XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Относительно операции сложения модуль является абелевой группой, а множество унарных операций имеет структуру кольца. Каждая унарная операция рассматривается как умножение (левое или правое) элементов модуля на тот или иной элемент этого кольца. Проще было бы интерпретировать такое умножение как бинарную операцию, но это не вписывается в определение бинарной операции, поскольку аргуменпиьяи умножения оказываются элементы двух разных глгебр. Модуль представляет собой как бы „симбиоз" двух глгебр: абелевой группы и кольца. Это обстоятельство наводит на мысль ввести алгебраические сисптемм с несколькими носиптелями. Так возникает идея многосортной алгебры. лвногосортпная а,ягебра — это упорядоченная пара ((А)))ет) П)) где элементы семейстава миожесптв (А;);ет называют сортами, а множество Й, называемое многосортпной сигнаптурой, состоит из мноеосортпных операций — отображений вида ас А;, х ...
х Ат„-+ А;,. 4.7. Мвогосор$$$$$е влгебры 267 Операцию ы называют при этом $$-пр$$ой о$$ера$$иеб $п$$$$а ($4ь $1 " $Я) Задавая конкретную многосортную алгебру, условимся, что будем записывать ее в виде кортежа, в котором сначала перечисляется семейство сортов (как правило, конечное), а затем— многосортные операции, образующие сигнатуру,причем после обозначения каждой операции пишется ее тип (в виде кортежа). Обратим еще раз внимание на то, что в типе операции первая компонента указывает на сорт результата операции, следующие компоненты суть номера сортов аргументов операции. Заметим, что тип $$ульар$$об овера$$ии в многосортной алгебре есть однокомпонентный кортеж: нульарная операция типа ($) — это фиксированный элемент, принадлежащий сорту А,. В свете определения многосортной алгебры левыб модуль над кольцом К может быть описан как многосортная алгебра М = ((А$, Аг), +(1, 1, 1), 0(1), Ю(2,2,2), (2,2,2), 0(2), 1(2), а(1,2,1)), где А$ = с$ — носитель абелевой группы Д = (6, +, О), Аэ = В— носитель кольца К = (В, $$$,, О, 1), а сс В х С$ -$ С$ — многосортная операция левого умножения элементов группы Д на элементы кольца Я..
Ее тип указывает на то, что первым аргументом является элемент кольца, вторым — элемент абелевой группы, а результат принадлежит абелевой группе. Правый модуль описывается аналогично, но тип операции правого умножения элемента группы на элемент кольца будет равен (1, 1,2). Условимся о следующей терминологии для модуля. Элементы группы Д будем называть векторами 4$одулл (элементами „первого сорта"), а элементы кольца К вЂ” с$$аллрал$$$ данного л$одулл (элементами „второго сорта"). Многосортные алгебры А=((А$)$еу, й) и Н=КВ$)$е$, Е) 268 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ называют однотпитивььии, если существует биекция сигнатуры й на сигнатуру Е, сопоставляющая и-аркой операции некоторого типа п-арную операцию того же типа. Сигнатуры однотипных многосортных алгебр и соответствующие друг другу элементы этих сигнатур (т.е. многосортные операции) обычно обозначают одинаково.
Пример 4.12. Алгебра Я, К, +(1, 1, 1), (1, 2, 1), (.)(2, 1, 1), х (1, 1, 1), о(2, 1, 1, 1)) имеет в качестве первого сорта множество $~з свободных геометрических векторов (в трехмерном пространстве)[П1], а в качестве второго сорта — множество действительных чисел. Первая операция — бинарная операция + (сложения векторов). Результатом операции является вектор, аргументами— также векторы, поэтому она имеет тип (1,1,1).
Вторая операция — бинарная операция (левого умножения вектора на число). Результат операции — вектор, первый аргумент — число, второй аргумент — вектор, поэтому тип операции — (1, 2, 1). '11зетья операция — бинарная операция ( ) (скалярного умножения векторов). Ее результатом является число, и ее тип есть (2, 1, 1). Четвертая операция — бинарная операция х (векторного умножения векторов), а ее тип — (1,1,1). Последняя, пятая операция — тернарная операция смешанного умножения векторов.
Результатом операции является число, и соответственно сорт операции — (2, 1, 1, 1). ф Обычная й-алгебра есть многосортная алгебра с одним сортом. Покажем, что и любая алгебраическая система может быть описана как многосортнал алгебра. Сигнатура алгебраической системы кроме операций содержит и отношения. Каждому отношению н Е П алгебраической системы А = = (А, й, П) сопоставим характеристическую функцию: ото- 269 4.7. Много еортвые алгебры бРажение ге: А" -+ 10, Ц, такое, что Тогда алгебраическую систему можно задать как много- сортную алгебру с двумя сортами: носителем А и „логическим (булевым)" сортом В = 10, Ц, а вместо каждого и-арного отношения рассматривать его характеристическую функцию как многосортную и-арную операцию типа (2, 1, ..., 1) (номер 1 приписан сорту А, а номер 2 — сорту В).
Рассмотрим теперь, как на многосортные алгебры распространяются понятия подалгебры и гомоморфиэма. Семейство (В;)е7 называют подсемее2сгпеом семейства (А;);е7 (для одного и того же множества индексов 1), если (% е 1) (В; С А;). Семейство (С;);е7 называют обьедннением (пересечением) семее2стпе (А;);е7 и (В;);е7, если (% Е 1) (С; = А; ОВ;) (соответственно (% Е 1) (С; = А; П В;)).
Пусть А = ((А;); 7, й) — многосортная алгебра и (В;) е7— подсемейство семейства (А;);е7. Подсемейство (В;);е7 называют Й-эамкнулпым (или замкнутым относительно операций многосортной сигнатуры Й), если Ь;, ... Ь;„ы е Вн для всякой и-арной операции о е й типа (1о, ем ..., 1„) (при произвольных и, 1о, ем ..., 1„) и любых Ьб ЕВ;„..., Ь,„ЕВ;„. Для й-эамкнутого подсемейства (В;);е7 можно тогда определить однотипную с А многосортную алгебру В = ((В;),е7, й), которую называют многосорепной подалвеброй алгебры А.
Можно показать, что пересечение любого семейства й-замкнутых подсемейств есть также Й-замкнутое подсемейство. Следовательно, для произвольного подсемейства (С;);е7 семейства (А,),е7 существует наименьшее относительно включения Й-замкнутое подсемейство (В;);е7, содержащее подсемейство (С;);е7 и называемое тогда Й-замыканием этого подсемее2- сепаа. Если й-эамыкание подсемейства (С;);е7 совпадает со 270 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ всем семейством (А;);еу, то первое подсемейство называют сисшемоб образроилих многосоршноб алгебры А. Семейство отображений (й;);еу, где Ь;: А; -~ В;, 4 Е 1, для однотипных многосортных алгебр А=((АЙ'м1 й) и В=((В~)кс 14) называют многосоршным гомоморфизмом алгебры А в алгебру В, если для каждой и арной операции ы Е Й типа (4е, 4м ..., й„) (при произвольных и, 1е, 1м ..., 1„) н любых хй Е А;„..., х;„ЕА;„ Ь4О(х11 ...х;„ы) = Ь;,(х;,)...Щ„(х;„)ы.
Многосортный гомоморфизм, все отображения которого суть биекции, называют многосоршным изоморфизмом алгебры А на алгебру В. Очевидно, что если существует нзоморфизм А на В, то существует и изоморфизм В на А. Алгебры А и В называют в этом случае изоморфными многосоршными алгебрами. Аналогично обычным алгебрам в многосортных алгебрах вводят понятия многосортного моно- и эпиморфизма. В качестве простого примера сошлемсл на понятие линейного операшора (для линейных пространств над одним и тем же полем), известного из курса линейной алгебры [?У]. Оно является не чем иным, как многосортным гомоморфизмом, где отображение носителя одного поля в носитель другого является тождественным отображением. Более сложными будут следующие примеры. Пример 4.13.
а. Рассмотрим модуль .С1 над кольцом Е целых чисел и модуль Ез над кольцом вычетов по модулю й (для некоторого целого л > 2). Отображение й1 определим как произвольный гомоморфизм аддитивной группы векторов первого модуля в аддитивную группу векторов второго, т.е. для любых векторов х, р первого модуля имеет место равенство й1(х+д) =61(х)+61(р). 4.7. Мяогосортлые алгебры 271 Отображение Ьг зададим как канонический гомоморфизм кольца Е в фактор-кольцо Е».
Тогда, если для любого вектора х первого модуля и любого целого а выполняетсл равенство Ь1(а~х) = Ьг(а) ~Ь1(х), (4.3) семейство (Ьм Ьг) есть многосортный гомоморфизм первого модуля во второй. В частности, пусть группа векторов модуля »',1 есть н-я декартова степень вддитивной группы иелых чисел (т.е.
группа целочисленных арифметических векторов размерности и по операции сложения); группу же векторов модуля».г зададим как н-ю декартову степень аддитивной группы вычетов по модулю й (т.е. как группу по операции сложения по модулю й целочисленных арифметических векторов размерности н, каждая компонента которых принимает значения от 0 до й — 1). Обозначая через [х]» остаток от деления х на й (х Е Е), гомоморфизм Ь1 зададим равенством Ь1(х) = [х]», где х = = (хм ..., х„) Е Е", а [х]» = ([х1]», ..., [х„]») Е (О, 1, ..., й — 1)".
По определению, Ьг(а) = [а]», а е Е. Умножение вектора на скаляр в каждом из модулей определим стандартно через умножение в соответствующем кольце, т.е. для первого модуля положим ачх=а.х=(а хы ..., а х„), где а е Е, х е Е", а для второго— ачх = аО»х = (аО»хы ..., аО» хч), где а 6 10,1, ..., й — 1), х 6 10,1,..., й — 1)".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
