XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Напомним, что суммой двух линейных оператпоров А и В называют оператор А+ В, такой, что (А+В)х=Ак+Вк, кебы. Произведением линейных оператпоров А и В называют линейный оператор АВ, такой, что (АВ)к = А(Вк) для любого к Е,С. Используя свойства указанных операций над линейными операторами, можно показать, что множество всех линейных операторов, действующих в пространстве Е, вместе с операциями сложения и умножения операторов образует кольцо.
Нулем этого кольца служит нулевой оператпор, а единицей — тпоэсдесптвенный оператор. Это кольцо называют кольцом линейных оператпоров в линейном пространстве 1;. Аксиомы кольца называют также основными тпоэкдестпвами кольца. Тождество кольца — это равенство, справед- 138 г. ллгеи ы: тт ппы и кольцд ливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые иэ них.
Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания. Теорема 2.8. В любом кольце выполняются сведующие тождества: 1) 0 а=а 0=0; 2) (-а) Ь=-(а 6) =а. (-Ь); 3) (а-Ь) с=а с-Ь с, с (а-Ь) =с а-с Ь. ~ Докажем тождество 0 а = О. Запишем для произвольного а: а+О ° а = 1 ° а+О ° а= (1+0) ° а = 1 ° а=а. Итак, а+ 0 а = а.
Последнее равенство можно рассматривать как уравнение в аддитивной группе кольца относительно неизвестного элемента 0 а. Так как в аддитивной группе любое уравнение вида а+ х = Ь имеет единственное решение х = Ь- а, то 0 а = а — а = О. Тождество а 0 = 0 докюывается аналогично. Докажем теперь тождество -(а ° 6) = а (-Ь). Имеем а (-6)+а Ь= а ((-6)+Ь) =а 0 =0, откуда а (-6) = -(а 6).
Точно так же можно доказать, что (-а) Ь=-(а.6). Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем а (Ь вЂ” с) = а (Ь + (-с)) = а Ь + а (-с) = а Ь вЂ” а с, т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары докззываетсл аналогично. ° 138 2.3.
Колълв, тела, паве Следствие 2.1. В любом кольце справедливо тождество (-1) х=х (-1) =-х. ~ Указанное следствие вытекает из второго тождества теоре- мы 2.8 при а = 1 и Ь = х. ~ Первые два тождества иэ доказанных в теореме 2.8 выражают свойство, называемое аннулирующим свойстпвом нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутнвности операции умножения кольца относительно операции вычитания.
Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел. Ненулевые элементы а и Ь кольца?с называют делитнвлями ну,ля, если а Ь = О или Ь а = О. Пример кольца с делителем нуля дает любое кольцо вычетпов по модулю Й, если к составное число. В этом случае произведение по модулю й любых тп и п, дающих при обычном перемножении число, кратное к, будет равно нулю. Например, в кольце вычетов по модулю 6 элементы 2 и 3 являются делителями нуля, поскольку 2 Ов 3 = О.
Другой пример дает кольцо квадратных матриц фиксированного порядка (не меньшего двух). Например, для матриц второго порядка имеем О О О О О О При отличных от нуля а и Ь приведенные матрицы являются делителями нуля. По умножению кольцо является только моноидом. Поставим вопрос: в каких случаях кольцо по умножению будет группой? Прежде всего заметим, что множество всех элементов кольца, в котором О Ф 1, не может образовывать группы по умножению, так как нуль не может иметь обратного. Действительно, если предположить, что такой элемент О существует, то, с одной 140 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА стороны, 0 0'=0' 0= 1, а с другой — 0 0'=0' 0=0, откуда 0 = 1.
Это противоречит условию 0 ~ 1. Таким образом, поставленный вьппе вопрос можно уточнить так: в каких случаях множество всех ненулевых элементов кольца образует группу по умножению? Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е.
существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю. Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют тпелом, коммутативное тело — полем, а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению — мульгпиплик<ипиеной группой этого тела (полл).
Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами полл. Поле есть алгебра У' = (Р, +,, О, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарвых операций, причем справедливы тождества: 1) а+(Ь+с) = (а+Ь)+с; 2) а+Ь= Ь+а; 3) а+О =а; 4) для каждого а Е Р существует элемент -а, такой, что а+(-а) =0; 5) а (Ь с) =(а Ь) с; 6)а Ь=Ь а; 7)а 1=1 а=а; 8) для каждого а е Р, отличного от О, существует элемент а ~, такой, что а. а ~ = 1; 9) а (Ь+с) = а Ь+а.с. Пример 2.13.
а. Алгебра Я, +,, О, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел. 141 2.4. Области целостности б. Алгебры (К, +,, О, 1) и (С, +,, О, 1) есть поля, называемые полями дебстпвитпельных и комплексных чисел соответственно. в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра тсватпернионов (см. Д.2.1). Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы полл. Занимаясь числовыми расчетами, мы „работаем в полях", а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда „переселяемся" в поле комплексных чисел. 2.4. Области целостности Областпью иелостноспти называют коммутативное кольцо без делильелеб нуля.
Так, кольцо целых чисел есть область целостности. Теорема 2.9. Конечная область целостности является нолем. ~ Поле — это кольцо, умножение которого коммутативно, а каждый ненулевой элемент а имеет обравтный элемент относительно умнохсения. Так как область целостности, по определению, является коммутативным кольцом, то достаточно доказать, что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим, т.е. для всякого а а4 О существует единственный х, такой, что а х = 1. Фиксируем произвольный элемент а 4 О и определяем отображение уа множества всех ненулевых элементов в себя по формуле Ях) = а. х (а х ~ О в области целостности при а а6 О и х а4 О).
Отображение уо является инъекцией, поскольку из равенства а х = а у вытекает равенство а (х — у) = О, откуда ввиду отсутствия делителей нуля х — у = О и х = у. Так как носищель по условию теоремы конечен,то, согласно теореме 1.8, Уо также и биекция. Поэтому для любого у существует единственный элемент х,такой,что у=а х. В частности,при у= 1 142 г. ллгквры: п уппы и кольцл равенство а х = 1 выполнено для некоторого однозначно опре- деленного х, т.е.
х = а 1. > Доказательство теоремы 2.9 опирается на условие конечности кольца. Это условие действительно важно. Пример кольца целых чисел показывает, что бесконечная область целостности может и не быть полем. Теорема 2.9 имеет интересные следствия.
Рассмотрим кольао Е, вычетов ао модулю р. Следствие 2.2. Кольцо Ер вычетов по модулю р является полем тогда и только тогда, когда р — простое число. < Пусть Ер является полем. Покажем, что в этом случае число р простое. Предположим, что оно составное. Тогда найдутся такие числа к и1, 0 < к,1<р — 1, что р=к 1. Поскольку вэтом случае к 1 = 0(пюйр), по крайней мере числа к и 1 являются в кольце Ер делителями нуля и Ер — не поле. Следовательно, число р не может быть составным.
Пусть р — простое число. Предположим, что элементы т и и кольца Ер будут делителями нуля, т.е. т и = 0(шар). При простом р равенство произведения т. и нулю по модулю р означает, что либо т делится на р, либо и делится на р, т.е. либо т = 0(шеар), либо и = 0(пюдр). Учитывая неравенства О < т ( (р — 1 и 0 ~ ~и < р — 1, заключаем, что либо т = О, либо п = О. Таким образом, при простом р делителей нуля нет и кольцо Ер, как конечная область целостности, является полем. В. Мультипликативную группу пол* Ер вычетов по модулю р обозначают Ер и называют мультипликативпоб еруппой вычетов по модулю р. Для произвольного р легко видеть, что ненулевые элементы т и и кольца Ер будут делителями нуля тогда и только тогда, когда произведение т и делится на р (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
