Хассе для множества А на рис.
4.1 добавить „ребро", соединяющее элемент 2 с элементом 4 (см. штриховую линию), т.е. считать, что 2 < 4, то можно будет получить конгрузнцию ° у на множе. стае А. ф Согласно определению конгруэнции,на алгебраической системе А классы эквивалентности [а1]р, ..., [а„]р вместе с любой и-арией (и > 1) операцией ы однозначно определяют класс эквивалентности элемента [а1... а„м] р. Другими словами, для любых элементов и1 е [а1]р, ..., х„б [а„]р класс эквивалентности элемента х1... я„ы зависит только от классов эквивалентности элементов к,, ( = 1, п, но не зависит от выбора элемента в классе.
Таким образом, мы можем „перенести" операцию ы на классы эквивалентности, положив [а1]р...[а„]ры= [а1...а„ю]. Аналогично для любого и-арного (и > 1) отношения, по определению, полагаем (для любого п > 1, любого и Е П(") и любых а1 ", аи) ([а ], [а ]р) Е п 4Ф (а1, "° ~ аи) ~ ит 4.3. Коигруэияии и фактор-системы 241 поскольку, согласно определению конгруэнтности, для любых хт Е [ат]л, ..., х„Е [ао]р условие (хм ..., х„) Е я зависит лишь от классов эквивалентности элементов х;, т = 1,п. Заметим, что в этом случае мы использовали одинаковые символы (ы и и) для соответствующих операций и отношения на разных множествах, опираясь на соглашение о сигнатурах однотипных алгебраических систем.
Итак, операции и отношения исходной сигнатуры можно перенести на множество классов эквивалентности по конгруэнции р согласно приведенным выше формулам. Получаемая при этом алгебраическая система (однотпипнал с исходной) имеет в качестве носителя фактпор-мнохеестпео А/р. Ее называют Яактпор-систпемой алгебраической системы А по конгруэниии р и обозначают А/р.
В том случае, когда исходная алгебраическая система А является алгеброй (моделью), ее фактор-систему А/р называют Яактпор-алгеброй (утактпормоделью соответственно). Пример 4.5. Вернемся к примеру 4.4.а. Конгруэнция, определенная в этом примере, — не что иное, как отношение у (напомним, что для действительных чисел х, у х и. у с=» Е» х — у Е Е, см. 2.6). Следовательно, фактор-алгебра (И, +, 0) аддитивной группы целых чисел по конгрузнции равенства по модулю 1 — это утактпор-группа Й/Е аддитивной группы действительных чисел по нормальному делитпелто Е, т.е.
по подгруппе целых чисел. ф Пример 4.5 есть проявление общей связи между понятиями конгрузнции и нормального делителя группы. Рассмотрим этот вопрос подробно. Пусть Д = (ст,, 1) — группа, а Я = (Н,, 1) — ее подгруппа, являющаяся нормальным делителем. Отношение и, определенное на носителе С исходной группы так, что а нЬе»аН=ЬН, 242 4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ есть, согласно теореме 2.11, эквивалентность. Докажем, что н является конгруэнцией. Для этого досгаточно доказать, что для любых а, 6, с, 4ЕС из а не и 6 пдследует аЬ ИЫ Имеем а нс, и это означает, что аН = сН. Точно так же ЬН = дН в силу Ь нд. Так как Я вЂ” нормальный делитель, то аЬН = аНЬН. Далее, аНЬН = сНйН, и, снова используя свойство нормального делителя, получаем сНдН = сл1Н, откуда аЬН = сдН. Фактор-алгебра группы Д по конгруэнции и совпада ет (подчеркнем — не просто изоморфна, а именно совпадает) с фактор-группой группы Д по нормальному делителю Н (см.
2.8). Ниже (см. 4.4) показано, что и, наоборот, фактор-аягебра любой группы по произвольной конгрузнции есть ее фактор- группа по некоторому нормальному делителю. Мы продолжим обсуждение идеи фактор-системы и поймем ее глубже, когда свяжем понятие фактор-системы с общим понятием гомоморфизма, знакомого нам пока только по частным сяучаям гомоморфизмов групп и колец. 4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
