XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Естественно подмоноид Я моноида Д назвать замкнутым относительно унарной операции ы, если для каждого х Е Н имеет место ы(х) Е Н. Тогда группа Я = (Н,, т, 1) есть подгруппа группы Д = (О,, т, 1) в том и только в том случае, когда множество Н замкнуто относительно всех операций, т, 1 сигнатуры группы Д. Замечание 2.4. Подмножество Н С С, замкнутое относительно группового умнохсенил группы Д и содержащее вместе с каждым элементом х обратный к нему элемент х ~, будет содержать и нейтральный элемент (единицу) группы, поскольку в силу замкнутости Н относительно операции умножения из х Е Н и х ' Е Н следует, что х х ' = х ~.
х = 1 Е Н. ф Используя факт единственности нейтрального элемента (единицы) любого моноида и только что сформулированное определение, можно легко доказать, что единица моноида (группы, в частности) служит одновременно единицей любого его подмоноида (любой подгруппы). Заметим, что подмоноид, носитель которого содержит только единицу исходного моноида (Р = (Ц), а также подмоноид, носитель которого совпадает с носителем исходного моноида (Р = М), называют тпрививльным подмоноидом (в частности, тпривиальной подаруппой). Подмоноид, не являющийся тривиальным, называют нетпривиа.аьньтм подмоноидом (в частности, нептривиальной подгруппой).
Подгруппоид (подполугруппу, подмоноид, подгруппу) (С, ь) называют собстпвеннььн подгруппоидом (подттолуаруппой подмоноидом, подгруппой) группоида (полугруппы, моноида, группы) (К, *), если его носитель С есть собственное подмножесптво множества К. 150 г. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЪЦА Пример 2.17. Рассмотрим аддитивную полугруппу натуральных чисел вместе с нулем (Яв, +). Подмножество всех па ложительных четных чисел замкнуто относительно сложения, и поэтому на нем может быть определена подполугруппа полу- группы (Мв, +).
Но аддитивнгя полугруппа натуральных чисел с нулем является также и моноидом с нейтральным элементом' О. Тогда построенная вьппе подполугруппа всех положительных четных чисел не будет подмоноидом моноида (Мг, +, 0), так как ее носитель не содержит нуля — единицы моноида (Мг, +, 0). Подмножество всех натуральных чисел вместе с нулем, делящихся на заданное число Й ) 1, замкнуто относительно операции сложения; на нем может быть определен подмоноид моноида (Нг + 0). Мультинликагиивная группа полл рапионапьных чисел, является подгруппой группы (Ж'1 (0),, 1) (мулыиинликатливной группы полл действительных чисел).
Но алгебра (Е'1 (0),,1) не является подгруппой последней группы. Несмотря на то что множество всех отличных от нуля целых чисел замкнуто относительно операции умножения и содержит единицу, оно не содержит вместе с каждым целым числом пь обратного к нему 1 числа —. Пусть Д = (С,, ~, 1) — группа. Как следует вз теорем 2.5 и 2.6, произведение любых сщепеней элемеюиа а есть снова некоторая степень элемента а, нулевая степень дает единицу группы, а обратным к элементу а" является элемент а ". Таким образом, множество всех степеней фиксированного элемента а группы Д является подгруппой группы Д. Определение 2.Т. Подгруппу группы Д, заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента а, называют циклической подгруппой группы Д, порожденной элементном а.
151 2.6. Подгруппы и подпоаьпа Пример 2.18. В группе Е1з (мрльщин иикаюивной группе вычетов но модулю 13) построим циклическую подгруппу, порожденную элементом 5. Имеем: 5г = 1, 5~ = 5, 5~ = 5 Огз 5 = = 12, 5з = 5 01з 12 = 8, 54 = 5О1з 8 = 1. Отсюда следует, что порядок этой циклической подгруппы в силу теоремы 2.7 равен 4. Она состоит из элементов: 1, 5, 8 и 12. Рассмотрим кольцо Я. = (Я, +,, О, 1).
Если множество Я есть подмножество множества Я, замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца Я., содержащее нуль и единицу кольца Я., а также вместе с каждым х Е Я содержащее нрощивоноложныб к нему элемент -х, то ье = (Я,+,,0,1) также есть кольцо. Его называют иодкольцом кольца й. Другими словами, кольцо Я = ®, +,, О, 1) — зто подкольцо кольца Я = (В, +,, О, 1), если его аддитивная группа есть подгруппа аддитивной группы кольца Я,, а его мультипликативный моноид — подмоноид мульщинликагнивного моноида кольца Я.. Аналогично определяется понятие нодноля (какого-либо поля).
Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом х содержать обратный к нему по умножению поля элемент х 1. Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля. Естественно, что точно так же обстоит дело и с понятием нодкьела. Пример 2.19.
Кольцо целых чисел (Ж, +,, О, 1) есть подкольцо кольца действительных чисел (К, +,, О, 1). При этом, несмотря на то что кольцо действительных чисел есть поле, кольцо целых чисел не является его подполем,поскольку в последнем для любого целого числа отсутствует обратный к нему по умножению элемент. Поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, которое, в свою очередь, есть подполе поля 152 2. АЛГЕБРЫ; ГРУППЫ И КОЛЬЦА комплексных чисел. Алгебра (Мо, +,, О, 1) на множестве натуральных чисел вместе с нулем не является подкольцом ни одного из перечисленных вьппе колец, так как ее носитель не содержит ни обратных относительно сложения, ни обратных относительно умножения элементов. 2.Т. Теорема Лагранжа Пусть й = (0,,1) — еруппа, а Я = (Н,,1) — ее подеруппа. ,Левым смежным классом подеруппы Я по злементпу а Е С называют множество аН = (у: у = а Ь, Ь Е Н). Соответственно правый смежный класс подзруппы Я по элементу а Е 0 — это множество На = (у: у = Ь.а, Ь Е Н).
Очевидно, что в коммутативной группе аН = На. Замечание. При использовании аддишивной записи групповой операции смежные классы записываются в виде а+ Н (или Н+ а). ф Рассмотрим левые смежные классы. Прежде всего заметим, что если а Е Н, то аН = Н. Действительно, если х Е аН, то для некоторого ЬЕН х=аЬ, а так как аЕН и множество Н замкнуто относительно умножения еруппы У, то х Е Н. Обратно, если хЕН, то х=аа 1х=аЬ, где Ь=а 1хЕН.
Поэтому х Е аН. Окончательно получим Н = аН. Введем теперь бинарное отношение и на множестве С следующим образом: зявментпы а и Ь связаны отношением ° и (а иЬ), если и только если левые смежные классы подгруппы Я по элементам а и Ь совпадают (аН = ЬН). 2.7. Теорема Лагранжа Теорема 2.11. Бинарное отношение и есть эквиваленшносшь на С, причем класс эквиваленшносши произвольного элемента а Е С совпадает с левым смежным классом аН. 1 Докажем, что и является эквивалентностью на С.
Поскольку аН = аН для любого а Е С, т.е. а на, то бинарное отношение и рефлексивно. Если а нЬ, то аН = ЬН, следовательно, ЬН = аН и Ь на, т.е. бинарное отношение и симметпрично. Наконец, из того, что а цЬ и Ь не, следует аН = ЬН и ЬН = сН, т.е. аН = сН и а нс откуда вытекает, что бинарное отношение и шранэишивно. Итак, и есть эквивалентность.
Докажем, что класс эквивалентности произвольного элемента а равен аН. Воспользуемся методом двух включений. Пусть х Е [а] и, т.е. х на, тогда хН = аН. Последнее означает, что любой элемент вида аЬ, Ь Е Н, может быть представлен в виде хЬ1, где Ь1 Е Н, т.е. аЬ = хЬ1. Отсюда получаем х = аЬЬ11. Поскольку Я вЂ” подгруппа, Ь, Ь1 Е Н, то Ьз =ЬЬ1 ~ ЕН. Следовательно, х=аЬг ЕаН и [а] и С аН. Покажем второе включение, т.е. докажем, что аН С [а] Пусть х Е аН, тогда х = аЬ для некоторого Ь Е Н. Отсюда получаем, что хН = аЬН. Поскольку для всякого Ь е Н, как доказано вьппе, ЬН = Н, справедливо равенство хН = аН, откудах на ихЕ[а] и.
~ Теорема 2.12. Всякий левый смежный класс подгруппы Н равномошен Н. 1 Для произвольного фиксированного а Е С зададим отображение уа: Н ~ аН следующим образом: у,(Ь) = аЬ. Во-первых, отображение уа есть сюръекция, так как если х Е аН, то х = = аЬ для некоторого Ь Е Н, откуда х = ~р (Ь). Во-вторых, уев инъекция, поскольку из равенства аЬ1 = аЬз в силу законов сокращения в группе й следует Ь1 = Ьг. Следовательно, ~ра— биекция и [аН[ = [Н]. ~ Из доказанных теорем о свойствах левых смежных классов, справедливых — подчеркнем это — для любой группы, вытекает простой, но очень важный результат для конечных групп.
154 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ Н КОЛЬЦА Теорема 2.13 (теорема Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы. ~ Согласно теореме 2.11, все левые смежные классы образуют разбиение множества С на подмножества, равномощные в силу теоремы 2.12 подгруппе Н. Так как группа Д конечна, то число элементов разбиения конечно. Обозначив это число через к, заключаем, что ~0~ = ЦН~. Следовательно, порядок группы )0~ делится на порядок группы ~Н~.
~ Число всех левых смежных классов подгруппы Я конечной группы Д называют лееьвм индексом подгруппы Я в грувке Д. Рассмотрим некоторые следствия теоремы Лагранжа. Следствие 2.3. Любая группа простого порядка является циклической. ч Возьмем в группе, порядок которой есть простое число, какую-то ее циклическую подгруппу, ойраэуювций элемент которой отличен от единицы (нейтрального элемента) группы. Тогда эта подгруппа содержит не менее двух элементов и ее порядок, согласно теореме Лагранжа, должен быть делителем порядка группы. Поскольку порядок всей группы — простое число, а порядок подгруппы не меньше 2, то он совпадет с порядком всей группы. Ь Замечание. Группа, порядок которой не являетсл простым числом, может быть циклической, т.е. утверждение, обратное следствию 2.3, не имеет места.
Так, например, циклической является Е4 — аддитивная группа вычетов по модулю 4. Ее образующий элемент — 1. Можно доказать, например, что любая группа порядка 15 является циклической". Группу называют неразложимой, если она не имеет нетнривиаяьныя подгрупп. Смл Каргополов М.Л., Мерзляков Ю.я.
155 2.Т. Теорема Лагранжа Следствие 2.4. Конечная группа неразложима тогда и только тогда, когда она является циклической группой, порядок которой есть простое число. < Если группа циклическая и ее порядок — простое число, то, согласно теореме Лагранжа, каждая ее подгруппа имеет порядок, равный либо единице, либо порядку всей группы, и группа неразложима.
Обратно, пусть конечная группа й = (С,, 1) неразложима. Покажем, что ~С~ — простое число. Выберем элемент а ~ 1. Тогда циклическая подгруппа с образующим элементом а совпадает с Д. Допустим, что ~6~ — составное число, т.е. ~С~ = = Й1 для некоторых натуральных Й и 1, отличных от 1 и ~С~. Тогда циклическал подгруппа с образующим элементом Ь= а~ не совпадает с й, так как М = ам = 1 и в этой подгруппе не более 1 элементов, что противоречит нераэложимости группы й. Следовательно, порядок группы у есть простое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
