XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Гомоморфизмы Пусть А = (А, й, П) и В = (В, й, П) — две однотипные алгебраические системы. Отображение Ь: А -+ В называют эомоморЯиэмом алгебраической системы А в алгебраическую систему В, если выполняются следующие условия: 1) для любой и-аркой операции ы (и ) 0) и любых элементов а1, ..., а„йА Ь(а1...а„о) = Ь(а~)...Ь(а„)ы; 2) для любого и-арного отношения к (и ) 1) и любых элементов а1, ..., а„Е А из того, что (а1, ..., а„) й я, следует, что (Ь(а1), ..., Ь(ан)) й к.
243 4.4. Гомоморфпзмы Мы будем использовать обозначение Ь: А + В для отображения Ь, пвллющегося гомоморфизмом алгебраической системы А= (А, й, П) в алгебраическую систему В = (В, й, П). Рис. 4.2 В определении гомоморфюма первое условие, которое можно рассматривать как условие „сохранения операций", означает следующее. Если отображение Ь вЂ” гомоморфизм, то, вычисляя образ резульпьапьа применении любой операции м б й к любому коргпеису аргуменпзое из носители алгебраической системы А, т.е. образ произвольного элемента а1...
апш, мы можем сначала определить образ каждого из аргументов и уже к ним, т.е. к элементам Ь(а1), ..., Ь(а„), на носителе алгебраической системы В применить рассматриваемую операцию (точнее, операцию второй алгебраической системы, которая соответствует операции м; напомним, что соответствующие друг другу операции и отношения однотипных алгебраических систем мы договорились обозначать одинаково). Эта ситуации проиллюстрирована на рис. 4.2.
Второе условие в определении гомоморфизма выражает „сохранение отношений": если элементы ам ..., а„первой алгебраической системы селзаны ошношениедс р, т.е. (ам ..., а„) й и, то их образы Ь(а1), ..., Ь(а„) при гомоморфюме Ь связаны „тем жее' отношением во второй алгебраической системе, т.е. (Ь(а1), ..., Л(а„)) й и. "'Гочнее, так же обозначенным.
Закдвчан снова „тем же" в кавычки, мы еше раз подчеркиваем усзовность одинакового обозначении операций н отношений одкотипнык аш ебраическвк систем. 244 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Заметим сразу, что из того, что (Ь(а1), ..., Ь(а„)) Е я, не следует, вообще говоря, что (ам ..., а„) Е тг. Если же это имеет место, т.е.
для всякого и-арного отношения я (п > 1) и любых а1, ..., а„Е А (ам ..., а„) Е я тогда и только тогда, когда (Ь(а1), ..., Ь(а„)) е я, то такой гомоморфизм назьпвают стпрогим гомоморЯизмом. Если строгий гомоморфизм алгебраической системы А в алгебраическую систему В является биекцией А -+ В, то его называют изомордтизмом. Из определения изоморфизма следует, что для изоморфизма Ь: А-+ В обратное отпобразеение Ь т: В-+А также является изоморфиэмом.
В этом случае алгебраические системы А и В называют изомордтнььии и пишут А м В. Если алгебраические системы интересуют нас лишь со стороны свойств их операций и отношений, то изоморфные алгебраические системы в этом смысле не различимы, и тогда говорят о совпадении алгебраических систем с точностью до изоморфизма. Если гомоморфизм является инъекцией, то его называют мономордтизмом или вложением.
В том случае, когда существует вложение алгебраической системы А в алгебраическую систему В, которое является также строгим гомоморфизмом, то говорят, что первая алгебраическая система изоморфно вкладывается во вторую. Если гомоморфизм Ь: А -+ В является сюръекцией, то его называют зпимор9тизмом А на В. При эпиморфизме носитель алгебраической системы В совпадает с образом носителя алгебраической системы А при отображении Ь, т.е. В = Ь(А).
В этом случае говорят также, что алгебраическая система В является гомомордтным образом систпемы А при гомоморфизме Ь, и записывают это как В = Ь(А). Гомоморфизм алгебраической системы А в себя называют зндоморфизмом алгебраической системы А. Эндоморфизм, являющийся изморфизмом, называют автпоморфизмом. Легко доказать следующее утверждение. 245 4.4. Гомоморфвэмм Теорема 4.2. Если Ь: А -+ В и д: В -+ Р— гомоморфиэмы, то композиция Ь о д: А -+ ь — тоже гомоморфнзм.
ф Ранее (см. 2 и 3) мы достаточно подробно обсудили понятие гомоморфизма для алгебр — групп и колец. Заметим, что для алгебр любой гомоморфнзм является строгим, так как сигнатура алгебры включает только операции и условие 2 в определении гомоморфизма для нее не рассматривается. Приведем некоторые дополнительные примеры гомоморфизмов. Пример 4.6. а. Рассмотрим левыб К-модуль М = (М, +, (ы,„: а е В), 0) как алгебраическую систему, сигнатура которой помимо групповой операции сложения и нуля группы 0 содержит и унарные операции умножения элементов группы на элементы кольца К (мощность множества этих операций равна мощности ~В~ носителя В кольца Я).
Гомоморфизм Ь: М~ -ь Мз этих Я;модулей есть такое отображение, что для всех х, у Е М и всех о Е В Ь(х + у) = Ь(х) + Ь(у), Ь(о (х)) =ю,„(Ь(х)). Используя вместо выражения ы„(х) более привычную запись а о х, приведенные вьппе условия представим в виде Ь(х + у) = Ь(х) + Ь(у), Ь(д о х) = о о Ь(х). В случае ликвбкого прос~прансшва кад полем отображение, удовлетворяющее этим условиям, есть не что иное, как ликебкыб оператор.
Таким образом, линейные операторы суть гомоморфизмы линейных пространств. б. Для линейного пространства отображение, сопоставляющее каждому вектору х вектор х+ а для фиксированного ненулевого вектора а, не является линейным оператором и, следовательно, не является гомоморфизмом заданного линейного 246 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ У(а~) аа яа1)=йо ) у(а,)=у(а,) В д(аб) =д(М Й(а~) а(а1) )в(а ) а(а ) д(а,)=д(а )=д(аД=д(аД С Э Рис.
4.3 пространства в себя. Действительно, для любого гомоморфизма модулей (и линейных пространств, в частности) образ нулевого вектора есть нулевой вектор. Здесь же О ~+ а )4 О. в. Пусть А = (А, р) и В = (В, р) — модели с одним бинарным отношением. Отображение й: А ~ В будет гомоморфнзмом первой модели во вторую, согласно с общим определением, тогда и только тогда, когда для любых х, у Е А из х р у следует Ь(х) ра(у).
В частности, если р — отвношение нарядна, то получаем х ( у ~ й(х) ( Й(у). Таким образом, гомоморфизмы упорядоченных множесшв— зто монотонные ошображения. На рис. 4.3 в виде диаграмм Хассе изображены четыре упорядоченных множества. Множество В является гомоморфным образом множества А, но не является его строгим гомоморфным образом; множество С есть строгий гомоморфный образ множества А; наконец, множество Р не является гомоморфным образом множества А. 4.4.
Гомоморфяэны 247 Установим теперь связь между понятием гомоморфизма и понятием фактор-системы. Доказываемые ниже результаты конкретизируют для влгебраическвх систем связь между понятием отображения и понятием отношения эквивалентности (см. 1.7). Теорема 4.3. Для любой конгруэнции р на алгебраической системе А = (А, й, П) каноническая сюръекция Ьр множества А являетсл строгим эпиморфизмом алгебраической системы А на ее фактор-систему А/р.
~ Для канонической сюръекции задается Ьр. Имеем Ьр(х) = [х]р (для произвольного х Е А). В силу определения конгруэнции для произвольных и-аркой операции ю и п-арного отношения к и любых ам ..., а„Е А, согласно определению операций и отношений на фактор-множестве А/р (см. 4.3), имеем Ьр(а1...а„ю) = [а1...а„ю]р — — [а1]р...[а„]рю = Ьр(а1)...Ьр(ао)и>, (а1, ", ао) Енот([а1]р, [ад]р) Ек~ откуда и следует, что Ьр — строгий гомоморфизм. 1ь Ввиду теоремы 4.3 каноническую сюръекцию Ьр (для конгруэнции р) можно назвать каноническим гомоморфиэмом алгебраической системы А.
Справедлива теорема, обратная теореме 4.3. Теорема 4.4. Для любого строгого гомоморфизма Ь: А-+ -+ В отношение рь на носителе А алгебраической системы А, определенное так, что хрьу оо Ь(х) = Ь(у) для любых х, у Е Е А, является конгруэнцией, причем имеет место изоморфиэм Ь(А) = А(Рь. н Пусть Ь: А-+  — гомоморфизм, тогда ра — эквивалентность (см. 1.7).
Введем отображение 1: А(рь -+ Ь(А), полагал 1([а]р„) = Ь(а). Это действительно отображение, так как эквивалентные элементы множества А имеют один и тот же образ. Поскольку 248 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ незквивалентные элементы имеют разные образы, то л — инъекция. Очевидно, что г' является сюръекцией.
Следовательно, 4 — биекция. Далее, если ад рь 6д, ..., а» рь 6„, то Ь(ад...алгр) = Ь(ад)...Ца„)гр = Ь(Ьд)...ЦЬ„)ьд = И(Ьд...6»гр), т.е. ад... а„гр рл Ьд...Ь„м для шобой п-арной операции др. Точно так же (ад, ..., а„) е я' =~ (Ь(ад), ..., Ь(а„)) Е я ~ ~ (Ь(6д), ..., ЦЬ„)) Е гг ~ (Ьд, ..., Ь„) Е я> причем последняя импликация справедлива в силу того, что Ь— строгий гомоморфизм.
Итак, рь — конгруэнция на А. Остается доказать, что имеет место изоморфиэм Ь(А) А/рь. Далее, если ьд Е Й~")> то д((ад]рл> ..., да„]р гр) = Яад...а»гр]рл) = = И(ад... а„ги) = И(ад)... Ь(а„)ш = = г([ад]рл)" д((а ]рл)гр> т.е. л „сохраняет" операции. Рассуждая аналогично, можно доказать, что д „сохраняет" и отношения как любой гомоморфиэм, и, более того, поскольку Ь вЂ” строгий гомоморфизм, то для любого отношения я (4((ад]рл), ..., д((а„]рл)) Е т =э (Ь(ад), ..., И(а„)) Е и ='р =ь (ад» ...
ац) Е я ~ ((ад]рл > " > (а ]рл) ~ я> и, следовательно, г — иэоморфизм А/рл на Ь(А) (и вложение А/рл в В). в Таким образом, любой гомоморфный образ алгебраической системы совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой ее фактор-системой. 4.4. Гомоморфизмм 249 Пример 4.7. Требование строгости гомоморфизма в теореме 4.4 является существенным. В примере 4.4.д монотонное отображение / не определяет конгруэнции на упорядоченном множестве А, так как не является строгим гомоморфюмом (см. пример 4.6.в). Из теоремы 4.4 вытекает, что любой строгий гомоморфизм Ь: А ~ В можно разложить в композицию канонического гомоморфизма А на А/рь и мономорфизма А/рь в В (который будет изоморфизмом А/рь М Ь(А)). Применяя доказанные теоремы 4.3 и 4.4 к частному случаю алгебраических систем — алгебрам, получаем следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
