XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Одной иэ основных моделей в математике является упорядоченное множесшво. Сигнатура этой модели состоит иэ единственного отпношения порядка. Важным частным случаем служит индуктпивное упорядоченное множестпво. б. Как уже было замечено, любое полукольцо, в частности замкнутое полукольцо, является алгебраической системой, сигнатура которой помимо операций полукольца содержит отношение естественного порядка полукольца. 228 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Рассмотрим теперь некоторое иоле У = (Р, +,, О, 1), множество всех ненулевых элементов которого разбито на подмножества Р и М.
Другими словами, по определению полагаем, что для каждого а е Р выполняется в точности одно из трех условий: а Е Р, а = О или а Е Т4. Элементы Р назовем (условно) положительными, а элементы Ф вЂ” отрицательными элементами данного поля. При этом, по определению, выполняются следующие условия: 1) для каждого а Е Р а отрицательно тогда и только тогда, когда -а положительно, т.е.
— а Е Р; 2) если а, 6 е Р, то а+ Ь е Р и а Ь е Р. Введенные условия вполне естественны: первое означает, что элемент, противоположный к отрицательному, является положительным и наоборот, а второе — что сумма и произведение положительных элементов положительны. Введем теперь на множестве Р бинарное ошношевве < так, что а < Ь 4Э Ь вЂ” а Е Р (читается: а „меньше" Ь, по определению, если разность Ь- а есть положительный элемент). Естественно, полагаем, что а < Ь означает а < Ь или а = Ь.
Можно показать, что введенное таким образом отношение < на носителе поля У является отношением линейного порядка, т.е. для любых двух элементов а, Ь Е Р или а ~< 6, или Ь < а. Поле вместе с отношением порядка, введенным указанным образом, называют упорядоченным полем. Таким образом, упорядоченное поле можно рассматривать как алгебраическую систему Ус = (Р, +,, О, 1, ((), в которой алгебра У = (Р, +,, О, 1) является полем, а отношение порядка < определено так, как сказано вьппе.
Пусть, кроме этого, отношение порядка в упорядоченном поле обладает следующим свойством непрерывностпи: каковы бы ни были непустые множества А С Р и В С Р, у которых для любых двух элементов а е А и 6 Е В выполняется а < Ь, существует такой элемент о, что для всех а е А и Ь Е В выполняется двойное неравенство а < а < Ь. Тогда получаем алгебраиче- 229 4.Ь Иодваи и влгебрьг скую систему, называемую непрерывным упорядоченным полем.
Важнейший пример непрерывного упорядоченного поля — поле действительных чисел. Заметим, что воле рациональных чисел, являясь упорядоченным полем, уже не будет непрерывным. Это вытекает из того, что можно построить такие два собственных подмнохсесшва А, В С Я, что для всех а Е А и для всех 6 Е В будет иметь место а < 6, но нельзя найти такое рациональное число г, чтобы выполнялось (Уа Е А) (ЧЬ Е В) (а < г < 6). Такими двумя подмножествами А и В в множестве рациональных чисел могут быть, например, В = (д: дх ) 2), А=®В. Дело в том, что, как можно убедиться, не существует наибольшего рационального числа в множестве А.
В множестве же )и наибольшее из всех чисел, квадрат которых не больше 2, существует и равно ~(2. 4~ Две алгебраические системы А1 = (А1, й1, П1) и Аз = (Аз~ йз, Пз) называют однопхинными, если между множествами операций й1 и йз существует взаимно однозначное соответствие, отображающее й1 в йз, и > О, а между множествами отношении (и) (и) П1 и Пг можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором П1 соответствует Пз, и )~ О.
(и) (и) Таким образом, для однотипных алгебраических систем А1 = (Ам й1, П~) и Аг = (Аг, йг, Пг) любой и-арной операции из й1 (любому и-арному отношению из П1) может бьггь однозначно сопоставлена и-арная операция из йх (и-арное отношение из Пз). Например, алгебраическая система (Е, —, +,, <) с операциями — (унарный минус — переход к противоположному числу), + (сложения), (умножения) и отношением < естественного числового порядка однотипна с алгебраической системой (٠—, +,, <) с теми же операциями, а также с алгебраической системой (2м,, (,), П, С) (для некоторого множества М) с операциями дополнения, объединения, пересечения множеств 230 4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ и отношением включения. В первом случае операции и отношения, заданные на разных множествах (целых и рациональных чисел), обозначены одинаковыми символами; во втором случае однотипные алгебраические системы имеют разные обозначения операций и отношений. В то же время две модели (А, р) и (В, а), в которых р— н-арное отношение на А, а а — т-арное отношение на В, при и ф т не будут однотипными.
Зачастую, если это не вредит точности, соответствующие друг другу операции и отношения однотипных алгебраических систем будем обозначать одинаковыми символами. 4.2. Подсистемы Выше (см. 2) введены понятия подгруппы, иодкольца, подпола, которые можно объединить в рамках общего понятия подсистемы произвольной алгебраической системы, а также понятия аодалгебры произвольной й-алгебры. Пусть А = (А, й, П) — произвольная алгебраическгя система и В С А — непустое множество. Множество В называют замкнитым относительно операций иэ Й (й-замкнутым множеством), если результат применения любой н-аркой операции из Й к любым элементам из В принадлежит В, т.е. для любой н-аркой операции и и любых элементов ам ..., а„Е В элемент ю(а1, ..., а„) Е В.
Например, в полугруппе (М, +) подмножество четных чисел замкнуто относительно операции сложения, а подмножество нечетных чисел не замкнуто. В кольце целыя чисел подмножество натуральных чисел замкнуто относительно опергциий сложения и умножения, но не замкнуто относительно операции взятия противоположного элемента. Алгебраическую систему Б = (В, й, П~в), где В С А, называют подсистемой алгебраической системы А, если В й-замкнуто и П~в есть множество ограничений на В всех отношений иэ П: П~в = (р~в. 'р Е П). 4.2. Подеяетемы 231 Очевидно, что алгебраические системы А и В однотпипны, и часто вместо П~в будем в таком случае писать просто П. Если А — алгебра, то любую ее подсистему называют ее подалгеброт2 (точнее, Й-подалгеброф. Замечание 4.2.
В определении Й-подалгебры требуется лишь замкнутость относительно операций вз Й. Если же мы хотим, чтобы при переходе к подалгебре „наследовались" какие-либо специальные свойства операций исходной алгебры, то зто нужно специально оговаривать. Именно так мы и поступали, определял понятия подгруппы, подкольца, подпола и т.п. Впрочем, подгруппу можно определить и через свойство замкнутости, но лишь в том случае, если в сигнатуру группы включить не только одну бинарную операцию „умножения" (которая обладает специальными „групповыми свойствами", см. 2.2), но также унарную операцию взятия обратпного элементпа и нульарную операиию — единицу группы. Аналогично, исключительно через требование замкнутости, можно определить понятие подмоноида.
Следовательно, таким образом можно определить и подкольцо. Сложнее обстоит дело с шелом и полем. Мы не можем опре. делить поле как алгебру с сигнатурой (+, е, —, ~, О, 11, где операция — есть операция вычисления прошивоположного элеменша (обратного по сложению), а операция ~ — операция вычисления обратного элемента по умножению, так как последняя операция есть частпичное ошображенив и не определена для элемента О.
Поэтому она не может быть введена в сигнатуру алгебры, по определению содержащей только всюду определенные операции. Обратим внимание и на то, что переходя к Й-замкнутому подмножеству, мы можем получить алгебру как обогащенную новыми свойствами операций сигнатуры Й, так и утратившую некоторые иэ свойств. Например, моноид (1чв, +, О) будет только подмоноидом группы (Е, +, О) (но не подгруппой), а подмоноид биекций в симметрическом моноиде некоторого 232 4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ бесконечного множества будет уже группой (зто не подгруппа, а именно подмоноид, являющийся группой!). В следующей теореме сформулировано простое, но очень важное свойство замкнутых подмножеств. Теорема 4.1. Непустое пересечение произвольного семейства й-замкнутых подмножеств й-замкнуто. М Для простоты рассмотрим доказательство для пересечения двух Й-замкнутых подмножеств. Пусть в алгебре (А, й) й-замкнутые подмножества В1 и Вг имеют непустое пересечение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
